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Theorem opphllem5 28270
Description: Second part of Lemma 9.4 of [Schwabhauser] p. 68. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hpg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hpg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hpg.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
opphl.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
opphl.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
opphllem5.n 𝑁 = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘€)
opphllem5.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
opphllem5.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
opphllem5.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
opphllem5.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐷)
opphllem5.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
opphllem5.o (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂𝐢)
opphllem5.p (πœ‘ β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑅))
opphllem5.q (πœ‘ β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿𝑆))
opphllem5.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
opphllem5.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝑃)
opphllem5.1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ(πΎβ€˜π‘…)𝐴)
opphllem5.2 (πœ‘ β†’ 𝑉(πΎβ€˜π‘†)𝐢)
Assertion
Ref Expression
opphllem5 (πœ‘ β†’ π‘ˆπ‘‚π‘‰)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,𝑏   𝐼,π‘Ž,𝑏   𝑃,π‘Ž,𝑏   𝑑,𝐴   𝑑,𝐷   𝑑,𝑅   𝑑,𝐢   𝑑,𝐺   𝑑,𝐿   𝑑,π‘ˆ   𝑑,𝐼   𝑑,𝐾   𝑑,𝑀   𝑑,𝑂   𝑑,𝑁   𝑑,𝑃   𝑑,𝑆   𝑑,𝑉   πœ‘,𝑑   𝑑, βˆ’   𝑑,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)   𝐢(π‘Ž,𝑏)   𝑅(π‘Ž,𝑏)   𝑆(π‘Ž,𝑏)   π‘ˆ(π‘Ž,𝑏)   𝐺(π‘Ž,𝑏)   𝐾(π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘Ž,𝑏)   𝑀(π‘Ž,𝑏)   βˆ’ (π‘Ž,𝑏)   𝑁(π‘Ž,𝑏)   𝑂(π‘Ž,𝑏)   𝑉(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem opphllem5
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 hpg.d . . . . . . 7 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 hpg.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 opphl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 opphl.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 opphl.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7 opphl.k . . . . . . 7 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
8 opphllem5.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
9 opphllem5.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10 opphllem5.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
11 opphllem5.p . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑅))
121, 4, 3, 5, 6, 8tglnpt 28068 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
13 opphllem5.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ(πΎβ€˜π‘…)𝐴)
141, 3, 7, 10, 9, 12, 5, 13hlne2 28125 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝑅)
151, 3, 4, 5, 9, 12, 14tglinecom 28154 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐿𝑅) = (𝑅𝐿𝐴))
1611, 15breqtrd 5174 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝑅𝐿𝐴))
171, 3, 7, 10, 9, 12, 5, 13hlcomd 28123 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴(πΎβ€˜π‘…)π‘ˆ)
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 16, 17hlperpnel 28244 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘ˆ ∈ 𝐷)
1918ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ Β¬ π‘ˆ ∈ 𝐷)
20 opphllem5.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐷)
21 opphllem5.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
22 opphllem5.v . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝑃)
23 opphllem5.q . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿𝑆))
241, 4, 3, 5, 6, 20tglnpt 28068 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑃)
25 opphllem5.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑉(πΎβ€˜π‘†)𝐢)
261, 3, 7, 22, 21, 24, 5, 25hlne2 28125 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝑆)
271, 3, 4, 5, 21, 24, 26tglinecom 28154 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢𝐿𝑆) = (𝑆𝐿𝐢))
2823, 27breqtrd 5174 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝑆𝐿𝐢))
291, 3, 7, 22, 21, 24, 5, 25hlcomd 28123 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢(πΎβ€˜π‘†)𝑉)
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 21, 22, 28, 29hlperpnel 28244 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑉 ∈ 𝐷)
3130ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ Β¬ 𝑉 ∈ 𝐷)
32 simplr 766 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
33 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 = 𝑑) β†’ 𝑅 = 𝑑)
34 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
355ad4antr 729 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
3621ad4antr 729 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
3712ad4antr 729 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
385ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
396ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
401, 4, 3, 38, 39, 32tglnpt 28068 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
4140adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
429ad4antr 729 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
4324ad4antr 729 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ 𝑆 ∈ 𝑃)
44 simpllr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑅 = 𝑆)
451, 3, 4, 5, 21, 24, 26tglinerflx2 28153 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (𝐢𝐿𝑆))
4645ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑆 ∈ (𝐢𝐿𝑆))
4744, 46eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑅 ∈ (𝐢𝐿𝑆))
