Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ps-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ps-2 39461
Description: Lattice analogue for the projective geometry axiom, "if a line intersects two sides of a triangle at different points then it also intersects the third side." Projective space condition PS2 in [MaedaMaeda] p. 68 and part of Theorem 16.4 in [MaedaMaeda] p. 69. (Contributed by NM, 1-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ps1.l = (le‘𝐾)
ps1.j = (join‘𝐾)
ps1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ps-2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ ((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,   𝑢,𝐾   𝑢,   𝑢,𝑃   𝑢,𝑄   𝑢,𝑅   𝑢,𝑆   𝑢,𝑇

Proof of Theorem ps-2
StepHypRef Expression
1 simpl21 1250 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → 𝑃𝐴)
2 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
3 simp21 1205 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑃𝐴)
4 simp23 1207 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑅𝐴)
5 ps1.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
6 ps1.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
7 ps1.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
85, 6, 7hlatlej1 39357 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑅))
92, 3, 4, 8syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑃 (𝑃 𝑅))
109adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → 𝑃 (𝑃 𝑅))
11 simp3r 1201 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑇𝐴)
125, 6, 7hlatlej1 39357 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑇))
132, 3, 11, 12syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑃 (𝑃 𝑇))
14 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑆 = 𝑃 → (𝑆 𝑇) = (𝑃 𝑇))
1514breq2d 5160 . . . . . . 7 (𝑆 = 𝑃 → (𝑃 (𝑆 𝑇) ↔ 𝑃 (𝑃 𝑇)))
1613, 15syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑆 = 𝑃𝑃 (𝑆 𝑇)))
1716imp 406 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → 𝑃 (𝑆 𝑇))
18 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑃 → (𝑢 (𝑃 𝑅) ↔ 𝑃 (𝑃 𝑅)))
19 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑃 → (𝑢 (𝑆 𝑇) ↔ 𝑃 (𝑆 𝑇)))
2018, 19anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑃 → ((𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)) ↔ (𝑃 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑃 (𝑆 𝑇))))
2120rspcev 3622 . . . . 5 ((𝑃𝐴 ∧ (𝑃 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑃 (𝑆 𝑇))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)))
221, 10, 17, 21syl12anc 837 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)))
2322a1d 25 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → (((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
24 hlop 39344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
25243ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝐾 ∈ OP)
26 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
27 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2826, 27op0cl 39166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
2925, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
3026, 7atbase 39271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
313, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
32 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3327, 32, 7atcvr0 39270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
342, 3, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
35 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3626, 35, 32cvrlt 39252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃)
372, 29, 31, 34, 36syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃)
38 hlpos 39348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
39383ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝐾 ∈ Poset)
40 hllat 39345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
41403ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4226, 7atbase 39271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
434, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
4426, 6latjcl 18497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4541, 31, 43, 44syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4626, 5, 35pltletr 18401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃𝑃 (𝑃 𝑅)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 𝑅)))
4739, 29, 31, 45, 46syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃𝑃 (𝑃 𝑅)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 𝑅)))
4837, 9, 47mp2and 699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 𝑅))
4935pltne 18392 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 𝑅) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑃 𝑅)))
502, 29, 45, 49syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 𝑅) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑃 𝑅)))
5148, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑃 𝑅))
5251necomd 2994 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾))
5352adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → (𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾))
54 hlatl 39342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
55543ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
56 simp3l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑆𝐴)
575, 7atncmp 39294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑆𝐴𝑃𝐴) → (¬ 𝑆 𝑃𝑆𝑃))
5855, 56, 3, 57syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (¬ 𝑆 𝑃𝑆𝑃))
59 simp22 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑄𝐴)
6026, 5, 6, 7hlexch1 39365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑄𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑆 𝑃) → (𝑆 (𝑃 𝑄) → 𝑄 (𝑃 𝑆)))
61603expia 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑄𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (¬ 𝑆 𝑃 → (𝑆 (𝑃 𝑄) → 𝑄 (𝑃 𝑆))))
622, 56, 59, 31, 61syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (¬ 𝑆 𝑃 → (𝑆 (𝑃 𝑄) → 𝑄 (𝑃 𝑆))))
6358, 62sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑆𝑃 → (𝑆 (𝑃 𝑄) → 𝑄 (𝑃 𝑆))))
6463imp32 418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑄 (𝑃 𝑆))
6526, 7atbase 39271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6659, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6726, 7atbase 39271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
6856, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
6926, 6latjcl 18497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
7041, 31, 68, 69syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
