MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opphllem4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem opphllem4 28265
Description: Lemma for opphl 28269. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hpg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hpg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hpg.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
opphl.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
opphl.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
opphllem5.n 𝑁 = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘€)
opphllem5.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
opphllem5.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
opphllem5.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
opphllem5.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐷)
opphllem5.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
opphllem5.o (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂𝐢)
opphllem5.p (πœ‘ β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑅))
opphllem5.q (πœ‘ β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿𝑆))
opphllem3.t (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  𝑆)
opphllem3.l (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴))
opphllem3.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
opphllem3.v (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘…) = 𝑆)
opphllem4.u (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝑃)
opphllem4.1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ(πΎβ€˜π‘…)𝐴)
opphllem4.2 (πœ‘ β†’ 𝑉(πΎβ€˜π‘†)𝐢)
Assertion
Ref Expression
opphllem4 (πœ‘ β†’ π‘ˆπ‘‚π‘‰)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,𝑏   𝐼,π‘Ž,𝑏   𝑃,π‘Ž,𝑏   𝑑,𝐴   𝑑,𝐷   𝑑,𝑅   𝑑,𝐢   𝑑,𝐺   𝑑,𝐿   𝑑,π‘ˆ   𝑑,𝐼   𝑑,𝐾   𝑑,𝑀   𝑑,𝑂   𝑑,𝑁   𝑑,𝑃   𝑑,𝑆   𝑑,𝑉   πœ‘,𝑑   𝑑, βˆ’   𝑑,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)   𝐢(π‘Ž,𝑏)   𝑅(π‘Ž,𝑏)   𝑆(π‘Ž,𝑏)   π‘ˆ(π‘Ž,𝑏)   𝐺(π‘Ž,𝑏)   𝐾(π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘Ž,𝑏)   𝑀(π‘Ž,𝑏)   βˆ’ (π‘Ž,𝑏)   𝑁(π‘Ž,𝑏)   𝑂(π‘Ž,𝑏)   𝑉(π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem opphllem4
StepHypRef Expression
1 hpg.p . 2 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 hpg.d . 2 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 hpg.i . 2 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 hpg.o . 2 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
5 opphl.l . 2 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
6 opphl.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7 opphl.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 opphllem4.u . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝑃)
9 opphllem3.u . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
10 opphllem5.n . . 3 𝑁 = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘€)
11 eqid 2731 . . . 4 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
12 opphllem5.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
131, 2, 3, 5, 11, 7, 12, 10, 9mircl 28176 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ 𝑃)
14 opphllem5.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐷)
151, 5, 3, 7, 6, 14tglnpt 28064 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑃)
16 opphllem5.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
171, 5, 3, 7, 6, 16tglnpt 28064 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
18 opphllem3.t . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  𝑆)
1918necomd 2995 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  𝑅)
201, 2, 3, 5, 11, 7, 12, 10, 17mirbtwn 28173 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ((π‘β€˜π‘…)𝐼𝑅))
21 opphllem3.v . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘…) = 𝑆)
2221oveq1d 7427 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘…)𝐼𝑅) = (𝑆𝐼𝑅))
2320, 22eleqtrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑆𝐼𝑅))
241, 3, 5, 7, 15, 17, 12, 19, 23btwnlng1 28134 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑆𝐿𝑅))
251, 3, 5, 7, 15, 17, 19, 19, 6, 14, 16tglinethru 28151 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑆𝐿𝑅))
2624, 25eleqtrrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐷)
27 opphllem5.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
28 opphllem5.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
29 opphllem5.o . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂𝐢)
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 27, 28, 29oppne1 28256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
31 opphl.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
32 opphllem4.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ(πΎβ€˜π‘…)𝐴)
331, 3, 31, 9, 27, 17, 7, 32hlne1 28120 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑅)
3433necomd 2995 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  π‘ˆ)
351, 3, 31, 9, 27, 17, 7, 5, 32hlln 28122 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (𝐴𝐿𝑅))
