Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpn0 39466
Description: A co-atom is nonzero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 26-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpne0.z 0 = (0.‘𝐾)
lhpne0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpn0 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊0 )

Proof of Theorem lhpn0
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . 4 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
2 lhpne0.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
3 lhpne0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhp0lt 39465 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 (lt‘𝐾)𝑊)
5 simpl 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
6 hlop 38823 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
7 eqid 2727 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
87, 2op0cl 38645 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 0 ∈ (Base‘𝐾))
109adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
11 simpr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊𝐻)
121pltne 18319 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊𝐻) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑊0𝑊))
135, 10, 11, 12syl3anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑊0𝑊))
144, 13mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0𝑊)
1514necomd 2991 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935   class class class wbr 5142  cfv 6542  Basecbs 17173  ltcplt 18293  0.cp0 18408  OPcops 38633  HLchlt 38811  LHypclh 39446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-p1 18411  df-lat 18417  df-clat 18484  df-oposet 38637  df-ol 38639  df-oml 38640  df-covers 38727  df-ats 38728  df-atl 38759  df-cvlat 38783  df-hlat 38812  df-lhyp 39450
This theorem is referenced by:  lhpexle  39467
  Copyright terms: Public domain W3C validator