Theorem 1cvratex 39965

Description: There exists an atom less than an element covered by 1. (Contributed by NM, 7-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1cvratex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvratex.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
1cvratex.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
1cvratex.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvratex.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1cvratex	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   < ,𝑝   1 ,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem 1cvratex

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → 𝐾 ∈ HL)
2		1cvratex.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		1cvratex.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
5		1cvratex.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6		1cvratex.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	1cvrco 39964	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴))
8	7	biimp3a 1477	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴)
9		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
10	9, 5, 6	2dim 39962	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
11	1, 8, 10	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
12		simp11 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ HL)
13		hlop 39854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ OP)
15	12	hllatd 39856	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ Lat)
16		simp12 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	2, 4	opoccl 39686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
18	14, 16, 17	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
19		simp2l 1206	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
20	2, 6	atbase 39781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑞 ∈ 𝐵)
22	2, 9	latjcl 18396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
23	15, 18, 21, 22	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
24	2, 4	opoccl 39686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)
25	14, 23, 24	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)
26		simp2r 1207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑟 ∈ 𝐴)
27	2, 6	atbase 39781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ 𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑟 ∈ 𝐵)
29	2, 9	latjcl 18396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
30	15, 23, 28, 29	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
31	2, 4	opoccl 39686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵)
32	14, 30, 31	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵)
33		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
34		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
35	2, 33, 34	op0le 39678	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
36	14, 32, 35	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
37		simp3r 1209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))
38		1cvratex.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ < = (lt‘𝐾)
39	2, 38, 5	cvrlt 39762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))
40	12, 23, 30, 37, 39	syl31anc 1381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))
41	2, 38, 4	opltcon3b 39696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ↔ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
42	14, 23, 30, 41	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ↔ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
43	40, 42	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
44		hlpos 39858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
45	12, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ Poset)
46	2, 34	op0cl 39676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
47	14, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
48	2, 33, 38	plelttr 18299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)) → (((0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))) → (0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
49	45, 47, 32, 25, 48	syl13anc 1380	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))) → (0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
50	36, 43, 49	mp2and 705	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
51	38	pltne 18289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → (0.‘𝐾) ≠ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
52	12, 47, 25, 51	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → (0.‘𝐾) ≠ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
53	50, 52	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾) ≠ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
54	53	necomd 2989	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ≠ (0.‘𝐾))
55	2, 33, 34, 6	atle 39928	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ≠ (0.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
56	12, 25, 54, 55	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
57		simp3l 1208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))
58	2, 38, 5	cvrlt 39762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))
59	12, 18, 23, 57, 58	syl31anc 1381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))
60	2, 38, 4	opltcon3b 39696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ↔ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
61	14, 18, 23, 60	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ↔ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
62	59, 61	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
63	2, 4	opococ 39687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
64	14, 16, 63	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
65	62, 64	breqtrd 5098	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋)
66	65	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋)
67		simpl11 1255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
68	67, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
69	2, 6	atbase 39781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
70	69	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
71	25	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)
72		simpl12 1256	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
73	2, 33, 38	plelttr 18299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋) → 𝑝 < 𝑋))
74	68, 70, 71, 72, 73	syl13anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋) → 𝑝 < 𝑋))
75	66, 74	mpan2d 700	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑝 < 𝑋))
76	75	reximdva 3152	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋))
77	56, 76	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)
78	77	3exp 1125	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)))
79	78	rexlimdvv 3195	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋))
80	11, 79	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  lecple 17218  occoc 17219  Posetcpo 18264  ltcplt 18265  joincjn 18268  0.cp0 18378  1.cp1 18379  Latclat 18388  OPcops 39664   ⋖ ccvr 39754  Atomscatm 39755  HLchlt 39842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39668  df-ol 39670  df-oml 39671  df-covers 39758  df-ats 39759  df-atl 39790  df-cvlat 39814  df-hlat 39843

This theorem is referenced by:  1cvratlt  39966  lhpexlt  40494