Theorem cantnftermord 43599

Description: For terms of the form of a power of omega times a non-zero natural number, ordering of the exponents implies ordering of the terms. Lemma 5.1 of [Schloeder] p. 15. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cantnftermord	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷)))

Proof of Theorem cantnftermord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
2		onsuc 7755	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → suc 𝐴 ∈ On)
4		simpllr 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
5		omelon 9557	. . . . . . 7 ⊢ ω ∈ On
6		1onn 8568	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ ω
7		ondif2 8429	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ (On ∖ 2o) ↔ (ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω))
8	5, 6, 7	mpbir2an 712	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ (On ∖ 2o)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ω ∈ (On ∖ 2o))
10		onsucss 43545	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	10	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
12	11	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → suc 𝐴 ⊆ 𝐵)
13		oeword 8518	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵)))
14	13	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((suc 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) ∧ suc 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵))
15	3, 4, 9, 12, 14	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵))
16	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ω ∈ On)
17		oecl 8464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ↑o 𝐵) ∈ On)
18	16, 17	sylancom 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ↑o 𝐵) ∈ On)
19		omsson 7812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ⊆ On
20		ssdif 4095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ⊆ On → (ω ∖ 1o) ⊆ (On ∖ 1o))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ω ∖ 1o) ⊆ (On ∖ 1o)
22	21	sseli 3928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝐷 ∈ (On ∖ 1o))
23		ondif1 8428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
24	22, 23	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (ω ∖ 1o) → (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
25	24	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o)) → (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
26	18, 25	anim12i 614	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
28		anass 468	. . . . . 6 ⊢ ((((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷) ↔ ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
29	27, 28	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷))
30		omword1 8500	. . . . 5 ⊢ ((((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷) → (ω ↑o 𝐵) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o 𝐵) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
32	15, 31	sstrd 3943	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
33	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ω ∈ On)
34	1, 5	jctil 519	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
35		oecl 8464	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ↑o 𝐴) ∈ On)
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o 𝐴) ∈ On)
37		peano1 7831	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
38		oen0 8514	. . . . . 6 ⊢ (((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴))
39	34, 37, 38	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴))
40		simplrl 777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (ω ∖ 1o))
41	40	eldifad 3912	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ω)
42		omordi 8493	. . . . . 6 ⊢ (((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐴) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴)) → (𝐶 ∈ ω → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω)))
43	42	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐴) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
44	33, 36, 39, 41, 43	syl1111anc 841	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
45		oesuc 8454	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ↑o suc 𝐴) = ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
46	34, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) = ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
47	44, 46	eleqtrrd 2838	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ (ω ↑o suc 𝐴))
48	32, 47	sseldd 3933	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
49	48	ex 412	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3897   ⊆ wss 3900  ∅c0 4284  Oncon0 6316  suc csuc 6318  (class class class)co 7358  ωcom 7808  1_oc1o 8390  2_oc2o 8391   ·_o comu 8395   ↑_o coe 8396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-oexp 8403

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