MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfcom3 9645
Description: Any infinite ordinal ๐ต is equinumerous to a power of ฯ‰. (We are being careful here to show explicit bijections rather than simple equinumerosity because we want a uniform construction for cnfcom3c 9647.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
cnfcom.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cnfcom.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
cnfcom.f ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)
cnfcom.g ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
cnfcom.h ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…)
cnfcom.t ๐‘‡ = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ๐พ), โˆ…)
cnfcom.m ๐‘€ = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
cnfcom.k ๐พ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
cnfcom.w ๐‘Š = (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)
cnfcom3.1 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โŠ† ๐ต)
cnfcom.x ๐‘‹ = (๐‘ข โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข))
cnfcom.y ๐‘Œ = (๐‘ข โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))
cnfcom.n ๐‘ = ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ))
Assertion
Ref Expression
cnfcom3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘ง,๐ด   ๐‘ข,๐‘˜,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐œ‘,๐‘ข,๐‘ฃ   ๐‘“,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ง,๐น   ๐‘ข,๐พ,๐‘ฃ   ๐‘ข,๐‘‡,๐‘ฃ,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘Š,๐‘ฃ,๐‘ฅ   ๐‘“,๐บ,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘“,๐ป,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“)   ๐ด(๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘“,๐‘˜)   ๐ป(๐‘ง,๐‘˜)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘€(๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘Š(๐‘ง,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘‹(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘Œ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“,๐‘˜)

Proof of Theorem cnfcom3
StepHypRef Expression
1 omelon 9587 . . . . . 6 ฯ‰ โˆˆ On
2 cnfcom.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3 suppssdm 8109 . . . . . . . . 9 (๐น supp โˆ…) โŠ† dom ๐น
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . 12 ๐น = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘† = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
61a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โˆˆ On)
75, 6, 2cantnff1o 9637 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
8 f1ocnv 6797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ฯ‰ CNF ๐ด):๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
9 f1of 6785 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โŸถ๐‘†)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด):(ฯ‰ โ†‘o ๐ด)โŸถ๐‘†)
11 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด))
1210, 11ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐ต) โˆˆ ๐‘†)
134, 12eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
145, 6, 2cantnfs 9607 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘† โ†” (๐น:๐ดโŸถฯ‰ โˆง ๐น finSupp โˆ…)))
1513, 14mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐น:๐ดโŸถฯ‰ โˆง ๐น finSupp โˆ…))
1615simpld 496 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ดโŸถฯ‰)
173, 16fssdm 6689 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โŠ† ๐ด)
18 cnfcom.w . . . . . . . . 9 ๐‘Š = (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ)
19 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐น supp โˆ…) โˆˆ V
20 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
2120oion 9477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐น supp โˆ…) โˆˆ V โ†’ dom ๐บ โˆˆ On)
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 dom ๐บ โˆˆ On
2322elexi 3463 . . . . . . . . . . . . 13 dom ๐บ โˆˆ V
2423uniex 7679 . . . . . . . . . . . 12 โˆช dom ๐บ โˆˆ V
2524sucid 6400 . . . . . . . . . . 11 โˆช dom ๐บ โˆˆ suc โˆช dom ๐บ
26 cnfcom.h . . . . . . . . . . . 12 ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ง)), โˆ…)
27 cnfcom.t . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‡ = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ๐พ), โˆ…)
28 cnfcom.m . . . . . . . . . . . 12 ๐‘€ = ((ฯ‰ โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
29 cnfcom.k . . . . . . . . . . . 12 ๐พ = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (๐‘€ +o ๐‘ฅ)))
30 cnfcom3.1 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ฯ‰ โŠ† ๐ต)
31 peano1 7826 . . . . . . . . . . . . . 14 โˆ… โˆˆ ฯ‰
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ฯ‰)
3330, 32sseldd 3946 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
345, 2, 11, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 18, 33cnfcom2lem 9642 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ dom ๐บ = suc โˆช dom ๐บ)
3525, 34eleqtrrid 2841 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆช dom ๐บ โˆˆ dom ๐บ)
3620oif 9471 . . . . . . . . . . 11 ๐บ:dom ๐บโŸถ(๐น supp โˆ…)
3736ffvelcdmi 7035 . . . . . . . . . 10 (โˆช dom ๐บ โˆˆ dom ๐บ โ†’ (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ) โˆˆ (๐น supp โˆ…))
3835, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜โˆช dom ๐บ) โˆˆ (๐น supp โˆ…))
3918, 38eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ (๐น supp โˆ…))
4017, 39sseldd 3946 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐ด)
41 onelon 6343 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘Š โˆˆ On)
422, 40, 41syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ On)
