Theorem smocdmdom 8424

Description: The codomain of a strictly monotone ordinal function dominates the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smocdmdom	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem smocdmdom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffnd 6748	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		simpl2 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Smo 𝐹)
4		smodm2 8411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝐴)
6		ordelord 6417	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥)
7	5, 6	sylancom 587	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥)
8		simpl3 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
10		smogt 8423	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥))
11	2, 3, 9, 10	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥))
12		ffvelcdm 7115	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
13	12	3ad2antl1 1185	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
14		ordtr2 6439	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝑥 ∧ Ord 𝐵) → ((𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
15	14	imp 406	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝑥 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
16	7, 8, 11, 13, 15	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	16	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
18	17	ssrdv 4014	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  Ord word 6394   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  Smo wsmo 8401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-ord 6398  df-on 6399  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-smo 8402

This theorem is referenced by:  cofsmo  10338  hsmexlem1  10495