Theorem hfuni 34413

Description: The union of an HF set is itself hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfuni	⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ Hf )

Proof of Theorem hfuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankuni 9552	. . 3 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) = ∪ (rank‘𝐴)
2		rankon 9484	. . . . . 6 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On
3	2	ontrci 6357	. . . . 5 ⊢ Tr (rank‘𝐴)
4		df-tr 5188	. . . . 5 ⊢ (Tr (rank‘𝐴) ↔ ∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴))
5	3, 4	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)
6		elhf2g 34405	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
7	6	ibi 266	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝐴) ∈ ω)
8		rankon 9484	. . . . . . 7 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) ∈ On
9	1, 8	eqeltrri 2836	. . . . . 6 ⊢ ∪ (rank‘𝐴) ∈ On
10	9	onordi 6356	. . . . 5 ⊢ Ord ∪ (rank‘𝐴)
11		ordom 7697	. . . . 5 ⊢ Ord ω
12		ordtr2 6295	. . . . 5 ⊢ ((Ord ∪ (rank‘𝐴) ∧ Ord ω) → ((∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ ω) → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω))
13	10, 11, 12	mp2an 688	. . . 4 ⊢ ((∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ ω) → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω)
14	5, 7, 13	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω)
15	1, 14	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω)
16		uniexg 7571	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ V)
17		elhf2g 34405	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → (∪ 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (∪ 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω))
19	15, 18	mpbird 256	1 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ Hf )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4836  Tr wtr 5187  Ord word 6250  Oncon0 6251  ‘cfv 6418  ωcom 7687  rankcrnk 9452   Hf chf 34401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-reg 9281  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-r1 9453  df-rank 9454  df-hf 34402

This theorem is referenced by: (None)