Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpaddlt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ogrpaddlt 32502
Description: In an ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpaddlt.0 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
ogrpaddlt.1 < = (ltβ€˜πΊ)
ogrpaddlt.2 + = (+gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
ogrpaddlt ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 + 𝑍) < (π‘Œ + 𝑍))
Proof of Theorem ogrpaddlt
StepHypRef Expression
1 isogrp 32487 . . . . 5 (𝐺 ∈ oGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ oMnd))
21simprbi 496 . . . 4 (𝐺 ∈ oGrp β†’ 𝐺 ∈ oMnd)
323ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐺 ∈ oMnd)
4 simp2 1136 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡))
5 simp1 1135 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝐺 ∈ oGrp)
6 simp21 1205 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 simp22 1206 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
8 simp3 1137 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 < π‘Œ)
9 eqid 2731 . . . . . 6 (leβ€˜πΊ) = (leβ€˜πΊ)
10 ogrpaddlt.1 . . . . . 6 < = (ltβ€˜πΊ)
119, 10pltle 18291 . . . . 5 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋(leβ€˜πΊ)π‘Œ))
1211imp 406 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋(leβ€˜πΊ)π‘Œ)
135, 6, 7, 8, 12syl31anc 1372 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋(leβ€˜πΊ)π‘Œ)
14 ogrpaddlt.0 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
15 ogrpaddlt.2 . . . 4 + = (+gβ€˜πΊ)
1614, 9, 15omndadd 32491 . . 3 ((𝐺 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋(leβ€˜πΊ)π‘Œ) β†’ (𝑋 + 𝑍)(leβ€˜πΊ)(π‘Œ + 𝑍))
173, 4, 13, 16syl3anc 1370 . 2 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 + 𝑍)(leβ€˜πΊ)(π‘Œ + 𝑍))
1810pltne 18292 . . . . 5 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))
1918imp 406 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
205, 6, 7, 8, 19syl31anc 1372 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
21 ogrpgrp 32488 . . . . . 6 (𝐺 ∈ oGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2214, 15grprcan 18895 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + 𝑍) = (π‘Œ + 𝑍) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
2322biimpd 228 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + 𝑍) = (π‘Œ + 𝑍) β†’ 𝑋 = π‘Œ))
2421, 23sylan 579 . . . . 5 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + 𝑍) = (π‘Œ + 𝑍) β†’ 𝑋 = π‘Œ))
2524necon3d 2960 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ (𝑋 + 𝑍) β‰  (π‘Œ + 𝑍)))
26253impia 1116 . . 3 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝑋 + 𝑍) β‰  (π‘Œ + 𝑍))
275, 4, 20, 26syl3anc 1370 . 2 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 + 𝑍) β‰  (π‘Œ + 𝑍))
28 ovex 7445 . . . 4 (𝑋 + 𝑍) ∈ V
29 ovex 7445 . . . 4 (π‘Œ + 𝑍) ∈ V
309, 10pltval 18290 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 + 𝑍) ∈ V ∧ (π‘Œ + 𝑍) ∈ V) β†’ ((𝑋 + 𝑍) < (π‘Œ + 𝑍) ↔ ((𝑋 + 𝑍)(leβ€˜πΊ)(π‘Œ + 𝑍) ∧ (𝑋 + 𝑍) β‰  (π‘Œ + 𝑍))))
3128, 29, 30mp3an23 1452 . . 3 (𝐺 ∈ oGrp β†’ ((𝑋 + 𝑍) < (π‘Œ + 𝑍) ↔ ((𝑋 + 𝑍)(leβ€˜πΊ)(π‘Œ + 𝑍) ∧ (𝑋 + 𝑍) β‰  (π‘Œ + 𝑍))))
32313ad2ant1 1132 . 2 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ ((𝑋 + 𝑍) < (π‘Œ + 𝑍) ↔ ((𝑋 + 𝑍)(leβ€˜πΊ)(π‘Œ + 𝑍) ∧ (𝑋 + 𝑍) β‰  (π‘Œ + 𝑍))))
3317, 27, 32mpbir2and 710 1 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑋 + 𝑍) < (π‘Œ + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  Vcvv 3473   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  lecple 17209  ltcplt 18266  Grpcgrp 18856  oMndcomnd 32482  oGrpcogrp 32483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-0g 17392  df-plt 18288  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-omnd 32484  df-ogrp 32485
This theorem is referenced by:  ogrpaddltbi  32503  ogrpaddltrd  32504  ogrpinv0lt  32507  isarchi3  32600  archirngz  32602  archiabllem1b  32605  archiabllem2c  32608  ofldchr  32699
  Copyright terms: Public domain W3C validator