Theorem lhpn0 41104

Description: A co-atom is nonzero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 26-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpne0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lhpne0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpn0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ≠ 0 )

Proof of Theorem lhpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
2		lhpne0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		lhpne0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhp0lt 41103	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 (lt‘𝐾)𝑊)
5		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
6		hlop 40462	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
7		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8	7, 2	op0cl 40284	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
9	6, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 ∈ (Base‘𝐾))
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
11		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐻)
12	1	pltne 18506	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑊 → 0 ≠ 𝑊))
13	5, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑊 → 0 ≠ 𝑊))
14	4, 13	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ≠ 𝑊)
15	14	necomd 3010	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ≠ 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  ltcplt 18482  0.cp0 18595  OPcops 40272  HLchlt 40450  LHypclh 41084

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40276  df-ol 40278  df-oml 40279  df-covers 40366  df-ats 40367  df-atl 40398  df-cvlat 40422  df-hlat 40451  df-lhyp 41088

This theorem is used by:  lhpexle  41105