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Theorem 1cvratex 39476
Description: There exists an atom less than an element covered by 1. (Contributed by NM, 7-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvratex.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvratex.s < = (lt‘𝐾)
1cvratex.u 1 = (1.‘𝐾)
1cvratex.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvratex.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
1cvratex ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑝𝐴 𝑝 < 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   < ,𝑝   1 ,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem 1cvratex
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) → 𝐾 ∈ HL)
2 1cvratex.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 1cvratex.u . . . . 5 1 = (1.‘𝐾)
4 eqid 2736 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
5 1cvratex.c . . . . 5 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6 1cvratex.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
72, 3, 4, 5, 61cvrco 39475 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴))
87biimp3a 1470 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴)
9 eqid 2736 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
109, 5, 62dim 39473 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
111, 8, 10syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
12 simp11 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ HL)
13 hlop 39364 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ OP)
1512hllatd 39366 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ Lat)
16 simp12 1204 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑋𝐵)
172, 4opoccl 39196 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
1814, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
19 simp2l 1199 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑞𝐴)
202, 6atbase 39291 . . . . . . . . 9 (𝑞𝐴𝑞𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑞𝐵)
222, 9latjcl 18485 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵𝑞𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
2315, 18, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
242, 4opoccl 39196 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)
2514, 23, 24syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)
26 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑟𝐴)
272, 6atbase 39291 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟𝐴𝑟𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝑟𝐵)
292, 9latjcl 18485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵𝑟𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
3015, 23, 28, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵)
312, 4opoccl 39196 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵)
3214, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵)
33 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
34 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
352, 33, 34op0le 39188 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
3614, 32, 35syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)))
37 simp3r 1202 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))
38 1cvratex.s . . . . . . . . . . . 12 < = (lt‘𝐾)
392, 38, 5cvrlt 39272 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))
4012, 23, 30, 37, 39syl31anc 1374 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))
412, 38, 4opltcon3b 39206 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ↔ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
4214, 23, 30, 41syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) < ((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟) ↔ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
4340, 42mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
44 hlpos 39368 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
4512, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → 𝐾 ∈ Poset)
462, 34op0cl 39186 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
4714, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
482, 33, 38plelttr 18390 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)) → (((0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))) → (0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
4945, 47, 32, 25, 48syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((0.‘𝐾)(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))) → (0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
5036, 43, 49mp2and 699 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
5138pltne 18380 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → (0.‘𝐾) ≠ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
5212, 47, 25, 51syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((0.‘𝐾) < ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → (0.‘𝐾) ≠ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))))
5350, 52mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (0.‘𝐾) ≠ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
5453necomd 2995 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ≠ (0.‘𝐾))
552, 33, 34, 6atle 39439 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ≠ (0.‘𝐾)) → ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
5612, 25, 54, 55syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)))
57 simp3l 1201 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))
582, 38, 5cvrlt 39272 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))
5912, 18, 23, 57, 58syl31anc 1374 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞))
602, 38, 4opltcon3b 39206 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ↔ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
6114, 18, 23, 60syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) < (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ↔ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
6259, 61mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
632, 4opococ 39197 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
6414, 16, 63syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
6562, 64breqtrd 5168 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋)
6665adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋)
67 simpl11 1248 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
6867, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
692, 6atbase 39291 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
7069adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐵)
7125adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝𝐴) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵)
72 simpl12 1249 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑋𝐵)
732, 33, 38plelttr 18390 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋) → 𝑝 < 𝑋))
7468, 70, 71, 72, 73syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) < 𝑋) → 𝑝 < 𝑋))
7566, 74mpan2d 694 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑝 < 𝑋))
7675reximdva 3167 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → (∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)) → ∃𝑝𝐴 𝑝 < 𝑋))
7756, 76mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟))) → ∃𝑝𝐴 𝑝 < 𝑋)
78773exp 1119 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) → ((𝑞𝐴𝑟𝐴) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) → ∃𝑝𝐴 𝑝 < 𝑋)))
7978rexlimdvv 3211 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) → (∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (((oc‘𝐾)‘𝑋)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)𝐶((((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑞)(join‘𝐾)𝑟)) → ∃𝑝𝐴 𝑝 < 𝑋))
8011, 79mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐶 1 ) → ∃𝑝𝐴 𝑝 < 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wrex 3069   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  lecple 17305  occoc 17306  Posetcpo 18354  ltcplt 18355  joincjn 18358  0.cp0 18469  1.cp1 18470  Latclat 18477  OPcops 39174  ccvr 39264  Atomscatm 39265  HLchlt 39352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353
This theorem is referenced by:  1cvratlt  39477  lhpexlt  40005
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