Theorem atlen0 39756

Description: A lattice element is nonzero if an atom is under it. (Contributed by NM, 26-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlen0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlen0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atlen0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atlen0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlen0	⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem atlen0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		atlen0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		atlen0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	atl0cl 39749	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 ∈ 𝐵)
6		simpl2 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	1, 5, 6	3jca 1129	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
8		simpl3 1195	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
9		atlen0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	2, 9	atbase 39735	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐵)
12		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
13	3, 12, 9	atcvr0 39734	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
14	1, 8, 13	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
15		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
16	2, 15, 12	cvrlt 39716	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
17	1, 5, 11, 14, 16	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
18		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ≤ 𝑋)
19		atlpos 39747	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
20	1, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
21		atlen0.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
22	2, 21, 15	pltletr 18307	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
23	20, 5, 11, 6, 22	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
24	17, 18, 23	mp2and 700	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋)
25	15	pltne 18298	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋 → 0 ≠ 𝑋))
26	7, 24, 25	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 ≠ 𝑋)
27	26	necomd 2987	1 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  lecple 17227  Posetcpo 18273  ltcplt 18274  0.cp0 18387   ⋖ ccvr 39708  Atomscatm 39709  AtLatcal 39710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-glb 18311  df-p0 18389  df-lat 18398  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744

This theorem is referenced by:  ps-2b  39928  2atm  39973  2llnm4  40016  dalem21  40140  dalem54  40172  trlval3  40633  cdlemc5  40641