Theorem 1cvratex 40305

Description: There exists an atom less than an element covered by 1. (Contributed by NM, 7-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvratex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvratex.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
1cvratex.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvratex.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvratex.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvratex	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   < ,𝑝   1 ,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem 1cvratex

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → 𝐾 ∈ HL)
2		1cvratex.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		1cvratex.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
5		1cvratex.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6		1cvratex.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	1cvrco 40304	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴))
8	7	biimp3a 1498	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴)
9		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
10	9, 5, 6	2dim 40302	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
11	1, 8, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
12		simp11 1222	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ HL)
13		hlop 40194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ OP)
15	12	hllatd 40196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ Lat)
16		simp12 1223	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	2, 4	opoccl 40026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
18	14, 16, 17	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
19		simp2l 1218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
20	2, 6	atbase 40121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑞 ∈ 𝐵)
22	2, 9	latjcl 18517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
23	15, 18, 21, 22	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
24	2, 4	opoccl 40026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)
25	14, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)
26		simp2r 1219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑟 ∈ 𝐴)
27	2, 6	atbase 40121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ 𝐵)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑟 ∈ 𝐵)
29	2, 9	latjcl 18517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
30	15, 23, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
31	2, 4	opoccl 40026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵)
32	14, 30, 31	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵)
33		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
34		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
35	2, 33, 34	op0le 40018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
36	14, 32, 35	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
37		simp3r 1221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))
38		1cvratex.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ < = (lt‘𝐾)
39	2, 38, 5	cvrlt 40102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))
40	12, 23, 30, 37, 39	syl31anc 1400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))
41	2, 38, 4	opltcon3b 40036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ↔ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
42	14, 23, 30, 41	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ↔ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
43	40, 42	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
44		hlpos 40198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
45	12, 44	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ Poset)
46	2, 34	op0cl 40016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
47	14, 46	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
48	2, 33, 38	plelttr 18420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)) → (((0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))) → (0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
49	45, 47, 32, 25, 48	syl13anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))) → (0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
50	36, 43, 49	mp2and 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
51	38	pltne 18410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → (0.‘𝐾) ≠ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
52	12, 47, 25, 51	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → (0.‘𝐾) ≠ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
53	50, 52	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾) ≠ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
54	53	necomd 3015	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ≠ (0.‘𝐾))
55	2, 33, 34, 6	atle 40268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ≠ (0.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
56	12, 25, 54, 55	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
57		simp3l 1220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))
58	2, 38, 5	cvrlt 40102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))
59	12, 18, 23, 57, 58	syl31anc 1400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))
60	2, 38, 4	opltcon3b 40036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ↔ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
61	14, 18, 23, 60	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ↔ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
62	59, 61	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
63	2, 4	opococ 40027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
64	14, 16, 63	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
65	62, 64	breqtrd 5139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋)
66	65	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋)
67		simpl11 1267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
68	67, 44	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
69	2, 6	atbase 40121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
70	69	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
71	25	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)
72		simpl12 1268	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
73	2, 33, 38	plelttr 18420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋) → 𝑝 < 𝑋))
74	68, 70, 71, 72, 73	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋) → 𝑝 < 𝑋))
75	66, 74	mpan2d 707	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑝 < 𝑋))
76	75	reximdva 3180	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋))
77	56, 76	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)
78	77	3exp 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)))
79	78	rexlimdvv 3223	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋))
80	11, 79	mpd 16	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  lecple 17339  occoc 17340  Posetcpo 18385  ltcplt 18386  joincjn 18389  0.cp0 18499  1.cp1 18500  Latclat 18509  OPcops 40004   ⋖ ccvr 40094  Atomscatm 40095  HLchlt 40182

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18372  df-poset 18391  df-plt 18406  df-lub 18422  df-glb 18423  df-join 18424  df-meet 18425  df-p0 18501  df-p1 18502  df-lat 18510  df-clat 18577  df-oposet 40008  df-ol 40010  df-oml 40011  df-covers 40098  df-ats 40099  df-atl 40130  df-cvlat 40154  df-hlat 40183

This theorem is used by:  1cvratlt  40306  lhpexlt  40834