4847adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ 𝑅 ∈ (𝐢𝐿𝑆))
494, 5, 23perpln2 28230 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐢𝐿𝑆) ∈ ran 𝐿)
501, 2, 3, 4, 5, 6, 49, 23perpcom 28232 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢𝐿𝑆)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
5150ad4antr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ (𝐢𝐿𝑆)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
52 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ 𝑅 β‰  𝑑)
536ad4antr 729 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
548ad4antr 729 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
55 simpllr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
561, 3, 4, 35, 37, 41, 52, 52, 53, 54, 55tglinethru 28155 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ 𝐷 = (𝑅𝐿𝑑))
5751, 56breqtrd 5174 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ (𝐢𝐿𝑆)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝑅𝐿𝑑))
581, 2, 3, 4, 35, 36, 43, 48, 41, 57perprag 28245 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ βŸ¨β€œπΆπ‘…π‘‘β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
591, 3, 4, 5, 9, 12, 14tglinerflx2 28153 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
6059ad4antr 729 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
614, 5, 11perpln2 28230 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐿𝑅) ∈ ran 𝐿)
621, 2, 3, 4, 5, 6, 61, 11perpcom 28232 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐿𝑅)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
6362ad4antr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ (𝐴𝐿𝑅)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
6463, 56breqtrd 5174 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ (𝐴𝐿𝑅)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝑅𝐿𝑑))
651, 2, 3, 4, 35, 42, 37, 60, 41, 64perprag 28245 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ βŸ¨β€œπ΄π‘…π‘‘β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
66 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
671, 2, 3, 35, 42, 41, 36, 66tgbtwncom 28007 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝐴))
681, 2, 3, 4, 34, 35, 36, 37, 41, 42, 58, 65, 67ragflat2 28222 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) ∧ 𝑅 β‰  𝑑) β†’ 𝑅 = 𝑑)
6933, 68pm2.61dane 3028 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑅 = 𝑑)
709ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
7110ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
7222ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑉 ∈ 𝑃)
7312ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
7417ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐴(πΎβ€˜π‘…)π‘ˆ)
7521ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
7625ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑉(πΎβ€˜π‘†)𝐢)
7744fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (πΎβ€˜π‘…) = (πΎβ€˜π‘†))
7877breqd 5159 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝑉(πΎβ€˜π‘…)𝐢 ↔ 𝑉(πΎβ€˜π‘†)𝐢))
7976, 78mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑉(πΎβ€˜π‘…)𝐢)
801, 3, 7, 72, 75, 73, 38, 79hlcomd 28123 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐢(πΎβ€˜π‘…)𝑉)
81 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
8269, 81eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑅 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
831, 2, 3, 38, 70, 73, 75, 82tgbtwncom 28007 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑅 ∈ (𝐢𝐼𝐴))
841, 3, 7, 75, 72, 70, 38, 73, 80, 83btwnhl 28133 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑅 ∈ (𝑉𝐼𝐴))
851, 2, 3, 38, 72, 73, 70, 84tgbtwncom 28007 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑅 ∈ (𝐴𝐼𝑉))
861, 3, 7, 70, 71, 72, 38, 73, 74, 85btwnhl 28133 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑅 ∈ (π‘ˆπΌπ‘‰))
8769, 86eqeltrrd 2833 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝑑 ∈ (π‘ˆπΌπ‘‰))
88 rspe 3245 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (π‘ˆπΌπ‘‰)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ˆπΌπ‘‰))
8932, 87, 88syl2anc 583 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ˆπΌπ‘‰))
9019, 31, 89jca31 514 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ ((Β¬ π‘ˆ ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑉 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ˆπΌπ‘‰)))
91 hpg.o . . . . . 6 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
921, 2, 3, 91, 10, 22islnopp 28258 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆπ‘‚π‘‰ ↔ ((Β¬ π‘ˆ ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑉 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ˆπΌπ‘‰))))
9392ad3antrrr 727 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (π‘ˆπ‘‚π‘‰ ↔ ((Β¬ π‘ˆ ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑉 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ˆπΌπ‘‰))))
9490, 93mpbird 257 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ π‘ˆπ‘‚π‘‰)
95 opphllem5.o . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂𝐢)
961, 2, 3, 91, 9, 21islnopp 28258 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑂𝐢 ↔ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢))))
9795, 96mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢)))
9897simprd 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
9998adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
10094, 99r19.29a 3161 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑆) β†’ π‘ˆπ‘‚π‘‰)
1016ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1025ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
