Theorem hfuni 33256

Description: The union of an HF set is itself hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfuni	⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ Hf )

Proof of Theorem hfuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankuni 9145	. . 3 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) = ∪ (rank‘𝐴)
2		rankon 9077	. . . . . 6 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On
3	2	ontrci 6178	. . . . 5 ⊢ Tr (rank‘𝐴)
4		df-tr 5071	. . . . 5 ⊢ (Tr (rank‘𝐴) ↔ ∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴))
5	3, 4	mpbi 231	. . . 4 ⊢ ∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)
6		elhf2g 33248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
7	6	ibi 268	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝐴) ∈ ω)
8		rankon 9077	. . . . . . 7 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) ∈ On
9	1, 8	eqeltrri 2882	. . . . . 6 ⊢ ∪ (rank‘𝐴) ∈ On
10	9	onordi 6177	. . . . 5 ⊢ Ord ∪ (rank‘𝐴)
11		ordom 7452	. . . . 5 ⊢ Ord ω
12		ordtr2 6117	. . . . 5 ⊢ ((Ord ∪ (rank‘𝐴) ∧ Ord ω) → ((∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ ω) → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω))
13	10, 11, 12	mp2an 688	. . . 4 ⊢ ((∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ ω) → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω)
14	5, 7, 13	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω)
15	1, 14	syl5eqel 2889	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω)
16		uniexg 7332	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ V)
17		elhf2g 33248	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → (∪ 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (∪ 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω))
19	15, 18	mpbird 258	1 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ Hf )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2083  Vcvv 3440   ⊆ wss 3865  ∪ cuni 4751  Tr wtr 5070  Ord word 6072  Oncon0 6073  ‘cfv 6232  ωcom 7443  rankcrnk 9045   Hf chf 33244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-reg 8909  ax-inf2 8957

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-r1 9046  df-rank 9047  df-hf 33245

This theorem is referenced by: (None)