Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  succlg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem succlg 42635
Description: Closure law for ordinal successor. (Contributed by RP, 8-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
succlg ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = โˆ… โˆจ (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o)))) โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐ต)

Proof of Theorem succlg
StepHypRef Expression
1 eleq2 2816 . . . . 5 (๐ต = โˆ… โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ๐ด โˆˆ โˆ…))
2 noel 4325 . . . . . 6 ยฌ ๐ด โˆˆ โˆ…
32pm2.21i 119 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โˆ… โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐ต)
41, 3syl6bi 253 . . . 4 (๐ต = โˆ… โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐ต))
54com12 32 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ต = โˆ… โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐ต))
6 simpl 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
7 eldifi 4121 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
87ad2antll 726 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
9 omex 9637 . . . . . . . . . 10 ฯ‰ โˆˆ V
10 limom 7867 . . . . . . . . . 10 Lim ฯ‰
119, 10pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (ฯ‰ โˆˆ V โˆง Lim ฯ‰)
1211a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ (ฯ‰ โˆˆ V โˆง Lim ฯ‰))
13 ondif1 8499 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†” (๐ถ โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ))
1413simprbi 496 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
1514ad2antll 726 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
16 omlimcl2 42548 . . . . . . . 8 (((๐ถ โˆˆ On โˆง (ฯ‰ โˆˆ V โˆง Lim ฯ‰)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ Lim (ฯ‰ ยทo ๐ถ))
178, 12, 15, 16syl21anc 835 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ Lim (ฯ‰ ยทo ๐ถ))
18 limeq 6369 . . . . . . . 8 (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โ†’ (Lim ๐ต โ†” Lim (ฯ‰ ยทo ๐ถ)))
1918ad2antrl 725 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ (Lim ๐ต โ†” Lim (ฯ‰ ยทo ๐ถ)))
2017, 19mpbird 257 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ Lim ๐ต)
21 limsuc 7834 . . . . . 6 (Lim ๐ต โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” suc ๐ด โˆˆ ๐ต))
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” suc ๐ด โˆˆ ๐ต))
236, 22mpbid 231 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐ต)
2423ex 412 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o)) โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐ต))
255, 24jaod 856 . 2 (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ต = โˆ… โˆจ (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o))) โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐ต))
2625imp 406 1 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ต = โˆ… โˆจ (๐ต = (ฯ‰ ยทo ๐ถ) โˆง ๐ถ โˆˆ (On โˆ– 1o)))) โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   โˆ– cdif 3940  โˆ…c0 4317  Oncon0 6357  Lim wlim 6358  suc csuc 6359  (class class class)co 7404  ฯ‰com 7851  1oc1o 8457   ยทo comu 8462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-omul 8469
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator