Theorem permaxpr 45978

Description: The Axiom of Pairing ax-pr 5391 holds in permutation models. Part of Exercise II.9.2 of [Kunen2] p. 148. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
permmodel.1	⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
permmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )

Assertion

Ref	Expression
permaxpr	⊢ ∃𝑧∀𝑤((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑅𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤   𝑦,𝑧,𝑤   𝑧,𝐹,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem permaxpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6896	. 2 ⊢ (◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}) ∈ V
2		breq2 5107	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑤𝑅(◡𝐹‘{𝑥, 𝑦})))
3	2	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}) → (((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑅𝑧) ↔ ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑅(◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}))))
4	3	albidv 1953	. 2 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}) → (∀𝑤((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑅𝑧) ↔ ∀𝑤((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑅(◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}))))
5		permmodel.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
6		permmodel.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
7		vex 3455	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
8		prex 5396	. . . . 5 ⊢ {𝑥, 𝑦} ∈ V
9	5, 6, 7, 8	brpermmodelcnv 45972	. . . 4 ⊢ (𝑤𝑅(◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}) ↔ 𝑤 ∈ {𝑥, 𝑦})
10	7	elpr 4609	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦))
11	9, 10	sylbbr 239	. . 3 ⊢ ((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑅(◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}))
12	11	ax-gen 1828	. 2 ⊢ ∀𝑤((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑅(◡𝐹‘{𝑥, 𝑦}))
13	1, 4, 12	ceqsexv2d 3500	1 ⊢ ∃𝑧∀𝑤((𝑤 = 𝑥 ∨ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑅𝑧)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {cpr 4586   class class class wbr 5103   E cep 5550  ^◡ccnv 5650   ∘ ccom 5655  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-eprel 5551  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545

This theorem is used by: (None)