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Theorem cnfcom3 8898
 Description: Any infinite ordinal 𝐵 is equinumerous to a power of ω. (We are being careful here to show explicit bijections rather than simple equinumerosity because we want a uniform construction for cnfcom3c 8900.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
cnfcom.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cnfcom.b (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
cnfcom.f 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
cnfcom.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cnfcom.h 𝐻 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅)
cnfcom.t 𝑇 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
cnfcom.m 𝑀 = ((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘)))
cnfcom.k 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑥)))
cnfcom.w 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
cnfcom3.1 (𝜑 → ω ⊆ 𝐵)
cnfcom.x 𝑋 = (𝑢 ∈ (𝐹𝑊), 𝑣 ∈ (ω ↑o 𝑊) ↦ (((𝐹𝑊) ·o 𝑣) +o 𝑢))
cnfcom.y 𝑌 = (𝑢 ∈ (𝐹𝑊), 𝑣 ∈ (ω ↑o 𝑊) ↦ (((ω ↑o 𝑊) ·o 𝑢) +o 𝑣))
cnfcom.n 𝑁 = ((𝑋𝑌) ∘ (𝑇‘dom 𝐺))
Assertion
Ref Expression
cnfcom3 (𝜑𝑁:𝐵1-1-onto→(ω ↑o 𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐴   𝑢,𝑘,𝑣,𝑥,𝑧   𝑥,𝑀   𝜑,𝑢,𝑣   𝑓,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧,𝐹   𝑢,𝐾,𝑣   𝑢,𝑇,𝑣,𝑧   𝑢,𝑊,𝑣,𝑥   𝑓,𝐺,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑓,𝐻,𝑢,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑣,𝑢,𝑓)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑣,𝑢,𝑓)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑣,𝑢,𝑓,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑓,𝑘)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑓,𝑘)   𝑌(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem cnfcom3
StepHypRef Expression
1 omelon 8840 . . . . . 6 ω ∈ On
2 cnfcom.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 suppssdm 7589 . . . . . . . . 9 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
61a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ω ∈ On)
75, 6, 2cantnff1o 8890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴))
8 f1ocnv 6403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) → (ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto𝑆)
9 f1of 6391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto𝑆(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
11 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
1210, 11ffvelrnd 6624 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)
134, 12syl5eqel 2863 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹𝑆)
145, 6, 2cantnfs 8860 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
1513, 14mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅))
1615simpld 490 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ω)
173, 16fssdm 6307 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐴)
18 cnfcom.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
19 ovex 6954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 supp ∅) ∈ V
20 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
2120oion 8730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 dom 𝐺 ∈ On
2322elexi 3415 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝐺 ∈ V
2423uniex 7230 . . . . . . . . . . . 12 dom 𝐺 ∈ V
2524sucid 6055 . . . . . . . . . . 11 dom 𝐺 ∈ suc dom 𝐺
26 cnfcom.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅)
27 cnfcom.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
28 cnfcom.m . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = ((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘)))
29 cnfcom.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑥)))
30 cnfcom3.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ω ⊆ 𝐵)
31 peano1 7363 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ ω
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∅ ∈ ω)
3330, 32sseldd 3822 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
345, 2, 11, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 18, 33cnfcom2lem 8895 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺)
3525, 34syl5eleqr 2866 . . . . . . . . . 10 (𝜑 dom 𝐺 ∈ dom 𝐺)
3620oif 8724 . . . . . . . . . . 11 𝐺:dom 𝐺⟶(𝐹 supp ∅)
3736ffvelrni 6622 . . . . . . . . . 10 ( dom 𝐺 ∈ dom 𝐺 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ (𝐹 supp ∅))
3835, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ (𝐹 supp ∅))
3918, 38syl5eqel 2863 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ (𝐹 supp ∅))
4017, 39sseldd 3822 . . . . . . 7 (𝜑𝑊𝐴)
41 onelon 6001 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑊𝐴) → 𝑊 ∈ On)
422, 40, 41syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ On)
