Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ps-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ps-2 37797
Description: Lattice analogue for the projective geometry axiom, "if a line intersects two sides of a triangle at different points then it also intersects the third side." Projective space condition PS2 in [MaedaMaeda] p. 68 and part of Theorem 16.4 in [MaedaMaeda] p. 69. (Contributed by NM, 1-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ps1.l = (le‘𝐾)
ps1.j = (join‘𝐾)
ps1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ps-2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ ((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,   𝑢,𝐾   𝑢,   𝑢,𝑃   𝑢,𝑄   𝑢,𝑅   𝑢,𝑆   𝑢,𝑇

Proof of Theorem ps-2
StepHypRef Expression
1 simpl21 1250 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → 𝑃𝐴)
2 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
3 simp21 1205 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑃𝐴)
4 simp23 1207 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑅𝐴)
5 ps1.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
6 ps1.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
7 ps1.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
85, 6, 7hlatlej1 37693 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑅))
92, 3, 4, 8syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑃 (𝑃 𝑅))
109adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → 𝑃 (𝑃 𝑅))
11 simp3r 1201 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑇𝐴)
125, 6, 7hlatlej1 37693 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑇))
132, 3, 11, 12syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑃 (𝑃 𝑇))
14 oveq1 7345 . . . . . . . 8 (𝑆 = 𝑃 → (𝑆 𝑇) = (𝑃 𝑇))
1514breq2d 5105 . . . . . . 7 (𝑆 = 𝑃 → (𝑃 (𝑆 𝑇) ↔ 𝑃 (𝑃 𝑇)))
1613, 15syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑆 = 𝑃𝑃 (𝑆 𝑇)))
1716imp 407 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → 𝑃 (𝑆 𝑇))
18 breq1 5096 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑃 → (𝑢 (𝑃 𝑅) ↔ 𝑃 (𝑃 𝑅)))
19 breq1 5096 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑃 → (𝑢 (𝑆 𝑇) ↔ 𝑃 (𝑆 𝑇)))
2018, 19anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑃 → ((𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)) ↔ (𝑃 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑃 (𝑆 𝑇))))
2120rspcev 3570 . . . . 5 ((𝑃𝐴 ∧ (𝑃 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑃 (𝑆 𝑇))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)))
221, 10, 17, 21syl12anc 834 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)))
2322a1d 25 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → (((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
24 hlop 37680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
25243ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝐾 ∈ OP)
26 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
27 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2826, 27op0cl 37502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
2925, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
3026, 7atbase 37607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
313, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
32 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3327, 32, 7atcvr0 37606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
342, 3, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
35 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3626, 35, 32cvrlt 37588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃)
372, 29, 31, 34, 36syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃)
38 hlpos 37684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
39383ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝐾 ∈ Poset)
40 hllat 37681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
41403ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4226, 7atbase 37607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
434, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
4426, 6latjcl 18255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4541, 31, 43, 44syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4626, 5, 35pltletr 18159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃𝑃 (𝑃 𝑅)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 𝑅)))
4739, 29, 31, 45, 46syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃𝑃 (𝑃 𝑅)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 𝑅)))
4837, 9, 47mp2and 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 𝑅))
4935pltne 18150 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 𝑅) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑃 𝑅)))
502, 29, 45, 49syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 𝑅) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑃 𝑅)))
5148, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑃 𝑅))
5251necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾))
5352adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → (𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾))
54 hlatl 37678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
55543ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
56 simp3l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑆𝐴)
575, 7atncmp 37630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑆𝐴𝑃𝐴) → (¬ 𝑆 𝑃𝑆𝑃))
5855, 56, 3, 57syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (¬ 𝑆 𝑃𝑆𝑃))
59 simp22 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑄𝐴)
6026, 5, 6, 7hlexch1 37701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑄𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑆 𝑃) → (𝑆 (𝑃 𝑄) → 𝑄 (𝑃 𝑆)))
61603expia 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑄𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (¬ 𝑆 𝑃 → (𝑆 (𝑃 𝑄) → 𝑄 (𝑃 𝑆))))
622, 56, 59, 31, 61syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (¬ 𝑆 𝑃 → (𝑆 (𝑃 𝑄) → 𝑄 (𝑃 𝑆))))
6358, 62sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑆𝑃 → (𝑆 (𝑃 𝑄) → 𝑄 (𝑃 𝑆))))
6463imp32 419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑄 (𝑃 𝑆))
6526, 7atbase 37607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6659, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6726, 7atbase 37607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
6856, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
6926, 6latjcl 18255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
7041, 31, 68, 69syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
7126, 5, 6latjlej1 18269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑄 (𝑃 𝑆) → (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
7241, 66, 70, 43, 71syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑄 (𝑃 𝑆) → (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
7372adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑄 (𝑃 𝑆) → (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
7464, 73mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅))
