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Theorem 1cvratex 38857
Description: There exists an atom less than an element covered by 1. (Contributed by NM, 7-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvratex.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1cvratex.s < = (ltβ€˜πΎ)
1cvratex.u 1 = (1.β€˜πΎ)
1cvratex.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
1cvratex.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
1cvratex ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐢,𝑝   𝐾,𝑝   < ,𝑝   1 ,𝑝   𝑋,𝑝
Proof of Theorem 1cvratex
Dummy variables π‘ž π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 1cvratex.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 1cvratex.u . . . . 5 1 = (1.β€˜πΎ)
4 eqid 2726 . . . . 5 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
5 1cvratex.c . . . . 5 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
6 1cvratex.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
72, 3, 4, 5, 61cvrco 38856 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
87biimp3a 1465 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
9 eqid 2726 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
109, 5, 62dim 38854 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
111, 8, 10syl2anc 583 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
12 simp11 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
13 hlop 38745 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ OP)
1512hllatd 38747 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
16 simp12 1201 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
172, 4opoccl 38577 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
1814, 16, 17syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
19 simp2l 1196 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
202, 6atbase 38672 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
222, 9latjcl 18404 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡)
2315, 18, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡)
242, 4opoccl 38577 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡)
2514, 23, 24syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡)
26 simp2r 1197 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
272, 6atbase 38672 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
292, 9latjcl 18404 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
3015, 23, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
312, 4opoccl 38577 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∈ 𝐡)
3214, 30, 31syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∈ 𝐡)
33 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
34 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
352, 33, 34op0le 38569 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∈ 𝐡) β†’ (0.β€˜πΎ)(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
3614, 32, 35syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (0.β€˜πΎ)(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
37 simp3r 1199 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))
38 1cvratex.s . . . . . . . . . . . 12 < = (ltβ€˜πΎ)
392, 38, 5cvrlt 38653 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) < ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))
4012, 23, 30, 37, 39syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) < ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))
412, 38, 4opltcon3b 38587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) < ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
4214, 23, 30, 41syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) < ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
4340, 42mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
44 hlpos 38749 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
4512, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
462, 34op0cl 38567 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ OP β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡)
4714, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡)
482, 33, 38plelttr 18309 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡)) β†’ (((0.β€˜πΎ)(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ (0.β€˜πΎ) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
4945, 47, 32, 25, 48syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (((0.β€˜πΎ)(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ (0.β€˜πΎ) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
5036, 43, 49mp2and 696 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (0.β€˜πΎ) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
5138pltne 18299 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ (0.β€˜πΎ) β‰  ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
5212, 47, 25, 51syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((0.β€˜πΎ) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ (0.β€˜πΎ) β‰  ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
5350, 52mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (0.β€˜πΎ) β‰  ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
5453necomd 2990 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β‰  (0.β€˜πΎ))
552, 33, 34, 6atle 38820 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
5612, 25, 54, 55syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
57 simp3l 1198 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
582, 38, 5cvrlt 38653 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) < (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
5912, 18, 23, 57, 58syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) < (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
602, 38, 4opltcon3b 38587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) < (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
6114, 18, 23, 60syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) < (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
6259, 61mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
632, 4opococ 38578 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)) = 𝑋)
6414, 16, 63syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)) = 𝑋)
6562, 64breqtrd 5167 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < 𝑋)
6665adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < 𝑋)
67 simpl11 1245 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
6867, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
692, 6atbase 38672 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
7069adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
7125adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡)
72 simpl12 1246 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
732, 33, 38plelttr 18309 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < 𝑋) β†’ 𝑝 < 𝑋))
7468, 70, 71, 72, 73syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < 𝑋) β†’ 𝑝 < 𝑋))
7566, 74mpan2d 691 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ 𝑝 < 𝑋))
7675reximdva 3162 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋))
7756, 76mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)
78773exp 1116 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)))
7978rexlimdvv 3204 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋))
8011, 79mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  occoc 17214  Posetcpo 18272  ltcplt 18273  joincjn 18276  0.cp0 18388  1.cp1 18389  Latclat 18396  OPcops 38555   β‹– ccvr 38645  Atomscatm 38646  HLchlt 38733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734
This theorem is referenced by:  1cvratlt  38858  lhpexlt  39386
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