Theorem ps-2 40063

Description: Lattice analogue for the projective geometry axiom, "if a line intersects two sides of a triangle at different points then it also intersects the third side." Projective space condition PS2 in [MaedaMaeda] p. 68 and part of Theorem 16.4 in [MaedaMaeda] p. 69. (Contributed by NM, 1-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ps1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ps1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
ps1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ps-2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ ((¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢, ∨   𝑢,𝐾   𝑢, ≤   𝑢,𝑃   𝑢,𝑄   𝑢,𝑅   𝑢,𝑆   𝑢,𝑇

Proof of Theorem ps-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl21 1264	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → 𝑃 ∈ 𝐴)
2		simp1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
3		simp21 1219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		simp23 1221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
5		ps1.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		ps1.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7		ps1.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	5, 6, 7	hlatlej1 39960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅))
9	2, 3, 4, 8	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅))
10	9	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅))
11		simp3r 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ 𝐴)
12	5, 6, 7	hlatlej1 39960	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑇))
13	2, 3, 11, 12	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑇))
14		oveq1 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = 𝑃 → (𝑆 ∨ 𝑇) = (𝑃 ∨ 𝑇))
15	14	breq2d 5109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = 𝑃 → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ↔ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑇)))
16	13, 15	syl5ibrcom 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (𝑆 = 𝑃 → 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
17	16	imp 410	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))
18		breq1 5100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑃 → (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ↔ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))
19		breq1 5100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑃 → (𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ↔ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
20	18, 19	anbi12d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑃 → ((𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) ↔ (𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))))
21	20	rspcev 3580	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
22	1, 10, 17, 21	syl12anc 847	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
23	22	a1d 25	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 = 𝑃) → (((¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))))
24		hlop 39947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
25	24	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ OP)
26		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
27		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
28	26, 27	op0cl 39769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
29	25, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
30	26, 7	atbase 39874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
31	3, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
32		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
33	27, 32, 7	atcvr0 39873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
34	2, 3, 33	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
35		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
36	26, 35, 32	cvrlt 39855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃)
37	2, 29, 31, 34, 36	syl31anc 1391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃)
38		hlpos 39951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
39	38	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Poset)
40		hllat 39948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
41	40	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
42	26, 7	atbase 39874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
43	4, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
44	26, 6	latjcl 18462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
45	41, 31, 43, 44	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
46	26, 5, 35	pltletr 18364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)))
47	39, 29, 31, 45, 46	syl13anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)))
48	37, 9, 47	mp2and 709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅))
49	35	pltne 18355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑃 ∨ 𝑅)))
50	2, 29, 45, 49	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑃 ∨ 𝑅)))
51	48, 50	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑃 ∨ 𝑅))
52	51	necomd 3011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (0.‘𝐾))
53	52	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → (𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (0.‘𝐾))
54		hlatl 39945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
55	54	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
56		simp3l 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
57	5, 7	atncmp 39897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑃 ↔ 𝑆 ≠ 𝑃))
58	55, 56, 3, 57	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑃 ↔ 𝑆 ≠ 𝑃))
59		simp22 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
60	26, 5, 6, 7	hlexch1 39967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑃) → (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)))
61	60	3expia 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑃 → (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))))
62	2, 56, 59, 31, 61	syl13anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑃 → (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))))
63	58, 62	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (𝑆 ≠ 𝑃 → (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))))
64	63	imp32 422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
65	26, 7	atbase 39874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
66	59, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
67	26, 7	atbase 39874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
68	56, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
69	26, 6	latjcl 18462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
70	41, 31, 68, 69	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
71	26, 5, 6	latjlej1 18476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅)))
72	41, 66, 70, 43, 71	syl13anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅)))
73	72	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅)))
74	64, 73	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅))
75	74	adantrrr 735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅))
76	26, 7	atbase 39874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
77	11, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
78	26, 6	latjcl 18462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
79	41, 66, 43, 78	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
80	26, 6	latjcl 18462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
81	41, 70, 43, 80	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
82	26, 5	lattr 18467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅)) → 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅)))
83	41, 77, 79, 81, 82	syl13anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → ((𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅)) → 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅)))
84	83	expdimp 456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) → 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅)))
85	84	adantrl 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) → 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅)))
86	85	adantrl 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) → 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅)))
87	75, 86	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅))
88	6, 7	hlatj32 39957	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
89	2, 3, 56, 4, 88	syl13anc 1390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
90	89	breq2d 5109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) ↔ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
91	90	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → (𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑅) ↔ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
92	87, 91	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
93	53, 92	jca 519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
94	93	adantrrl 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
95	94	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → ((𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
96	26, 5, 6, 27, 7	cvrat4 40028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢))))
97	2, 45, 11, 56, 96	syl13anc 1390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑅) ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑇 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢))))
98	95, 97	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → ((𝑆 ≠ 𝑃 ∧ (¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢))))
99	98	impl 459	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑃) ∧ (¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢)))
100	99	adantrlr 733	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑃) ∧ ((¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢)))
101	5, 7	atncmp 39897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑇 ≤ 𝑆 ↔ 𝑇 ≠ 𝑆))
102	55, 11, 56, 101	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑇 ≤ 𝑆 ↔ 𝑇 ≠ 𝑆))
103		necom 3009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ≠ 𝑆 ↔ 𝑆 ≠ 𝑇)
104	102, 103	bitrdi 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑇 ≤ 𝑆 ↔ 𝑆 ≠ 𝑇))
105	104	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑇 ≤ 𝑆 ↔ 𝑆 ≠ 𝑇))
106		simpl1 1204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
107		simpl3r 1242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ 𝐴)
108		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ 𝐴)
109	68	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
110	26, 5, 6, 7	hlexch1 39967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑆) → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢) → 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
111	110	3expia 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → (¬ 𝑇 ≤ 𝑆 → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢) → 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))))
112	106, 107, 108, 109, 111	syl13anc 1390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑇 ≤ 𝑆 → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢) → 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))))
113	105, 112	sylbird 262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → (𝑆 ≠ 𝑇 → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢) → 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))))
114	113	imp 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢) → 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
115	114	an32s 662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢) → 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
116	115	anim2d 621	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ((𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢)) → (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))))
117	116	reximdva 3174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) → (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))))
118	117	ad2ant2rl 759	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑃) ∧ (¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) → (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))))
119	118	adantrr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑃) ∧ ((¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑢)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))))
120	100, 119	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑃) ∧ ((¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
121	120	ex 416	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑆 ≠ 𝑃) → (((¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))))
122	23, 121	pm2.61dane 3043	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → (((¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))))
123	122	imp 410	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ ((¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑢 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Basecbs 17236  lecple 17284  Posetcpo 18330  ltcplt 18331  joincjn 18334  0.cp0 18444  Latclat 18454  OPcops 39757   ⋖ ccvr 39847  Atomscatm 39848  AtLatcal 39849  HLchlt 39935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-proset 18317  df-poset 18336  df-plt 18351  df-lub 18367  df-glb 18368  df-join 18369  df-meet 18370  df-p0 18446  df-lat 18455  df-clat 18522  df-oposet 39761  df-ol 39763  df-oml 39764  df-covers 39851  df-ats 39852  df-atl 39883  df-cvlat 39907  df-hlat 39936

This theorem is referenced by:  ps-2b  40067  paddasslem3  40407