7126, 5, 6latjlej1 18511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑄 (𝑃 𝑆) → (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
7241, 66, 70, 43, 71syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑄 (𝑃 𝑆) → (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
7372adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑄 (𝑃 𝑆) → (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
7464, 73mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅))
7574adantrrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅))
7626, 7atbase 39271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
7711, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
7826, 6latjcl 18497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
7941, 66, 43, 78syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
8026, 6latjcl 18497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑆) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
8141, 70, 43, 80syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑃 𝑆) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
8226, 5lattr 18502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑆) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑇 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅)) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
8341, 77, 79, 81, 82syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑇 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅)) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
8483expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
8584adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
8685adantrl 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
8775, 86mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅))
886, 7hlatj32 39354 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑆) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑆))
892, 3, 56, 4, 88syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑃 𝑆) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑆))
9089breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅) ↔ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)))
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → (𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅) ↔ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)))
9287, 91mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆))
9353, 92jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ((𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)))
9493adantrrl 724 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅))))) → ((𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)))
9594ex 412 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑆𝑃 ∧ (¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ((𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆))))
9626, 5, 6, 27, 7cvrat4 39426 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢))))
972, 45, 11, 56, 96syl13anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (((𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢))))
9895, 97syld 47 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑆𝑃 ∧ (¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢))))
9998impl 455 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) ∧ (¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)))
10099adantrlr 723 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) ∧ ((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)))
1015, 7atncmp 39294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇𝐴𝑆𝐴) → (¬ 𝑇 𝑆𝑇𝑆))
10255, 11, 56, 101syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (¬ 𝑇 𝑆𝑇𝑆))
103 necom 2992 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇𝑆𝑆𝑇)
104102, 103bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (¬ 𝑇 𝑆𝑆𝑇))
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → (¬ 𝑇 𝑆𝑆𝑇))
106 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
107 simpl3r 1228 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑇𝐴)
108 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑢𝐴)
10968adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
11026, 5, 6, 7hlexch1 39365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇𝐴𝑢𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑇 𝑆) → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇)))
1111103expia 1120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇𝐴𝑢𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → (¬ 𝑇 𝑆 → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇))))
112106, 107, 108, 109, 111syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → (¬ 𝑇 𝑆 → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇))))
113105, 112sylbird 260 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → (𝑆𝑇 → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇))))
114113imp 406 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑆𝑇) → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇)))
115114an32s 652 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑇) ∧ 𝑢𝐴) → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇)))
116115anim2d 612 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑇) ∧ 𝑢𝐴) → ((𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)) → (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
117116reximdva 3166 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑇) → (∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
118117ad2ant2rl 749 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) ∧ (¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇)) → (∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
119118adantrr 717 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) ∧ ((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → (∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
120100, 119mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) ∧ ((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)))
121120ex 412 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) → (((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
12223, 121pm2.61dane 3027 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
123122imp 406 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ ((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  Posetcpo 18365  ltcplt 18366  joincjn 18369  0.cp0 18481  Latclat 18489  OPcops 39154  ccvr 39244  Atomscatm 39245  AtLatcal 39246  HLchlt 39332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333
This theorem is referenced by:  ps-2b  39465  paddasslem3  39805
  Copyright terms: Public domain W3C validator