Theorem cantnftermord 43295

Description: For terms of the form of a power of omega times a non-zero natural number, ordering of the exponents implies ordering of the terms. Lemma 5.1 of [Schloeder] p. 15. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cantnftermord	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷)))

Proof of Theorem cantnftermord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
2		onsuc 7813	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → suc 𝐴 ∈ On)
4		simpllr 775	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
5		omelon 9668	. . . . . . 7 ⊢ ω ∈ On
6		1onn 8660	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ ω
7		ondif2 8522	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ (On ∖ 2o) ↔ (ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω))
8	5, 6, 7	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ (On ∖ 2o)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ω ∈ (On ∖ 2o))
10		onsucss 43241	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	10	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
12	11	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → suc 𝐴 ⊆ 𝐵)
13		oeword 8610	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵)))
14	13	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((suc 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) ∧ suc 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵))
15	3, 4, 9, 12, 14	syl31anc 1374	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵))
16	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ω ∈ On)
17		oecl 8557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ↑o 𝐵) ∈ On)
18	16, 17	sylancom 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ↑o 𝐵) ∈ On)
19		omsson 7873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ⊆ On
20		ssdif 4124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ⊆ On → (ω ∖ 1o) ⊆ (On ∖ 1o))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ω ∖ 1o) ⊆ (On ∖ 1o)
22	21	sseli 3959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝐷 ∈ (On ∖ 1o))
23		ondif1 8521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
24	22, 23	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (ω ∖ 1o) → (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
25	24	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o)) → (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
26	18, 25	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
28		anass 468	. . . . . 6 ⊢ ((((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷) ↔ ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
29	27, 28	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷))
30		omword1 8593	. . . . 5 ⊢ ((((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷) → (ω ↑o 𝐵) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o 𝐵) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
32	15, 31	sstrd 3974	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
33	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ω ∈ On)
34	1, 5	jctil 519	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
35		oecl 8557	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ↑o 𝐴) ∈ On)
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o 𝐴) ∈ On)
37		peano1 7892	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
38		oen0 8606	. . . . . 6 ⊢ (((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴))
39	34, 37, 38	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴))
40		simplrl 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (ω ∖ 1o))
41	40	eldifad 3943	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ω)
42		omordi 8586	. . . . . 6 ⊢ (((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐴) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴)) → (𝐶 ∈ ω → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω)))
43	42	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐴) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
44	33, 36, 39, 41, 43	syl1111anc 840	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
45		oesuc 8547	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ↑o suc 𝐴) = ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
46	34, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) = ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
47	44, 46	eleqtrrd 2836	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ (ω ↑o suc 𝐴))
48	32, 47	sseldd 3964	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
49	48	ex 412	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  Oncon0 6363  suc csuc 6365  (class class class)co 7413  ωcom 7869  1_oc1o 8481  2_oc2o 8482   ·_o comu 8486   ↑_o coe 8487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-omul 8493  df-oexp 8494

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