361, 3, 31, 9, 27, 17, 7, 32hlne2 28121 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝑅)
371, 3, 5, 7, 17, 9, 27, 34, 35, 36lnrot1 28138 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (π‘…πΏπ‘ˆ))
3837adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ (π‘…πΏπ‘ˆ))
397adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
4017adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
419adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐷) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
4234adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 β‰  π‘ˆ)
436adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
4416adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
45 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐷) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐷)
461, 3, 5, 39, 40, 41, 42, 42, 43, 44, 45tglinethru 28151 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 = (π‘…πΏπ‘ˆ))
4738, 46eleqtrrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
4830, 47mtand 813 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘ˆ ∈ 𝐷)
497adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5012adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐷) β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
519adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐷) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
521, 2, 3, 5, 11, 49, 50, 10, 51mirmir 28177 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐷) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜π‘ˆ)) = π‘ˆ)
536adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
5426adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐷) β†’ 𝑀 ∈ 𝐷)
55 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐷) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐷)
561, 2, 3, 5, 11, 49, 10, 53, 54, 55mirln 28191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐷) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐷)
5752, 56eqeltrrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐷) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐷)
5848, 57mtand 813 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐷)
591, 2, 3, 5, 11, 7, 12, 10, 9mirbtwn 28173 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ((π‘β€˜π‘ˆ)πΌπ‘ˆ))
601, 2, 3, 4, 13, 9, 26, 58, 48, 59islnoppd 28255 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ˆ)π‘‚π‘ˆ)
61 eqidd 2732 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = (π‘β€˜π‘ˆ))
62 opphllem5.p . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑅))
63 opphllem5.q . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿𝑆))
64 opphllem3.l . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴))
651, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 31, 10, 27, 28, 16, 14, 12, 29, 62, 63, 18, 64, 9, 21opphllem3 28264 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ(πΎβ€˜π‘…)𝐴 ↔ (π‘β€˜π‘ˆ)(πΎβ€˜π‘†)𝐢))
6632, 65mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ˆ)(πΎβ€˜π‘†)𝐢)
67 opphllem4.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉(πΎβ€˜π‘†)𝐢)
681, 3, 31, 8, 28, 15, 7, 67hlcomd 28119 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢(πΎβ€˜π‘†)𝑉)
691, 3, 31, 13, 28, 8, 7, 15, 66, 68hltr 28125 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ˆ)(πΎβ€˜π‘†)𝑉)
701, 3, 31, 13, 8, 15, 7ishlg 28117 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ)(πΎβ€˜π‘†)𝑉 ↔ ((π‘β€˜π‘ˆ) β‰  𝑆 ∧ 𝑉 β‰  𝑆 ∧ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∈ (𝑆𝐼𝑉) ∨ 𝑉 ∈ (𝑆𝐼(π‘β€˜π‘ˆ))))))
7169, 70mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) β‰  𝑆 ∧ 𝑉 β‰  𝑆 ∧ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∈ (𝑆𝐼𝑉) ∨ 𝑉 ∈ (𝑆𝐼(π‘β€˜π‘ˆ)))))
7271simp1d 1141 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) β‰  𝑆)
731, 3, 31, 28, 8, 15, 7, 68hlne2 28121 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 β‰  𝑆)
7471simp3d 1143 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘ˆ) ∈ (𝑆𝐼𝑉) ∨ 𝑉 ∈ (𝑆𝐼(π‘β€˜π‘ˆ))))
751, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 13, 8, 9, 14, 60, 26, 61, 72, 73, 74opphllem2 28263 . 2 (πœ‘ β†’ π‘‰π‘‚π‘ˆ)
761, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 75oppcom 28259 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆπ‘‚π‘‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3946   class class class wbr 5149  {copab 5211  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  distcds 17211  TarskiGcstrkg 27942  Itvcitv 27948  LineGclng 27949  β‰€Gcleg 28097  hlGchlg 28115  pInvGcmir 28167  βŸ‚Gcperpg 28210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-s3 14805  df-trkgc 27963  df-trkgb 27964  df-trkgcb 27965  df-trkg 27968  df-cgrg 28026  df-leg 28098  df-hlg 28116  df-mir 28168  df-rag 28209  df-perpg 28211
This theorem is referenced by:  opphllem5  28266
  Copyright terms: Public domain W3C validator