MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfcom3 9701
Description: Any infinite ordinal ๐ต is equinumerous to a power of ฯ‰. (We are being careful here to show explicit bijections rather than simple equinumerosity because we want a uniform construction for cnfcom3c 9703.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
cnfcom.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cnfcom.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
cnfcom.f ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)
cnfcom.g ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
cnfcom.h ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…)
cnfcom.t ๐‘‡ = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ๐พ), โˆ…)
cnfcom.m ๐‘€ = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
cnfcom.k ๐พ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
cnfcom.w ๐‘Š = (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)
cnfcom3.1 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โŠ† ๐ต)
cnfcom.x ๐‘‹ = (๐‘ข โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข))
cnfcom.y ๐‘Œ = (๐‘ข โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))
cnfcom.n ๐‘ = ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ))
Assertion
Ref Expression
cnfcom3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘ง,๐ด   ๐‘ข,๐‘˜,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐œ‘,๐‘ข,๐‘ฃ   ๐‘“,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ง,๐น   ๐‘ข,๐พ,๐‘ฃ   ๐‘ข,๐‘‡,๐‘ฃ,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘Š,๐‘ฃ,๐‘ฅ   ๐‘“,๐บ,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘“,๐ป,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“)   ๐ด(๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘“,๐‘˜)   ๐ป(๐‘ง,๐‘˜)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘€(๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘Š(๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘‹(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘Œ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘˜)

Proof of Theorem cnfcom3
StepHypRef Expression
1 omelon 9643 . . . . . 6 ฯ‰ โˆˆ On
2 cnfcom.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3 suppssdm 8164 . . . . . . . . 9 (๐น supp โˆ…) โŠ† dom ๐น
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . 12 ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
61a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โˆˆ On)
75, 6, 2cantnff1o 9693 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
8 f1ocnv 6844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
9 f1of 6832 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โŸถ๐‘†)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โŸถ๐‘†)
11 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
1210, 11ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต) โˆˆ ๐‘†)
134, 12eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
145, 6, 2cantnfs 9663 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘† โ†” (๐น:๐ดโŸถฯ‰ โˆง ๐น finSupp โˆ…)))
1513, 14mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐น:๐ดโŸถฯ‰ โˆง ๐น finSupp โˆ…))
1615simpld 493 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถฯ‰)
173, 16fssdm 6736 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โŠ† ๐ด)
18 cnfcom.w . . . . . . . . 9 ๐‘Š = (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)
19 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐น supp โˆ…) โˆˆ V
20 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
2120oion 9533 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐น supp โˆ…) โˆˆ V โ†’ dom ๐บ โˆˆ On)
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 dom ๐บ โˆˆ On
2322elexi 3492 . . . . . . . . . . . . 13 dom ๐บ โˆˆ V
2423uniex 7733 . . . . . . . . . . . 12 โˆช dom ๐บ โˆˆ V
2524sucid 6445 . . . . . . . . . . 11 โˆช dom ๐บ โˆˆ suc โˆช dom ๐บ
26 cnfcom.h . . . . . . . . . . . 12 ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…)
27 cnfcom.t . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‡ = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ๐พ), โˆ…)
28 cnfcom.m . . . . . . . . . . . 12 ๐‘€ = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
29 cnfcom.k . . . . . . . . . . . 12 ๐พ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
30 cnfcom3.1 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โŠ† ๐ต)
31 peano1 7881 . . . . . . . . . . . . . 14 โˆ… โˆˆ ฯ‰
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ฯ‰)
3330, 32sseldd 3982 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
345, 2, 11, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 18, 33cnfcom2lem 9698 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ)
3525, 34eleqtrrid 2838 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆช dom ๐บ โˆˆ dom ๐บ)
3620oif 9527 . . . . . . . . . . 11 ๐บ:dom ๐บโŸถ(๐น supp โˆ…)
3736ffvelcdmi 7084 . . . . . . . . . 10 (โˆช dom ๐บ โˆˆ dom ๐บ โ†’ (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ) โˆˆ (๐น supp โˆ…))
3835, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ) โˆˆ (๐น supp โˆ…))
3918, 38eqeltrid 2835 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ (๐น supp โˆ…))
4017, 39sseldd 3982 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐ด)
41 onelon 6388 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Š โˆˆ On)
