MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opphllem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opphllem5 27867
Description: Second part of Lemma 9.4 of [Schwabhauser] p. 68. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
opphllem5.n 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem5.a (𝜑𝐴𝑃)
opphllem5.c (𝜑𝐶𝑃)
opphllem5.r (𝜑𝑅𝐷)
opphllem5.s (𝜑𝑆𝐷)
opphllem5.m (𝜑𝑀𝑃)
opphllem5.o (𝜑𝐴𝑂𝐶)
opphllem5.p (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
opphllem5.q (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
opphllem5.u (𝜑𝑈𝑃)
opphllem5.v (𝜑𝑉𝑃)
opphllem5.1 (𝜑𝑈(𝐾𝑅)𝐴)
opphllem5.2 (𝜑𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
Assertion
Ref Expression
opphllem5 (𝜑𝑈𝑂𝑉)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝑈   𝑡,𝐼   𝑡,𝐾   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑁   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝑡,𝑉   𝜑,𝑡   𝑡,   𝑡,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝑈(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑀(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑁(𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem5
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hpg.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
3 hpg.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 opphl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 opphl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 opphl.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
7 opphl.k . . . . . . 7 𝐾 = (hlG‘𝐺)
8 opphllem5.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝐷)
9 opphllem5.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑃)
10 opphllem5.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑃)
11 opphllem5.p . . . . . . . 8 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
121, 4, 3, 5, 6, 8tglnpt 27665 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝑃)
13 opphllem5.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈(𝐾𝑅)𝐴)
141, 3, 7, 10, 9, 12, 5, 13hlne2 27722 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑅)
151, 3, 4, 5, 9, 12, 14tglinecom 27751 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅) = (𝑅𝐿𝐴))
1611, 15breqtrd 5167 . . . . . . 7 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑅𝐿𝐴))
171, 3, 7, 10, 9, 12, 5, 13hlcomd 27720 . . . . . . 7 (𝜑𝐴(𝐾𝑅)𝑈)
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 16, 17hlperpnel 27841 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑈𝐷)
1918ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ¬ 𝑈𝐷)
20 opphllem5.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝐷)
21 opphllem5.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
22 opphllem5.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉𝑃)
23 opphllem5.q . . . . . . . 8 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
241, 4, 3, 5, 6, 20tglnpt 27665 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝑃)
25 opphllem5.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
261, 3, 7, 22, 21, 24, 5, 25hlne2 27722 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑆)
271, 3, 4, 5, 21, 24, 26tglinecom 27751 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐿𝑆) = (𝑆𝐿𝐶))
2823, 27breqtrd 5167 . . . . . . 7 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝑆𝐿𝐶))
291, 3, 7, 22, 21, 24, 5, 25hlcomd 27720 . . . . . . 7 (𝜑𝐶(𝐾𝑆)𝑉)
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 21, 22, 28, 29hlperpnel 27841 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑉𝐷)
3130ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ¬ 𝑉𝐷)
32 simplr 767 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡𝐷)
33 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 = 𝑡) → 𝑅 = 𝑡)
34 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
355ad4antr 730 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3621ad4antr 730 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐶𝑃)
3712ad4antr 730 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅𝑃)
385ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
396ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
401, 4, 3, 38, 39, 32tglnpt 27665 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡𝑃)
4140adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑡𝑃)
429ad4antr 730 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐴𝑃)
4324ad4antr 730 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑆𝑃)
44 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 = 𝑆)
451, 3, 4, 5, 21, 24, 26tglinerflx2 27750 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
4645ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑆 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
4744, 46eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
4847adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
494, 5, 23perpln2 27827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝐿𝑆) ∈ ran 𝐿)
501, 2, 3, 4, 5, 6, 49, 23perpcom 27829 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)𝐷)
5150ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)𝐷)
52 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅𝑡)
536ad4antr 730 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
548ad4antr 730 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅𝐷)
55 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑡𝐷)
561, 3, 4, 35, 37, 41, 52, 52, 53, 54, 55tglinethru 27752 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝐷 = (𝑅𝐿𝑡))
5751, 56breqtrd 5167 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)(𝑅𝐿𝑡))
581, 2, 3, 4, 35, 36, 43, 48, 41, 57perprag 27842 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → ⟨“𝐶𝑅𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
591, 3, 4, 5, 9, 12, 14tglinerflx2 27750 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
6059ad4antr 730 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
614, 5, 11perpln2 27827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅) ∈ ran 𝐿)
621, 2, 3, 4, 5, 6, 61, 11perpcom 27829 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)𝐷)
6362ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)𝐷)
6463, 56breqtrd 5167 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)(𝑅𝐿𝑡))
651, 2, 3, 4, 35, 42, 37, 60, 41, 64perprag 27842 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → ⟨“𝐴𝑅𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
66 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
671, 2, 3, 35, 42, 41, 36, 66tgbtwncom 27604 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
681, 2, 3, 4, 34, 35, 36, 37, 41, 42, 58, 65, 67ragflat2 27819 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅𝑡) → 𝑅 = 𝑡)
6933, 68pm2.61dane 3028 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 = 𝑡)
709ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
7110ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑈𝑃)
7222ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑉𝑃)
7312ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅𝑃)
7417ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴(𝐾𝑅)𝑈)
7521ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
7625ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
7744fveq2d 6882 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐾𝑅) = (𝐾𝑆))
7877breqd 5152 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝑉(𝐾𝑅)𝐶𝑉(𝐾𝑆)𝐶))
7976, 78mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑉(𝐾𝑅)𝐶)
801, 3, 7, 72, 75, 73, 38, 79hlcomd 27720 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶(𝐾𝑅)𝑉)
