MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxpenc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxpenc 9959
Description: A canonical version of infxpen 9955, by a completely different approach (although it uses infxpen 9955 via xpomen 9956). Using Cantor's normal form, we can show that ๐ด โ†‘o ๐ต respects equinumerosity (oef1o 9639), so that all the steps of (ฯ‰โ†‘๐‘Š) ยท (ฯ‰โ†‘๐‘Š) โ‰ˆ ฯ‰โ†‘(2๐‘Š) โ‰ˆ (ฯ‰โ†‘2)โ†‘๐‘Š โ‰ˆ ฯ‰โ†‘๐‘Š can be verified using bijections to do the ordinal commutations. (The assumption on ๐‘ can be satisfied using cnfcom3c 9647.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
infxpenc.2 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โŠ† ๐ด)
infxpenc.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ (On โˆ– 1o))
infxpenc.4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(ฯ‰ โ†‘o 2o)โ€“1-1-ontoโ†’ฯ‰)
infxpenc.5 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜โˆ…) = โˆ…)
infxpenc.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
infxpenc.k ๐พ = (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o 2o) โ†‘m ๐‘Š) โˆฃ ๐‘ฅ finSupp โˆ…} โ†ฆ (๐น โˆ˜ (๐‘ฆ โˆ˜ โ—ก( I โ†พ ๐‘Š))))
infxpenc.h ๐ป = (((ฯ‰ CNF ๐‘Š) โˆ˜ ๐พ) โˆ˜ โ—ก((ฯ‰ โ†‘o 2o) CNF ๐‘Š))
infxpenc.l ๐ฟ = (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘m (๐‘Š ยทo 2o)) โˆฃ ๐‘ฅ finSupp โˆ…} โ†ฆ (( I โ†พ ฯ‰) โˆ˜ (๐‘ฆ โˆ˜ โ—ก(๐‘Œ โˆ˜ โ—ก๐‘‹))))
infxpenc.x ๐‘‹ = (๐‘ง โˆˆ 2o, ๐‘ค โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ ((๐‘Š ยทo ๐‘ง) +o ๐‘ค))
infxpenc.y ๐‘Œ = (๐‘ง โˆˆ 2o, ๐‘ค โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ ((2o ยทo ๐‘ค) +o ๐‘ง))
infxpenc.j ๐ฝ = (((ฯ‰ CNF (2o ยทo ๐‘Š)) โˆ˜ ๐ฟ) โˆ˜ โ—ก(ฯ‰ CNF (๐‘Š ยทo 2o)))
infxpenc.z ๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š), ๐‘ฆ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ))
infxpenc.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โŸจ(๐‘โ€˜๐‘ฅ), (๐‘โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ)
infxpenc.g ๐บ = (โ—ก๐‘ โˆ˜ (((๐ป โˆ˜ ๐ฝ) โˆ˜ ๐‘) โˆ˜ ๐‘‡))
Assertion
Ref Expression
infxpenc (๐œ‘ โ†’ ๐บ:(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘Š   ๐‘ฅ,๐‘‹,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘Œ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ง,๐‘ค)   ๐ด(๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐น(๐‘ง,๐‘ค)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐ฟ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘(๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘‹(๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘Œ(๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem infxpenc
StepHypRef Expression
1 infxpenc.6 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
2 f1ocnv 6797 . . . 4 (๐‘:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†’ โ—ก๐‘:(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
31, 2syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โ—ก๐‘:(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
4 infxpenc.4 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(ฯ‰ โ†‘o 2o)โ€“1-1-ontoโ†’ฯ‰)
5 f1oi 6823 . . . . . . . . 9 ( I โ†พ ๐‘Š):๐‘Šโ€“1-1-ontoโ†’๐‘Š
65a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ( I โ†พ ๐‘Š):๐‘Šโ€“1-1-ontoโ†’๐‘Š)
7 omelon 9587 . . . . . . . . . . 11 ฯ‰ โˆˆ On
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โˆˆ On)
9 2on 8427 . . . . . . . . . 10 2o โˆˆ On
10 oecl 8484 . . . . . . . . . 10 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o 2o) โˆˆ On)
118, 9, 10sylancl 587 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ โ†‘o 2o) โˆˆ On)
129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2o โˆˆ On)
13 peano1 7826 . . . . . . . . . . 11 โˆ… โˆˆ ฯ‰
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ฯ‰)
15 oen0 8534 . . . . . . . . . 10 (((ฯ‰ โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰) โ†’ โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o 2o))
168, 12, 14, 15syl21anc 837 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o 2o))
