MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnperpex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnperpex 28811
Description: Existence of a perpendicular to a line 𝐿 at a given point 𝐴. Theorem 10.15 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmiopp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
lmiopp.m = (dist‘𝐺)
lmiopp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
lmiopp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmiopp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
lmiopp.h (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmiopp.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmiopp.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
lnperpex.a (𝜑𝐴𝐷)
lnperpex.q (𝜑𝑄𝑃)
lnperpex.1 (𝜑 → ¬ 𝑄𝐷)
Assertion
Ref Expression
lnperpex (𝜑 → ∃𝑝𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
Distinct variable groups:   ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑄,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡

Proof of Theorem lnperpex
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmiopp.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 lmiopp.m . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
3 lmiopp.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 lmiopp.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 lmiopp.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65ad4antr 732 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 480 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 simprl 771 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝𝑃)
9 lmiopp.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
10 lnperpex.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐷)
111, 4, 3, 5, 9, 10tglnpt 28557 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑃)
1211ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) → 𝐴𝑃)
1312ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝐴𝑃)
14 simprrl 781 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷)
154, 7, 14perpln1 28718 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
161, 3, 4, 7, 13, 8, 15tglnne 28636 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝐴𝑝)
1716necomd 2996 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝𝐴)
181, 3, 4, 7, 8, 13, 17tgelrnln 28638 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
199ad4antr 732 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
211, 3, 4, 7, 8, 13, 17tglinecom 28643 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴) = (𝐴𝐿𝑝))
2221, 14eqbrtrd 5165 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)𝐷)
231, 2, 3, 4, 7, 18, 20, 22perpcom 28721 . . . . 5 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴))
24 simplr 769 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝑄𝑂𝑐)
25 lmiopp.o . . . . . . 7 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
26 lnperpex.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄𝑃)
2726ad4antr 732 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑄𝑃)
2827adantr 480 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝑄𝑃)
29 simplr 769 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑐𝑃)
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝑐𝑃)
31 simprrr 782 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝑐𝑂𝑝)
321, 2, 3, 25, 4, 20, 7, 30, 8, 31oppcom 28752 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝𝑂𝑐)
331, 3, 4, 25, 7, 20, 8, 28, 30, 32lnopp2hpgb 28771 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → (𝑄𝑂𝑐𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
3424, 33mpbid 232 . . . . 5 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄)
3523, 34jca 511 . . . 4 ((((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
36 eqid 2737 . . . . 5 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
3710ad4antr 732 . . . . 5 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐴𝐷)
38 simpr 484 . . . . . 6 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑄𝑂𝑐)
391, 2, 3, 25, 4, 19, 6, 27, 29, 38oppne2 28750 . . . . 5 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ¬ 𝑐𝐷)
40 lmiopp.h . . . . . 6 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
4140ad4antr 732 . . . . 5 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐺DimTarskiG≥2)
421, 2, 3, 25, 4, 19, 6, 36, 37, 29, 39, 41oppperpex 28761 . . . 4 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝑐𝑂𝑝))
4335, 42reximddv 3171 . . 3 (((((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ∃𝑝𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
44 lnperpex.1 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑄𝐷)
451, 3, 4, 5, 9, 26, 25, 44hpgerlem 28773 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 𝑄𝑂𝑐)
4645ad2antrr 726 . . 3 (((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) → ∃𝑐𝑃 𝑄𝑂𝑐)
4743, 46r19.29a 3162 . 2 (((𝜑𝑑𝐷) ∧ 𝐴𝑑) → ∃𝑝𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
481, 3, 4, 5, 9, 10tglnpt2 28649 . 2 (𝜑 → ∃𝑑𝐷 𝐴𝑑)
4947, 48r19.29a 3162 1 (𝜑 → ∃𝑝𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cdif 3948   class class class wbr 5143  {copab 5205  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  2c2 12321  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  DimTarskiGcstrkgld 28439  Itvcitv 28441  LineGclng 28442  hlGchlg 28608  ⟂Gcperpg 28703  hpGchpg 28765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkgld 28460  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-leg 28591  df-hlg 28609  df-mir 28661  df-rag 28702  df-perpg 28704  df-hpg 28766
This theorem is referenced by:  trgcopy  28812
  Copyright terms: Public domain W3C validator