MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnperpex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnperpex 27787
Description: Existence of a perpendicular to a line 𝐿 at a given point 𝐴. Theorem 10.15 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmiopp.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
lmiopp.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
lmiopp.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
lmiopp.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
lmiopp.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
lmiopp.h (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
lmiopp.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmiopp.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
lnperpex.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
lnperpex.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑃)
lnperpex.1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
lnperpex (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝑄))
Distinct variable groups:   βˆ’ ,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   𝐴,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   𝐼,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   𝐿,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   𝑂,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   𝑄,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑

Proof of Theorem lnperpex
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmiopp.p . . . . . 6 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 lmiopp.m . . . . . 6 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 lmiopp.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 lmiopp.l . . . . . 6 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 lmiopp.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
65ad4antr 731 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 482 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 simprl 770 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
9 lmiopp.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10 lnperpex.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
111, 4, 3, 5, 9, 10tglnpt 27533 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1211ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1312ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
14 simprrl 780 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
154, 7, 14perpln1 27694 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
161, 3, 4, 7, 13, 8, 15tglnne 27612 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝐴 β‰  𝑝)
1716necomd 3000 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝑝 β‰  𝐴)
181, 3, 4, 7, 8, 13, 17tgelrnln 27614 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
199ad4antr 731 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2019adantr 482 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
211, 3, 4, 7, 8, 13, 17tglinecom 27619 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ (𝑝𝐿𝐴) = (𝐴𝐿𝑝))
2221, 14eqbrtrd 5132 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ (𝑝𝐿𝐴)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
231, 2, 3, 4, 7, 18, 20, 22perpcom 27697 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝑝𝐿𝐴))
24 simplr 768 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝑄𝑂𝑐)
25 lmiopp.o . . . . . . 7 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
26 lnperpex.q . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑃)
2726ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ 𝑄 ∈ 𝑃)
2827adantr 482 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝑄 ∈ 𝑃)
29 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ 𝑐 ∈ 𝑃)
3029adantr 482 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝑐 ∈ 𝑃)
31 simprrr 781 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝑐𝑂𝑝)
321, 2, 3, 25, 4, 20, 7, 30, 8, 31oppcom 27728 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝑝𝑂𝑐)
331, 3, 4, 25, 7, 20, 8, 28, 30, 32lnopp2hpgb 27747 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ (𝑄𝑂𝑐 ↔ 𝑝((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝑄))
3424, 33mpbid 231 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝑝((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝑄)
3523, 34jca 513 . . . 4 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝑄))
36 eqid 2737 . . . . 5 (hlGβ€˜πΊ) = (hlGβ€˜πΊ)
3710ad4antr 731 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
38 simpr 486 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ 𝑄𝑂𝑐)
391, 2, 3, 25, 4, 19, 6, 27, 29, 38oppne2 27726 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐷)
40 lmiopp.h . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
4140ad4antr 731 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
421, 2, 3, 25, 4, 19, 6, 36, 37, 29, 39, 41oppperpex 27737 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))
4335, 42reximddv 3169 . . 3 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝑄))
44 lnperpex.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 ∈ 𝐷)
451, 3, 4, 5, 9, 26, 25, 44hpgerlem 27749 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 𝑄𝑂𝑐)
4645ad2antrr 725 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 𝑄𝑂𝑐)
4743, 46r19.29a 3160 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝑄))
481, 3, 4, 5, 9, 10tglnpt2 27625 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝐴 β‰  𝑑)
4947, 48r19.29a 3160 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   βˆ– cdif 3912   class class class wbr 5110  {copab 5172  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  2c2 12215  Basecbs 17090  distcds 17149  TarskiGcstrkg 27411  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27415  Itvcitv 27417  LineGclng 27418  hlGchlg 27584  βŸ‚Gcperpg 27679  hpGchpg 27741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-s3 14745  df-trkgc 27432  df-trkgb 27433  df-trkgcb 27434  df-trkgld 27436  df-trkg 27437  df-cgrg 27495  df-leg 27567  df-hlg 27585  df-mir 27637  df-rag 27678  df-perpg 27680  df-hpg 27742
This theorem is referenced by:  trgcopy  27788
  Copyright terms: Public domain W3C validator