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Theorem 1cvratex 39456
Description: There exists an atom less than an element covered by 1. (Contributed by NM, 7-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvratex.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvratex.s < = (lt‘𝐾)
1cvratex.u 1 = (1.‘𝐾)
1cvratex.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvratex.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
1cvratex ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑝𝐴 𝑝 < 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   < ,𝑝   1 ,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem 1cvratex
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) → 𝐾 ∈ HL)
2 1cvratex.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 1cvratex.u . . . . 5 1 = (1.‘𝐾)
4 eqid 2735 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
5 1cvratex.c . . . . 5 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6 1cvratex.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
72, 3, 4, 5, 61cvrco 39455 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴))
87biimp3a 1468 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴)
9 eqid 2735 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
109, 5, 62dim 39453 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
111, 8, 10syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
12 simp11 1202 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ HL)
13 hlop 39344 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ OP)
1512hllatd 39346 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ Lat)
16 simp12 1203 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑋𝐵)
172, 4opoccl 39176 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
1814, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
19 simp2l 1198 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑞𝐴)
202, 6atbase 39271 . . . . . . . . 9 (𝑞𝐴𝑞𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑞𝐵)
222, 9latjcl 18497 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵𝑞𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
2315, 18, 21, 22syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
242, 4opoccl 39176 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)
2514, 23, 24syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)
26 simp2r 1199 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑟𝐴)
272, 6atbase 39271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟𝐴𝑟𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑟𝐵)
292, 9latjcl 18497 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵𝑟𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
3015, 23, 28, 29syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
312, 4opoccl 39176 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵)
3214, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵)
33 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
34 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
352, 33, 34op0le 39168 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
3614, 32, 35syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
37 simp3r 1201 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))
38 1cvratex.s . . . . . . . . . . . 12 < = (lt‘𝐾)
392, 38, 5cvrlt 39252 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))
4012, 23, 30, 37, 39syl31anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))
412, 38, 4opltcon3b 39186 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ↔ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
4214, 23, 30, 41syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ↔ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
4340, 42mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
44 hlpos 39348 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
4512, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ Poset)
462, 34op0cl 39166 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
4714, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
482, 33, 38plelttr 18402 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)) → (((0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))) → (0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
4945, 47, 32, 25, 48syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))) → (0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
5036, 43, 49mp2and 699 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
5138pltne 18392 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → (0.‘𝐾) ≠ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
5212, 47, 25, 51syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → (0.‘𝐾) ≠ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
5350, 52mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾) ≠ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
5453necomd 2994 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ≠ (0.‘𝐾))
552, 33, 34, 6atle 39419 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ≠ (0.‘𝐾)) → ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
5612, 25, 54, 55syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
57 simp3l 1200 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))
582, 38, 5cvrlt 39252 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))
5912, 18, 23, 57, 58syl31anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))
602, 38, 4opltcon3b 39186 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ↔ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
6114, 18, 23, 60syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ↔ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
6259, 61mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
632, 4opococ 39177 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
6414, 16, 63syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
6562, 64breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋)
6665adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋)
67 simpl11 1247 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
6867, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
692, 6atbase 39271 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
7069adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐵)
7125adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)
72 simpl12 1248 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑋𝐵)
732, 33, 38plelttr 18402 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋) → 𝑝 < 𝑋))
7468, 70, 71, 72, 73syl13anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋) → 𝑝 < 𝑋))
7566, 74mpan2d 694 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑝 < 𝑋))
7675reximdva 3166 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → ∃𝑝𝐴 𝑝 < 𝑋))
7756, 76mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ∃𝑝𝐴 𝑝 < 𝑋)
78773exp 1118 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) → ((𝑞𝐴𝑟𝐴) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) → ∃𝑝𝐴 𝑝 < 𝑋)))
7978rexlimdvv 3210 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) → (∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) → ∃𝑝𝐴 𝑝 < 𝑋))
8011, 79mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑝𝐴 𝑝 < 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  occoc 17306  Posetcpo 18365  ltcplt 18366  joincjn 18369  0.cp0 18481  1.cp1 18482  Latclat 18489  OPcops 39154  ccvr 39244  Atomscatm 39245  HLchlt 39332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333
This theorem is referenced by:  1cvratlt  39457  lhpexlt  39985
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