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Theorem cantnftermord 43333
Description: For terms of the form of a power of omega times a non-zero natural number, ordering of the exponents implies ordering of the terms. Lemma 5.1 of [Schloeder] p. 15. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
cantnftermord (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴𝐵 → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷)))

Proof of Theorem cantnftermord
StepHypRef Expression
1 simplll 775 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ On)
2 onsuc 7831 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → suc 𝐴 ∈ On)
4 simpllr 776 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ On)
5 omelon 9686 . . . . . . 7 ω ∈ On
6 1onn 8678 . . . . . . 7 1o ∈ ω
7 ondif2 8540 . . . . . . 7 (ω ∈ (On ∖ 2o) ↔ (ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω))
85, 6, 7mpbir2an 711 . . . . . 6 ω ∈ (On ∖ 2o)
98a1i 11 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → ω ∈ (On ∖ 2o))
10 onsucss 43279 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1110ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1211imp 406 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → suc 𝐴𝐵)
13 oeword 8628 . . . . . 6 ((suc 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵)))
1413biimpa 476 . . . . 5 (((suc 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) ∧ suc 𝐴𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵))
153, 4, 9, 12, 14syl31anc 1375 . . . 4 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵))
165a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ω ∈ On)
17 oecl 8575 . . . . . . . . 9 ((ω ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ↑o 𝐵) ∈ On)
1816, 17sylancom 588 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ↑o 𝐵) ∈ On)
19 omsson 7891 . . . . . . . . . . . 12 ω ⊆ On
20 ssdif 4144 . . . . . . . . . . . 12 (ω ⊆ On → (ω ∖ 1o) ⊆ (On ∖ 1o))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ω ∖ 1o) ⊆ (On ∖ 1o)
2221sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝐷 ∈ (On ∖ 1o))
23 ondif1 8539 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
2422, 23sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (ω ∖ 1o) → (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
2524adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o)) → (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
2618, 25anim12i 613 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
2726adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
28 anass 468 . . . . . 6 ((((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷) ↔ ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
2927, 28sylibr 234 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → (((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷))
30 omword1 8611 . . . . 5 ((((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷) → (ω ↑o 𝐵) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
3129, 30syl 17 . . . 4 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → (ω ↑o 𝐵) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
3215, 31sstrd 3994 . . 3 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
335a1i 11 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → ω ∈ On)
341, 5jctil 519 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → (ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
35 oecl 8575 . . . . . 6 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ↑o 𝐴) ∈ On)
3634, 35syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → (ω ↑o 𝐴) ∈ On)
37 peano1 7910 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
38 oen0 8624 . . . . . 6 (((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴))
3934, 37, 38sylancl 586 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴))
40 simplrl 777 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ (ω ∖ 1o))
4140eldifad 3963 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ ω)
42 omordi 8604 . . . . . 6 (((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐴) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴)) → (𝐶 ∈ ω → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω)))
4342imp 406 . . . . 5 ((((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐴) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
4433, 36, 39, 41, 43syl1111anc 841 . . . 4 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
45 oesuc 8565 . . . . 5 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ↑o suc 𝐴) = ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
4634, 45syl 17 . . . 4 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) = ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
4744, 46eleqtrrd 2844 . . 3 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ (ω ↑o suc 𝐴))
4832, 47sseldd 3984 . 2 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
4948ex 412 1 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴𝐵 → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  Oncon0 6384  suc csuc 6386  (class class class)co 7431  ωcom 7887  1oc1o 8499  2oc2o 8500   ·o comu 8504  o coe 8505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-oexp 8512
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