Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  noetalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noetalem1 32376
Description: Lemma for noeta 32381. Establish that our final surreal really is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
noetalem.1 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
noetalem.2 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))
Assertion
Ref Expression
noetalem1 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑍 No )
Distinct variable group:   𝐴,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem noetalem1
StepHypRef Expression
1 noetalem.2 . 2 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))
2 noetalem.1 . . . . 5 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
32nosupno 32362 . . . 4 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) → 𝑆 No )
433adant3 1163 . . 3 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑆 No )
5 bdayimaon 32356 . . . 4 (𝐵 ∈ V → suc ( bday 𝐵) ∈ On)
653ad2ant3 1166 . . 3 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → suc ( bday 𝐵) ∈ On)
7 1oex 7807 . . . . 5 1𝑜 ∈ V
87prid1 4486 . . . 4 1𝑜 ∈ {1𝑜, 2𝑜}
98noextendseq 32333 . . 3 ((𝑆 No ∧ suc ( bday 𝐵) ∈ On) → (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) ∈ No )
104, 6, 9syl2anc 580 . 2 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) ∈ No )
111, 10syl5eqel 2882 1 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑍 No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  {cab 2785  wral 3089  wrex 3090  Vcvv 3385  cdif 3766  cun 3767  wss 3769  ifcif 4277  {csn 4368  cop 4374   cuni 4628   class class class wbr 4843  cmpt 4922   × cxp 5310  dom cdm 5312  cres 5314  cima 5315  Oncon0 5941  suc csuc 5943  cio 6062  cfv 6101  crio 6838  1𝑜c1o 7792  2𝑜c2o 7793   No csur 32306   <s cslt 32307   bday cbday 32308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-1o 7799  df-2o 7800  df-no 32309  df-slt 32310  df-bday 32311
This theorem is referenced by:  noetalem2  32377  noetalem3  32378  noetalem4  32379  noetalem5  32380
  Copyright terms: Public domain W3C validator