Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  succlg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem succlg 41692
Description: Closure law for ordinal successor. (Contributed by RP, 8-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
succlg ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = โˆ… โˆจ (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o)))) โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐ต)

Proof of Theorem succlg
StepHypRef Expression
1 eleq2 2827 . . . . 5 (๐ต = โˆ… โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ๐ด โˆˆ โˆ…))
2 noel 4295 . . . . . 6 ยฌ ๐ด โˆˆ โˆ…
32pm2.21i 119 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โˆ… โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐ต)
41, 3syl6bi 253 . . . 4 (๐ต = โˆ… โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐ต))
54com12 32 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ต = โˆ… โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐ต))
6 simpl 484 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
7 eldifi 4091 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
87ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
9 omex 9586 . . . . . . . . . 10 ฯ‰ โˆˆ V
10 limom 7823 . . . . . . . . . 10 Lim ฯ‰
119, 10pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (ฯ‰ โˆˆ V โˆง Lim ฯ‰)
1211a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ (ฯ‰ โˆˆ V โˆง Lim ฯ‰))
13 ondif1 8452 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†” (๐ถ โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ))
1413simprbi 498 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
1514ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
16 omlimcl2 41605 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆˆ On โˆง (ฯ‰ โˆˆ V โˆง Lim ฯ‰)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ Lim (ฯ‰ ยทo ๐ถ))
178, 12, 15, 16syl21anc 837 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ Lim (ฯ‰ ยทo ๐ถ))
18 limeq 6334 . . . . . . . 8 (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โ†’ (Lim ๐ต โ†” Lim (ฯ‰ ยทo ๐ถ)))
1918ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ (Lim ๐ต โ†” Lim (ฯ‰ ยทo ๐ถ)))
2017, 19mpbird 257 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ Lim ๐ต)
21 limsuc 7790 . . . . . 6 (Lim ๐ต โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” suc ๐ด โˆˆ ๐ต))
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” suc ๐ด โˆˆ ๐ต))
236, 22mpbid 231 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐ต)
2423ex 414 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐ต))
255, 24jaod 858 . 2 (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ต = โˆ… โˆจ (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐ต))
2625imp 408 1 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = โˆ… โˆจ (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o)))) โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3448   โˆ– cdif 3912  โˆ…c0 4287  Oncon0 6322  Lim wlim 6323  suc csuc 6324  (class class class)co 7362  ฯ‰com 7807  1oc1o 8410   ยทo comu 8415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator