Theorem lnperpex 28829

Description: Existence of a perpendicular to a line 𝐿 at a given point 𝐴. Theorem 10.15 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmiopp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
lmiopp.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
lmiopp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
lmiopp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmiopp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
lmiopp.h	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmiopp.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmiopp.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
lnperpex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
lnperpex.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
lnperpex.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lnperpex	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))

Distinct variable groups:   − ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑄,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡

Proof of Theorem lnperpex

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmiopp.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		lmiopp.m	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		lmiopp.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		lmiopp.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		lmiopp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad4antr 731	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
9		lmiopp.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10		lnperpex.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
11	1, 4, 3, 5, 9, 10	tglnpt 28575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12	11	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		simprrl 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷)
15	4, 7, 14	perpln1 28736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
16	1, 3, 4, 7, 13, 8, 15	tglnne 28654	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐴 ≠ 𝑝)
17	16	necomd 3002	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝 ≠ 𝐴)
18	1, 3, 4, 7, 8, 13, 17	tgelrnln 28656	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
19	9	ad4antr 731	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
21	1, 3, 4, 7, 8, 13, 17	tglinecom 28661	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴) = (𝐴𝐿𝑝))
22	21, 14	eqbrtrd 5188	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)𝐷)
23	1, 2, 3, 4, 7, 18, 20, 22	perpcom 28739	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴))
24		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑄𝑂𝑐)
25		lmiopp.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
26		lnperpex.q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
27	26	ad4antr 731	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑄 ∈ 𝑃)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑄 ∈ 𝑃)
29		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑐 ∈ 𝑃)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
31		simprrr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑐𝑂𝑝)
32	1, 2, 3, 25, 4, 20, 7, 30, 8, 31	oppcom 28770	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝𝑂𝑐)
33	1, 3, 4, 25, 7, 20, 8, 28, 30, 32	lnopp2hpgb 28789	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑄𝑂𝑐 ↔ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
34	24, 33	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄)
35	23, 34	jca 511	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
36		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
37	10	ad4antr 731	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐴 ∈ 𝐷)
38		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑄𝑂𝑐)
39	1, 2, 3, 25, 4, 19, 6, 27, 29, 38	oppne2 28768	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ¬ 𝑐 ∈ 𝐷)
40		lmiopp.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
41	40	ad4antr 731	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐺DimTarskiG≥2)
42	1, 2, 3, 25, 4, 19, 6, 36, 37, 29, 39, 41	oppperpex 28779	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))
43	35, 42	reximddv 3177	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
44		lnperpex.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐷)
45	1, 3, 4, 5, 9, 26, 25, 44	hpgerlem 28791	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝑄𝑂𝑐)
46	45	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝑄𝑂𝑐)
47	43, 46	r19.29a 3168	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
48	1, 3, 4, 5, 9, 10	tglnpt2 28667	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝐷 𝐴 ≠ 𝑑)
49	47, 48	r19.29a 3168	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ∖ cdif 3973   class class class wbr 5166  {copab 5228  ran crn 5701  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  2c2 12348  Basecbs 17258  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28453  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28457  Itvcitv 28459  LineGclng 28460  hlGchlg 28626  ⟂Gcperpg 28721  hpGchpg 28783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-s2 14897  df-s3 14898  df-trkgc 28474  df-trkgb 28475  df-trkgcb 28476  df-trkgld 28478  df-trkg 28479  df-cgrg 28537  df-leg 28609  df-hlg 28627  df-mir 28679  df-rag 28720  df-perpg 28722  df-hpg 28784

This theorem is referenced by:  trgcopy  28830