Theorem 1cvratex 39849

Description: There exists an atom less than an element covered by 1. (Contributed by NM, 7-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvratex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvratex.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
1cvratex.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvratex.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvratex.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvratex	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   < ,𝑝   1 ,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem 1cvratex

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → 𝐾 ∈ HL)
2		1cvratex.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		1cvratex.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
5		1cvratex.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6		1cvratex.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	1cvrco 39848	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴))
8	7	biimp3a 1472	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
10	9, 5, 6	2dim 39846	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
11	1, 8, 10	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
12		simp11 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ HL)
13		hlop 39738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ OP)
15	12	hllatd 39740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ Lat)
16		simp12 1206	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	2, 4	opoccl 39570	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
18	14, 16, 17	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
19		simp2l 1201	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
20	2, 6	atbase 39665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑞 ∈ 𝐵)
22	2, 9	latjcl 18374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
23	15, 18, 21, 22	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
24	2, 4	opoccl 39570	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)
25	14, 23, 24	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)
26		simp2r 1202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑟 ∈ 𝐴)
27	2, 6	atbase 39665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ 𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑟 ∈ 𝐵)
29	2, 9	latjcl 18374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
30	15, 23, 28, 29	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
31	2, 4	opoccl 39570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵)
32	14, 30, 31	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵)
33		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
34		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
35	2, 33, 34	op0le 39562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
36	14, 32, 35	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
37		simp3r 1204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))
38		1cvratex.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ < = (lt‘𝐾)
39	2, 38, 5	cvrlt 39646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))
40	12, 23, 30, 37, 39	syl31anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))
41	2, 38, 4	opltcon3b 39580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ↔ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
42	14, 23, 30, 41	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ↔ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
43	40, 42	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
44		hlpos 39742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
45	12, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ Poset)
46	2, 34	op0cl 39560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
47	14, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
48	2, 33, 38	plelttr 18277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)) → (((0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))) → (0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
49	45, 47, 32, 25, 48	syl13anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))) → (0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
50	36, 43, 49	mp2and 700	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
51	38	pltne 18267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → (0.‘𝐾) ≠ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
52	12, 47, 25, 51	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → (0.‘𝐾) ≠ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
53	50, 52	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾) ≠ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
54	53	necomd 2988	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ≠ (0.‘𝐾))
55	2, 33, 34, 6	atle 39812	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ≠ (0.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
56	12, 25, 54, 55	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
57		simp3l 1203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))
58	2, 38, 5	cvrlt 39646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))
59	12, 18, 23, 57, 58	syl31anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))
60	2, 38, 4	opltcon3b 39580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ↔ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
61	14, 18, 23, 60	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ↔ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
62	59, 61	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
63	2, 4	opococ 39571	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
64	14, 16, 63	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
65	62, 64	breqtrd 5126	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋)
66	65	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋)
67		simpl11 1250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
68	67, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
69	2, 6	atbase 39665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
70	69	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
71	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)
72		simpl12 1251	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
73	2, 33, 38	plelttr 18277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋) → 𝑝 < 𝑋))
74	68, 70, 71, 72, 73	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋) → 𝑝 < 𝑋))
75	66, 74	mpan2d 695	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑝 < 𝑋))
76	75	reximdva 3151	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋))
77	56, 76	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)
78	77	3exp 1120	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)))
79	78	rexlimdvv 3194	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋))
80	11, 79	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  lecple 17196  occoc 17197  Posetcpo 18242  ltcplt 18243  joincjn 18246  0.cp0 18356  1.cp1 18357  Latclat 18366  OPcops 39548   ⋖ ccvr 39638  Atomscatm 39639  HLchlt 39726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39552  df-ol 39554  df-oml 39555  df-covers 39642  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727

This theorem is referenced by:  1cvratlt  39850  lhpexlt  40378