MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppcom 27995
Description: Commutativity rule for "opposite" Theorem 9.2 of [Schwabhauser] p. 67. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hpg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hpg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hpg.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
opphl.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
opphl.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
oppcom.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
oppcom.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
oppcom.o (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂𝐡)
Assertion
Ref Expression
oppcom (πœ‘ β†’ 𝐡𝑂𝐴)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,𝑏   𝐼,π‘Ž,𝑏   𝑃,π‘Ž,𝑏   𝑑,𝐴   𝑑,𝐡   𝑑,𝐷   𝑑,𝐺   𝑑,𝐿   𝑑,𝐼   𝑑,𝑂   𝑑,𝑃   πœ‘,𝑑   𝑑, βˆ’   𝑑,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)   𝐡(π‘Ž,𝑏)   𝐺(π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘Ž,𝑏)   βˆ’ (π‘Ž,𝑏)   𝑂(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem oppcom
StepHypRef Expression
1 oppcom.o . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂𝐡)
2 hpg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
3 hpg.d . . . . . . 7 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
4 hpg.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
5 hpg.o . . . . . . 7 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
6 oppcom.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
7 oppcom.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
82, 3, 4, 5, 6, 7islnopp 27990 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑂𝐡 ↔ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡))))
91, 8mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡)))
109simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷))
1110simprd 497 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)
1210simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
139simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
14 opphl.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
1514ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
166ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
17 opphl.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
1814adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
19 opphl.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2019adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
21 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
222, 17, 4, 18, 20, 21tglnpt 27800 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
2322adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
247ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
25 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
262, 3, 4, 15, 16, 23, 24, 25tgbtwncom 27739 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐴))
2714ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
287ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
2922adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
306ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
31 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐴))
322, 3, 4, 27, 28, 29, 30, 31tgbtwncom 27739 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
3326, 32impbida 800 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ↔ 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐴)))
3433rexbidva 3177 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐴)))
3513, 34mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐴))
3611, 12, 35jca31 516 . 2 (πœ‘ β†’ ((Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐴)))
372, 3, 4, 5, 7, 6islnopp 27990 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡𝑂𝐴 ↔ ((Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐴))))
3836, 37mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐡𝑂𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   class class class wbr 5149  {copab 5211  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  Itvcitv 27684  LineGclng 27685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-trkgc 27699  df-trkgb 27700  df-trkgcb 27701  df-trkg 27704
This theorem is referenced by:  opphllem2  27999  opphllem4  28001  opphllem5  28002  opphllem6  28003  lnperpex  28054
  Copyright terms: Public domain W3C validator