Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlen0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlen0 37818
Description: A lattice element is nonzero if an atom is under it. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlen0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atlen0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atlen0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
atlen0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atlen0 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 β‰  0 )

Proof of Theorem atlen0
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlen0.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 atlen0.z . . . . . 6 0 = (0.β€˜πΎ)
42, 3atl0cl 37811 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 0 ∈ 𝐡)
51, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 ∈ 𝐡)
6 simpl2 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
71, 5, 63jca 1129 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
8 simpl3 1194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
9 atlen0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
102, 9atbase 37797 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
133, 12, 9atcvr0 37796 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 ( β‹– β€˜πΎ)𝑃)
141, 8, 13syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 ( β‹– β€˜πΎ)𝑃)
15 eqid 2733 . . . . . 6 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
162, 15, 12cvrlt 37778 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ 0 ( β‹– β€˜πΎ)𝑃) β†’ 0 (ltβ€˜πΎ)𝑃)
171, 5, 11, 14, 16syl31anc 1374 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 (ltβ€˜πΎ)𝑃)
18 simpr 486 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋)
19 atlpos 37809 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
201, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
21 atlen0.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
222, 21, 15pltletr 18237 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (( 0 (ltβ€˜πΎ)𝑃 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 (ltβ€˜πΎ)𝑋))
2320, 5, 11, 6, 22syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (( 0 (ltβ€˜πΎ)𝑃 ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 (ltβ€˜πΎ)𝑋))
2417, 18, 23mp2and 698 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 (ltβ€˜πΎ)𝑋)
2515pltne 18228 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (ltβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 0 β‰  𝑋))
267, 24, 25sylc 65 . 2 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 0 β‰  𝑋)
2726necomd 2996 1 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  Posetcpo 18201  ltcplt 18202  0.cp0 18317   β‹– ccvr 37770  Atomscatm 37771  AtLatcal 37772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-glb 18241  df-p0 18319  df-lat 18326  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806
This theorem is referenced by:  ps-2b  37991  2atm  38036  2llnm4  38079  dalem21  38203  dalem54  38235  trlval3  38696  cdlemc5  38704
  Copyright terms: Public domain W3C validator