Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hfuni 33256
Description: The union of an HF set is itself hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfuni (𝐴 ∈ Hf → 𝐴 ∈ Hf )

Proof of Theorem hfuni
StepHypRef Expression
1 rankuni 9145 . . 3 (rank‘ 𝐴) = (rank‘𝐴)
2 rankon 9077 . . . . . 6 (rank‘𝐴) ∈ On
32ontrci 6178 . . . . 5 Tr (rank‘𝐴)
4 df-tr 5071 . . . . 5 (Tr (rank‘𝐴) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴))
53, 4mpbi 231 . . . 4 (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)
6 elhf2g 33248 . . . . 5 (𝐴 ∈ Hf → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
76ibi 268 . . . 4 (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝐴) ∈ ω)
8 rankon 9077 . . . . . . 7 (rank‘ 𝐴) ∈ On
91, 8eqeltrri 2882 . . . . . 6 (rank‘𝐴) ∈ On
109onordi 6177 . . . . 5 Ord (rank‘𝐴)
11 ordom 7452 . . . . 5 Ord ω
12 ordtr2 6117 . . . . 5 ((Ord (rank‘𝐴) ∧ Ord ω) → (( (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ ω) → (rank‘𝐴) ∈ ω))
1310, 11, 12mp2an 688 . . . 4 (( (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ ω) → (rank‘𝐴) ∈ ω)
145, 7, 13sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝐴) ∈ ω)
151, 14syl5eqel 2889 . 2 (𝐴 ∈ Hf → (rank‘ 𝐴) ∈ ω)
16 uniexg 7332 . . 3 (𝐴 ∈ Hf → 𝐴 ∈ V)
17 elhf2g 33248 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘ 𝐴) ∈ ω))
1816, 17syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Hf → ( 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘ 𝐴) ∈ ω))
1915, 18mpbird 258 1 (𝐴 ∈ Hf → 𝐴 ∈ Hf )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2083  Vcvv 3440  wss 3865   cuni 4751  Tr wtr 5070  Ord word 6072  Oncon0 6073  cfv 6232  ωcom 7443  rankcrnk 9045   Hf chf 33244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-reg 8909  ax-inf2 8957
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-r1 9046  df-rank 9047  df-hf 33245
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator