Theorem lnperpex 28896

Description: Existence of a perpendicular to a line 𝐿 at a given point 𝐴. Theorem 10.15 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmiopp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
lmiopp.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
lmiopp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
lmiopp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmiopp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
lmiopp.h	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmiopp.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmiopp.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
lnperpex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
lnperpex.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
lnperpex.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lnperpex	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))

Distinct variable groups:   − ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑄,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡

Proof of Theorem lnperpex

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmiopp.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		lmiopp.m	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		lmiopp.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		lmiopp.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		lmiopp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad4antr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		simprl 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
9		lmiopp.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10		lnperpex.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
11	1, 4, 3, 5, 9, 10	tglnpt 28642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12	11	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	ad3antrrr 736	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		simprrl 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷)
15	4, 7, 14	perpln1 28803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
16	1, 3, 4, 7, 13, 8, 15	tglnne 28721	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐴 ≠ 𝑝)
17	16	necomd 2990	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝 ≠ 𝐴)
18	1, 3, 4, 7, 8, 13, 17	tgelrnln 28723	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
19	9	ad4antr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
20	19	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
21	1, 3, 4, 7, 8, 13, 17	tglinecom 28728	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴) = (𝐴𝐿𝑝))
22	21, 14	eqbrtrd 5101	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)𝐷)
23	1, 2, 3, 4, 7, 18, 20, 22	perpcom 28806	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴))
24		simplr 774	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑄𝑂𝑐)
25		lmiopp.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
26		lnperpex.q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
27	26	ad4antr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑄 ∈ 𝑃)
28	27	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑄 ∈ 𝑃)
29		simplr 774	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑐 ∈ 𝑃)
30	29	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
31		simprrr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑐𝑂𝑝)
32	1, 2, 3, 25, 4, 20, 7, 30, 8, 31	oppcom 28837	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝𝑂𝑐)
33	1, 3, 4, 25, 7, 20, 8, 28, 30, 32	lnopp2hpgb 28856	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑄𝑂𝑐 ↔ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
34	24, 33	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄)
35	23, 34	jca 516	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
36		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
37	10	ad4antr 738	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐴 ∈ 𝐷)
38		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑄𝑂𝑐)
39	1, 2, 3, 25, 4, 19, 6, 27, 29, 38	oppne2 28835	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ¬ 𝑐 ∈ 𝐷)
40		lmiopp.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
41	40	ad4antr 738	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐺DimTarskiG≥2)
42	1, 2, 3, 25, 4, 19, 6, 36, 37, 29, 39, 41	oppperpex 28846	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))
43	35, 42	reximddv 3156	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
44		lnperpex.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐷)
45	1, 3, 4, 5, 9, 26, 25, 44	hpgerlem 28858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝑄𝑂𝑐)
46	45	ad2antrr 732	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝑄𝑂𝑐)
47	43, 46	r19.29a 3148	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
48	1, 3, 4, 5, 9, 10	tglnpt2 28734	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝐷 𝐴 ≠ 𝑑)
49	47, 48	r19.29a 3148	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3887   class class class wbr 5079  {copab 5141  ran crn 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  2c2 12234  Basecbs 17177  distcds 17227  TarskiGcstrkg 28520  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28524  Itvcitv 28526  LineGclng 28527  hlGchlg 28693  ⟂Gcperpg 28788  hpGchpg 28850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-s1 14557  df-s2 14808  df-s3 14809  df-trkgc 28541  df-trkgb 28542  df-trkgcb 28543  df-trkgld 28545  df-trkg 28546  df-cgrg 28604  df-leg 28676  df-hlg 28694  df-mir 28746  df-rag 28787  df-perpg 28789  df-hpg 28851

This theorem is referenced by:  trgcopy  28897