Theorem permaxpr 46108

Description: The Axiom of Pairing ax-pr 5391 holds in permutation models. Part of Exercise II.9.2 of [Kunen2] p. 148. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
permmodel.1	⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
permmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )

Assertion

Ref	Expression
permaxpr	⊢ ∃𝑧∀𝑤((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑅𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤   𝑦,𝑧,𝑤   𝑧,𝐹,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem permaxpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6903	. 2 ⊢ (◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}) ∈ V
2		breq2 5106	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑤𝑅(◡𝐹‘{𝑥, 𝑦})))
3	2	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}) → (((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑅𝑧) ↔ ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑅(◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}))))
4	3	albidv 1952	. 2 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}) → (∀𝑤((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑅𝑧) ↔ ∀𝑤((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑅(◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}))))
5		permmodel.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
6		permmodel.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
7		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
8		prex 5396	. . . . 5 ⊢ {𝑥, 𝑦} ∈ V
9	5, 6, 7, 8	brpermmodelcnv 46102	. . . 4 ⊢ (𝑤𝑅(◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}) ↔ 𝑤 ∈ {𝑥, 𝑦})
10	7	elpr 4605	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦))
11	9, 10	sylbbr 239	. . 3 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑅(◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}))
12	11	ax-gen 1827	. 2 ⊢ ∀𝑤((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑅(◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}))
13	1, 4, 12	ceqsexv2d 3499	1 ⊢ ∃𝑧∀𝑤((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑅𝑧)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {cpr 4586   class class class wbr 5102   E cep 5550  ^◡ccnv 5650   ∘ ccom 5655  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-eprel 5551  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551

This theorem is used by: (None)