Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omnord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omnord1 42521
Description: When the same non-zero ordinal is multiplied on the right, ordering of the products is not equivalent to the ordering of the ordinals on the left. Remark 3.18 of [Schloeder] p. 10. (Contributed by RP, 4-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
omnord1 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (On โˆ– 1o) ยฌ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘))
Distinct variable group:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘

Proof of Theorem omnord1
StepHypRef Expression
1 omnord1ex 42520 . 2 ยฌ (1o โˆˆ 2o โ†” (1o ยทo ฯ‰) โˆˆ (2o ยทo ฯ‰))
2 1on 8484 . . 3 1o โˆˆ On
3 2on 8486 . . . 4 2o โˆˆ On
4 omelon 9647 . . . . . 6 ฯ‰ โˆˆ On
5 peano1 7883 . . . . . 6 โˆ… โˆˆ ฯ‰
6 ondif1 8507 . . . . . 6 (ฯ‰ โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†” (ฯ‰ โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰))
74, 5, 6mpbir2an 708 . . . . 5 ฯ‰ โˆˆ (On โˆ– 1o)
8 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ (1o ยทo ๐‘) = (1o ยทo ฯ‰))
9 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ (2o ยทo ๐‘) = (2o ยทo ฯ‰))
108, 9eleq12d 2826 . . . . . . . 8 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ ((1o ยทo ๐‘) โˆˆ (2o ยทo ๐‘) โ†” (1o ยทo ฯ‰) โˆˆ (2o ยทo ฯ‰)))
1110bibi2d 342 . . . . . . 7 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ ((1o โˆˆ 2o โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (2o ยทo ๐‘)) โ†” (1o โˆˆ 2o โ†” (1o ยทo ฯ‰) โˆˆ (2o ยทo ฯ‰))))
1211notbid 318 . . . . . 6 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ (ยฌ (1o โˆˆ 2o โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (2o ยทo ๐‘)) โ†” ยฌ (1o โˆˆ 2o โ†” (1o ยทo ฯ‰) โˆˆ (2o ยทo ฯ‰))))
1312rspcev 3612 . . . . 5 ((ฯ‰ โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ยฌ (1o โˆˆ 2o โ†” (1o ยทo ฯ‰) โˆˆ (2o ยทo ฯ‰))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (On โˆ– 1o) ยฌ (1o โˆˆ 2o โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (2o ยทo ๐‘)))
147, 13mpan 687 . . . 4 (ยฌ (1o โˆˆ 2o โ†” (1o ยทo ฯ‰) โˆˆ (2o ยทo ฯ‰)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (On โˆ– 1o) ยฌ (1o โˆˆ 2o โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (2o ยทo ๐‘)))
15 eleq2 2821 . . . . . . . 8 (๐‘ = 2o โ†’ (1o โˆˆ ๐‘ โ†” 1o โˆˆ 2o))
16 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘ = 2o โ†’ (๐‘ ยทo ๐‘) = (2o ยทo ๐‘))
1716eleq2d 2818 . . . . . . . 8 (๐‘ = 2o โ†’ ((1o ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘) โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (2o ยทo ๐‘)))
1815, 17bibi12d 345 . . . . . . 7 (๐‘ = 2o โ†’ ((1o โˆˆ ๐‘ โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘)) โ†” (1o โˆˆ 2o โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (2o ยทo ๐‘))))
1918notbid 318 . . . . . 6 (๐‘ = 2o โ†’ (ยฌ (1o โˆˆ ๐‘ โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘)) โ†” ยฌ (1o โˆˆ 2o โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (2o ยทo ๐‘))))
2019rexbidv 3177 . . . . 5 (๐‘ = 2o โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ (On โˆ– 1o) ยฌ (1o โˆˆ ๐‘ โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ (On โˆ– 1o) ยฌ (1o โˆˆ 2o โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (2o ยทo ๐‘))))
2120rspcev 3612 . . . 4 ((2o โˆˆ On โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ (On โˆ– 1o) ยฌ (1o โˆˆ 2o โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (2o ยทo ๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (On โˆ– 1o) ยฌ (1o โˆˆ ๐‘ โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘)))
223, 14, 21sylancr 586 . . 3 (ยฌ (1o โˆˆ 2o โ†” (1o ยทo ฯ‰) โˆˆ (2o ยทo ฯ‰)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (On โˆ– 1o) ยฌ (1o โˆˆ ๐‘ โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘)))
23 eleq1 2820 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = 1o โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โ†” 1o โˆˆ ๐‘))
24 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = 1o โ†’ (๐‘Ž ยทo ๐‘) = (1o ยทo ๐‘))
2524eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = 1o โ†’ ((๐‘Ž ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘) โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘)))
2623, 25bibi12d 345 . . . . . . 7 (๐‘Ž = 1o โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘)) โ†” (1o โˆˆ ๐‘ โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘))))
2726notbid 318 . . . . . 6 (๐‘Ž = 1o โ†’ (ยฌ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘)) โ†” ยฌ (1o โˆˆ ๐‘ โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘))))
2827rexbidv 3177 . . . . 5 (๐‘Ž = 1o โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ (On โˆ– 1o) ยฌ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ (On โˆ– 1o) ยฌ (1o โˆˆ ๐‘ โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘))))
2928rexbidv 3177 . . . 4 (๐‘Ž = 1o โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (On โˆ– 1o) ยฌ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (On โˆ– 1o) ยฌ (1o โˆˆ ๐‘ โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘))))
3029rspcev 3612 . . 3 ((1o โˆˆ On โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (On โˆ– 1o) ยฌ (1o โˆˆ ๐‘ โ†” (1o ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (On โˆ– 1o) ยฌ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘)))
312, 22, 30sylancr 586 . 2 (ยฌ (1o โˆˆ 2o โ†” (1o ยทo ฯ‰) โˆˆ (2o ยทo ฯ‰)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (On โˆ– 1o) ยฌ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘)))
321, 31ax-mp 5 1 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ (On โˆ– 1o) ยฌ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘Ž ยทo ๐‘) โˆˆ (๐‘ ยทo ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆƒwrex 3069   โˆ– cdif 3945  โˆ…c0 4322  Oncon0 6364  (class class class)co 7412  ฯ‰com 7859  1oc1o 8465  2oc2o 8466   ยทo comu 8470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-omul 8477
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator