Proof of Theorem ps-2
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | simpl21 1251 | . . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → 𝑃 ∈ 𝐴) | 
| 2 |  | simp1 1136 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL) | 
| 3 |  | simp21 1206 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴) | 
| 4 |  | simp23 1208 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴) | 
| 5 |  | ps1.l | . . . . . . . 8
⊢  ≤ =
(le‘𝐾) | 
| 6 |  | ps1.j | . . . . . . . 8
⊢  ∨ =
(join‘𝐾) | 
| 7 |  | ps1.a | . . . . . . . 8
⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾) | 
| 8 | 5, 6, 7 | hlatlej1 39377 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)) | 
| 9 | 2, 3, 4, 8 | syl3anc 1372 | . . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)) | 
| 10 | 9 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)) | 
| 11 |  | simp3r 1202 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ 𝐴) | 
| 12 | 5, 6, 7 | hlatlej1 39377 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑇)) | 
| 13 | 2, 3, 11, 12 | syl3anc 1372 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑇)) | 
| 14 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑆 = 𝑃 → (𝑆 ∨ 𝑇) = (𝑃 ∨ 𝑇)) | 
| 15 | 14 | breq2d 5154 | . . . . . . 7
⊢ (𝑆 = 𝑃 → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ↔ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑇))) | 
| 16 | 13, 15 | syl5ibrcom 247 | . . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (𝑆 = 𝑃 → 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) | 
| 17 | 16 | imp 406 | . . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) | 
| 18 |  | breq1 5145 | . . . . . . 7
⊢ (𝑢 = 𝑃 → (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ↔ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅))) | 
| 19 |  | breq1 5145 | . . . . . . 7
⊢ (𝑢 = 𝑃 → (𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ↔ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) | 
| 20 | 18, 19 | anbi12d 632 | . . . . . 6
⊢ (𝑢 = 𝑃 → ((𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) ↔ (𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) | 
| 21 | 20 | rspcev 3621 | . . . . 5
⊢ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) | 
| 22 | 1, 10, 17, 21 | syl12anc 836 | . . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) | 
| 23 | 22 | a1d 25 | . . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → (((¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) | 
| 24 |  | hlop 39364 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP) | 
| 25 | 24 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ OP) | 
| 26 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(Base‘𝐾) =
(Base‘𝐾) | 
| 27 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(0.‘𝐾) =
(0.‘𝐾) | 
| 28 | 26, 27 | op0cl 39186 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐾 ∈ OP →
(0.‘𝐾) ∈
(Base‘𝐾)) | 
| 29 | 25, 28 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 30 | 26, 7 | atbase 39291 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 31 | 3, 30 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 32 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ( ⋖
‘𝐾) = ( ⋖
‘𝐾) | 
| 33 | 27, 32, 7 | atcvr0 39290 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃) | 
| 34 | 2, 3, 33 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃) | 
| 35 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(lt‘𝐾) =
(lt‘𝐾) | 
| 36 | 26, 35, 32 | cvrlt 39272 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃) | 
| 37 | 2, 29, 31, 34, 36 | syl31anc 1374 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃) | 
| 38 |  | hlpos 39368 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset) | 
| 39 | 38 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Poset) | 
| 40 |  | hllat 39365 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat) | 
| 41 | 40 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat) | 
| 42 | 26, 7 | atbase 39291 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 43 | 4, 42 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 44 | 26, 6 | latjcl 18485 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 45 | 41, 31, 43, 44 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 46 | 26, 5, 35 | pltletr 18389 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧
((0.‘𝐾) ∈
(Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅))) | 
| 47 | 39, 29, 31, 45, 46 | syl13anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅))) | 
| 48 | 37, 9, 47 | mp2and 699 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) | 
| 49 | 35 | pltne 18380 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑃 ∨ 𝑅))) | 
| 50 | 2, 29, 45, 49 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑃 ∨ 𝑅))) | 
| 51 | 48, 50 | mpd 15 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑃 ∨ 𝑅)) | 
| 52 | 51 | necomd 2995 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (0.‘𝐾)) | 
| 53 | 52 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (0.‘𝐾)) | 
| 54 |  | hlatl 39362 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat) | 
| 55 | 54 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat) | 
| 56 |  | simp3l 1201 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴) | 
| 57 | 5, 7 | atncmp 39314 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑃 ↔ 𝑆 ≠ 𝑃)) | 
| 58 | 55, 56, 3, 57 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑃 ↔ 𝑆 ≠ 𝑃)) | 
| 59 |  | simp22 1207 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴) | 
| 60 | 26, 5, 6, 7 | hlexch1 39385 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑃) → (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))) | 
| 61 | 60 | 3expia 1121 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑃 → (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)))) | 
| 62 | 2, 56, 59, 31, 61 | syl13anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑃 → (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)))) | 
| 63 | 58, 62 | sylbird 260 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (𝑆 ≠ 𝑃 → (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)))) | 
| 64 | 63 | imp32 418 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)) | 
| 65 | 26, 7 | atbase 39291 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 66 | 59, 65 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 67 | 26, 7 | atbase 39291 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 68 | 56, 67 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 69 | 26, 6 | latjcl 18485 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 70 | 41, 31, 68, 69 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 71 | 26, 5, 6 | latjlej1 18499 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅))) | 
