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Theorem 1cvratex 38332
Description: There exists an atom less than an element covered by 1. (Contributed by NM, 7-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvratex.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1cvratex.s < = (ltβ€˜πΎ)
1cvratex.u 1 = (1.β€˜πΎ)
1cvratex.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
1cvratex.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
1cvratex ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐢,𝑝   𝐾,𝑝   < ,𝑝   1 ,𝑝   𝑋,𝑝
Proof of Theorem 1cvratex
Dummy variables π‘ž π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 1cvratex.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 1cvratex.u . . . . 5 1 = (1.β€˜πΎ)
4 eqid 2732 . . . . 5 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
5 1cvratex.c . . . . 5 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
6 1cvratex.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
72, 3, 4, 5, 61cvrco 38331 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
87biimp3a 1469 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
9 eqid 2732 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
109, 5, 62dim 38329 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
111, 8, 10syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
12 simp11 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
13 hlop 38220 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ OP)
1512hllatd 38222 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
16 simp12 1204 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
172, 4opoccl 38052 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
1814, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
19 simp2l 1199 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
202, 6atbase 38147 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
222, 9latjcl 18388 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡)
2315, 18, 21, 22syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡)
242, 4opoccl 38052 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡)
2514, 23, 24syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡)
26 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
272, 6atbase 38147 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
292, 9latjcl 18388 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
3015, 23, 28, 29syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
312, 4opoccl 38052 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∈ 𝐡)
3214, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∈ 𝐡)
33 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
34 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
352, 33, 34op0le 38044 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∈ 𝐡) β†’ (0.β€˜πΎ)(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
3614, 32, 35syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (0.β€˜πΎ)(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
37 simp3r 1202 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))
38 1cvratex.s . . . . . . . . . . . 12 < = (ltβ€˜πΎ)
392, 38, 5cvrlt 38128 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) < ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))
4012, 23, 30, 37, 39syl31anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) < ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))
412, 38, 4opltcon3b 38062 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) < ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
4214, 23, 30, 41syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) < ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
4340, 42mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
44 hlpos 38224 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
4512, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
462, 34op0cl 38042 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ OP β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡)
4714, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡)
482, 33, 38plelttr 18293 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡)) β†’ (((0.β€˜πΎ)(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ (0.β€˜πΎ) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
4945, 47, 32, 25, 48syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (((0.β€˜πΎ)(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ (0.β€˜πΎ) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
5036, 43, 49mp2and 697 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (0.β€˜πΎ) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
5138pltne 18283 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ (0.β€˜πΎ) β‰  ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
5212, 47, 25, 51syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((0.β€˜πΎ) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ (0.β€˜πΎ) β‰  ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
5350, 52mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (0.β€˜πΎ) β‰  ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
5453necomd 2996 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β‰  (0.β€˜πΎ))
552, 33, 34, 6atle 38295 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
5612, 25, 54, 55syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
57 simp3l 1201 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
582, 38, 5cvrlt 38128 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) < (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
5912, 18, 23, 57, 58syl31anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) < (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
602, 38, 4opltcon3b 38062 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) < (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
6114, 18, 23, 60syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) < (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
6259, 61mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
632, 4opococ 38053 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)) = 𝑋)
6414, 16, 63syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)) = 𝑋)
6562, 64breqtrd 5173 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < 𝑋)
6665adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < 𝑋)
67 simpl11 1248 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
6867, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
692, 6atbase 38147 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
7069adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
7125adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡)
72 simpl12 1249 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
732, 33, 38plelttr 18293 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < 𝑋) β†’ 𝑝 < 𝑋))
7468, 70, 71, 72, 73syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < 𝑋) β†’ 𝑝 < 𝑋))
7566, 74mpan2d 692 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ 𝑝 < 𝑋))
7675reximdva 3168 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋))
7756, 76mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)
78773exp 1119 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)))
7978rexlimdvv 3210 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋))
8011, 79mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  occoc 17201  Posetcpo 18256  ltcplt 18257  joincjn 18260  0.cp0 18372  1.cp1 18373  Latclat 18380  OPcops 38030   β‹– ccvr 38120  Atomscatm 38121  HLchlt 38208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209
This theorem is referenced by:  1cvratlt  38333  lhpexlt  38861
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