Theorem opphllem6 29258

Description: First part of Lemma 9.4 of [Schwabhauser] p. 68. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
opphllem5.n	⊢ 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem5.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
opphllem5.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
opphllem5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
opphllem5.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐷)
opphllem5.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
opphllem5.o	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
opphllem5.p	⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
opphllem5.q	⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
opphllem5.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
opphllem6.v	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
opphllem6	⊢ (𝜑 → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝑈   𝑡,𝐼   𝑡,𝐾   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑁   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡, −   𝑡,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝐴(𝑎, 𝑏)   𝐶(𝑎, 𝑏)   𝑅(𝑎, 𝑏)   𝑆(𝑎, 𝑏)   𝑈(𝑎, 𝑏)   𝐺(𝑎, 𝑏)   𝐾(𝑎, 𝑏)   𝐿(𝑎, 𝑏)   𝑀(𝑎, 𝑏)   − (𝑎, 𝑏)   𝑁(𝑎, 𝑏)   𝑂(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem opphllem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		hpg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		opphl.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6		opphl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		opphllem5.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
9		opphl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
10		opphllem5.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝑀 ∈ 𝑃)
12		opphllem5.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		opphllem5.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝐶 ∈ 𝑃)
16		opphllem5.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝑈 ∈ 𝑃)
18		opphl.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
19		opphllem5.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
20	1, 4, 3, 6, 18, 19	tglnpt 29042	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
21		opphllem5.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
22	4, 6, 21	perpln2 29216	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅) ∈ ran 𝐿)
23	1, 3, 4, 6, 12, 20, 22	tglnne 29126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑅)
24	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝐴 ≠ 𝑅)
25		opphllem6.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)
26	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)
27		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝑅 = 𝑆)
28	26, 27	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑁‘𝑅) = 𝑅)
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 8, 20	mirinv 29168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑅) = 𝑅 ↔ 𝑀 = 𝑅))
30	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((𝑁‘𝑅) = 𝑅 ↔ 𝑀 = 𝑅))
31	28, 30	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝑀 = 𝑅)
32	24, 31	neeqtrrd 3033	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝐴 ≠ 𝑀)
33		opphllem5.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐷)
34	1, 4, 3, 6, 18, 33	tglnpt 29042	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑃)
35		opphllem5.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
36	4, 6, 35	perpln2 29216	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐿𝑆) ∈ ran 𝐿)
37	1, 3, 4, 6, 14, 34, 36	tglnne 29126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑆)
38	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝐶 ≠ 𝑆)
39	31, 27	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝑀 = 𝑆)
40	38, 39	neeqtrrd 3033	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝐶 ≠ 𝑀)
41		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 = 𝑡) → 𝑅 = 𝑡)
42	6	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
43	14	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝐶 ∈ 𝑃)
44	20	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑅 ∈ 𝑃)
45	6	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
46	18	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
47		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡 ∈ 𝐷)
48	1, 4, 3, 45, 46, 47	tglnpt 29042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
49	48	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝑃)
50	12	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝐴 ∈ 𝑃)
51	34	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑆 ∈ 𝑃)
52		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 = 𝑆)
53	1, 3, 4, 6, 14, 34, 37	tglinerflx2 29132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
54	53	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑆 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
55	52, 54	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
56	55	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑅 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
57	1, 2, 3, 4, 6, 18, 36, 35	perpcom 29218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)𝐷)
58	57	ad4antr 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)𝐷)
59		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑅 ≠ 𝑡)
60	18	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
61	19	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑅 ∈ 𝐷)
62		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐷)
63	1, 3, 4, 42, 44, 49, 59, 59, 60, 61, 62	tglinethru 29134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝐷 = (𝑅𝐿𝑡))
64	58, 63	breqtrd 5134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)(𝑅𝐿𝑡))
65	1, 2, 3, 4, 42, 43, 51, 56, 49, 64	perprag 29232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → ⟨“𝐶𝑅𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
66	1, 3, 4, 6, 12, 20, 23	tglinerflx2 29132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
67	66	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
68	1, 2, 3, 4, 6, 18, 22, 21	perpcom 29218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)𝐷)
69	68	ad4antr 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)𝐷)