81 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
8269, 81eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
831, 2, 3, 38, 70, 73, 75, 82tgbtwncom 27604 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
841, 3, 7, 75, 72, 70, 38, 73, 80, 83btwnhl 27730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝑉𝐼𝐴))
851, 2, 3, 38, 72, 73, 70, 84tgbtwncom 27604 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐼𝑉))
861, 3, 7, 70, 71, 72, 38, 73, 74, 85btwnhl 27730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝑈𝐼𝑉))
8769, 86eqeltrrd 2833 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉))
88 rspe 3245 . . . . . 6 ((𝑡𝐷𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉))
8932, 87, 88syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉))
9019, 31, 89jca31 515 . . . 4 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → ((¬ 𝑈𝐷 ∧ ¬ 𝑉𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉)))
91 hpg.o . . . . . 6 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
921, 2, 3, 91, 10, 22islnopp 27855 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝑂𝑉 ↔ ((¬ 𝑈𝐷 ∧ ¬ 𝑉𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉))))
9392ad3antrrr 728 . . . 4 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝑈𝑂𝑉 ↔ ((¬ 𝑈𝐷 ∧ ¬ 𝑉𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑈𝐼𝑉))))
9490, 93mpbird 256 . . 3 ((((𝜑𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑈𝑂𝑉)
95 opphllem5.o . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
961, 2, 3, 91, 9, 21islnopp 27855 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
9795, 96mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
9897simprd 496 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
9998adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
10094, 99r19.29a 3161 . 2 ((𝜑𝑅 = 𝑆) → 𝑈𝑂𝑉)
1016ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1025ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
103 eqid 2731 . . . . 5 ((pInvG‘𝐺)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑚)
1049ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐴𝑃)
10521ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐶𝑃)
1068ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑅𝐷)
10720ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑆𝐷)
108 simpllr 774 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑚𝑃)
10995ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐴𝑂𝐶)
11011ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
11123ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
112 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑅𝑆)
113112ad3antrrr 728 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑅𝑆)
114 simpr 485 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴))
11510ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑈𝑃)
116 simplr 767 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅))
117116eqcomd 2737 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅) = 𝑆)
11822ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑉𝑃)
11913ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑈(𝐾𝑅)𝐴)
12025ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
1211, 2, 3, 91, 4, 101, 102, 7, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 113, 114, 115, 117, 118, 119, 120opphllem4 27866 . . . 4 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴)) → 𝑈𝑂𝑉)
1226ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1235ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12422ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑉𝑃)
12510ad4antr 730 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑈𝑃)
12621ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐶𝑃)
1279ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐴𝑃)
12820ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑆𝐷)
1298ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑅𝐷)
130 simpllr 774 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑚𝑃)
13195ad4antr 730 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐴𝑂𝐶)
1321, 2, 3, 91, 4, 122, 123, 127, 126, 131oppcom 27860 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐶𝑂𝐴)
13323ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
13411ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
135112necomd 2995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑆𝑅)
136135ad3antrrr 728 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑆𝑅)
137 simpr 485 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶))
13812ad4antr 730 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑅𝑃)
139 simplr 767 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅))
140139eqcomd 2737 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅) = 𝑆)
1411, 2, 3, 4, 34, 123, 130, 103, 138, 140mircom 27779 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑆) = 𝑅)
14225ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑉(𝐾𝑆)𝐶)
14313ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑈(𝐾𝑅)𝐴)
1441, 2, 3, 91, 4, 122, 123, 7, 103, 126, 127, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 136, 137, 124, 141, 125, 142, 143opphllem4 27866 . . . . 5 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑉𝑂𝑈)
1451, 2, 3, 91, 4, 122, 123, 124, 125, 144oppcom 27860 . . . 4 (((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) ∧ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)) → 𝑈𝑂𝑉)
146 eqid 2731 . . . . . 6 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
1471, 2, 3, 146, 5, 24, 21, 12, 9legtrid 27707 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴) ∨ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)))
148147ad3antrrr 728 . . . 4 ((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) → ((𝑆 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 𝐴) ∨ (𝑅 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 𝐶)))
149121, 145, 148mpjaodan 957 . . 3 ((((𝜑𝑅𝑆) ∧ 𝑚𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅)) → 𝑈𝑂𝑉)
1505adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15112adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑅𝑃)
15224adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑆𝑃)
1531, 2, 3, 91, 4, 6, 5, 9, 21, 95opptgdim2 27861 . . . . 5 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
154153adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝐺DimTarskiG≥2)
1551, 2, 3, 4, 150, 34, 151, 152, 154midex 27853 . . 3 ((𝜑𝑅𝑆) → ∃𝑚𝑃 𝑆 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑅))
156149, 155r19.29a 3161 . 2 ((𝜑𝑅𝑆) → 𝑈𝑂𝑉)
157100, 156pm2.61dane 3028 1 (𝜑𝑈𝑂𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wrex 3069  cdif 3941   class class class wbr 5141  {copab 5203  ran crn 5670  cfv 6532  (class class class)co 7393  2c2 12249  Basecbs 17126  distcds 17188  TarskiGcstrkg 27543  DimTarskiGcstrkgld 27547  Itvcitv 27549  LineGclng 27550  ≤Gcleg 27698  hlGchlg 27716  pInvGcmir 27768  ⟂Gcperpg 27811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-oadd 8452  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-dju 9878  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-xnn0 12527  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-hash 14273  df-word 14447  df-concat 14503  df-s1 14528  df-s2 14781  df-s3 14782  df-trkgc 27564  df-trkgb 27565  df-trkgcb 27566  df-trkgld 27568  df-trkg 27569  df-cgrg 27627  df-leg 27699  df-hlg 27717  df-mir 27769  df-rag 27810  df-perpg 27812
This theorem is referenced by:  opphl  27870
  Copyright terms: Public domain W3C validator