Theorem noetalem1 32376

Description: Lemma for noeta 32381. Establish that our final surreal really is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
noetalem.1	⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
noetalem.2	⊢ 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))

Assertion

Ref	Expression
noetalem1	⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑍 ∈ No )

Distinct variable group:   𝐴,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem noetalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noetalem.2	. 2 ⊢ 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))
2		noetalem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
3	2	nosupno 32362	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑆 ∈ No )
4	3	3adant3 1163	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑆 ∈ No )
5		bdayimaon 32356	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∈ On)
6	5	3ad2ant3 1166	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∈ On)
7		1oex 7807	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ V
8	7	prid1 4486	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ {1𝑜, 2𝑜}
9	8	noextendseq 32333	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ No ∧ suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∈ On) → (𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) ∈ No )
10	4, 6, 9	syl2anc 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) ∈ No )
11	1, 10	syl5eqel 2882	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑍 ∈ No )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {cab 2785  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  Vcvv 3385   ∖ cdif 3766   ∪ cun 3767   ⊆ wss 3769  ifcif 4277  {csn 4368  ⟨cop 4374  ∪ cuni 4628   class class class wbr 4843   ↦ cmpt 4922   × cxp 5310  dom cdm 5312   ↾ cres 5314   “ cima 5315  Oncon0 5941  suc csuc 5943  ℩cio 6062  ‘cfv 6101  ℩crio 6838  1_𝑜c1o 7792  2_𝑜c2o 7793   No csur 32306   <s cslt 32307   bday cbday 32308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-1o 7799  df-2o 7800  df-no 32309  df-slt 32310  df-bday 32311

This theorem is referenced by:  noetalem2  32377  noetalem3  32378  noetalem4  32379  noetalem5  32380