Theorem hfuni 9961

Description: The union of a hereditarily finite set is hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.) Avoid ax-reg 9623, ax-inf2 9679. (Revised by BTernaryTau, 17-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hfuni	⊢ (𝐴 ∈ HF → ∪ 𝐴 ∈ HF )

Proof of Theorem hfuni

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elhf3 9950	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ))
2		hffi 9946	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ HF → 𝑥 ∈ Fin)
3	2	ssriv 3917	. . . . . 6 ⊢ HF ⊆ Fin
4		sstr 3921	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ HF ∧ HF ⊆ Fin) → 𝐴 ⊆ Fin)
5	3, 4	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ HF → 𝐴 ⊆ Fin)
6	5	anim2i 629	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin))
7	1, 6	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin))
8		unifi 9371	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ∪ 𝐴 ∈ Fin)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HF → ∪ 𝐴 ∈ Fin)
10		hfelhf 9951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ HF ) → 𝑦 ∈ HF )
11		elhf3 9950	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ HF ↔ (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ HF ))
12	11	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ HF → 𝑦 ⊆ HF )
13	10, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ HF ) → 𝑦 ⊆ HF )
14	13	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ⊆ HF )
15	14	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ⊆ HF )
16		unissb 4906	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ⊆ HF ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ⊆ HF )
17	15, 16	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HF → ∪ 𝐴 ⊆ HF )
18		elhf3 9950	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ HF ↔ (∪ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∪ 𝐴 ⊆ HF ))
19	9, 17, 18	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ HF → ∪ 𝐴 ∈ HF )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4872  Fincfn 9011   HF chf 9941

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-en 9012  df-dom 9013  df-fin 9015  df-r1 9805  df-rank 9806  df-hf 9942

This theorem is used by:  hfdm  46282  hfrn  46283