Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlen0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlen0 39311
Description: A lattice element is nonzero if an atom is under it. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlen0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlen0.l = (le‘𝐾)
atlen0.z 0 = (0.‘𝐾)
atlen0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlen0 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋0 )

Proof of Theorem atlen0
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlen0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 atlen0.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
42, 3atl0cl 39304 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
51, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0𝐵)
6 simpl2 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋𝐵)
71, 5, 63jca 1129 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑋𝐵))
8 simpl3 1194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐴)
9 atlen0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
102, 9atbase 39290 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐵)
12 eqid 2737 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
133, 12, 9atcvr0 39289 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
141, 8, 13syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
15 eqid 2737 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
162, 15, 12cvrlt 39271 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑃𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
171, 5, 11, 14, 16syl31anc 1375 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
18 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃 𝑋)
19 atlpos 39302 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
201, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
21 atlen0.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
222, 21, 15pltletr 18388 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵)) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
2320, 5, 11, 6, 22syl13anc 1374 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
2417, 18, 23mp2and 699 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋)
2515pltne 18379 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋0𝑋))
267, 24, 25sylc 65 . 2 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0𝑋)
2726necomd 2996 1 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  Posetcpo 18353  ltcplt 18354  0.cp0 18468  ccvr 39263  Atomscatm 39264  AtLatcal 39265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-glb 18392  df-p0 18470  df-lat 18477  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299
This theorem is referenced by:  ps-2b  39484  2atm  39529  2llnm4  39572  dalem21  39696  dalem54  39728  trlval3  40189  cdlemc5  40197
  Copyright terms: Public domain W3C validator