Theorem ogrpaddlt 20353

Description: In an ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpaddlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ogrpaddlt	⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 + 𝑍) < (𝑌 + 𝑍))

Proof of Theorem ogrpaddlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isogrp 20339	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ oGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ oMnd))
2	1	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ oGrp → 𝐺 ∈ oMnd)
3	2	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐺 ∈ oMnd)
4		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵))
5		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐺 ∈ oGrp)
6		simp21 1225	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simp22 1226	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐺) = (le‘𝐺)
10		ogrpaddlt.1	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝐺)
11	9, 10	pltle 18506	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝐺)𝑌))
12	11	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋(le‘𝐺)𝑌)
13	5, 6, 7, 8, 12	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋(le‘𝐺)𝑌)
14		ogrpaddlt.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
15		ogrpaddlt.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16	14, 9, 15	omndadd 20343	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐺)𝑌) → (𝑋 + 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 + 𝑍))
17	3, 4, 13, 16	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 + 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 + 𝑍))
18	10	pltne 18507	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≠ 𝑌))
19	18	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
20	5, 6, 7, 8, 19	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
21		ogrpgrp 20340	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ oGrp → 𝐺 ∈ Grp)
22	14, 15	grprcan 19185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) = (𝑌 + 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))
23	22	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) = (𝑌 + 𝑍) → 𝑋 = 𝑌))
24	21, 23	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) = (𝑌 + 𝑍) → 𝑋 = 𝑌))
25	24	necon3d 2976	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ≠ (𝑌 + 𝑍)))
26	25	3impia 1135	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 + 𝑍) ≠ (𝑌 + 𝑍))
27	5, 4, 20, 26	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 + 𝑍) ≠ (𝑌 + 𝑍))
28		ovex 7453	. . . 4 ⊢ (𝑋 + 𝑍) ∈ V
29		ovex 7453	. . . 4 ⊢ (𝑌 + 𝑍) ∈ V
30	9, 10	pltval 18505	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 + 𝑍) ∈ V ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ V) → ((𝑋 + 𝑍) < (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑋 + 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 + 𝑍) ∧ (𝑋 + 𝑍) ≠ (𝑌 + 𝑍))))
31	28, 29, 30	mp3an23 1482	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ oGrp → ((𝑋 + 𝑍) < (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑋 + 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 + 𝑍) ∧ (𝑋 + 𝑍) ≠ (𝑌 + 𝑍))))
32	31	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑋 + 𝑍) < (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑋 + 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 + 𝑍) ∧ (𝑋 + 𝑍) ≠ (𝑌 + 𝑍))))
33	17, 27, 32	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 + 𝑍) < (𝑌 + 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429  lecple 17436  ltcplt 18483  Grpcgrp 19145  oMndcomnd 20334  oGrpcogrp 20335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-0g 17613  df-plt 18503  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-omnd 20336  df-ogrp 20337

This theorem is used by:  ogrpaddltbi  20354  ogrpaddltrd  20355  ogrpinv0lt  20358  ofldchr  21883  isarchi3  33791  archirngz  33793  archiabllem1b  33796  archiabllem2c  33799