103 eqid 2731 . . . . 5 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)
1049ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10521ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1068ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
10720ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐷)
108 simpllr 773 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ π‘š ∈ 𝑃)
10995ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ 𝐴𝑂𝐢)
11011ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑅))
11123ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿𝑆))
112 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) β†’ 𝑅 β‰  𝑆)
113112ad3antrrr 727 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ 𝑅 β‰  𝑆)
114 simpr 484 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴))
11510ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
116 simplr 766 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…))
117116eqcomd 2737 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…) = 𝑆)
11822ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ 𝑉 ∈ 𝑃)
11913ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ π‘ˆ(πΎβ€˜π‘…)𝐴)
12025ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ 𝑉(πΎβ€˜π‘†)𝐢)
1211, 2, 3, 91, 4, 101, 102, 7, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 113, 114, 115, 117, 118, 119, 120opphllem4 28269 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴)) β†’ π‘ˆπ‘‚π‘‰)
1226ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1235ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
12422ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ 𝑉 ∈ 𝑃)
12510ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
12621ad4antr 729 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1279ad4antr 729 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
12820ad4antr 729 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐷)
1298ad4antr 729 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
130 simpllr 773 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ π‘š ∈ 𝑃)
13195ad4antr 729 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ 𝐴𝑂𝐢)
1321, 2, 3, 91, 4, 122, 123, 127, 126, 131oppcom 28263 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ 𝐢𝑂𝐴)
13323ad4antr 729 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐢𝐿𝑆))
13411ad4antr 729 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑅))
135112necomd 2995 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) β†’ 𝑆 β‰  𝑅)
136135ad3antrrr 727 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ 𝑆 β‰  𝑅)
137 simpr 484 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢))
13812ad4antr 729 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
139 simplr 766 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…))
140139eqcomd 2737 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…) = 𝑆)
1411, 2, 3, 4, 34, 123, 130, 103, 138, 140mircom 28182 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘†) = 𝑅)
14225ad4antr 729 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ 𝑉(πΎβ€˜π‘†)𝐢)
14313ad4antr 729 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ π‘ˆ(πΎβ€˜π‘…)𝐴)
1441, 2, 3, 91, 4, 122, 123, 7, 103, 126, 127, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 136, 137, 124, 141, 125, 142, 143opphllem4 28269 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ π‘‰π‘‚π‘ˆ)
1451, 2, 3, 91, 4, 122, 123, 124, 125, 144oppcom 28263 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) ∧ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)) β†’ π‘ˆπ‘‚π‘‰)
146 eqid 2731 . . . . . 6 (≀Gβ€˜πΊ) = (≀Gβ€˜πΊ)
1471, 2, 3, 146, 5, 24, 21, 12, 9legtrid 28110 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴) ∨ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)))
148147ad3antrrr 727 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) β†’ ((𝑆 βˆ’ 𝐢)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑅 βˆ’ 𝐴) ∨ (𝑅 βˆ’ 𝐴)(≀Gβ€˜πΊ)(𝑆 βˆ’ 𝐢)))
149121, 145, 148mpjaodan 956 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ π‘š ∈ 𝑃) ∧ 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…)) β†’ π‘ˆπ‘‚π‘‰)
1505adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
15112adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
15224adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) β†’ 𝑆 ∈ 𝑃)
1531, 2, 3, 91, 4, 6, 5, 9, 21, 95opptgdim2 28264 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
154153adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
1551, 2, 3, 4, 150, 34, 151, 152, 154midex 28256 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑃 𝑆 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘š)β€˜π‘…))
156149, 155r19.29a 3161 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑅 β‰  𝑆) β†’ π‘ˆπ‘‚π‘‰)
157100, 156pm2.61dane 3028 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆπ‘‚π‘‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3945   class class class wbr 5148  {copab 5210  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  2c2 12272  Basecbs 17149  distcds 17211  TarskiGcstrkg 27946  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27950  Itvcitv 27952  LineGclng 27953  β‰€Gcleg 28101  hlGchlg 28119  pInvGcmir 28171  βŸ‚Gcperpg 28214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-s3 14805  df-trkgc 27967  df-trkgb 27968  df-trkgcb 27969  df-trkgld 27971  df-trkg 27972  df-cgrg 28030  df-leg 28102  df-hlg 28120  df-mir 28172  df-rag 28213  df-perpg 28215
This theorem is referenced by:  opphl  28273
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