Theorem hfun 9919

Description: The union of two hereditarily finite sets is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2015.) Avoid ax-reg 9587, ax-inf2 9643. (Revised by BTernaryTau, 17-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hfun	⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ HF )

Proof of Theorem hfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hffi 9910	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → 𝐴 ∈ Fin)
2		hffi 9910	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HF → 𝐵 ∈ Fin)
3		unfi 9187	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5		elhf3 9914	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ))
6	5	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → 𝐴 ⊆ HF )
7		elhf3 9914	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ HF ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ HF ))
8	7	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HF → 𝐵 ⊆ HF )
9		unss 4136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ HF ∧ 𝐵 ⊆ HF ) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ HF )
10	9	biimpi 219	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ HF ∧ 𝐵 ⊆ HF ) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ HF )
11	6, 8, 10	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ HF )
12		elhf3 9914	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ HF ↔ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ HF ))
13	4, 11, 12	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ HF )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3914  Fincfn 8974   HF chf 9905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-en 8975  df-dom 8976  df-fin 8978  df-r1 9769  df-rank 9770  df-hf 9906

This theorem is used by:  hfadj  9923  hfxp  46018