Theorem nnarcl 8447

Description: Reverse closure law for addition of natural numbers. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 62 and its converse. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnarcl	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))

Proof of Theorem nnarcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oaword1 8383	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
2		eloni 6276	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3		ordom 7722	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
4		ordtr2 6310	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ω) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω))
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω))
6	5	expd 416	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐴 ∈ ω)))
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐴 ∈ ω)))
8	1, 7	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐴 ∈ ω))
9		oaword2 8384	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
10	9	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
11		eloni 6276	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
12		ordtr2 6310	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord ω) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω))
13	11, 3, 12	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω))
14	13	expd 416	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐵 ∈ ω)))
15	14	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐵 ∈ ω)))
16	10, 15	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐵 ∈ ω))
17	8, 16	jcad 513	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))
18		nnacl 8442	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
19	17, 18	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  Ord word 6265  Oncon0 6266  (class class class)co 7275  ωcom 7712   +_o coa 8294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-oadd 8301

This theorem is referenced by:  finxpreclem4  35565