MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opphllem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem opphllem2 27979
Description: Lemma for opphl 27985. Lemma 9.3 of [Schwabhauser] p. 68. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hpg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hpg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hpg.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
opphl.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
opphl.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
opphllem1.s 𝑆 = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘€)
opphllem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
opphllem1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
opphllem1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
opphllem1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
opphllem1.o (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂𝐢)
opphllem1.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐷)
opphllem1.n (πœ‘ β†’ 𝐴 = (π‘†β€˜πΆ))
opphllem1.x (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝑅)
opphllem1.y (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝑅)
opphllem2.z (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
Assertion
Ref Expression
opphllem2 (πœ‘ β†’ 𝐡𝑂𝐢)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,𝑏   𝐼,π‘Ž,𝑏   𝑃,π‘Ž,𝑏   𝑑,𝐴   𝑑,𝐡   𝑑,𝐷   𝑑,𝑅   𝑑,𝐢   𝑑,𝐺   𝑑,𝐿   𝑑,𝐼   𝑑,𝑀   𝑑,𝑂   𝑑,𝑃   𝑑,𝑆   πœ‘,𝑑   𝑑, βˆ’   𝑑,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)   𝐡(π‘Ž,𝑏)   𝐢(π‘Ž,𝑏)   𝑅(π‘Ž,𝑏)   𝑆(π‘Ž,𝑏)   𝐺(π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘Ž,𝑏)   𝑀(π‘Ž,𝑏)   βˆ’ (π‘Ž,𝑏)   𝑂(π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem opphllem2
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 hpg.d . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 hpg.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 hpg.o . . 3 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
5 opphl.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
6 opphl.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
76adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8 opphl.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
98adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
10 opphllem1.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1110adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
12 opphllem1.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1312adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
14 opphllem1.s . . . 4 𝑆 = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘€)
15 eqid 2733 . . . . 5 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
16 opphllem1.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐷)
171, 5, 3, 8, 6, 16tglnpt 27780 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
1817adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
191, 2, 3, 5, 15, 9, 18, 14, 13mircl 27892 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ (π‘†β€˜π΅) ∈ 𝑃)
2016adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐷)
21 opphllem1.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
2221adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
231, 2, 3, 5, 15, 9, 14, 7, 20, 22mirln 27907 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ (π‘†β€˜π‘…) ∈ 𝐷)
24 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐴 = 𝐡)
25 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
2624, 25eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
278ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
2812ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
291, 5, 3, 8, 6, 21tglnpt 27780 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
3029ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
31 opphllem1.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
3231ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
33 opphllem1.y . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝑅)
3433ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐡 β‰  𝑅)
3534necomd 2997 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝑅 β‰  𝐡)
36 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡))
371, 3, 5, 27, 30, 28, 32, 35, 36btwnlng1 27850 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝑅𝐿𝐡))
381, 3, 5, 27, 28, 30, 32, 34, 37lncom 27853 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝑅))
396ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
40 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
4121ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
421, 3, 5, 27, 28, 30, 34, 34, 39, 40, 41tglinethru 27867 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐷 = (𝐡𝐿𝑅))
4338, 42eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
4426, 43pm2.61dane 3030 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
45 opphllem1.o . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂𝐢)
461, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 31, 10, 45oppne1 27972 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
4746ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