| 72 | 41, 66, 70, 43, 71 | syl13anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅))) | 
| 73 | 72 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅))) | 
| 74 | 64, 73 | mpd 15 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅)) | 
| 75 | 74 | adantrrr 725 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅)) | 
| 76 | 26, 7 | atbase 39291 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 77 | 11, 76 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 78 | 26, 6 | latjcl 18485 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 79 | 41, 66, 43, 78 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 80 | 26, 6 | latjcl 18485 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 81 | 41, 70, 43, 80 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 82 | 26, 5 | lattr 18490 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅)) → 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅))) | 
| 83 | 41, 77, 79, 81, 82 | syl13anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → ((𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅)) → 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅))) | 
| 84 | 83 | expdimp 452 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) → 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅))) | 
| 85 | 84 | adantrl 716 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) → 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅))) | 
| 86 | 85 | adantrl 716 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) → 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅))) | 
| 87 | 75, 86 | mpd 15 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅)) | 
| 88 | 6, 7 | hlatj32 39374 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) | 
| 89 | 2, 3, 56, 4, 88 | syl13anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) | 
| 90 | 89 | breq2d 5154 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) ↔ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) | 
| 91 | 90 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → (𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) ↔ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) | 
| 92 | 87, 91 | mpbid 232 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) | 
| 93 | 53, 92 | jca 511 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) | 
| 94 | 93 | adantrrl 724 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) | 
| 95 | 94 | ex 412 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → ((𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))) | 
| 96 | 26, 5, 6, 27, 7 | cvrat4 39446 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢)))) | 
| 97 | 2, 45, 11, 56, 96 | syl13anc 1373 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢)))) | 
| 98 | 95, 97 | syld 47 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → ((𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢)))) | 
| 99 | 98 | impl 455 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑃) ∧ (¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢))) | 
| 100 | 99 | adantrlr 723 | . . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑃) ∧ ((¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢))) | 
| 101 | 5, 7 | atncmp 39314 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑇 ≤ 𝑆 ↔ 𝑇 ≠ 𝑆)) | 
| 102 | 55, 11, 56, 101 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑇 ≤ 𝑆 ↔ 𝑇 ≠ 𝑆)) | 
| 103 |  | necom 2993 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑇 ≠ 𝑆 ↔ 𝑆 ≠ 𝑇) | 
| 104 | 102, 103 | bitrdi 287 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑇 ≤ 𝑆 ↔ 𝑆 ≠ 𝑇)) | 
| 105 | 104 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑇 ≤ 𝑆 ↔ 𝑆 ≠ 𝑇)) | 
| 106 |  | simpl1 1191 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL) | 
| 107 |  | simpl3r 1229 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ 𝐴) | 
| 108 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ 𝐴) | 
| 109 | 68 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 110 | 26, 5, 6, 7 | hlexch1 39385 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑆) → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢) → 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) | 
| 111 | 110 | 3expia 1121 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → (¬ 𝑇 ≤ 𝑆 → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢) → 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) | 
| 112 | 106, 107,
108, 109, 111 | syl13anc 1373 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑇 ≤ 𝑆 → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢) → 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) | 
| 113 | 105, 112 | sylbird 260 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → (𝑆 ≠ 𝑇 → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢) → 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) | 
| 114 | 113 | imp 406 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢) → 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) | 
| 115 | 114 | an32s 652 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢) → 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) | 
| 116 | 115 | anim2d 612 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ((𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢)) → (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) | 
| 117 | 116 | reximdva 3167 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) → (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) | 
| 118 | 117 | ad2ant2rl 749 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑃) ∧ (¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) → (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) | 
| 119 | 118 | adantrr 717 | . . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑃) ∧ ((¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) | 
| 120 | 100, 119 | mpd 15 | . . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑃) ∧ ((¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) | 
| 121 | 120 | ex 412 | . . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑃) → (((¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) | 
| 122 | 23, 121 | pm2.61dane 3028 | . 2
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (((¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) | 
| 123 | 122 | imp 406 | 1
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ ((¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) |