Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlen0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlen0 37251
Description: A lattice element is nonzero if an atom is under it. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlen0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlen0.l = (le‘𝐾)
atlen0.z 0 = (0.‘𝐾)
atlen0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlen0 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋0 )

Proof of Theorem atlen0
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlen0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 atlen0.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
42, 3atl0cl 37244 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
51, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0𝐵)
6 simpl2 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋𝐵)
71, 5, 63jca 1126 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑋𝐵))
8 simpl3 1191 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐴)
9 atlen0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
102, 9atbase 37230 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐵)
12 eqid 2738 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
133, 12, 9atcvr0 37229 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
141, 8, 13syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
15 eqid 2738 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
162, 15, 12cvrlt 37211 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑃𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
171, 5, 11, 14, 16syl31anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
18 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃 𝑋)
19 atlpos 37242 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
201, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
21 atlen0.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
222, 21, 15pltletr 17976 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵)) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
2320, 5, 11, 6, 22syl13anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
2417, 18, 23mp2and 695 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋)
2515pltne 17967 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋0𝑋))
267, 24, 25sylc 65 . 2 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0𝑋)
2726necomd 2998 1 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2108  wne 2942   class class class wbr 5070  cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895  Posetcpo 17940  ltcplt 17941  0.cp0 18056  ccvr 37203  Atomscatm 37204  AtLatcal 37205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-glb 17980  df-p0 18058  df-lat 18065  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239
This theorem is referenced by:  ps-2b  37423  2atm  37468  2llnm4  37511  dalem21  37635  dalem54  37667  trlval3  38128  cdlemc5  38136
  Copyright terms: Public domain W3C validator