Theorem smocdmdom 8300

Description: The codomain of a strictly monotone ordinal function dominates the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smocdmdom	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem smocdmdom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffnd 6663	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Smo 𝐹)
4		smodm2 8287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝐴)
6		ordelord 6339	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥)
7	5, 6	sylancom 588	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥)
8		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
10		smogt 8299	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥))
11	2, 3, 9, 10	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥))
12		ffvelcdm 7026	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
13	12	3ad2antl1 1186	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
14		ordtr2 6362	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝑥 ∧ Ord 𝐵) → ((𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
15	14	imp 406	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝑥 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
16	7, 8, 11, 13, 15	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	16	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
18	17	ssrdv 3939	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  Ord word 6316   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  Smo wsmo 8277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-ord 6320  df-on 6321  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-smo 8278

This theorem is referenced by:  cofsmo  10179  hsmexlem1  10336