Theorem atlen0 39680

Description: A lattice element is nonzero if an atom is under it. (Contributed by NM, 26-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlen0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlen0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atlen0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atlen0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlen0	⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem atlen0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		atlen0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		atlen0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	atl0cl 39673	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 ∈ 𝐵)
6		simpl2 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	1, 5, 6	3jca 1129	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
8		simpl3 1195	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
9		atlen0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	2, 9	atbase 39659	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐵)
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
13	3, 12, 9	atcvr0 39658	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
14	1, 8, 13	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
16	2, 15, 12	cvrlt 39640	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
17	1, 5, 11, 14, 16	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
18		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ≤ 𝑋)
19		atlpos 39671	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
20	1, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
21		atlen0.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
22	2, 21, 15	pltletr 18276	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
23	20, 5, 11, 6, 22	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
24	17, 18, 23	mp2and 700	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋)
25	15	pltne 18267	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋 → 0 ≠ 𝑋))
26	7, 24, 25	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 ≠ 𝑋)
27	26	necomd 2988	1 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  lecple 17196  Posetcpo 18242  ltcplt 18243  0.cp0 18356   ⋖ ccvr 39632  Atomscatm 39633  AtLatcal 39634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-glb 18280  df-p0 18358  df-lat 18367  df-covers 39636  df-ats 39637  df-atl 39668

This theorem is referenced by:  ps-2b  39852  2atm  39897  2llnm4  39940  dalem21  40064  dalem54  40096  trlval3  40557  cdlemc5  40565