Theorem opphllem6 29044

Description: First part of Lemma 9.4 of [Schwabhauser] p. 68. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
opphllem5.n	⊢ 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem5.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
opphllem5.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
opphllem5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
opphllem5.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐷)
opphllem5.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
opphllem5.o	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
opphllem5.p	⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
opphllem5.q	⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
opphllem5.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
opphllem6.v	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
opphllem6	⊢ (𝜑 → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝑈   𝑡,𝐼   𝑡,𝐾   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑁   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡, −   𝑡,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝐴(𝑎, 𝑏)   𝐶(𝑎, 𝑏)   𝑅(𝑎, 𝑏)   𝑆(𝑎, 𝑏)   𝑈(𝑎, 𝑏)   𝐺(𝑎, 𝑏)   𝐾(𝑎, 𝑏)   𝐿(𝑎, 𝑏)   𝑀(𝑎, 𝑏)   − (𝑎, 𝑏)   𝑁(𝑎, 𝑏)   𝑂(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem opphllem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		hpg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		opphl.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6		opphl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		opphllem5.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
9		opphl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
10		opphllem5.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝑀 ∈ 𝑃)
12		opphllem5.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		opphllem5.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝐶 ∈ 𝑃)
16		opphllem5.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝑈 ∈ 𝑃)
18		opphl.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
19		opphllem5.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
20	1, 4, 3, 6, 18, 19	tglnpt 28829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
21		opphllem5.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
22	4, 6, 21	perpln2 29002	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅) ∈ ran 𝐿)
23	1, 3, 4, 6, 12, 20, 22	tglnne 28912	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑅)
24	23	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝐴 ≠ 𝑅)
25		opphllem6.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)
26	25	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)
27		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝑅 = 𝑆)
28	26, 27	eqtr4d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑁‘𝑅) = 𝑅)
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 8, 20	mirinv 28954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑅) = 𝑅 ↔ 𝑀 = 𝑅))
30	29	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((𝑁‘𝑅) = 𝑅 ↔ 𝑀 = 𝑅))
31	28, 30	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝑀 = 𝑅)
32	24, 31	neeqtrrd 3031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝐴 ≠ 𝑀)
33		opphllem5.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐷)
34	1, 4, 3, 6, 18, 33	tglnpt 28829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑃)
35		opphllem5.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
36	4, 6, 35	perpln2 29002	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐿𝑆) ∈ ran 𝐿)
37	1, 3, 4, 6, 14, 34, 36	tglnne 28912	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑆)
38	37	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝐶 ≠ 𝑆)
39	31, 27	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝑀 = 𝑆)
40	38, 39	neeqtrrd 3031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝐶 ≠ 𝑀)
41		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 = 𝑡) → 𝑅 = 𝑡)
42	6	ad4antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
43	14	ad4antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝐶 ∈ 𝑃)
44	20	ad4antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑅 ∈ 𝑃)
45	6	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
46	18	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
47		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡 ∈ 𝐷)
48	1, 4, 3, 45, 46, 47	tglnpt 28829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
49	48	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝑃)
50	12	ad4antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝐴 ∈ 𝑃)
51	34	ad4antr 744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑆 ∈ 𝑃)
52		simpllr 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 = 𝑆)
53	1, 3, 4, 6, 14, 34, 37	tglinerflx2 28918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
54	53	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑆 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
55	52, 54	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
56	55	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑅 ∈ (𝐶𝐿𝑆))
57	1, 2, 3, 4, 6, 18, 36, 35	perpcom 29004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)𝐷)
58	57	ad4antr 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)𝐷)
59		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑅 ≠ 𝑡)
60	18	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
61	19	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑅 ∈ 𝐷)
62		simpllr 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐷)
63	1, 3, 4, 42, 44, 49, 59, 59, 60, 61, 62	tglinethru 28920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝐷 = (𝑅𝐿𝑡))
64	58, 63	breqtrd 5136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → (𝐶𝐿𝑆)(⟂G‘𝐺)(𝑅𝐿𝑡))
65	1, 2, 3, 4, 42, 43, 51, 56, 49, 64	perprag 29018	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → ⟨“𝐶𝑅𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
66	1, 3, 4, 6, 12, 20, 23	tglinerflx2 28918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
67	66	ad4antr 744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐿𝑅))
68	1, 2, 3, 4, 6, 18, 22, 21	perpcom 29004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)𝐷)
69	68	ad4antr 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)𝐷)
70	69, 63	breqtrd 5136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → (𝐴𝐿𝑅)(⟂G‘𝐺)(𝑅𝐿𝑡))
71	1, 2, 3, 4, 42, 50, 44, 67, 49, 70	perprag 29018	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → ⟨“𝐴𝑅𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
