MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smocdmdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smocdmdom 8368
Description: The codomain of a strictly monotone ordinal function dominates the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smocdmdom ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem smocdmdom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹:𝐴𝐵)
21ffnd 6719 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 simpl2 1193 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → Smo 𝐹)
4 smodm2 8355 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
52, 3, 4syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → Ord 𝐴)
6 ordelord 6387 . . . . 5 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → Ord 𝑥)
75, 6sylancom 589 . . . 4 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → Ord 𝑥)
8 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → Ord 𝐵)
9 simpr 486 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
10 smogt 8367 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹𝑥𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
112, 3, 9, 10syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
12 ffvelcdm 7084 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
13123ad2antl1 1186 . . . 4 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
14 ordtr2 6409 . . . . 5 ((Ord 𝑥 ∧ Ord 𝐵) → ((𝑥 ⊆ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥𝐵))
1514imp 408 . . . 4 (((Ord 𝑥 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥 ⊆ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝑥𝐵)
167, 8, 11, 13, 15syl22anc 838 . . 3 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
1716ex 414 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1817ssrdv 3989 1 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  wss 3949  Ord word 6364   Fn wfn 6539  wf 6540  cfv 6544  Smo wsmo 8345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-ord 6368  df-on 6369  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-smo 8346
This theorem is referenced by:  cofsmo  10264  hsmexlem1  10421
  Copyright terms: Public domain W3C validator