MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opphllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opphllem2 27464
Description: Lemma for opphl 27470. Lemma 9.3 of [Schwabhauser] p. 68. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
opphllem1.s 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem1.a (𝜑𝐴𝑃)
opphllem1.b (𝜑𝐵𝑃)
opphllem1.c (𝜑𝐶𝑃)
opphllem1.r (𝜑𝑅𝐷)
opphllem1.o (𝜑𝐴𝑂𝐶)
opphllem1.m (𝜑𝑀𝐷)
opphllem1.n (𝜑𝐴 = (𝑆𝐶))
opphllem1.x (𝜑𝐴𝑅)
opphllem1.y (𝜑𝐵𝑅)
opphllem2.z (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
Assertion
Ref Expression
opphllem2 (𝜑𝐵𝑂𝐶)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡,   𝑡,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑀(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem2
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hpg.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 hpg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hpg.o . . 3 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5 opphl.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 opphl.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
76adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8 opphl.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 opphllem1.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
1110adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
12 opphllem1.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1312adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
14 opphllem1.s . . . 4 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
15 eqid 2737 . . . . 5 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
16 opphllem1.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝐷)
171, 5, 3, 8, 6, 16tglnpt 27265 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑃)
1817adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝑀𝑃)
191, 2, 3, 5, 15, 9, 18, 14, 13mircl 27377 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝐵) ∈ 𝑃)
2016adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝑀𝐷)
21 opphllem1.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝐷)
2221adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝑅𝐷)
231, 2, 3, 5, 15, 9, 14, 7, 20, 22mirln 27392 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝑅) ∈ 𝐷)
24 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
25 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝐷)
2624, 25eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐷)
278ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2812ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝑃)
291, 5, 3, 8, 6, 21tglnpt 27265 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅𝑃)
3029ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑅𝑃)
31 opphllem1.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑃)
3231ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝑃)
33 opphllem1.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝑅)
3433ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝑅)
3534necomd 2997 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑅𝐵)
36 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵))
371, 3, 5, 27, 30, 28, 32, 35, 36btwnlng1 27335 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐿𝐵))
381, 3, 5, 27, 28, 30, 32, 34, 37lncom 27338 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
396ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
40 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐷)
4121ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑅𝐷)
421, 3, 5, 27, 28, 30, 34, 34, 39, 40, 41tglinethru 27352 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝑅))
4338, 42eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐷)
4426, 43pm2.61dane 3030 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴𝐷)
45 opphllem1.o . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
461, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 31, 10, 45oppne1 27457 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
4746ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ 𝐵𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
4844, 47pm2.65da 815 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → ¬ 𝐵𝐷)
499adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5018adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → 𝑀𝑃)
5113adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → 𝐵𝑃)
521, 2, 3, 5, 15, 49, 50, 14, 51mirmir 27378 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → (𝑆‘(𝑆𝐵)) = 𝐵)
537adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
5420adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → 𝑀𝐷)
55 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → (𝑆𝐵) ∈ 𝐷)
561, 2, 3, 5, 15, 49, 14, 53, 54, 55mirln 27392 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → (𝑆‘(𝑆𝐵)) ∈ 𝐷)
5752, 56eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) ∧ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → 𝐵𝐷)
5848, 57mtand 814 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → ¬ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷)
591, 2, 3, 5, 15, 9, 18, 14, 13mirbtwn 27374 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝑀 ∈ ((𝑆𝐵)𝐼𝐵))
601, 2, 3, 4, 19, 13, 20, 58, 48, 59islnoppd 27456 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝐵)𝑂𝐵)
61 eqidd 2738 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝐵) = (𝑆𝐵))
62 nelne2 3040 . . . . . 6 (((𝑆𝑅) ∈ 𝐷 ∧ ¬ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷) → (𝑆𝑅) ≠ (𝑆𝐵))
6323, 58, 62syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝑅) ≠ (𝑆𝐵))
6463necomd 2997 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝐵) ≠ (𝑆𝑅))
651, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 31, 10, 45oppne2 27458 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐷)
6665adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → ¬ 𝐶𝐷)
67 nelne2 3040 . . . . . 6 (((𝑆𝑅) ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) → (𝑆𝑅) ≠ 𝐶)
6823, 66, 67syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝑅) ≠ 𝐶)
6968necomd 2997 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐶 ≠ (𝑆𝑅))
70 opphllem1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = (𝑆𝐶))
7170eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐶) = 𝐴)
721, 2, 3, 5, 15, 8, 17, 14, 10, 71mircom 27379 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴) = 𝐶)
7372adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝐴) = 𝐶)
7429adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝑅𝑃)
7531adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
76 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵))
771, 2, 3, 5, 15, 9, 18, 14, 74, 75, 13, 76mirbtwni 27387 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → (𝑆𝐴) ∈ ((𝑆𝑅)𝐼(𝑆𝐵)))
7873, 77eqeltrrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ ((𝑆𝑅)𝐼(𝑆𝐵)))
791, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 14, 19, 11, 13, 23, 60, 20, 61, 64, 69, 78opphllem1 27463 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐶𝑂𝐵)
801, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 79oppcom 27460 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵)) → 𝐵𝑂𝐶)
816adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
828adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8331adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
8412adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
8510adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
8621adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝑅𝐷)
8745adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐴𝑂𝐶)
8816adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝑀𝐷)
8970adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐴 = (𝑆𝐶))
90 opphllem1.x . . . 4 (𝜑𝐴𝑅)
9190adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐴𝑅)
9233adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐵𝑅)
93 simpr 486 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
941, 2, 3, 4, 5, 81, 82, 14, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93opphllem1 27463 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) → 𝐵𝑂𝐶)
95 opphllem2.z . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
9680, 94, 95mpjaodan 957 1 (𝜑𝐵𝑂𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wrex 3071  cdif 3902   class class class wbr 5100  {copab 5162  ran crn 5628  cfv 6488  (class class class)co 7346  Basecbs 17014  distcds 17073  TarskiGcstrkg 27143  Itvcitv 27149  LineGclng 27150  pInvGcmir 27368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4861  df-int 4903  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-oadd 8380  df-er 8578  df-pm 8698  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-dju 9767  df-card 9805  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-n0 12344  df-xnn0 12416  df-z 12430  df-uz 12693  df-fz 13350  df-fzo 13493  df-hash 14155  df-word 14327  df-concat 14383  df-s1 14408  df-s2 14665  df-s3 14666  df-trkgc 27164  df-trkgb 27165  df-trkgcb 27166  df-trkg 27169  df-cgrg 27227  df-mir 27369
This theorem is referenced by:  opphllem4  27466  opphl  27470
  Copyright terms: Public domain W3C validator