422, 40, 41syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ On)
43 oecl 8539 . . . . . 6 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐‘Š โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆˆ On)
441, 42, 43sylancr 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆˆ On)
4516, 40ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ ฯ‰)
46 nnon 7863 . . . . . 6 ((๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ On)
4745, 46syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ On)
48 cnfcom.y . . . . . 6 ๐‘Œ = (๐‘ข โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))
49 cnfcom.x . . . . . 6 ๐‘‹ = (๐‘ข โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข))
5048, 49omf1o 9077 . . . . 5 (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆˆ On โˆง (๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ On) โ†’ (๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
5144, 47, 50syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
5216ffnd 6717 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น Fn ๐ด)
53 0ex 5306 . . . . . . . . . . 11 โˆ… โˆˆ V
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ V)
55 elsuppfn 8158 . . . . . . . . . 10 ((๐น Fn ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ V) โ†’ (๐‘Š โˆˆ (๐น supp โˆ…) โ†” (๐‘Š โˆˆ ๐ด โˆง (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…)))
5652, 2, 54, 55syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š โˆˆ (๐น supp โˆ…) โ†” (๐‘Š โˆˆ ๐ด โˆง (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…)))
57 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘Š โˆˆ ๐ด โˆง (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…)
5856, 57syl6bi 252 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š โˆˆ (๐น supp โˆ…) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…))
5939, 58mpd 15 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…)
60 on0eln0 6419 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š) โ†” (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…))
6145, 46, 603syl 18 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆ… โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š) โ†” (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…))
6259, 61mpbird 256 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š))
635, 2, 11, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 18, 30cnfcom3lem 9700 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ (On โˆ– 1o))
64 ondif1 8503 . . . . . . . 8 (๐‘Š โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†” (๐‘Š โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘Š))
6564simprbi 495 . . . . . . 7 (๐‘Š โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘Š)
6663, 65syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘Š)
67 omabs 8652 . . . . . 6 ((((๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š)) โˆง (๐‘Š โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘Š)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)) = (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
6845, 62, 42, 66, 67syl22anc 835 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)) = (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
6968f1oeq3d 6829 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)) โ†” (๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
7051, 69mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
715, 2, 11, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 18, 33cnfcom2 9699 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š)))
72 f1oco 6855 . . 3 (((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆง (๐‘‡โ€˜dom ๐บ):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))) โ†’ ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ)):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
7370, 71, 72syl2anc 582 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ)):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
74 cnfcom.n . . 3 ๐‘ = ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ))
75 f1oeq1 6820 . . 3 (๐‘ = ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ)) โ†’ (๐‘:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†” ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ)):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
7674, 75ax-mp 5 . 2 (๐‘:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†” ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ)):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
7773, 76sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  Vcvv 3472   โˆ– cdif 3944   โˆช cun 3945   โŠ† wss 3947  โˆ…c0 4321  โˆช cuni 4907   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230   E cep 5578  โ—กccnv 5674  dom cdm 5675   โˆ˜ ccom 5679  Oncon0 6363  suc csuc 6365   Fn wfn 6537  โŸถwf 6538  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6541  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413  ฯ‰com 7857   supp csupp 8148  seqฯ‰cseqom 8449  1oc1o 8461   +o coa 8465   ยทo comu 8466   โ†‘o coe 8467   finSupp cfsupp 9363  OrdIsocoi 9506   CNF ccnf 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-seqom 8450  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-oexp 8474  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-cnf 9659
This theorem is referenced by:  cnfcom3clem  9702
  Copyright terms: Public domain W3C validator