4844, 47pm2.65da 816 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)
499adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ (π‘†β€˜π΅) ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5018adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ (π‘†β€˜π΅) ∈ 𝐷) β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
5113adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ (π‘†β€˜π΅) ∈ 𝐷) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
521, 2, 3, 5, 15, 49, 50, 14, 51mirmir 27893 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ (π‘†β€˜π΅) ∈ 𝐷) β†’ (π‘†β€˜(π‘†β€˜π΅)) = 𝐡)
537adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ (π‘†β€˜π΅) ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
5420adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ (π‘†β€˜π΅) ∈ 𝐷) β†’ 𝑀 ∈ 𝐷)
55 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ (π‘†β€˜π΅) ∈ 𝐷) β†’ (π‘†β€˜π΅) ∈ 𝐷)
561, 2, 3, 5, 15, 49, 14, 53, 54, 55mirln 27907 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ (π‘†β€˜π΅) ∈ 𝐷) β†’ (π‘†β€˜(π‘†β€˜π΅)) ∈ 𝐷)
5752, 56eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) ∧ (π‘†β€˜π΅) ∈ 𝐷) β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
5848, 57mtand 815 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ Β¬ (π‘†β€˜π΅) ∈ 𝐷)
591, 2, 3, 5, 15, 9, 18, 14, 13mirbtwn 27889 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ ((π‘†β€˜π΅)𝐼𝐡))
601, 2, 3, 4, 19, 13, 20, 58, 48, 59islnoppd 27971 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ (π‘†β€˜π΅)𝑂𝐡)
61 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ (π‘†β€˜π΅) = (π‘†β€˜π΅))
62 nelne2 3041 . . . . . 6 (((π‘†β€˜π‘…) ∈ 𝐷 ∧ Β¬ (π‘†β€˜π΅) ∈ 𝐷) β†’ (π‘†β€˜π‘…) β‰  (π‘†β€˜π΅))
6323, 58, 62syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ (π‘†β€˜π‘…) β‰  (π‘†β€˜π΅))
6463necomd 2997 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ (π‘†β€˜π΅) β‰  (π‘†β€˜π‘…))
651, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 31, 10, 45oppne2 27973 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷)
6665adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷)
67 nelne2 3041 . . . . . 6 (((π‘†β€˜π‘…) ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷) β†’ (π‘†β€˜π‘…) β‰  𝐢)
6823, 66, 67syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ (π‘†β€˜π‘…) β‰  𝐢)
6968necomd 2997 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 β‰  (π‘†β€˜π‘…))
70 opphllem1.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (π‘†β€˜πΆ))
7170eqcomd 2739 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜πΆ) = 𝐴)
721, 2, 3, 5, 15, 8, 17, 14, 10, 71mircom 27894 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π΄) = 𝐢)
7372adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ (π‘†β€˜π΄) = 𝐢)
7429adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
7531adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
76 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡))
771, 2, 3, 5, 15, 9, 18, 14, 74, 75, 13, 76mirbtwni 27902 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ ((π‘†β€˜π‘…)𝐼(π‘†β€˜π΅)))
7873, 77eqeltrrd 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ ((π‘†β€˜π‘…)𝐼(π‘†β€˜π΅)))
791, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 14, 19, 11, 13, 23, 60, 20, 61, 64, 69, 78opphllem1 27978 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ 𝐢𝑂𝐡)
801, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 79oppcom 27975 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡)) β†’ 𝐡𝑂𝐢)
816adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
828adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8331adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8412adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
8510adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8621adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
8745adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) β†’ 𝐴𝑂𝐢)
8816adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐷)
8970adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) β†’ 𝐴 = (π‘†β€˜πΆ))
90 opphllem1.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝑅)
9190adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) β†’ 𝐴 β‰  𝑅)
9233adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) β†’ 𝐡 β‰  𝑅)
93 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
941, 2, 3, 4, 5, 81, 82, 14, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93opphllem1 27978 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴)) β†’ 𝐡𝑂𝐢)
95 opphllem2.z . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝑅𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴)))
9680, 94, 95mpjaodan 958 1 (πœ‘ β†’ 𝐡𝑂𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3944   class class class wbr 5147  {copab 5209  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  distcds 17202  TarskiGcstrkg 27658  Itvcitv 27664  LineGclng 27665  pInvGcmir 27883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796  df-trkgc 27679  df-trkgb 27680  df-trkgcb 27681  df-trkg 27684  df-cgrg 27742  df-mir 27884
This theorem is referenced by:  opphllem4  27981  opphl  27985
  Copyright terms: Public domain W3C validator