Theorem smocdmdom 8339

Description: The codomain of a strictly monotone ordinal function dominates the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smocdmdom	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem smocdmdom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffnd 6691	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Smo 𝐹)
4		smodm2 8326	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝐴)
6		ordelord 6356	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥)
7	5, 6	sylancom 588	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥)
8		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
10		smogt 8338	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥))
11	2, 3, 9, 10	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥))
12		ffvelcdm 7055	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
13	12	3ad2antl1 1186	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
14		ordtr2 6379	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝑥 ∧ Ord 𝐵) → ((𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
15	14	imp 406	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝑥 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
16	7, 8, 11, 13, 15	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	16	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
18	17	ssrdv 3954	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916  Ord word 6333   Fn wfn 6508  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  Smo wsmo 8316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-ord 6337  df-on 6338  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-fv 6521  df-smo 8317

This theorem is referenced by:  cofsmo  10228  hsmexlem1  10385