Theorem atlen0 39311

Description: A lattice element is nonzero if an atom is under it. (Contributed by NM, 26-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlen0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlen0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atlen0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atlen0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlen0	⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem atlen0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		atlen0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		atlen0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	atl0cl 39304	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 ∈ 𝐵)
6		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	1, 5, 6	3jca 1129	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
8		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
9		atlen0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	2, 9	atbase 39290	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐵)
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
13	3, 12, 9	atcvr0 39289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
14	1, 8, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
16	2, 15, 12	cvrlt 39271	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
17	1, 5, 11, 14, 16	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
18		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ≤ 𝑋)
19		atlpos 39302	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
20	1, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
21		atlen0.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
22	2, 21, 15	pltletr 18388	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
23	20, 5, 11, 6, 22	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
24	17, 18, 23	mp2and 699	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋)
25	15	pltne 18379	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋 → 0 ≠ 𝑋))
26	7, 24, 25	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 ≠ 𝑋)
27	26	necomd 2996	1 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  Posetcpo 18353  ltcplt 18354  0.cp0 18468   ⋖ ccvr 39263  Atomscatm 39264  AtLatcal 39265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-glb 18392  df-p0 18470  df-lat 18477  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299

This theorem is referenced by:  ps-2b  39484  2atm  39529  2llnm4  39572  dalem21  39696  dalem54  39728  trlval3  40189  cdlemc5  40197