MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfcom3 9698
Description: Any infinite ordinal ๐ต is equinumerous to a power of ฯ‰. (We are being careful here to show explicit bijections rather than simple equinumerosity because we want a uniform construction for cnfcom3c 9700.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
cnfcom.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cnfcom.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
cnfcom.f ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)
cnfcom.g ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
cnfcom.h ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…)
cnfcom.t ๐‘‡ = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ๐พ), โˆ…)
cnfcom.m ๐‘€ = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
cnfcom.k ๐พ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
cnfcom.w ๐‘Š = (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)
cnfcom3.1 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โŠ† ๐ต)
cnfcom.x ๐‘‹ = (๐‘ข โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข))
cnfcom.y ๐‘Œ = (๐‘ข โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))
cnfcom.n ๐‘ = ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ))
Assertion
Ref Expression
cnfcom3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘ง,๐ด   ๐‘ข,๐‘˜,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐œ‘,๐‘ข,๐‘ฃ   ๐‘“,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ง,๐น   ๐‘ข,๐พ,๐‘ฃ   ๐‘ข,๐‘‡,๐‘ฃ,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘Š,๐‘ฃ,๐‘ฅ   ๐‘“,๐บ,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘“,๐ป,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“)   ๐ด(๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘“,๐‘˜)   ๐ป(๐‘ง,๐‘˜)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘€(๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘Š(๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘‹(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘Œ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘˜)

Proof of Theorem cnfcom3
StepHypRef Expression
1 omelon 9640 . . . . . 6 ฯ‰ โˆˆ On
2 cnfcom.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3 suppssdm 8161 . . . . . . . . 9 (๐น supp โˆ…) โŠ† dom ๐น
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . 12 ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
61a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โˆˆ On)
75, 6, 2cantnff1o 9690 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
8 f1ocnv 6845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
9 f1of 6833 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โŸถ๐‘†)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โŸถ๐‘†)
11 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
1210, 11ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต) โˆˆ ๐‘†)
134, 12eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
145, 6, 2cantnfs 9660 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘† โ†” (๐น:๐ดโŸถฯ‰ โˆง ๐น finSupp โˆ…)))
1513, 14mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐น:๐ดโŸถฯ‰ โˆง ๐น finSupp โˆ…))
1615simpld 495 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถฯ‰)
173, 16fssdm 6737 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โŠ† ๐ด)
18 cnfcom.w . . . . . . . . 9 ๐‘Š = (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)
19 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐น supp โˆ…) โˆˆ V
20 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
2120oion 9530 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐น supp โˆ…) โˆˆ V โ†’ dom ๐บ โˆˆ On)
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 dom ๐บ โˆˆ On
2322elexi 3493 . . . . . . . . . . . . 13 dom ๐บ โˆˆ V
2423uniex 7730 . . . . . . . . . . . 12 โˆช dom ๐บ โˆˆ V
2524sucid 6446 . . . . . . . . . . 11 โˆช dom ๐บ โˆˆ suc โˆช dom ๐บ
26 cnfcom.h . . . . . . . . . . . 12 ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…)
27 cnfcom.t . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‡ = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ๐พ), โˆ…)
28 cnfcom.m . . . . . . . . . . . 12 ๐‘€ = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
29 cnfcom.k . . . . . . . . . . . 12 ๐พ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
30 cnfcom3.1 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โŠ† ๐ต)
31 peano1 7878 . . . . . . . . . . . . . 14 โˆ… โˆˆ ฯ‰
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ฯ‰)
3330, 32sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
345, 2, 11, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 18, 33cnfcom2lem 9695 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ)
3525, 34eleqtrrid 2840 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆช dom ๐บ โˆˆ dom ๐บ)
3620oif 9524 . . . . . . . . . . 11 ๐บ:dom ๐บโŸถ(๐น supp โˆ…)
3736ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . 10 (โˆช dom ๐บ โˆˆ dom ๐บ โ†’ (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ) โˆˆ (๐น supp โˆ…))
3835, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ) โˆˆ (๐น supp โˆ…))
3918, 38eqeltrid 2837 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ (๐น supp โˆ…))
4017, 39sseldd 3983 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐ด)
41 onelon 6389 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Š โˆˆ On)
422, 40, 41syl2anc 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ On)
43 oecl 8536 . . . . . 6 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐‘Š โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆˆ On)
441, 42, 43sylancr 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆˆ On)
4516, 40ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ ฯ‰)
46 nnon 7860 . . . . . 6 ((๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ On)
4745, 46syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ On)
48 cnfcom.y . . . . . 6 ๐‘Œ = (๐‘ข โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))
49 cnfcom.x . . . . . 6 ๐‘‹ = (๐‘ข โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข))
5048, 49omf1o 9074 . . . . 5 (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆˆ On โˆง (๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ On) โ†’ (๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
5144, 47, 50syl2anc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
5216ffnd 6718 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น Fn ๐ด)
53 0ex 5307 . . . . . . . . . . 11 โˆ… โˆˆ V
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ V)
55 elsuppfn 8155 . . . . . . . . . 10 ((๐น Fn ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ V) โ†’ (๐‘Š โˆˆ (๐น supp โˆ…) โ†” (๐‘Š โˆˆ ๐ด โˆง (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…)))
5652, 2, 54, 55syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š โˆˆ (๐น supp โˆ…) โ†” (๐‘Š โˆˆ ๐ด โˆง (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…)))
57 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((๐‘Š โˆˆ ๐ด โˆง (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…)
5856, 57syl6bi 252 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š โˆˆ (๐น supp โˆ…) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…))
5939, 58mpd 15 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…)
60 on0eln0 6420 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š) โ†” (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…))
6145, 46, 603syl 18 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆ… โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š) โ†” (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…))
6259, 61mpbird 256 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š))
635, 2, 11, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 18, 30cnfcom3lem 9697 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ (On โˆ– 1o))
64 ondif1 8500 . . . . . . . 8 (๐‘Š โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†” (๐‘Š โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘Š))
6564simprbi 497 . . . . . . 7 (๐‘Š โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘Š)
6663, 65syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘Š)
67 omabs 8649 . . . . . 6 ((((๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š)) โˆง (๐‘Š โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘Š)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)) = (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
6845, 62, 42, 66, 67syl22anc 837 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)) = (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
6968f1oeq3d 6830 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)) โ†” (๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
7051, 69mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
715, 2, 11, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 18, 33cnfcom2 9696 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š)))
72 f1oco 6856 . . 3 (((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆง (๐‘‡โ€˜dom ๐บ):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))) โ†’ ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ)):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
7370, 71, 72syl2anc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ)):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
74 cnfcom.n . . 3 ๐‘ = ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ))
75 f1oeq1 6821 . . 3 (๐‘ = ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ)) โ†’ (๐‘:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†” ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ)):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
7674, 75ax-mp 5 . 2 (๐‘:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†” ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ)):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
7773, 76sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  Vcvv 3474   โˆ– cdif 3945   โˆช cun 3946   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  โˆช cuni 4908   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231   E cep 5579  โ—กccnv 5675  dom cdm 5676   โˆ˜ ccom 5680  Oncon0 6364  suc csuc 6366   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โˆˆ cmpo 7410  ฯ‰com 7854   supp csupp 8145  seqฯ‰cseqom 8446  1oc1o 8458   +o coa 8462   ยทo comu 8463   โ†‘o coe 8464   finSupp cfsupp 9360  OrdIsocoi 9503   CNF ccnf 9655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-seqom 8447  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-oexp 8471  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-cnf 9656
This theorem is referenced by:  cnfcom3clem  9699
  Copyright terms: Public domain W3C validator