17 ondif1 8448 . . . . . . . . 9 ((ฯ‰ โ†‘o 2o) โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†” ((ฯ‰ โ†‘o 2o) โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o 2o)))
1811, 16, 17sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ โ†‘o 2o) โˆˆ (On โˆ– 1o))
19 infxpenc.3 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ (On โˆ– 1o))
2019eldifad 3923 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ On)
21 infxpenc.5 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜โˆ…) = โˆ…)
22 infxpenc.k . . . . . . . 8 ๐พ = (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o 2o) โ†‘m ๐‘Š) โˆฃ ๐‘ฅ finSupp โˆ…} โ†ฆ (๐น โˆ˜ (๐‘ฆ โˆ˜ โ—ก( I โ†พ ๐‘Š))))
23 infxpenc.h . . . . . . . 8 ๐ป = (((ฯ‰ CNF ๐‘Š) โˆ˜ ๐พ) โˆ˜ โ—ก((ฯ‰ โ†‘o 2o) CNF ๐‘Š))
244, 6, 18, 20, 8, 20, 21, 22, 23oef1o 9639 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ป:((ฯ‰ โ†‘o 2o) โ†‘o ๐‘Š)โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
25 f1oi 6823 . . . . . . . . . 10 ( I โ†พ ฯ‰):ฯ‰โ€“1-1-ontoโ†’ฯ‰
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ( I โ†พ ฯ‰):ฯ‰โ€“1-1-ontoโ†’ฯ‰)
27 infxpenc.x . . . . . . . . . . 11 ๐‘‹ = (๐‘ง โˆˆ 2o, ๐‘ค โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ ((๐‘Š ยทo ๐‘ง) +o ๐‘ค))
28 infxpenc.y . . . . . . . . . . 11 ๐‘Œ = (๐‘ง โˆˆ 2o, ๐‘ค โˆˆ ๐‘Š โ†ฆ ((2o ยทo ๐‘ค) +o ๐‘ง))
2927, 28omf1o 9022 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Š โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On) โ†’ (๐‘Œ โˆ˜ โ—ก๐‘‹):(๐‘Š ยทo 2o)โ€“1-1-ontoโ†’(2o ยทo ๐‘Š))
3020, 9, 29sylancl 587 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ˜ โ—ก๐‘‹):(๐‘Š ยทo 2o)โ€“1-1-ontoโ†’(2o ยทo ๐‘Š))
31 ondif1 8448 . . . . . . . . . . 11 (ฯ‰ โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†” (ฯ‰ โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰))
327, 13, 31mpbir2an 710 . . . . . . . . . 10 ฯ‰ โˆˆ (On โˆ– 1o)
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โˆˆ (On โˆ– 1o))
34 omcl 8483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Š โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On) โ†’ (๐‘Š ยทo 2o) โˆˆ On)
3520, 9, 34sylancl 587 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยทo 2o) โˆˆ On)
36 omcl 8483 . . . . . . . . . 10 ((2o โˆˆ On โˆง ๐‘Š โˆˆ On) โ†’ (2o ยทo ๐‘Š) โˆˆ On)
3712, 20, 36syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2o ยทo ๐‘Š) โˆˆ On)
38 fvresi 7120 . . . . . . . . . 10 (โˆ… โˆˆ ฯ‰ โ†’ (( I โ†พ ฯ‰)โ€˜โˆ…) = โˆ…)
3913, 38mp1i 13 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (( I โ†พ ฯ‰)โ€˜โˆ…) = โˆ…)
40 infxpenc.l . . . . . . . . 9 ๐ฟ = (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘m (๐‘Š ยทo 2o)) โˆฃ ๐‘ฅ finSupp โˆ…} โ†ฆ (( I โ†พ ฯ‰) โˆ˜ (๐‘ฆ โˆ˜ โ—ก(๐‘Œ โˆ˜ โ—ก๐‘‹))))
41 infxpenc.j . . . . . . . . 9 ๐ฝ = (((ฯ‰ CNF (2o ยทo ๐‘Š)) โˆ˜ ๐ฟ) โˆ˜ โ—ก(ฯ‰ CNF (๐‘Š ยทo 2o)))
4226, 30, 33, 35, 8, 37, 39, 40, 41oef1o 9639 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ:(ฯ‰ โ†‘o (๐‘Š ยทo 2o))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o (2o ยทo ๐‘Š)))
43 oeoe 8547 . . . . . . . . . 10 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง 2o โˆˆ On โˆง ๐‘Š โˆˆ On) โ†’ ((ฯ‰ โ†‘o 2o) โ†‘o ๐‘Š) = (ฯ‰ โ†‘o (2o ยทo ๐‘Š)))
447, 12, 20, 43mp3an2i 1467 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ‰ โ†‘o 2o) โ†‘o ๐‘Š) = (ฯ‰ โ†‘o (2o ยทo ๐‘Š)))
4544f1oeq3d 6782 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ:(ฯ‰ โ†‘o (๐‘Š ยทo 2o))โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o 2o) โ†‘o ๐‘Š) โ†” ๐ฝ:(ฯ‰ โ†‘o (๐‘Š ยทo 2o))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o (2o ยทo ๐‘Š))))
4642, 45mpbird 257 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ:(ฯ‰ โ†‘o (๐‘Š ยทo 2o))โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o 2o) โ†‘o ๐‘Š))
47 f1oco 6808 . . . . . . 7 ((๐ป:((ฯ‰ โ†‘o 2o) โ†‘o ๐‘Š)โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆง ๐ฝ:(ฯ‰ โ†‘o (๐‘Š ยทo 2o))โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o 2o) โ†‘o ๐‘Š)) โ†’ (๐ป โˆ˜ ๐ฝ):(ฯ‰ โ†‘o (๐‘Š ยทo 2o))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
