Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ps-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ps-2 37941
Description: Lattice analogue for the projective geometry axiom, "if a line intersects two sides of a triangle at different points then it also intersects the third side." Projective space condition PS2 in [MaedaMaeda] p. 68 and part of Theorem 16.4 in [MaedaMaeda] p. 69. (Contributed by NM, 1-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ps1.l = (le‘𝐾)
ps1.j = (join‘𝐾)
ps1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ps-2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ ((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,   𝑢,𝐾   𝑢,   𝑢,𝑃   𝑢,𝑄   𝑢,𝑅   𝑢,𝑆   𝑢,𝑇

Proof of Theorem ps-2
StepHypRef Expression
1 simpl21 1251 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → 𝑃𝐴)
2 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
3 simp21 1206 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑃𝐴)
4 simp23 1208 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑅𝐴)
5 ps1.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
6 ps1.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
7 ps1.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
85, 6, 7hlatlej1 37837 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑅))
92, 3, 4, 8syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑃 (𝑃 𝑅))
109adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → 𝑃 (𝑃 𝑅))
11 simp3r 1202 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑇𝐴)
125, 6, 7hlatlej1 37837 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑇))
132, 3, 11, 12syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑃 (𝑃 𝑇))
14 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑆 = 𝑃 → (𝑆 𝑇) = (𝑃 𝑇))
1514breq2d 5117 . . . . . . 7 (𝑆 = 𝑃 → (𝑃 (𝑆 𝑇) ↔ 𝑃 (𝑃 𝑇)))
1613, 15syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑆 = 𝑃𝑃 (𝑆 𝑇)))
1716imp 407 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → 𝑃 (𝑆 𝑇))
18 breq1 5108 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑃 → (𝑢 (𝑃 𝑅) ↔ 𝑃 (𝑃 𝑅)))
19 breq1 5108 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑃 → (𝑢 (𝑆 𝑇) ↔ 𝑃 (𝑆 𝑇)))
2018, 19anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑃 → ((𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)) ↔ (𝑃 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑃 (𝑆 𝑇))))
2120rspcev 3581 . . . . 5 ((𝑃𝐴 ∧ (𝑃 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑃 (𝑆 𝑇))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)))
221, 10, 17, 21syl12anc 835 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)))
2322a1d 25 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → (((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
24 hlop 37824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
25243ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝐾 ∈ OP)
26 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
27 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2826, 27op0cl 37646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
2925, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
3026, 7atbase 37751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
313, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
32 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3327, 32, 7atcvr0 37750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
342, 3, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
35 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3626, 35, 32cvrlt 37732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃)
372, 29, 31, 34, 36syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃)
38 hlpos 37828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
39383ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝐾 ∈ Poset)
40 hllat 37825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
41403ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4226, 7atbase 37751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
434, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
4426, 6latjcl 18328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4541, 31, 43, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4626, 5, 35pltletr 18232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃𝑃 (𝑃 𝑅)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 𝑅)))
4739, 29, 31, 45, 46syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃𝑃 (𝑃 𝑅)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 𝑅)))
4837, 9, 47mp2and 697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 𝑅))
4935pltne 18223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 𝑅) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑃 𝑅)))
502, 29, 45, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 𝑅) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑃 𝑅)))
5148, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑃 𝑅))
5251necomd 2999 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾))
5352adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → (𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾))
54 hlatl 37822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
55543ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
56 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑆𝐴)
575, 7atncmp 37774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑆𝐴𝑃𝐴) → (¬ 𝑆 𝑃𝑆𝑃))
5855, 56, 3, 57syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (¬ 𝑆 𝑃𝑆𝑃))
59 simp22 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑄𝐴)
6026, 5, 6, 7hlexch1 37845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑄𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑆 𝑃) → (𝑆 (𝑃 𝑄) → 𝑄 (𝑃 𝑆)))
61603expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑄𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (¬ 𝑆 𝑃 → (𝑆 (𝑃 𝑄) → 𝑄 (𝑃 𝑆))))
622, 56, 59, 31, 61syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (¬ 𝑆 𝑃 → (𝑆 (𝑃 𝑄) → 𝑄 (𝑃 𝑆))))
6358, 62sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑆𝑃 → (𝑆 (𝑃 𝑄) → 𝑄 (𝑃 𝑆))))
6463imp32 419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑄 (𝑃 𝑆))
6526, 7atbase 37751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6659, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6726, 7atbase 37751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
6856, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
6926, 6latjcl 18328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
7041, 31, 68, 69syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