72		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
73	1, 2, 3, 42, 50, 49, 43, 72	tgbtwncom 28768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
74	1, 2, 3, 4, 5, 42, 43, 44, 49, 50, 65, 71, 73	ragflat2 28994	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡) → 𝑅 = 𝑡)
75	41, 74	pm2.61dane 3044	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 = 𝑡)
76		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
77	75, 76	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
78		opphllem5.o	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
79		hpg.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
80	1, 2, 3, 79, 12, 14	islnopp 29031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))))
81	78, 80	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
82	81	simprd 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
83	82	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
84	77, 83	r19.29a 3172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝑅 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
85	31, 84	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
86	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 32, 40, 85	mirbtwnhl 28968	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑈(𝐾‘𝑀)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑀)𝐶))
87	31	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝐾‘𝑀) = (𝐾‘𝑅))
88	87	breqd 5119	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑈(𝐾‘𝑀)𝐴 ↔ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴))
89	39	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝐾‘𝑀) = (𝐾‘𝑆))
90	89	breqd 5119	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑀)𝐶 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
91	86, 88, 90	3bitr3d 312	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
92	18	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
93	6	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
94	12	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
95	14	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
96	19	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐷)
97	33	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐷)
98	10	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝑀 ∈ 𝑃)
99	78	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝐴𝑂𝐶)
100	21	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
101	35	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
102		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝑅 ≠ 𝑆)
103		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴))
104	16	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
105	25	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)
106	1, 2, 3, 79, 4, 92, 93, 9, 8, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105	opphllem3 29041	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴)) → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
107	18	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
108	6	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
109	14	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
110	12	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
111	33	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝑆 ∈ 𝐷)
112	19	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝑅 ∈ 𝐷)
113	10	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝑀 ∈ 𝑃)
114	78	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝐴𝑂𝐶)
115	1, 2, 3, 79, 4, 107, 108, 110, 109, 114	oppcom 29036	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝐶𝑂𝐴)
116	35	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐶𝐿𝑆))
117	21	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑅))
118		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → 𝑅 ≠ 𝑆)
119	118	necomd 3012	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → 𝑆 ≠ 𝑅)
120	119	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝑆 ≠ 𝑅)
121		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶))
122	16	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
123	1, 2, 3, 4, 5, 108, 113, 8, 122	mircl 28949	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → (𝑁‘𝑈) ∈ 𝑃)
124	20	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → 𝑅 ∈ 𝑃)
125	25	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → (𝑁‘𝑅) = 𝑆)
126	1, 2, 3, 4, 5, 108, 113, 8, 124, 125	mircom 28951	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → (𝑁‘𝑆) = 𝑅)
127	1, 2, 3, 79, 4, 107, 108, 9, 8, 109, 110, 111, 112, 113, 115, 116, 117, 120, 121, 123, 126	opphllem3 29041	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → ((𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶 ↔ (𝑁‘(𝑁‘𝑈))(𝐾‘𝑅)𝐴))
128	1, 2, 3, 4, 5, 108, 113, 8, 122	mirmir 28950	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → (𝑁‘(𝑁‘𝑈)) = 𝑈)
129	128	breq1d 5118	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → ((𝑁‘(𝑁‘𝑈))(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ 𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴))
130	127, 129	bitr2d 283	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) ∧ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)) → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
131		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
132	1, 2, 3, 131, 6, 34, 14, 20, 12	legtrid 28871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴) ∨ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)))
133	132	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → ((𝑆 − 𝐶)(≤G‘𝐺)(𝑅 − 𝐴) ∨ (𝑅 − 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝑆 − 𝐶)))
134	106, 130, 133	mpjaodan 972	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))
135	91, 134	pm2.61dane 3044	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈(𝐾‘𝑅)𝐴 ↔ (𝑁‘𝑈)(𝐾‘𝑆)𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3901   class class class wbr 5108  {copab 5172  ran crn 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  distcds 17325  TarskiGcstrkg 28707  Itvcitv 28713  LineGclng 28714  ≤Gcleg 28862  hlGchlg 28880  pInvGcmir 28940  ⟂Gcperpg 28986

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-hash 14374  df-word 14558  df-concat 14615  df-s1 14641  df-s2 14892  df-s3 14893  df-trkgc 28728  df-trkgb 28729  df-trkgcb 28730  df-trkg 28733  df-cgrg 28791  df-leg 28863  df-hlg 28881  df-mir 28941  df-rag 28985  df-perpg 28987

This theorem is used by:  opphl  29046