Theorem lhpn0 40113

Description: A co-atom is nonzero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 26-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpne0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lhpne0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpn0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ≠ 0 )

Proof of Theorem lhpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
2		lhpne0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		lhpne0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhp0lt 40112	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 (lt‘𝐾)𝑊)
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
6		hlop 39471	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
7		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8	7, 2	op0cl 39293	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 ∈ (Base‘𝐾))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐻)
12	1	pltne 18248	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑊 → 0 ≠ 𝑊))
13	5, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑊 → 0 ≠ 𝑊))
14	4, 13	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ≠ 𝑊)
15	14	necomd 2985	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  Basecbs 17130  ltcplt 18224  0.cp0 18337  OPcops 39281  HLchlt 39459  LHypclh 40093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-proset 18210  df-poset 18229  df-plt 18244  df-lub 18260  df-glb 18261  df-join 18262  df-meet 18263  df-p0 18339  df-p1 18340  df-lat 18348  df-clat 18415  df-oposet 39285  df-ol 39287  df-oml 39288  df-covers 39375  df-ats 39376  df-atl 39407  df-cvlat 39431  df-hlat 39460  df-lhyp 40097

This theorem is referenced by:  lhpexle  40114