Theorem pntrval 27546

Description: Define the residual of the second Chebyshev function. The goal is to have 𝑅(𝑥) ∈ 𝑜(𝑥), or 𝑅(𝑥) / 𝑥 ⇝_𝑟 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntrval.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
pntrval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑅‘𝐴) = ((ψ‘𝐴) − 𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6830	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (ψ‘𝑎) = (ψ‘𝐴))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
3	1, 2	oveq12d 7377	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((ψ‘𝑎) − 𝑎) = ((ψ‘𝐴) − 𝐴))
4		pntrval.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
5		ovex 7392	. 2 ⊢ ((ψ‘𝐴) − 𝐴) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6938	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑅‘𝐴) = ((ψ‘𝐴) − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ↦ cmpt 5155  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   − cmin 11373  ℝ⁺crp 12937  ψcchp 27077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fv 6496  df-ov 7362

This theorem is referenced by:  pntrmax  27548  pntrsumo1  27549  selbergr  27552  selberg3r  27553  selberg4r  27554  pntrlog2bndlem2  27562  pntrlog2bndlem4  27564  pntrlog2bnd  27568  pntpbnd1a  27569  pntibndlem2  27575  pntlem3  27593