MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnperpex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnperpex 28054
Description: Existence of a perpendicular to a line 𝐿 at a given point 𝐴. Theorem 10.15 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmiopp.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
lmiopp.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
lmiopp.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
lmiopp.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
lmiopp.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
lmiopp.h (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
lmiopp.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmiopp.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
lnperpex.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
lnperpex.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑃)
lnperpex.1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
lnperpex (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝑄))
Distinct variable groups:   βˆ’ ,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   𝐴,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   𝐼,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   𝐿,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   𝑂,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   𝑄,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑝,𝑑

Proof of Theorem lnperpex
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmiopp.p . . . . . 6 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 lmiopp.m . . . . . 6 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 lmiopp.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 lmiopp.l . . . . . 6 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 lmiopp.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
65ad4antr 731 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 482 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 simprl 770 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
9 lmiopp.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10 lnperpex.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
111, 4, 3, 5, 9, 10tglnpt 27800 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1211ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1312ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
14 simprrl 780 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
154, 7, 14perpln1 27961 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
161, 3, 4, 7, 13, 8, 15tglnne 27879 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝐴 β‰  𝑝)
1716necomd 2997 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝑝 β‰  𝐴)
181, 3, 4, 7, 8, 13, 17tgelrnln 27881 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
199ad4antr 731 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2019adantr 482 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
211, 3, 4, 7, 8, 13, 17tglinecom 27886 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ (𝑝𝐿𝐴) = (𝐴𝐿𝑝))
2221, 14eqbrtrd 5171 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ (𝑝𝐿𝐴)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
231, 2, 3, 4, 7, 18, 20, 22perpcom 27964 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝑝𝐿𝐴))
24 simplr 768 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝑄𝑂𝑐)
25 lmiopp.o . . . . . . 7 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
26 lnperpex.q . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑃)
2726ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ 𝑄 ∈ 𝑃)
2827adantr 482 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝑄 ∈ 𝑃)
29 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ 𝑐 ∈ 𝑃)
3029adantr 482 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝑐 ∈ 𝑃)
31 simprrr 781 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝑐𝑂𝑝)
321, 2, 3, 25, 4, 20, 7, 30, 8, 31oppcom 27995 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝑝𝑂𝑐)
331, 3, 4, 25, 7, 20, 8, 28, 30, 32lnopp2hpgb 28014 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ (𝑄𝑂𝑐 ↔ 𝑝((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝑄))
3424, 33mpbid 231 . . . . 5 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ 𝑝((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝑄)
3523, 34jca 513 . . . 4 ((((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝑄))
36 eqid 2733 . . . . 5 (hlGβ€˜πΊ) = (hlGβ€˜πΊ)
3710ad4antr 731 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
38 simpr 486 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ 𝑄𝑂𝑐)
391, 2, 3, 25, 4, 19, 6, 27, 29, 38oppne2 27993 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐷)
40 lmiopp.h . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
4140ad4antr 731 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
421, 2, 3, 25, 4, 19, 6, 36, 37, 29, 39, 41oppperpex 28004 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))
4335, 42reximddv 3172 . . 3 (((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝑄))
44 lnperpex.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑄 ∈ 𝐷)
451, 3, 4, 5, 9, 26, 25, 44hpgerlem 28016 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 𝑄𝑂𝑐)
4645ad2antrr 725 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 𝑄𝑂𝑐)
4743, 46r19.29a 3163 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝑑) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝑄))
481, 3, 4, 5, 9, 10tglnpt2 27892 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝐴 β‰  𝑑)
4947, 48r19.29a 3163 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   class class class wbr 5149  {copab 5211  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  2c2 12267  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27682  Itvcitv 27684  LineGclng 27685  hlGchlg 27851  βŸ‚Gcperpg 27946  hpGchpg 28008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 27699  df-trkgb 27700  df-trkgcb 27701  df-trkgld 27703  df-trkg 27704  df-cgrg 27762  df-leg 27834  df-hlg 27852  df-mir 27904  df-rag 27945  df-perpg 27947  df-hpg 28009
This theorem is referenced by:  trgcopy  28055
  Copyright terms: Public domain W3C validator