Theorem hfuni 36531

Description: The union of an HF set is itself hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfuni	⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ Hf )

Proof of Theorem hfuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankuni 9821	. . 3 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) = ∪ (rank‘𝐴)
2		rankon 9753	. . . . . 6 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On
3		ontr 6457	. . . . . 6 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ On → Tr (rank‘𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Tr (rank‘𝐴)
5		df-tr 5208	. . . . 5 ⊢ (Tr (rank‘𝐴) ↔ ∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴))
6	4, 5	mpbi 232	. . . 4 ⊢ ∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)
7		elhf2g 36523	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
8	7	ibi 269	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝐴) ∈ ω)
9		rankon 9753	. . . . . . 7 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) ∈ On
10	1, 9	eqeltrri 2859	. . . . . 6 ⊢ ∪ (rank‘𝐴) ∈ On
11	10	onordi 6459	. . . . 5 ⊢ Ord ∪ (rank‘𝐴)
12		ordom 7856	. . . . 5 ⊢ Ord ω
13		ordtr2 6391	. . . . 5 ⊢ ((Ord ∪ (rank‘𝐴) ∧ Ord ω) → ((∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ ω) → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω))
14	11, 12, 13	mp2an 702	. . . 4 ⊢ ((∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ ω) → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω)
15	6, 8, 14	sylancr 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω)
16	1, 15	eqeltrid 2866	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω)
17		uniexg 7723	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ V)
18		elhf2g 36523	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → (∪ 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (∪ 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω))
20	16, 19	mpbird 259	1 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ Hf )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4865  Tr wtr 5207  Ord word 6345  Oncon0 6346  ‘cfv 6521  ωcom 7846  rankcrnk 9721   Hf chf 36519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-reg 9540  ax-inf2 9596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-r1 9722  df-rank 9723  df-hf 36520

This theorem is referenced by: (None)