Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlen0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlen0 39292
Description: A lattice element is nonzero if an atom is under it. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlen0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlen0.l = (le‘𝐾)
atlen0.z 0 = (0.‘𝐾)
atlen0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlen0 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋0 )

Proof of Theorem atlen0
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlen0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 atlen0.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
42, 3atl0cl 39285 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
51, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0𝐵)
6 simpl2 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋𝐵)
71, 5, 63jca 1127 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑋𝐵))
8 simpl3 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐴)
9 atlen0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
102, 9atbase 39271 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐵)
12 eqid 2735 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
133, 12, 9atcvr0 39270 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
141, 8, 13syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
15 eqid 2735 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
162, 15, 12cvrlt 39252 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑃𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
171, 5, 11, 14, 16syl31anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
18 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃 𝑋)
19 atlpos 39283 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
201, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
21 atlen0.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
222, 21, 15pltletr 18401 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵)) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
2320, 5, 11, 6, 22syl13anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
2417, 18, 23mp2and 699 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋)
2515pltne 18392 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋0𝑋))
267, 24, 25sylc 65 . 2 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0𝑋)
2726necomd 2994 1 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Posetcpo 18365  ltcplt 18366  0.cp0 18481  ccvr 39244  Atomscatm 39245  AtLatcal 39246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-glb 18405  df-p0 18483  df-lat 18490  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280
This theorem is referenced by:  ps-2b  39465  2atm  39510  2llnm4  39553  dalem21  39677  dalem54  39709  trlval3  40170  cdlemc5  40178
  Copyright terms: Public domain W3C validator