Theorem nnarcl 8603

Description: Reverse closure law for addition of natural numbers. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 62 and its converse. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnarcl	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))

Proof of Theorem nnarcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oaword1 8538	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
2		eloni 6361	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3		ordom 7870	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
4		ordtr2 6397	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ω) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω))
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω))
6	5	expd 421	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐴 ∈ ω)))
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐴 ∈ ω)))
8	1, 7	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐴 ∈ ω))
9		oaword2 8539	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
10	9	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
11		eloni 6361	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
12		ordtr2 6397	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord ω) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω))
13	11, 3, 12	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω))
14	13	expd 421	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐵 ∈ ω)))
15	14	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐵 ∈ ω)))
16	10, 15	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐵 ∈ ω))
17	8, 16	jcad 522	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))
18		nnacl 8598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
19	17, 18	impbid1 228	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898  Ord word 6350  Oncon0 6351  (class class class)co 7408  ωcom 7860   +_o coa 8451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-oadd 8458

This theorem is used by:  fineqvnttrclselem1  35714  finxpreclem4  38237