Theorem nnarcl 8611

Description: Reverse closure law for addition of natural numbers. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 62 and its converse. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnarcl	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))

Proof of Theorem nnarcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oaword1 8547	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
2		eloni 6364	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3		ordom 7858	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
4		ordtr2 6398	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ω) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω))
5	2, 3, 4	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω))
6	5	expd 415	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐴 ∈ ω)))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐴 ∈ ω)))
8	1, 7	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐴 ∈ ω))
9		oaword2 8548	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
10	9	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
11		eloni 6364	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
12		ordtr2 6398	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord ω) → ((𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω))
13	11, 3, 12	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω))
14	13	expd 415	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐵 ∈ ω)))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐵 ∈ ω)))
16	10, 15	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → 𝐵 ∈ ω))
17	8, 16	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))
18		nnacl 8606	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
19	17, 18	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3940  Ord word 6353  Oncon0 6354  (class class class)co 7401  ωcom 7848   +_o coa 8458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-oadd 8465

This theorem is referenced by:  finxpreclem4  36765