Theorem hfuni 9917

Description: The union of a hereditarily finite set is hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.) Avoid ax-reg 9579, ax-inf2 9635. (Revised by BTernaryTau, 17-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hfuni	⊢ (𝐴 ∈ HF → ∪ 𝐴 ∈ HF )

Proof of Theorem hfuni

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elhf3 9906	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ))
2		hffi 9902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ HF → 𝑥 ∈ Fin)
3	2	ssriv 3935	. . . . . 6 ⊢ HF ⊆ Fin
4		sstr 3939	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ HF ∧ HF ⊆ Fin) → 𝐴 ⊆ Fin)
5	3, 4	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ HF → 𝐴 ⊆ Fin)
6	5	anim2i 629	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin))
7	1, 6	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin))
8		unifi 9326	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ∪ 𝐴 ∈ Fin)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HF → ∪ 𝐴 ∈ Fin)
10		hfelhf 9907	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ HF ) → 𝑦 ∈ HF )
11		elhf3 9906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ HF ↔ (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ HF ))
12	11	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ HF → 𝑦 ⊆ HF )
13	10, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ HF ) → 𝑦 ⊆ HF )
14	13	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ⊆ HF )
15	14	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ⊆ HF )
16		unissb 4901	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ⊆ HF ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ⊆ HF )
17	15, 16	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HF → ∪ 𝐴 ⊆ HF )
18		elhf3 9906	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ HF ↔ (∪ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∪ 𝐴 ⊆ HF ))
19	9, 17, 18	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ HF → ∪ 𝐴 ∈ HF )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867  Fincfn 8966   HF chf 9897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-en 8967  df-dom 8968  df-fin 8970  df-r1 9761  df-rank 9762  df-hf 9898

This theorem is used by:  hfdm  45996  hfrn  45997