43 oecl 7901 . . . . . 6 ((ω ∈ On ∧ 𝑊 ∈ On) → (ω ↑o 𝑊) ∈ On)
441, 42, 43sylancr 581 . . . . 5 (𝜑 → (ω ↑o 𝑊) ∈ On)
4516, 40ffvelrnd 6624 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑊) ∈ ω)
46 nnon 7349 . . . . . 6 ((𝐹𝑊) ∈ ω → (𝐹𝑊) ∈ On)
4745, 46syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑊) ∈ On)
48 cnfcom.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑢 ∈ (𝐹𝑊), 𝑣 ∈ (ω ↑o 𝑊) ↦ (((ω ↑o 𝑊) ·o 𝑢) +o 𝑣))
49 cnfcom.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑢 ∈ (𝐹𝑊), 𝑣 ∈ (ω ↑o 𝑊) ↦ (((𝐹𝑊) ·o 𝑣) +o 𝑢))
5048, 49omf1o 8351 . . . . 5 (((ω ↑o 𝑊) ∈ On ∧ (𝐹𝑊) ∈ On) → (𝑋𝑌):((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊))–1-1-onto→((𝐹𝑊) ·o (ω ↑o 𝑊)))
5144, 47, 50syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑌):((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊))–1-1-onto→((𝐹𝑊) ·o (ω ↑o 𝑊)))
5216ffnd 6292 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
53 0ex 5026 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ V
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∅ ∈ V)
55 elsuppfn 7584 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑊 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑊𝐴 ∧ (𝐹𝑊) ≠ ∅)))
5652, 2, 54, 55syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑊𝐴 ∧ (𝐹𝑊) ≠ ∅)))
57 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐴 ∧ (𝐹𝑊) ≠ ∅) → (𝐹𝑊) ≠ ∅)
5856, 57syl6bi 245 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝐹 supp ∅) → (𝐹𝑊) ≠ ∅))
5939, 58mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑊) ≠ ∅)
60 on0eln0 6031 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑊) ∈ On → (∅ ∈ (𝐹𝑊) ↔ (𝐹𝑊) ≠ ∅))
6145, 46, 603syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐹𝑊) ↔ (𝐹𝑊) ≠ ∅))
6259, 61mpbird 249 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ (𝐹𝑊))
635, 2, 11, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 18, 30cnfcom3lem 8897 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ (On ∖ 1o))
64 ondif1 7865 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝑊 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝑊))
6564simprbi 492 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (On ∖ 1o) → ∅ ∈ 𝑊)
6663, 65syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑊)
67 omabs 8011 . . . . . 6 ((((𝐹𝑊) ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝐹𝑊)) ∧ (𝑊 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝑊)) → ((𝐹𝑊) ·o (ω ↑o 𝑊)) = (ω ↑o 𝑊))
6845, 62, 42, 66, 67syl22anc 829 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑊) ·o (ω ↑o 𝑊)) = (ω ↑o 𝑊))
6968f1oeq3d 6388 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝑌):((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊))–1-1-onto→((𝐹𝑊) ·o (ω ↑o 𝑊)) ↔ (𝑋𝑌):((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊))–1-1-onto→(ω ↑o 𝑊)))
7051, 69mpbid 224 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑌):((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊))–1-1-onto→(ω ↑o 𝑊))
715, 2, 11, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 18, 33cnfcom2 8896 . . 3 (𝜑 → (𝑇‘dom 𝐺):𝐵1-1-onto→((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊)))
72 f1oco 6413 . . 3 (((𝑋𝑌):((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊))–1-1-onto→(ω ↑o 𝑊) ∧ (𝑇‘dom 𝐺):𝐵1-1-onto→((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊))) → ((𝑋𝑌) ∘ (𝑇‘dom 𝐺)):𝐵1-1-onto→(ω ↑o 𝑊))
7370, 71, 72syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∘ (𝑇‘dom 𝐺)):𝐵1-1-onto→(ω ↑o 𝑊))
74 cnfcom.n . . 3 𝑁 = ((𝑋𝑌) ∘ (𝑇‘dom 𝐺))
75 f1oeq1 6380 . . 3 (𝑁 = ((𝑋𝑌) ∘ (𝑇‘dom 𝐺)) → (𝑁:𝐵1-1-onto→(ω ↑o 𝑊) ↔ ((𝑋𝑌) ∘ (𝑇‘dom 𝐺)):𝐵1-1-onto→(ω ↑o 𝑊)))
7674, 75ax-mp 5 . 2 (𝑁:𝐵1-1-onto→(ω ↑o 𝑊) ↔ ((𝑋𝑌) ∘ (𝑇‘dom 𝐺)):𝐵1-1-onto→(ω ↑o 𝑊))
7773, 76sylibr 226 1 (𝜑𝑁:𝐵1-1-onto→(ω ↑o 𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  Vcvv 3398   ∖ cdif 3789   ∪ cun 3790   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  ∪ cuni 4671   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965   E cep 5265  ◡ccnv 5354  dom cdm 5355   ∘ ccom 5359  Oncon0 5976  suc csuc 5978   Fn wfn 6130  ⟶wf 6131  –1-1-onto→wf1o 6134  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↦ cmpt2 6924  ωcom 7343   supp csupp 7576  seq𝜔cseqom 7825  1oc1o 7836   +o coa 7840   ·o comu 7841   ↑o coe 7842   finSupp cfsupp 8563  OrdIsocoi 8703   CNF ccnf 8855 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-seqom 7826  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-oexp 7849  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-oi 8704  df-cnf 8856 This theorem is referenced by:  cnfcom3clem  8899
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