7574adantrrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅))
7626, 7atbase 37607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
7711, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
7826, 6latjcl 18255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
7941, 66, 43, 78syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
8026, 6latjcl 18255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑆) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
8141, 70, 43, 80syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑃 𝑆) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
8226, 5lattr 18260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑆) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑇 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅)) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
8341, 77, 79, 81, 82syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑇 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅)) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
8483expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
8584adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
8685adantrl 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) 𝑅) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅)))
8775, 86mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → 𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅))
886, 7hlatj32 37690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑆) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑆))
892, 3, 56, 4, 88syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑃 𝑆) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑆))
9089breq2d 5105 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅) ↔ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)))
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → (𝑇 ((𝑃 𝑆) 𝑅) ↔ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)))
9287, 91mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆))
9353, 92jca 512 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ((𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)))
9493adantrrl 721 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (𝑆𝑃 ∧ (¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅))))) → ((𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)))
9594ex 413 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑆𝑃 ∧ (¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ((𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆))))
9626, 5, 6, 27, 7cvrat4 37762 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢))))
972, 45, 11, 56, 96syl13anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (((𝑃 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑅) 𝑆)) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢))))
9895, 97syld 47 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑆𝑃 ∧ (¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢))))
9998impl 456 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) ∧ (¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)))
10099adantrlr 720 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) ∧ ((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)))
1015, 7atncmp 37630 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇𝐴𝑆𝐴) → (¬ 𝑇 𝑆𝑇𝑆))
10255, 11, 56, 101syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (¬ 𝑇 𝑆𝑇𝑆))
103 necom 2994 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇𝑆𝑆𝑇)
104102, 103bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (¬ 𝑇 𝑆𝑆𝑇))
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → (¬ 𝑇 𝑆𝑆𝑇))
106 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
107 simpl3r 1228 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑇𝐴)
108 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑢𝐴)
10968adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
11026, 5, 6, 7hlexch1 37701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇𝐴𝑢𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑇 𝑆) → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇)))
1111103expia 1120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇𝐴𝑢𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → (¬ 𝑇 𝑆 → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇))))
112106, 107, 108, 109, 111syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → (¬ 𝑇 𝑆 → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇))))
113105, 112sylbird 259 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) → (𝑆𝑇 → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇))))
114113imp 407 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑆𝑇) → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇)))
115114an32s 649 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑇) ∧ 𝑢𝐴) → (𝑇 (𝑆 𝑢) → 𝑢 (𝑆 𝑇)))
116115anim2d 612 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑇) ∧ 𝑢𝐴) → ((𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)) → (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
117116reximdva 3161 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑇) → (∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
118117ad2ant2rl 746 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) ∧ (¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇)) → (∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
119118adantrr 714 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) ∧ ((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → (∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑆 𝑢)) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
120100, 119mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) ∧ ((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)))
121120ex 413 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ 𝑆𝑃) → (((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
12223, 121pm2.61dane 3029 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) → (((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇))))
123122imp 407 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ ((¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)))) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑢 (𝑆 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5093  cfv 6480  (class class class)co 7338  Basecbs 17010  lecple 17067  Posetcpo 18123  ltcplt 18124  joincjn 18127  0.cp0 18239  Latclat 18247  OPcops 37490  ccvr 37580  Atomscatm 37581  AtLatcal 37582  HLchlt 37668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-id 5519  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-proset 18111  df-poset 18129  df-plt 18146  df-lub 18162  df-glb 18163  df-join 18164  df-meet 18165  df-p0 18241  df-lat 18248  df-clat 18315  df-oposet 37494  df-ol 37496  df-oml 37497  df-covers 37584  df-ats 37585  df-atl 37616  df-cvlat 37640  df-hlat 37669
This theorem is referenced by:  ps-2b  37801  paddasslem3  38141
  Copyright terms: Public domain W3C validator