Theorem pntrval 27542

Description: Define the residual of the second Chebyshev function. The goal is to have 𝑅(𝑥) ∈ 𝑜(𝑥), or 𝑅(𝑥) / 𝑥 ⇝_𝑟 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntrval.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
pntrval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑅‘𝐴) = ((ψ‘𝐴) − 𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6886	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (ψ‘𝑎) = (ψ‘𝐴))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
3	1, 2	oveq12d 7431	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((ψ‘𝑎) − 𝑎) = ((ψ‘𝐴) − 𝐴))
4		pntrval.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
5		ovex 7446	. 2 ⊢ ((ψ‘𝐴) − 𝐴) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6996	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑅‘𝐴) = ((ψ‘𝐴) − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5205  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   − cmin 11474  ℝ⁺crp 13016  ψcchp 27072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7416

This theorem is referenced by:  pntrmax  27544  pntrsumo1  27545  selbergr  27548  selberg3r  27549  selberg4r  27550  pntrlog2bndlem2  27558  pntrlog2bndlem4  27560  pntrlog2bnd  27564  pntpbnd1a  27565  pntibndlem2  27571  pntlem3  27589