Theorem hfuni 9931

Description: The union of a hereditarily finite set is hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.) Avoid ax-reg 9593, ax-inf2 9649. (Revised by BTernaryTau, 17-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hfuni	⊢ (𝐴 ∈ HF → ∪ 𝐴 ∈ HF )

Proof of Theorem hfuni

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elhf3 9920	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ))
2		hffi 9916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ HF → 𝑥 ∈ Fin)
3	2	ssriv 3913	. . . . . 6 ⊢ HF ⊆ Fin
4		sstr 3917	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ HF ∧ HF ⊆ Fin) → 𝐴 ⊆ Fin)
5	3, 4	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ HF → 𝐴 ⊆ Fin)
6	5	anim2i 629	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin))
7	1, 6	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin))
8		unifi 9340	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ∪ 𝐴 ∈ Fin)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HF → ∪ 𝐴 ∈ Fin)
10		hfelhf 9921	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ HF ) → 𝑦 ∈ HF )
11		elhf3 9920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ HF ↔ (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ HF ))
12	11	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ HF → 𝑦 ⊆ HF )
13	10, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ HF ) → 𝑦 ⊆ HF )
14	13	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ⊆ HF )
15	14	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ⊆ HF )
16		unissb 4900	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ⊆ HF ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ⊆ HF )
17	15, 16	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HF → ∪ 𝐴 ⊆ HF )
18		elhf3 9920	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ HF ↔ (∪ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∪ 𝐴 ⊆ HF ))
19	9, 17, 18	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ HF → ∪ 𝐴 ∈ HF )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3896  ∪ cuni 4866  Fincfn 8980   HF chf 9911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-en 8981  df-dom 8982  df-fin 8984  df-r1 9775  df-rank 9776  df-hf 9912

This theorem is used by:  hfdm  46126  hfrn  46127