Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlen0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlen0 38691
Description: A lattice element is nonzero if an atom is under it. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlen0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atlen0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atlen0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
atlen0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atlen0 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 β‰  0 )

Proof of Theorem atlen0
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlen0.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 atlen0.z . . . . . 6 0 = (0.β€˜πΎ)
42, 3atl0cl 38684 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 0 ∈ 𝐡)
51, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 ∈ 𝐡)
6 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
71, 5, 63jca 1125 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
8 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
9 atlen0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
102, 9atbase 38670 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
12 eqid 2726 . . . . . . 7 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
133, 12, 9atcvr0 38669 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 ( β‹– β€˜πΎ)𝑃)
141, 8, 13syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 ( β‹– β€˜πΎ)𝑃)
15 eqid 2726 . . . . . 6 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
162, 15, 12cvrlt 38651 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ 0 ( β‹– β€˜πΎ)𝑃) β†’ 0 (ltβ€˜πΎ)𝑃)
171, 5, 11, 14, 16syl31anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 (ltβ€˜πΎ)𝑃)
18 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋)
19 atlpos 38682 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
201, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
21 atlen0.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
222, 21, 15pltletr 18306 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (( 0 (ltβ€˜πΎ)𝑃 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 (ltβ€˜πΎ)𝑋))
2320, 5, 11, 6, 22syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (( 0 (ltβ€˜πΎ)𝑃 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 (ltβ€˜πΎ)𝑋))
2417, 18, 23mp2and 696 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 (ltβ€˜πΎ)𝑋)
2515pltne 18297 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (ltβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 0 β‰  𝑋))
267, 24, 25sylc 65 . 2 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 β‰  𝑋)
2726necomd 2990 1 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  lecple 17211  Posetcpo 18270  ltcplt 18271  0.cp0 18386   β‹– ccvr 38643  Atomscatm 38644  AtLatcal 38645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-glb 18310  df-p0 18388  df-lat 18395  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679
This theorem is referenced by:  ps-2b  38864  2atm  38909  2llnm4  38952  dalem21  39076  dalem54  39108  trlval3  39569  cdlemc5  39577
  Copyright terms: Public domain W3C validator