Theorem opphllem2 28836

Description: Lemma for opphl 28842. Lemma 9.3 of [Schwabhauser] p. 68. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphllem1.s	⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
opphllem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
opphllem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
opphllem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
opphllem1.o	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
opphllem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐷)
opphllem1.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆‘𝐶))
opphllem1.x	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑅)
opphllem1.y	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑅)
opphllem2.z	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
opphllem2	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡, −   𝑡,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑀(𝑎,𝑏)   − (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpg.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		hpg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hpg.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		opphl.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		opphl.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8		opphl.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		opphllem1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		opphllem1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
14		opphllem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
16		opphllem1.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐷)
17	1, 5, 3, 8, 6, 16	tglnpt 28637	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝑀 ∈ 𝑃)
19	1, 2, 3, 5, 15, 9, 18, 14, 13	mircl 28749	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆‘𝐵) ∈ 𝑃)
20	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝑀 ∈ 𝐷)
21		opphllem1.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝐷)
23	1, 2, 3, 5, 15, 9, 14, 7, 20, 22	mirln 28764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆‘𝑅) ∈ 𝐷)
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
25		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
26	24, 25	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
27	8	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	12	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
29	1, 5, 3, 8, 6, 21	tglnpt 28637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
30	29	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝑃)
31		opphllem1.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
32	31	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
33		opphllem1.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑅)
34	33	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑅)
35	34	necomd 2988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ≠ 𝐵)
36		simpllr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵))
37	1, 3, 5, 27, 30, 28, 32, 35, 36	btwnlng1 28707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐿𝐵))
38	1, 3, 5, 27, 28, 30, 32, 34, 37	lncom 28710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
39	6	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
40		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
41	21	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝐷)
42	1, 3, 5, 27, 28, 30, 34, 34, 39, 40, 41	tglinethru 28724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝑅))
43	38, 42	eleqtrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
44	26, 43	pm2.61dane 3020	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
45		opphllem1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
46	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 31, 10, 45	oppne1 28829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
47	46	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
48	44, 47	pm2.65da 817	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
49	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
50	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷) → 𝑀 ∈ 𝑃)
51	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑃)
52	1, 2, 3, 5, 15, 49, 50, 14, 51	mirmir 28750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷) → (𝑆‘(𝑆‘𝐵)) = 𝐵)
53	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
54	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷) → 𝑀 ∈ 𝐷)
55		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷) → (𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷)
56	1, 2, 3, 5, 15, 49, 14, 53, 54, 55	mirln 28764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷) → (𝑆‘(𝑆‘𝐵)) ∈ 𝐷)
57	52, 56	eqeltrrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝐷)
58	48, 57	mtand 816	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → ¬ (𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷)
59	1, 2, 3, 5, 15, 9, 18, 14, 13	mirbtwn 28746	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝑀 ∈ ((𝑆‘𝐵)𝐼𝐵))
60	1, 2, 3, 4, 19, 13, 20, 58, 48, 59	islnoppd 28828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆‘𝐵)𝑂𝐵)
61		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵))
62		nelne2 3031	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑅) ∈ 𝐷 ∧ ¬ (𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷) → (𝑆‘𝑅) ≠ (𝑆‘𝐵))
63	23, 58, 62	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆‘𝑅) ≠ (𝑆‘𝐵))
64	63	necomd 2988	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆‘𝐵) ≠ (𝑆‘𝑅))
65	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 31, 10, 45	oppne2 28830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
66	65	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
67		nelne2 3031	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑅) ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) → (𝑆‘𝑅) ≠ 𝐶)
68	23, 66, 67	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆‘𝑅) ≠ 𝐶)
69	68	necomd 2988	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐶 ≠ (𝑆‘𝑅))
70		opphllem1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆‘𝐶))
71	70	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐶) = 𝐴)
72	1, 2, 3, 5, 15, 8, 17, 14, 10, 71	mircom 28751	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = 𝐶)
73	72	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆‘𝐴) = 𝐶)
74	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑃)
75	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
76		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵))
77	1, 2, 3, 5, 15, 9, 18, 14, 74, 75, 13, 76	mirbtwni 28759	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ((𝑆‘𝑅)𝐼(𝑆‘𝐵)))
78	73, 77	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ ((𝑆‘𝑅)𝐼(𝑆‘𝐵)))
79	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 14, 19, 11, 13, 23, 60, 20, 61, 64, 69, 78	opphllem1 28835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐶𝑂𝐵)
80	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 79	oppcom 28832	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐵𝑂𝐶)
81	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
82	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
83	31	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
84	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
85	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
86	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐷)
87	45	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐴𝑂𝐶)
88	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝑀 ∈ 𝐷)
89	70	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐴 = (𝑆‘𝐶))
90		opphllem1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑅)
91	90	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐴 ≠ 𝑅)
92	33	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐵 ≠ 𝑅)
93		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
94	1, 2, 3, 4, 5, 81, 82, 14, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93	opphllem1 28835	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐵𝑂𝐶)
95		opphllem2.z	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
96	80, 94, 95	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3900   class class class wbr 5100  {copab 5162  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  distcds 17198  TarskiGcstrkg 28514  Itvcitv 28520  LineGclng 28521  pInvGcmir 28740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-s2 14783  df-s3 14784  df-trkgc 28535  df-trkgb 28536  df-trkgcb 28537  df-trkg 28540  df-cgrg 28599  df-mir 28741

This theorem is referenced by:  opphllem4  28838  opphl  28842