Theorem hfuni 36412

Description: The union of an HF set is itself hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfuni	⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ Hf )

Proof of Theorem hfuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankuni 9778	. . 3 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) = ∪ (rank‘𝐴)
2		rankon 9710	. . . . . 6 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On
3		ontr 6421	. . . . . 6 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ On → Tr (rank‘𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Tr (rank‘𝐴)
5		df-tr 5180	. . . . 5 ⊢ (Tr (rank‘𝐴) ↔ ∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴))
6	4, 5	mpbi 231	. . . 4 ⊢ ∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)
7		elhf2g 36404	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
8	7	ibi 268	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝐴) ∈ ω)
9		rankon 9710	. . . . . . 7 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) ∈ On
10	1, 9	eqeltrri 2836	. . . . . 6 ⊢ ∪ (rank‘𝐴) ∈ On
11	10	onordi 6423	. . . . 5 ⊢ Ord ∪ (rank‘𝐴)
12		ordom 7816	. . . . 5 ⊢ Ord ω
13		ordtr2 6355	. . . . 5 ⊢ ((Ord ∪ (rank‘𝐴) ∧ Ord ω) → ((∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ ω) → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω))
14	11, 12, 13	mp2an 698	. . . 4 ⊢ ((∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ ω) → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω)
15	6, 8, 14	sylancr 593	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω)
16	1, 15	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω)
17		uniexg 7683	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ V)
18		elhf2g 36404	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → (∪ 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (∪ 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω))
20	16, 19	mpbird 258	1 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ Hf )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4838  Tr wtr 5179  Ord word 6309  Oncon0 6310  ‘cfv 6485  ωcom 7806  rankcrnk 9678   Hf chf 36400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-reg 9497  ax-inf2 9553

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-r1 9679  df-rank 9680  df-hf 36401

This theorem is referenced by: (None)