Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlen0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlen0 38786
Description: A lattice element is nonzero if an atom is under it. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlen0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atlen0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atlen0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
atlen0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atlen0 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 β‰  0 )

Proof of Theorem atlen0
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlen0.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 atlen0.z . . . . . 6 0 = (0.β€˜πΎ)
42, 3atl0cl 38779 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 0 ∈ 𝐡)
51, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 ∈ 𝐡)
6 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
71, 5, 63jca 1125 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
8 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
9 atlen0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
102, 9atbase 38765 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
12 eqid 2727 . . . . . . 7 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
133, 12, 9atcvr0 38764 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 ( β‹– β€˜πΎ)𝑃)
141, 8, 13syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 ( β‹– β€˜πΎ)𝑃)
15 eqid 2727 . . . . . 6 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
162, 15, 12cvrlt 38746 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ 0 ( β‹– β€˜πΎ)𝑃) β†’ 0 (ltβ€˜πΎ)𝑃)
171, 5, 11, 14, 16syl31anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 (ltβ€˜πΎ)𝑃)
18 simpr 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋)
19 atlpos 38777 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
201, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
21 atlen0.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
222, 21, 15pltletr 18340 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (( 0 (ltβ€˜πΎ)𝑃 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 (ltβ€˜πΎ)𝑋))
2320, 5, 11, 6, 22syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (( 0 (ltβ€˜πΎ)𝑃 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 (ltβ€˜πΎ)𝑋))
2417, 18, 23mp2and 697 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 (ltβ€˜πΎ)𝑋)
2515pltne 18331 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (ltβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 0 β‰  𝑋))
267, 24, 25sylc 65 . 2 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 β‰  𝑋)
2726necomd 2992 1 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936   class class class wbr 5150  β€˜cfv 6551  Basecbs 17185  lecple 17245  Posetcpo 18304  ltcplt 18305  0.cp0 18420   β‹– ccvr 38738  Atomscatm 38739  AtLatcal 38740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-proset 18292  df-poset 18310  df-plt 18327  df-glb 18344  df-p0 18422  df-lat 18429  df-covers 38742  df-ats 38743  df-atl 38774
This theorem is referenced by:  ps-2b  38959  2atm  39004  2llnm4  39047  dalem21  39171  dalem54  39203  trlval3  39664  cdlemc5  39672
  Copyright terms: Public domain W3C validator