Theorem lhpn0 39466

Description: A co-atom is nonzero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 26-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpne0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lhpne0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpn0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ≠ 0 )

Proof of Theorem lhpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
2		lhpne0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		lhpne0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhp0lt 39465	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 (lt‘𝐾)𝑊)
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
6		hlop 38823	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
7		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8	7, 2	op0cl 38645	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 ∈ (Base‘𝐾))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐻)
12	1	pltne 18319	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑊 → 0 ≠ 𝑊))
13	5, 10, 11, 12	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑊 → 0 ≠ 𝑊))
14	4, 13	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ≠ 𝑊)
15	14	necomd 2991	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  Basecbs 17173  ltcplt 18293  0.cp0 18408  OPcops 38633  HLchlt 38811  LHypclh 39446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-p1 18411  df-lat 18417  df-clat 18484  df-oposet 38637  df-ol 38639  df-oml 38640  df-covers 38727  df-ats 38728  df-atl 38759  df-cvlat 38783  df-hlat 38812  df-lhyp 39450

This theorem is referenced by:  lhpexle  39467