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Theorem cantnftermord 42002
Description: For terms of the form of a power of omega times a non-zero natural number, ordering of the exponents implies ordering of the terms. Lemma 5.1 of [Schloeder] p. 15. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
cantnftermord (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴𝐵 → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷)))

Proof of Theorem cantnftermord
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ On)
2 onsuc 7793 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → suc 𝐴 ∈ On)
4 simpllr 775 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ On)
5 omelon 9636 . . . . . . 7 ω ∈ On
6 1onn 8634 . . . . . . 7 1o ∈ ω
7 ondif2 8496 . . . . . . 7 (ω ∈ (On ∖ 2o) ↔ (ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω))
85, 6, 7mpbir2an 710 . . . . . 6 ω ∈ (On ∖ 2o)
98a1i 11 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → ω ∈ (On ∖ 2o))
10 onsucss 41948 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1110ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1211imp 408 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → suc 𝐴𝐵)
13 oeword 8585 . . . . . 6 ((suc 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵)))
1413biimpa 478 . . . . 5 (((suc 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) ∧ suc 𝐴𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵))
153, 4, 9, 12, 14syl31anc 1374 . . . 4 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵))
165a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ω ∈ On)
17 oecl 8531 . . . . . . . . 9 ((ω ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ↑o 𝐵) ∈ On)
1816, 17sylancom 589 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ↑o 𝐵) ∈ On)
19 omsson 7853 . . . . . . . . . . . 12 ω ⊆ On
20 ssdif 4137 . . . . . . . . . . . 12 (ω ⊆ On → (ω ∖ 1o) ⊆ (On ∖ 1o))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ω ∖ 1o) ⊆ (On ∖ 1o)
2221sseli 3976 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝐷 ∈ (On ∖ 1o))
23 ondif1 8495 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
2422, 23sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (ω ∖ 1o) → (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
2524adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o)) → (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
2618, 25anim12i 614 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
2726adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
28 anass 470 . . . . . 6 ((((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷) ↔ ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
2927, 28sylibr 233 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → (((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷))
30 omword1 8568 . . . . 5 ((((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷) → (ω ↑o 𝐵) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
3129, 30syl 17 . . . 4 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → (ω ↑o 𝐵) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
3215, 31sstrd 3990 . . 3 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
335a1i 11 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → ω ∈ On)
341, 5jctil 521 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → (ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
35 oecl 8531 . . . . . 6 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ↑o 𝐴) ∈ On)
3634, 35syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → (ω ↑o 𝐴) ∈ On)
37 peano1 7873 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
38 oen0 8581 . . . . . 6 (((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴))
3934, 37, 38sylancl 587 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴))
40 simplrl 776 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ (ω ∖ 1o))
4140eldifad 3958 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ ω)
42 omordi 8561 . . . . . 6 (((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐴) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴)) → (𝐶 ∈ ω → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω)))
4342imp 408 . . . . 5 ((((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐴) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
4433, 36, 39, 41, 43syl1111anc 839 . . . 4 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
45 oesuc 8521 . . . . 5 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ↑o suc 𝐴) = ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
4634, 45syl 17 . . . 4 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) = ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
4744, 46eleqtrrd 2837 . . 3 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ (ω ↑o suc 𝐴))
4832, 47sseldd 3981 . 2 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
4948ex 414 1 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴𝐵 → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cdif 3943  wss 3946  c0 4320  Oncon0 6360  suc csuc 6362  (class class class)co 7403  ωcom 7849  1oc1o 8453  2oc2o 8454   ·o comu 8458  o coe 8459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-inf2 9631
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-oexp 8466
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