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Theorem cnfcom3 9742
Description: Any infinite ordinal 𝐵 is equinumerous to a power of ω. (We are being careful here to show explicit bijections rather than simple equinumerosity because we want a uniform construction for cnfcom3c 9744.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
cnfcom.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cnfcom.b (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
cnfcom.f 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
cnfcom.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cnfcom.h 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅)
cnfcom.t 𝑇 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
cnfcom.m 𝑀 = ((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘)))
cnfcom.k 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑥)))
cnfcom.w 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
cnfcom3.1 (𝜑 → ω ⊆ 𝐵)
cnfcom.x 𝑋 = (𝑢 ∈ (𝐹𝑊), 𝑣 ∈ (ω ↑o 𝑊) ↦ (((𝐹𝑊) ·o 𝑣) +o 𝑢))
cnfcom.y 𝑌 = (𝑢 ∈ (𝐹𝑊), 𝑣 ∈ (ω ↑o 𝑊) ↦ (((ω ↑o 𝑊) ·o 𝑢) +o 𝑣))
cnfcom.n 𝑁 = ((𝑋𝑌) ∘ (𝑇‘dom 𝐺))
Assertion
Ref Expression
cnfcom3 (𝜑𝑁:𝐵1-1-onto→(ω ↑o 𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐴   𝑢,𝑘,𝑣,𝑥,𝑧   𝑥,𝑀   𝜑,𝑢,𝑣   𝑓,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧,𝐹   𝑢,𝐾,𝑣   𝑢,𝑇,𝑣,𝑧   𝑢,𝑊,𝑣,𝑥   𝑓,𝐺,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑓,𝐻,𝑢,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑣,𝑢,𝑓)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑣,𝑢,𝑓)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑣,𝑢,𝑓,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑓,𝑘)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑓,𝑘)   𝑌(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem cnfcom3
StepHypRef Expression
1 omelon 9684 . . . . . 6 ω ∈ On
2 cnfcom.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 suppssdm 8201 . . . . . . . . 9 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
61a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ω ∈ On)
75, 6, 2cantnff1o 9734 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴))
8 f1ocnv 6861 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑o 𝐴) → (ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto𝑆)
9 f1of 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)–1-1-onto𝑆(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑(ω CNF 𝐴):(ω ↑o 𝐴)⟶𝑆)
11 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑o 𝐴))
1210, 11ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)
134, 12eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹𝑆)
145, 6, 2cantnfs 9704 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
1513, 14mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅))
1615simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ω)
173, 16fssdm 6756 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐴)
18 cnfcom.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
19 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 supp ∅) ∈ V
20 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
2120oion 9574 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 dom 𝐺 ∈ On
2322elexi 3501 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝐺 ∈ V
2423uniex 7760 . . . . . . . . . . . 12 dom 𝐺 ∈ V
2524sucid 6468 . . . . . . . . . . 11 dom 𝐺 ∈ suc dom 𝐺
26 cnfcom.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +o 𝑧)), ∅)
27 cnfcom.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
28 cnfcom.m . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = ((ω ↑o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘)))
29 cnfcom.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +o 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +o 𝑥)))
30 cnfcom3.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ω ⊆ 𝐵)
31 peano1 7911 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ ω
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∅ ∈ ω)
3330, 32sseldd 3996 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
345, 2, 11, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 18, 33cnfcom2lem 9739 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺)
3525, 34eleqtrrid 2846 . . . . . . . . . 10 (𝜑 dom 𝐺 ∈ dom 𝐺)
3620oif 9568 . . . . . . . . . . 11 𝐺:dom 𝐺⟶(𝐹 supp ∅)
3736ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . 10 ( dom 𝐺 ∈ dom 𝐺 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ (𝐹 supp ∅))
3835, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ (𝐹 supp ∅))
3918, 38eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ (𝐹 supp ∅))
4017, 39sseldd 3996 . . . . . . 7 (𝜑𝑊𝐴)
