Theorem lhpn0 37614

Description: A co-atom is nonzero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 26-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpne0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lhpne0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpn0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ≠ 0 )

Proof of Theorem lhpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
2		lhpne0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		lhpne0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhp0lt 37613	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 (lt‘𝐾)𝑊)
5		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
6		hlop 36972	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
7		eqid 2758	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8	7, 2	op0cl 36794	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 ∈ (Base‘𝐾))
10	9	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
11		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐻)
12	1	pltne 17651	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑊 → 0 ≠ 𝑊))
13	5, 10, 11, 12	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑊 → 0 ≠ 𝑊))
14	4, 13	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ≠ 𝑊)
15	14	necomd 3006	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  Basecbs 16554  ltcplt 17630  0.cp0 17726  OPcops 36782  HLchlt 36960  LHypclh 37594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-proset 17617  df-poset 17635  df-plt 17647  df-lub 17663  df-glb 17664  df-join 17665  df-meet 17666  df-p0 17728  df-p1 17729  df-lat 17735  df-clat 17797  df-oposet 36786  df-ol 36788  df-oml 36789  df-covers 36876  df-ats 36877  df-atl 36908  df-cvlat 36932  df-hlat 36961  df-lhyp 37598

This theorem is referenced by:  lhpexle  37615