Theorem hfun 9931

Description: The union of two hereditarily finite sets is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2015.) Avoid ax-reg 9599, ax-inf2 9655. (Revised by BTernaryTau, 17-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hfun	⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ HF )

Proof of Theorem hfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hffi 9922	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → 𝐴 ∈ Fin)
2		hffi 9922	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HF → 𝐵 ∈ Fin)
3		unfi 9200	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5		elhf3 9926	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ HF ))
6	5	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF → 𝐴 ⊆ HF )
7		elhf3 9926	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ HF ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ HF ))
8	7	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HF → 𝐵 ⊆ HF )
9		unss 4191	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ HF ∧ 𝐵 ⊆ HF ) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ HF )
10	9	biimpi 219	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ HF ∧ 𝐵 ⊆ HF ) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ HF )
11	6, 8, 10	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ HF )
12		elhf3 9926	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ HF ↔ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ HF ))
13	4, 11, 12	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ HF )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  Fincfn 8987   HF chf 9917

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-en 8988  df-dom 8989  df-fin 8991  df-r1 9781  df-rank 9782  df-hf 9918

This theorem is used by:  hfadj  9935  hfxp  46159