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Theorem 1cvratex 38986
Description: There exists an atom less than an element covered by 1. (Contributed by NM, 7-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvratex.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1cvratex.s < = (ltβ€˜πΎ)
1cvratex.u 1 = (1.β€˜πΎ)
1cvratex.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
1cvratex.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
1cvratex ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐢,𝑝   𝐾,𝑝   < ,𝑝   1 ,𝑝   𝑋,𝑝
Proof of Theorem 1cvratex
Dummy variables π‘ž π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 1cvratex.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 1cvratex.u . . . . 5 1 = (1.β€˜πΎ)
4 eqid 2728 . . . . 5 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
5 1cvratex.c . . . . 5 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
6 1cvratex.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
72, 3, 4, 5, 61cvrco 38985 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢 1 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
87biimp3a 1465 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
9 eqid 2728 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
109, 5, 62dim 38983 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
111, 8, 10syl2anc 582 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
12 simp11 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
13 hlop 38874 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ OP)
1512hllatd 38876 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
16 simp12 1201 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
172, 4opoccl 38706 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
1814, 16, 17syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
19 simp2l 1196 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
202, 6atbase 38801 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
222, 9latjcl 18440 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡)
2315, 18, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡)
242, 4opoccl 38706 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡)
2514, 23, 24syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡)
26 simp2r 1197 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
272, 6atbase 38801 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
292, 9latjcl 18440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
3015, 23, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
312, 4opoccl 38706 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∈ 𝐡)
3214, 30, 31syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∈ 𝐡)
33 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
34 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
352, 33, 34op0le 38698 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∈ 𝐡) β†’ (0.β€˜πΎ)(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
3614, 32, 35syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (0.β€˜πΎ)(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
37 simp3r 1199 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))
38 1cvratex.s . . . . . . . . . . . 12 < = (ltβ€˜πΎ)
392, 38, 5cvrlt 38782 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) < ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))
4012, 23, 30, 37, 39syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) < ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))
412, 38, 4opltcon3b 38716 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ∈ 𝐡) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) < ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
4214, 23, 30, 41syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) < ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
4340, 42mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
44 hlpos 38878 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
4512, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
462, 34op0cl 38696 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ OP β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡)
4714, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡)
482, 33, 38plelttr 18345 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡)) β†’ (((0.β€˜πΎ)(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ (0.β€˜πΎ) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
4945, 47, 32, 25, 48syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (((0.β€˜πΎ)(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ (0.β€˜πΎ) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
5036, 43, 49mp2and 697 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (0.β€˜πΎ) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
5138pltne 18335 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ (0.β€˜πΎ) β‰  ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
5212, 47, 25, 51syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((0.β€˜πΎ) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ (0.β€˜πΎ) β‰  ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
5350, 52mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (0.β€˜πΎ) β‰  ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
5453necomd 2993 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β‰  (0.β€˜πΎ))
552, 33, 34, 6atle 38949 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
5612, 25, 54, 55syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
57 simp3l 1198 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
582, 38, 5cvrlt 38782 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) < (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
5912, 18, 23, 57, 58syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) < (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
602, 38, 4opltcon3b 38716 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) < (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
6114, 18, 23, 60syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) < (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
6259, 61mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
632, 4opococ 38707 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)) = 𝑋)
6414, 16, 63syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)) = 𝑋)
6562, 64breqtrd 5178 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < 𝑋)
6665adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < 𝑋)
67 simpl11 1245 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
6867, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
692, 6atbase 38801 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
7069adantl 480 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
7125adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡)
72 simpl12 1246 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
732, 33, 38plelttr 18345 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < 𝑋) β†’ 𝑝 < 𝑋))
7468, 70, 71, 72, 73syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) < 𝑋) β†’ 𝑝 < 𝑋))
7566, 74mpan2d 692 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ 𝑝 < 𝑋))
7675reximdva 3165 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋))
7756, 76mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)
78773exp 1116 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)))
7978rexlimdvv 3208 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)𝐢(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)𝐢((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘ž)(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋))
8011, 79mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋𝐢 1 ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  lecple 17249  occoc 17250  Posetcpo 18308  ltcplt 18309  joincjn 18312  0.cp0 18424  1.cp1 18425  Latclat 18432  OPcops 38684   β‹– ccvr 38774  Atomscatm 38775  HLchlt 38862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863
This theorem is referenced by:  1cvratlt  38987  lhpexlt  39515
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