7126, 5, 6latjlej1 18342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑄 (𝑃 𝑆) → (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
7241, 66, 70, 43, 71syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑄 (𝑃 𝑆) → (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
7372adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑄 (𝑃 𝑆) → (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
7464, 73mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅))
7574adantrrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅))
7626, 7atbase 37751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
7711, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
7826, 6latjcl 18328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
7941, 66, 43, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
8026, 6latjcl 18328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑆) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
8141, 70, 43, 80syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑃 𝑆) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
8226, 5lattr 18333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑆) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑇 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅)) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
8341, 77, 79, 81, 82syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑇 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅)) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
8483expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
8584adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
8685adantrl 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
8775, 86mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅))
886, 7hlatj32 37834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑆) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑆))
892, 3, 56, 4, 88syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑃 𝑆) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑆))
9089breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅) ↔ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)))
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → (𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅) ↔ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)))
9287, 91mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆))
9353, 92jca 512 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ((𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)))
9493adantrrl 722 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅))))) → ((𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)))
9594ex 413 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑆𝑃 ∧ (¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ((𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆))))
9626, 5, 6, 27, 7cvrat4 37906 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢))))
972, 45, 11, 56, 96syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (((𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢))))
9895, 97syld 47 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑆𝑃 ∧ (¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢))))
9998impl 456 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) ∧ (¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)))
10099adantrlr 721 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) ∧ ((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)))
1015, 7atncmp 37774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇𝐴𝑆𝐴) → (¬ 𝑇 𝑆𝑇𝑆))
10255, 11, 56, 101syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (¬ 𝑇 𝑆𝑇𝑆))
103 necom 2997 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇𝑆𝑆𝑇)
104102, 103bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (¬ 𝑇 𝑆𝑆𝑇))
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → (¬ 𝑇 𝑆𝑆𝑇))
106 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
107 simpl3r 1229 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑇𝐴)
108 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑢𝐴)
10968adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
11026, 5, 6, 7hlexch1 37845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇𝐴𝑢𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑇 𝑆) → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇)))
1111103expia 1121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇𝐴𝑢𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → (¬ 𝑇 𝑆 → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇))))
112106, 107, 108, 109, 111syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → (¬ 𝑇 𝑆 → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇))))
113105, 112sylbird 259 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → (𝑆𝑇 → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇))))
114113imp 407 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑆𝑇) → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇)))
115114an32s 650 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑇) ∧ 𝑢𝐴) → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇)))
116115anim2d 612 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑇) ∧ 𝑢𝐴) → ((𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)) → (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
117116reximdva 3165 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑇) → (∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
118117ad2ant2rl 747 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) ∧ (¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇)) → (∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
119118adantrr 715 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) ∧ ((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → (∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
120100, 119mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) ∧ ((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)))
121120ex 413 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) → (((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
12223, 121pm2.61dane 3032 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
123122imp 407 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ ((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  Posetcpo 18196  ltcplt 18197  joincjn 18200  0.cp0 18312  Latclat 18320  OPcops 37634  ccvr 37724  Atomscatm 37725  AtLatcal 37726  HLchlt 37812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813
This theorem is referenced by:  ps-2b  37945  paddasslem3  38285
  Copyright terms: Public domain W3C validator