Theorem cantnftermord 44514

Description: For terms of the form of a power of omega times a nonzero natural number, ordering of the exponents implies ordering of the terms. Lemma 5.1 of [Schloeder] p. 15. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cantnftermord	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷)))

Proof of Theorem cantnftermord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
2		onsuc 7848	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → suc 𝐴 ∈ On)
4		simpllr 788	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
5		omelon 9674	. . . . . . 7 ⊢ ω ∈ On
6		1onn 8677	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ ω
7		ondif2 8538	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ (On ∖ 2o) ↔ (ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω))
8	5, 6, 7	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ (On ∖ 2o)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ω ∈ (On ∖ 2o))
10		onsucss 44460	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	10	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
12	11	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → suc 𝐴 ⊆ 𝐵)
13		oeword 8627	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵)))
14	13	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ (((suc 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) ∧ suc 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵))
15	3, 4, 9, 12, 14	syl31anc 1401	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵))
16	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ω ∈ On)
17		oecl 8573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ↑o 𝐵) ∈ On)
18	16, 17	sylancom 600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ↑o 𝐵) ∈ On)
19		omsson 7905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ⊆ On
20		ssdif 4083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ⊆ On → (ω ∖ 1o) ⊆ (On ∖ 1o))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ω ∖ 1o) ⊆ (On ∖ 1o)
22	21	sseli 3909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝐷 ∈ (On ∖ 1o))
23		ondif1 8537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
24	22, 23	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (ω ∖ 1o) → (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
25	24	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o)) → (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
26	18, 25	anim12i 625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
27	26	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
28		anass 474	. . . . . 6 ⊢ ((((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷) ↔ ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
29	27, 28	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷))
30		omword1 8609	. . . . 5 ⊢ ((((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷) → (ω ↑o 𝐵) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
31	29, 30	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o 𝐵) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
32	15, 31	sstrd 3923	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
33	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ω ∈ On)
34	1, 5	jctil 529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
35		oecl 8573	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ↑o 𝐴) ∈ On)
36	34, 35	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o 𝐴) ∈ On)
37		peano1 7924	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
38		oen0 8623	. . . . . 6 ⊢ (((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴))
39	34, 37, 38	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴))
40		simplrl 789	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (ω ∖ 1o))
41	40	eldifad 4054	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ω)
42		omordi 8602	. . . . . 6 ⊢ (((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐴) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴)) → (𝐶 ∈ ω → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω)))
43	42	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐴) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
44	33, 36, 39, 41, 43	syl1111anc 854	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
45		oesuc 8563	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ↑o suc 𝐴) = ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
46	34, 45	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) = ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
47	44, 46	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ (ω ↑o suc 𝐴))
48	32, 47	sseldd 3914	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
49	48	ex 418	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  Oncon0 6380  suc csuc 6382  (class class class)co 7443  ωcom 7901  1_oc1o 8497  2_oc2o 8498   ·_o comu 8502   ↑_o coe 8503

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-oexp 8510

This theorem is used by: (None)