Theorem lnperpex 29051

Description: Existence of a perpendicular to a line 𝐿 at a given point 𝐴. Theorem 10.15 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmiopp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
lmiopp.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
lmiopp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
lmiopp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmiopp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
lmiopp.h	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmiopp.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmiopp.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
lnperpex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
lnperpex.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
lnperpex.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lnperpex	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))

Distinct variable groups:   − ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑄,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡

Proof of Theorem lnperpex

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmiopp.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		lmiopp.m	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		lmiopp.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		lmiopp.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		lmiopp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad4antr 744	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
9		lmiopp.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10		lnperpex.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
11	1, 4, 3, 5, 9, 10	tglnpt 28772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12	11	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		simprrl 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷)
15	4, 7, 14	perpln1 28937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
16	1, 3, 4, 7, 13, 8, 15	tglnne 28851	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐴 ≠ 𝑝)
17	16	necomd 3015	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝 ≠ 𝐴)
18	1, 3, 4, 7, 8, 13, 17	tgelrnln 28853	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
19	9	ad4antr 744	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
20	19	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
21	1, 3, 4, 7, 8, 13, 17	tglinecom 28858	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴) = (𝐴𝐿𝑝))
22	21, 14	eqbrtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)𝐷)
23	1, 2, 3, 4, 7, 18, 20, 22	perpcom 28940	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴))
24		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑄𝑂𝑐)
25		lmiopp.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
26		lnperpex.q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
27	26	ad4antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑄 ∈ 𝑃)
28	27	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑄 ∈ 𝑃)
29		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑐 ∈ 𝑃)
30	29	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
31		simprrr 793	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑐𝑂𝑝)
32	1, 2, 3, 25, 4, 20, 7, 30, 8, 31	oppcom 28971	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝𝑂𝑐)
33	1, 3, 4, 25, 7, 20, 8, 28, 30, 32	lnopp2hpgb 28990	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑄𝑂𝑐 ↔ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
34	24, 33	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄)
35	23, 34	jca 520	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
36		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
37	10	ad4antr 744	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐴 ∈ 𝐷)
38		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑄𝑂𝑐)
39	1, 2, 3, 25, 4, 19, 6, 27, 29, 38	oppne2 28969	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ¬ 𝑐 ∈ 𝐷)
40		lmiopp.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
41	40	ad4antr 744	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐺DimTarskiG≥2)
42	1, 2, 3, 25, 4, 19, 6, 36, 37, 29, 39, 41	oppperpex 28980	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))
43	35, 42	reximddv 3181	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
44		lnperpex.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐷)
45	1, 3, 4, 5, 9, 26, 25, 44	hpgerlem 28992	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝑄𝑂𝑐)
46	45	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝑄𝑂𝑐)
47	43, 46	r19.29a 3173	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
48	1, 3, 4, 5, 9, 10	tglnpt2 28876	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝐷 𝐴 ≠ 𝑑)
49	47, 48	r19.29a 3173	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3904   class class class wbr 5104  {copab 5166  ran crn 5652  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  2c2 12283  Basecbs 17257  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28650  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28654  Itvcitv 28656  LineGclng 28657  hlGchlg 28823  ⟂Gcperpg 28922  hpGchpg 28984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-hash 14355  df-word 14539  df-concat 14596  df-s1 14622  df-s2 14873  df-s3 14874  df-trkgc 28671  df-trkgb 28672  df-trkgcb 28673  df-trkgld 28675  df-trkg 28676  df-cgrg 28734  df-leg 28806  df-hlg 28824  df-mir 28880  df-rag 28921  df-perpg 28923  df-hpg 28985

This theorem is referenced by:  trgcopy  29052