70	69, 63	breqtrd 5134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)(𝑅𝐿𝑡))
71	1, 2, 3, 4, 42, 50, 44, 67, 49, 70	perprag 29232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → ⟨“𝐴𝑅𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
72		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
73	1, 2, 3, 42, 50, 49, 43, 72	tgbtwncom 28981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
74	1, 2, 3, 4, 5, 42, 43, 44, 49, 50, 65, 71, 73	ragflat2 29208	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑅 = 𝑡)
75	41, 74	pm2.61dane 3046	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 = 𝑡)
76		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
77	75, 76	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
78		opphllem5.o	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
79		hpg.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
80	1, 2, 3, 79, 12, 14	islnopp 29245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
81	78, 80	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
82	81	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
83	82	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
84	77, 83	r19.29a 3174	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
85	31, 84	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
86	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 32, 40, 85	mirbtwnhl 29182	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑈(𝐾‘𝑀)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑀)𝐶))
87	31	fveq2d 6912	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝐾‘𝑀) = (𝐾‘𝑅))
88	87	breqd 5117	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑈(𝐾‘𝑀)𝐴 ↔ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴))
89	39	fveq2d 6912	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝐾‘𝑀) = (𝐾‘𝑆))
90	89	breqd 5117	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑀)𝐶 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
91	86, 88, 90	3bitr3d 312	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
92	18	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
93	6	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
94	12	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
95	14	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
96	19	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐷)
97	33	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐷)
98	10	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝑀 ∈ 𝑃)
99	78	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝐴𝑂𝐶)
100	21	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
101	35	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
102		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝑅 ≠ 𝑆)
103		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴))
104	16	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
105	25	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)
106	1, 2, 3, 79, 4, 92, 93, 9, 8, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105	opphllem3 29255	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
107	18	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
108	6	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
109	14	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
110	12	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
111	33	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝑆 ∈ 𝐷)
112	19	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝑅 ∈ 𝐷)
113	10	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝑀 ∈ 𝑃)
114	78	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝐴𝑂𝐶)
115	1, 2, 3, 79, 4, 107, 108, 110, 109, 114	oppcom 29250	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝐶𝑂𝐴)
116	35	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
117	21	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
118		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → 𝑅 ≠ 𝑆)
119	118	necomd 3014	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → 𝑆 ≠ 𝑅)
120	119	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝑆 ≠ 𝑅)
121		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶))
122	16	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
123	1, 2, 3, 4, 5, 108, 113, 8, 122	mircl 29163	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → (𝑁‘𝑈) ∈ 𝑃)
124	20	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝑅 ∈ 𝑃)
125	25	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)
126	1, 2, 3, 4, 5, 108, 113, 8, 124, 125	mircom 29165	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → (𝑁‘𝑆) = 𝑅)
127	1, 2, 3, 79, 4, 107, 108, 9, 8, 109, 110, 111, 112, 113, 115, 116, 117, 120, 121, 123, 126	opphllem3 29255	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → ((𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶 ↔ (𝑁‘(𝑁‘𝑈))(𝐾‘𝑅)𝐴))
128	1, 2, 3, 4, 5, 108, 113, 8, 122	mirmir 29164	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → (𝑁‘(𝑁‘𝑈)) = 𝑈)
129	128	breq1d 5116	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → ((𝑁‘(𝑁‘𝑈))(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴))
130	127, 129	bitr2d 283	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
131		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
132	1, 2, 3, 131, 6, 34, 14, 20, 12	legtrid 29084	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴) ∨ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)))
133	132	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → ((𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴) ∨ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)))
134	106, 130, 133	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
135	91, 134	pm2.61dane 3046	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5106  {copab 5170  ran crn 5656  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  distcds 17466  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  LineGclng 28926  ≤Gcleg 29075  hlGchlg 29093  pInvGcmir 29154  ⟂Gcperpg 29200

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkg 28945  df-cgrg 29004  df-leg 29076  df-hlg 29094  df-mir 29155  df-rag 29199  df-perpg 29201

This theorem is used by:  opphl  29260