4824, 46, 47syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ป โˆ˜ ๐ฝ):(ฯ‰ โ†‘o (๐‘Š ยทo 2o))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
49 df-2o 8414 . . . . . . . . . . . 12 2o = suc 1o
5049oveq2i 7369 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Š ยทo 2o) = (๐‘Š ยทo suc 1o)
51 1on 8425 . . . . . . . . . . . 12 1o โˆˆ On
52 omsuc 8473 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Š โˆˆ On โˆง 1o โˆˆ On) โ†’ (๐‘Š ยทo suc 1o) = ((๐‘Š ยทo 1o) +o ๐‘Š))
5320, 51, 52sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยทo suc 1o) = ((๐‘Š ยทo 1o) +o ๐‘Š))
5450, 53eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยทo 2o) = ((๐‘Š ยทo 1o) +o ๐‘Š))
55 om1 8490 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Š โˆˆ On โ†’ (๐‘Š ยทo 1o) = ๐‘Š)
5620, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยทo 1o) = ๐‘Š)
5756oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Š ยทo 1o) +o ๐‘Š) = (๐‘Š +o ๐‘Š))
5854, 57eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยทo 2o) = (๐‘Š +o ๐‘Š))
5958oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ โ†‘o (๐‘Š ยทo 2o)) = (ฯ‰ โ†‘o (๐‘Š +o ๐‘Š)))
60 oeoa 8545 . . . . . . . . 9 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐‘Š โˆˆ On โˆง ๐‘Š โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o (๐‘Š +o ๐‘Š)) = ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
617, 20, 20, 60mp3an2i 1467 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ โ†‘o (๐‘Š +o ๐‘Š)) = ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
6259, 61eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ โ†‘o (๐‘Š ยทo 2o)) = ((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
6362f1oeq2d 6781 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ป โˆ˜ ๐ฝ):(ฯ‰ โ†‘o (๐‘Š ยทo 2o))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†” (๐ป โˆ˜ ๐ฝ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
6448, 63mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ป โˆ˜ ๐ฝ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
65 oecl 8484 . . . . . . 7 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐‘Š โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆˆ On)
668, 20, 65syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆˆ On)
67 infxpenc.z . . . . . . 7 ๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š), ๐‘ฆ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ))
6867omxpenlem 9020 . . . . . 6 (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆˆ On โˆง (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆˆ On) โ†’ ๐‘:((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ร— (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
6966, 66, 68syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘:((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ร— (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
70 f1oco 6808 . . . . 5 (((๐ป โˆ˜ ๐ฝ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆง ๐‘:((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ร— (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))) โ†’ ((๐ป โˆ˜ ๐ฝ) โˆ˜ ๐‘):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ร— (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
7164, 69, 70syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ป โˆ˜ ๐ฝ) โˆ˜ ๐‘):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ร— (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
72 f1of 6785 . . . . . . . . . 10 (๐‘:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†’ ๐‘:๐ดโŸถ(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
731, 72syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘:๐ดโŸถ(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
7473feqmptd 6911 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))
7574f1oeq1d 6780 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘ฅ)):๐ดโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
761, 75mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘ฅ)):๐ดโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
7773feqmptd 6911 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘ฆ)))
7877f1oeq1d 6780 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘ฆ)):๐ดโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
791, 78mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘ฆ)):๐ดโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
8076, 79xpf1o 9086 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โŸจ(๐‘โ€˜๐‘ฅ), (๐‘โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ):(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ร— (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
81 infxpenc.t . . . . . 6 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โŸจ(๐‘โ€˜๐‘ฅ), (๐‘โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ)
82 f1oeq1 6773 . . . . . 6 (๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โŸจ(๐‘โ€˜๐‘ฅ), (๐‘โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ) โ†’ (๐‘‡:(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ร— (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โŸจ(๐‘โ€˜๐‘ฅ), (๐‘โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ):(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ร— (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))))
8381, 82ax-mp 5 . . . . 5 (๐‘‡:(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ร— (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ โŸจ(๐‘โ€˜๐‘ฅ), (๐‘โ€˜๐‘ฆ)โŸฉ):(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ร— (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
8480, 83sylibr 233 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡:(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ร— (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
85 f1oco 6808 . . . 4 ((((๐ป โˆ˜ ๐ฝ) โˆ˜ ๐‘):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ร— (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆง ๐‘‡:(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ร— (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))) โ†’ (((๐ป โˆ˜ ๐ฝ) โˆ˜ ๐‘) โˆ˜ ๐‘‡):(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
8671, 84, 85syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ป โˆ˜ ๐ฝ) โˆ˜ ๐‘) โˆ˜ ๐‘‡):(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
87 f1oco 6808 . . 3 ((โ—ก๐‘:(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (((๐ป โˆ˜ ๐ฝ) โˆ˜ ๐‘) โˆ˜ ๐‘‡):(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)) โ†’ (โ—ก๐‘ โˆ˜ (((๐ป โˆ˜ ๐ฝ) โˆ˜ ๐‘) โˆ˜ ๐‘‡)):(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
883, 86, 87syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐‘ โˆ˜ (((๐ป โˆ˜ ๐ฝ) โˆ˜ ๐‘) โˆ˜ ๐‘‡)):(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
89 infxpenc.g . . 3 ๐บ = (โ—ก๐‘ โˆ˜ (((๐ป โˆ˜ ๐ฝ) โˆ˜ ๐‘) โˆ˜ ๐‘‡))
90 f1oeq1 6773 . . 3 (๐บ = (โ—ก๐‘ โˆ˜ (((๐ป โˆ˜ ๐ฝ) โˆ˜ ๐‘) โˆ˜ ๐‘‡)) โ†’ (๐บ:(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†” (โ—ก๐‘ โˆ˜ (((๐ป โˆ˜ ๐ฝ) โˆ˜ ๐‘) โˆ˜ ๐‘‡)):(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด))
9189, 90ax-mp 5 . 2 (๐บ:(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†” (โ—ก๐‘ โˆ˜ (((๐ป โˆ˜ ๐ฝ) โˆ˜ ๐‘) โˆ˜ ๐‘‡)):(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
9288, 91sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:(๐ด ร— ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3406   โˆ– cdif 3908   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283  โŸจcop 4593   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189   I cid 5531   ร— cxp 5632  โ—กccnv 5633   โ†พ cres 5636   โˆ˜ ccom 5638  Oncon0 6318  suc csuc 6320  โŸถwf 6493  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6496  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โˆˆ cmpo 7360  ฯ‰com 7803  1oc1o 8406  2oc2o 8407   +o coa 8410   ยทo comu 8411   โ†‘o coe 8412   โ†‘m cmap 8768   finSupp cfsupp 9308   CNF ccnf 9602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-seqom 8395  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-oexp 8419  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-cnf 9603
This theorem is referenced by:  infxpenc2lem2  9961
  Copyright terms: Public domain W3C validator