41 onelon 6411 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑊𝐴) → 𝑊 ∈ On)
422, 40, 41syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ On)
43 oecl 8574 . . . . . 6 ((ω ∈ On ∧ 𝑊 ∈ On) → (ω ↑o 𝑊) ∈ On)
441, 42, 43sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (ω ↑o 𝑊) ∈ On)
4516, 40ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑊) ∈ ω)
46 nnon 7893 . . . . . 6 ((𝐹𝑊) ∈ ω → (𝐹𝑊) ∈ On)
4745, 46syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑊) ∈ On)
48 cnfcom.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑢 ∈ (𝐹𝑊), 𝑣 ∈ (ω ↑o 𝑊) ↦ (((ω ↑o 𝑊) ·o 𝑢) +o 𝑣))
49 cnfcom.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑢 ∈ (𝐹𝑊), 𝑣 ∈ (ω ↑o 𝑊) ↦ (((𝐹𝑊) ·o 𝑣) +o 𝑢))
5048, 49omf1o 9114 . . . . 5 (((ω ↑o 𝑊) ∈ On ∧ (𝐹𝑊) ∈ On) → (𝑋𝑌):((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊))–1-1-onto→((𝐹𝑊) ·o (ω ↑o 𝑊)))
5144, 47, 50syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑌):((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊))–1-1-onto→((𝐹𝑊) ·o (ω ↑o 𝑊)))
5216ffnd 6738 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
53 0ex 5313 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ V
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∅ ∈ V)
55 elsuppfn 8194 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑊 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑊𝐴 ∧ (𝐹𝑊) ≠ ∅)))
5652, 2, 54, 55syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑊𝐴 ∧ (𝐹𝑊) ≠ ∅)))
57 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐴 ∧ (𝐹𝑊) ≠ ∅) → (𝐹𝑊) ≠ ∅)
5856, 57biimtrdi 253 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝐹 supp ∅) → (𝐹𝑊) ≠ ∅))
5939, 58mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑊) ≠ ∅)
60 on0eln0 6442 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑊) ∈ On → (∅ ∈ (𝐹𝑊) ↔ (𝐹𝑊) ≠ ∅))
6145, 46, 603syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐹𝑊) ↔ (𝐹𝑊) ≠ ∅))
6259, 61mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ (𝐹𝑊))
635, 2, 11, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 18, 30cnfcom3lem 9741 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ (On ∖ 1o))
64 ondif1 8538 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝑊 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝑊))
6564simprbi 496 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (On ∖ 1o) → ∅ ∈ 𝑊)
6663, 65syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑊)
67 omabs 8688 . . . . . 6 ((((𝐹𝑊) ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝐹𝑊)) ∧ (𝑊 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝑊)) → ((𝐹𝑊) ·o (ω ↑o 𝑊)) = (ω ↑o 𝑊))
6845, 62, 42, 66, 67syl22anc 839 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑊) ·o (ω ↑o 𝑊)) = (ω ↑o 𝑊))
6968f1oeq3d 6846 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝑌):((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊))–1-1-onto→((𝐹𝑊) ·o (ω ↑o 𝑊)) ↔ (𝑋𝑌):((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊))–1-1-onto→(ω ↑o 𝑊)))
7051, 69mpbid 232 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑌):((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊))–1-1-onto→(ω ↑o 𝑊))
715, 2, 11, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 18, 33cnfcom2 9740 . . 3 (𝜑 → (𝑇‘dom 𝐺):𝐵1-1-onto→((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊)))
72 f1oco 6872 . . 3 (((𝑋𝑌):((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊))–1-1-onto→(ω ↑o 𝑊) ∧ (𝑇‘dom 𝐺):𝐵1-1-onto→((ω ↑o 𝑊) ·o (𝐹𝑊))) → ((𝑋𝑌) ∘ (𝑇‘dom 𝐺)):𝐵1-1-onto→(ω ↑o 𝑊))
7370, 71, 72syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∘ (𝑇‘dom 𝐺)):𝐵1-1-onto→(ω ↑o 𝑊))
74 cnfcom.n . . 3 𝑁 = ((𝑋𝑌) ∘ (𝑇‘dom 𝐺))
75 f1oeq1 6837 . . 3 (𝑁 = ((𝑋𝑌) ∘ (𝑇‘dom 𝐺)) → (𝑁:𝐵1-1-onto→(ω ↑o 𝑊) ↔ ((𝑋𝑌) ∘ (𝑇‘dom 𝐺)):𝐵1-1-onto→(ω ↑o 𝑊)))
7674, 75ax-mp 5 . 2 (𝑁:𝐵1-1-onto→(ω ↑o 𝑊) ↔ ((𝑋𝑌) ∘ (𝑇‘dom 𝐺)):𝐵1-1-onto→(ω ↑o 𝑊))
7773, 76sylibr 234 1 (𝜑𝑁:𝐵1-1-onto→(ω ↑o 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  c0 4339   cuni 4912   class class class wbr 5148  cmpt 5231   E cep 5588  ccnv 5688  dom cdm 5689  ccom 5693  Oncon0 6386  suc csuc 6388   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  ωcom 7887   supp csupp 8184  seqωcseqom 8486  1oc1o 8498   +o coa 8502   ·o comu 8503  o coe 8504   finSupp cfsupp 9399  OrdIsocoi 9547   CNF ccnf 9699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-seqom 8487  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-oexp 8511  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-cnf 9700
This theorem is referenced by:  cnfcom3clem  9743
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