Theorem lnperpex 26583

Description: Existence of a perpendicular to a line 𝐿 at a given point 𝐴. Theorem 10.15 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmiopp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
lmiopp.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
lmiopp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
lmiopp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmiopp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
lmiopp.h	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmiopp.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmiopp.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
lnperpex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
lnperpex.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
lnperpex.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lnperpex	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))

Distinct variable groups:   − ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑄,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡

Proof of Theorem lnperpex

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmiopp.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		lmiopp.m	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		lmiopp.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		lmiopp.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		lmiopp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad4antr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
9		lmiopp.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10		lnperpex.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
11	1, 4, 3, 5, 9, 10	tglnpt 26329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12	11	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	ad3antrrr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		simprrl 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷)
15	4, 7, 14	perpln1 26490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
16	1, 3, 4, 7, 13, 8, 15	tglnne 26408	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐴 ≠ 𝑝)
17	16	necomd 3071	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝 ≠ 𝐴)
18	1, 3, 4, 7, 8, 13, 17	tgelrnln 26410	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
19	9	ad4antr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
20	19	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
21	1, 3, 4, 7, 8, 13, 17	tglinecom 26415	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴) = (𝐴𝐿𝑝))
22	21, 14	eqbrtrd 5080	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)𝐷)
23	1, 2, 3, 4, 7, 18, 20, 22	perpcom 26493	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴))
24		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑄𝑂𝑐)
25		lmiopp.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
26		lnperpex.q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
27	26	ad4antr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑄 ∈ 𝑃)
28	27	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑄 ∈ 𝑃)
29		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑐 ∈ 𝑃)
30	29	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
31		simprrr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑐𝑂𝑝)
32	1, 2, 3, 25, 4, 20, 7, 30, 8, 31	oppcom 26524	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝𝑂𝑐)
33	1, 3, 4, 25, 7, 20, 8, 28, 30, 32	lnopp2hpgb 26543	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑄𝑂𝑐 ↔ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
34	24, 33	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄)
35	23, 34	jca 514	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
36		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
37	10	ad4antr 730	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐴 ∈ 𝐷)
38		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑄𝑂𝑐)
39	1, 2, 3, 25, 4, 19, 6, 27, 29, 38	oppne2 26522	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ¬ 𝑐 ∈ 𝐷)
40		lmiopp.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
41	40	ad4antr 730	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐺DimTarskiG≥2)
42	1, 2, 3, 25, 4, 19, 6, 36, 37, 29, 39, 41	oppperpex 26533	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))
43	35, 42	reximddv 3275	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
44		lnperpex.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐷)
45	1, 3, 4, 5, 9, 26, 25, 44	hpgerlem 26545	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝑄𝑂𝑐)
46	45	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝑄𝑂𝑐)
47	43, 46	r19.29a 3289	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
48	1, 3, 4, 5, 9, 10	tglnpt2 26421	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝐷 𝐴 ≠ 𝑑)
49	47, 48	r19.29a 3289	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139   ∖ cdif 3932   class class class wbr 5058  {copab 5120  ran crn 5550  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  2c2 11686  Basecbs 16477  distcds 16568  TarskiGcstrkg 26210  Dim_TarskiG≥cstrkgld 26214  Itvcitv 26216  LineGclng 26217  hlGchlg 26380  ⟂Gcperpg 26475  hpGchpg 26537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13917  df-s1 13944  df-s2 14204  df-s3 14205  df-trkgc 26228  df-trkgb 26229  df-trkgcb 26230  df-trkgld 26232  df-trkg 26233  df-cgrg 26291  df-leg 26363  df-hlg 26381  df-mir 26433  df-rag 26474  df-perpg 26476  df-hpg 26538

This theorem is referenced by:  trgcopy  26584