Theorem atlen0 39266

Description: A lattice element is nonzero if an atom is under it. (Contributed by NM, 26-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlen0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlen0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atlen0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atlen0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlen0	⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem atlen0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		atlen0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		atlen0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	atl0cl 39259	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 ∈ 𝐵)
6		simpl2 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	1, 5, 6	3jca 1128	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
8		simpl3 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
9		atlen0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	2, 9	atbase 39245	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐵)
12		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
13	3, 12, 9	atcvr0 39244	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
14	1, 8, 13	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
15		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
16	2, 15, 12	cvrlt 39226	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
17	1, 5, 11, 14, 16	syl31anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
18		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ≤ 𝑋)
19		atlpos 39257	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
20	1, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
21		atlen0.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
22	2, 21, 15	pltletr 18413	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
23	20, 5, 11, 6, 22	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
24	17, 18, 23	mp2and 698	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋)
25	15	pltne 18404	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋 → 0 ≠ 𝑋))
26	7, 24, 25	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 ≠ 𝑋)
27	26	necomd 3002	1 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  Posetcpo 18377  ltcplt 18378  0.cp0 18493   ⋖ ccvr 39218  Atomscatm 39219  AtLatcal 39220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-glb 18417  df-p0 18495  df-lat 18502  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254

This theorem is referenced by:  ps-2b  39439  2atm  39484  2llnm4  39527  dalem21  39651  dalem54  39683  trlval3  40144  cdlemc5  40152