Theorem cantnftermord 42002

Description: For terms of the form of a power of omega times a non-zero natural number, ordering of the exponents implies ordering of the terms. Lemma 5.1 of [Schloeder] p. 15. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cantnftermord	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷)))

Proof of Theorem cantnftermord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
2		onsuc 7793	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → suc 𝐴 ∈ On)
4		simpllr 775	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
5		omelon 9636	. . . . . . 7 ⊢ ω ∈ On
6		1onn 8634	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ ω
7		ondif2 8496	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ (On ∖ 2o) ↔ (ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω))
8	5, 6, 7	mpbir2an 710	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ (On ∖ 2o)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ω ∈ (On ∖ 2o))
10		onsucss 41948	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	10	ad2antlr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
12	11	imp 408	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → suc 𝐴 ⊆ 𝐵)
13		oeword 8585	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵)))
14	13	biimpa 478	. . . . 5 ⊢ (((suc 𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) ∧ suc 𝐴 ⊆ 𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵))
15	3, 4, 9, 12, 14	syl31anc 1374	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ (ω ↑o 𝐵))
16	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ω ∈ On)
17		oecl 8531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ↑o 𝐵) ∈ On)
18	16, 17	sylancom 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ↑o 𝐵) ∈ On)
19		omsson 7853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ⊆ On
20		ssdif 4137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ⊆ On → (ω ∖ 1o) ⊆ (On ∖ 1o))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ω ∖ 1o) ⊆ (On ∖ 1o)
22	21	sseli 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝐷 ∈ (On ∖ 1o))
23		ondif1 8495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
24	22, 23	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (ω ∖ 1o) → (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
25	24	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o)) → (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷))
26	18, 25	anim12i 614	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
27	26	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
28		anass 470	. . . . . 6 ⊢ ((((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷) ↔ ((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ (𝐷 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐷)))
29	27, 28	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷))
30		omword1 8568	. . . . 5 ⊢ ((((ω ↑o 𝐵) ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐷) → (ω ↑o 𝐵) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o 𝐵) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
32	15, 31	sstrd 3990	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) ⊆ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
33	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ω ∈ On)
34	1, 5	jctil 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
35		oecl 8531	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ↑o 𝐴) ∈ On)
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o 𝐴) ∈ On)
37		peano1 7873	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
38		oen0 8581	. . . . . 6 ⊢ (((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴))
39	34, 37, 38	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴))
40		simplrl 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (ω ∖ 1o))
41	40	eldifad 3958	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ω)
42		omordi 8561	. . . . . 6 ⊢ (((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐴) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴)) → (𝐶 ∈ ω → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω)))
43	42	imp 408	. . . . 5 ⊢ ((((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐴) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝐴)) ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
44	33, 36, 39, 41, 43	syl1111anc 839	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
45		oesuc 8521	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ↑o suc 𝐴) = ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
46	34, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ↑o suc 𝐴) = ((ω ↑o 𝐴) ·o ω))
47	44, 46	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ (ω ↑o suc 𝐴))
48	32, 47	sseldd 3981	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷))
49	48	ex 414	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝐶 ∈ (ω ∖ 1o) ∧ 𝐷 ∈ (ω ∖ 1o))) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((ω ↑o 𝐴) ·o 𝐶) ∈ ((ω ↑o 𝐵) ·o 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3943   ⊆ wss 3946  ∅c0 4320  Oncon0 6360  suc csuc 6362  (class class class)co 7403  ωcom 7849  1_oc1o 8453  2_oc2o 8454   ·_o comu 8458   ↑_o coe 8459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-inf2 9631

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-oexp 8466

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