Theorem lhpn0 40441

Description: A co-atom is nonzero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 26-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpne0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lhpne0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpn0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ≠ 0 )

Proof of Theorem lhpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
2		lhpne0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3		lhpne0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhp0lt 40440	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 (lt‘𝐾)𝑊)
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
6		hlop 39799	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8	7, 2	op0cl 39621	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 ∈ (Base‘𝐾))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐻)
12	1	pltne 18256	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑊 → 0 ≠ 𝑊))
13	5, 10, 11, 12	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑊 → 0 ≠ 𝑊))
14	4, 13	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ≠ 𝑊)
15	14	necomd 2988	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  Basecbs 17137  ltcplt 18232  0.cp0 18345  OPcops 39609  HLchlt 39787  LHypclh 40421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-lub 18268  df-glb 18269  df-join 18270  df-meet 18271  df-p0 18347  df-p1 18348  df-lat 18356  df-clat 18423  df-oposet 39613  df-ol 39615  df-oml 39616  df-covers 39703  df-ats 39704  df-atl 39735  df-cvlat 39759  df-hlat 39788  df-lhyp 40425

This theorem is referenced by:  lhpexle  40442