Theorem lnperpex 29316

Description: Existence of a perpendicular to a line 𝐿 at a given point 𝐴. Theorem 10.15 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmiopp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
lmiopp.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
lmiopp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
lmiopp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmiopp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
lmiopp.h	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmiopp.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmiopp.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
lnperpex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
lnperpex.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
lnperpex.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lnperpex	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))

Distinct variable groups:   − ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝑄,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑡

Proof of Theorem lnperpex

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmiopp.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		lmiopp.m	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		lmiopp.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		lmiopp.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		lmiopp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
9		lmiopp.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10		lnperpex.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
11	1, 4, 3, 5, 9, 10	tglnpt 29019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12	11	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		simprrl 793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷)
15	4, 7, 14	perpln1 29192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
16	1, 3, 4, 7, 13, 8, 15	tglnne 29103	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐴 ≠ 𝑝)
17	16	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝 ≠ 𝐴)
18	1, 3, 4, 7, 8, 13, 17	tgelrnln 29105	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
19	9	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
21	1, 3, 4, 7, 8, 13, 17	tglinecom 29110	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴) = (𝐴𝐿𝑝))
22	21, 14	eqbrtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)𝐷)
23	1, 2, 3, 4, 7, 18, 20, 22	perpcom 29195	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴))
24		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑄𝑂𝑐)
25		lmiopp.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
26		lnperpex.q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
27	26	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑄 ∈ 𝑃)
28	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑄 ∈ 𝑃)
29		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑐 ∈ 𝑃)
30	29	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑐 ∈ 𝑃)
31		simprrr 794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑐𝑂𝑝)
32	1, 2, 3, 25, 4, 20, 7, 30, 8, 31	oppcom 29227	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝𝑂𝑐)
33	1, 3, 4, 25, 7, 20, 8, 28, 30, 32	lnopp2hpgb 29248	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝑄𝑂𝑐 ↔ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
34	24, 33	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄)
35	23, 34	jca 521	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
36		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
37	10	ad4antr 745	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐴 ∈ 𝐷)
38		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝑄𝑂𝑐)
39	1, 2, 3, 25, 4, 19, 6, 27, 29, 38	oppne2 29225	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ¬ 𝑐 ∈ 𝐷)
40		lmiopp.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
41	40	ad4antr 745	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → 𝐺DimTarskiG≥2)
42	1, 2, 3, 25, 4, 19, 6, 36, 37, 29, 39, 41	oppperpex 29236	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝑐𝑂𝑝))
43	35, 42	reximddv 3178	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑄𝑂𝑐) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
44		lnperpex.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ 𝐷)
45	1, 3, 4, 5, 9, 26, 25, 44	hpgerlem 29250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝑄𝑂𝑐)
46	45	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝑄𝑂𝑐)
47	43, 46	r19.29a 3170	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑑) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))
48	1, 3, 4, 5, 9, 10	tglnpt2 29128	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ 𝐷 𝐴 ≠ 𝑑)
49	47, 48	r19.29a 3170	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴) ∧ 𝑝((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝑄))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4044   class class class wbr 5102  {copab 5166  ran crn 5651  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  2c2 12402  Basecbs 17394  distcds 17444  TarskiGcstrkg 28896  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28900  Itvcitv 28902  LineGclng 28903  hlGchlg 29070  ⟂Gcperpg 29177  hpGchpg 29242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-oadd 8485  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-dju 9987  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-hash 14480  df-word 14664  df-concat 14721  df-s1 14748  df-s2 15005  df-s3 15006  df-trkgc 28917  df-trkgb 28918  df-trkgcb 28919  df-trkgld 28921  df-trkg 28922  df-cgrg 28981  df-leg 29053  df-hlg 29071  df-mir 29132  df-rag 29176  df-perpg 29178  df-hpg 29243

This theorem is used by:  lnperpexs  29317  trgcopy  29318