43 oecl 8484 . . . . . 6 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐‘Š โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆˆ On)
441, 42, 43sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆˆ On)
4516, 40ffvelcdmd 7037 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ ฯ‰)
46 nnon 7809 . . . . . 6 ((๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ On)
4745, 46syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ On)
48 cnfcom.y . . . . . 6 ๐‘Œ = (๐‘ข โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))
49 cnfcom.x . . . . . 6 ๐‘‹ = (๐‘ข โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†ฆ (((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข))
5048, 49omf1o 9022 . . . . 5 (((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆˆ On โˆง (๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ On) โ†’ (๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
5144, 47, 50syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
5216ffnd 6670 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น Fn ๐ด)
53 0ex 5265 . . . . . . . . . . 11 โˆ… โˆˆ V
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ V)
55 elsuppfn 8103 . . . . . . . . . 10 ((๐น Fn ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ V) โ†’ (๐‘Š โˆˆ (๐น supp โˆ…) โ†” (๐‘Š โˆˆ ๐ด โˆง (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…)))
5652, 2, 54, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š โˆˆ (๐น supp โˆ…) โ†” (๐‘Š โˆˆ ๐ด โˆง (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…)))
57 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐‘Š โˆˆ ๐ด โˆง (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…)
5856, 57syl6bi 253 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š โˆˆ (๐น supp โˆ…) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…))
5939, 58mpd 15 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…)
60 on0eln0 6374 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š) โ†” (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…))
6145, 46, 603syl 18 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆ… โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š) โ†” (๐นโ€˜๐‘Š) โ‰  โˆ…))
6259, 61mpbird 257 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š))
635, 2, 11, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 18, 30cnfcom3lem 9644 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ (On โˆ– 1o))
64 ondif1 8448 . . . . . . . 8 (๐‘Š โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†” (๐‘Š โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘Š))
6564simprbi 498 . . . . . . 7 (๐‘Š โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘Š)
6663, 65syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘Š)
67 omabs 8598 . . . . . 6 ((((๐นโ€˜๐‘Š) โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ (๐นโ€˜๐‘Š)) โˆง (๐‘Š โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘Š)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)) = (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
6845, 62, 42, 66, 67syl22anc 838 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)) = (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
6968f1oeq3d 6782 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’((๐นโ€˜๐‘Š) ยทo (ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)) โ†” (๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
7051, 69mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
715, 2, 11, 4, 20, 26, 27, 28, 29, 18, 33cnfcom2 9643 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š)))
72 f1oco 6808 . . 3 (((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ):((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โˆง (๐‘‡โ€˜dom ๐บ):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’((ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) ยทo (๐นโ€˜๐‘Š))) โ†’ ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ)):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
7370, 71, 72syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ)):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
74 cnfcom.n . . 3 ๐‘ = ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ))
75 f1oeq1 6773 . . 3 (๐‘ = ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ)) โ†’ (๐‘:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†” ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ)):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š)))
7674, 75ax-mp 5 . 2 (๐‘:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š) โ†” ((๐‘‹ โˆ˜ โ—ก๐‘Œ) โˆ˜ (๐‘‡โ€˜dom ๐บ)):๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
7773, 76sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  Vcvv 3444   โˆ– cdif 3908   โˆช cun 3909   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283  โˆช cuni 4866   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189   E cep 5537  โ—กccnv 5633  dom cdm 5634   โˆ˜ ccom 5638  Oncon0 6318  suc csuc 6320   Fn wfn 6492  โŸถwf 6493  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6496  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โˆˆ cmpo 7360  ฯ‰com 7803   supp csupp 8093  seqฯ‰cseqom 8394  1oc1o 8406   +o coa 8410   ยทo comu 8411   โ†‘o coe 8412   finSupp cfsupp 9308  OrdIsocoi 9450   CNF ccnf 9602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-seqom 8395  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-oexp 8419  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-cnf 9603
This theorem is referenced by:  cnfcom3clem  9646
  Copyright terms: Public domain W3C validator