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Theorem pntlem3 26957
Description: Lemma for pnt 26962. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem3.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem3.A (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntlem3.1 𝑇 = {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}
pntlem3.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem3.3 ((𝜑𝑢𝑇) → (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) ∈ 𝑇)
Assertion
Ref Expression
pntlem3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐴   𝑢,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶   𝑢,𝑡,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑎   𝑢,𝑇,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑢,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑢,𝑎)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑡,𝑎)

Proof of Theorem pntlem3
Dummy variables 𝑠 𝑤 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 12922 . . . 4 + ⊆ ℝ
2 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
32subcn 24229 . . . . . . . . . . . 12 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5 ssid 3966 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
6 cncfmptid 24276 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑝 ∈ ℂ ↦ 𝑝) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
75, 5, 6mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℂ ↦ 𝑝) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → (𝑝 ∈ ℂ ↦ 𝑝) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9 pntlem3.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1110rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → 𝐶 ∈ ℂ)
125a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → ℂ ⊆ ℂ)
13 cncfmptc 24275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑝 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
1411, 12, 12, 13syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → (𝑝 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
15 3nn0 12431 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℕ0
162expcn 24235 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ ℕ0 → (𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝↑3)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1715, 16mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → (𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝↑3)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
182cncfcn1 24274 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1917, 18eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → (𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝↑3)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2014, 19mulcncf 24810 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → (𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · (𝑝↑3))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
212, 4, 8, 20cncfmpt2f 24278 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → (𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
22 pntlem3.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}
2322ssrab3 4040 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 ⊆ (0[,]𝐴)
24 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
25 pntlem3.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2625rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
27 iccssre 13346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0[,]𝐴) ⊆ ℝ)
2824, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0[,]𝐴) ⊆ ℝ)
2923, 28sstrid 3955 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ⊆ ℝ)
30 0xr 11202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ*
3125rpxrd 12958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3225rpge0d 12961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
33 ubicc2 13382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
3430, 31, 32, 33mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
35 1rp 12919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ+
36 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → (𝑅𝑥) = (𝑅𝑧))
37 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
3836, 37oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = ((𝑅𝑧) / 𝑧))
3938fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)))
4039breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴))
41 pntlem3.A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
43 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ
44 elicopnf 13362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧)))
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑧 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧)))
4645simprbda 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
47 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
4843a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
49 0lt1 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 < 1
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 1)
5145simplbda 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑧)
5247, 48, 46, 50, 51ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 𝑧)
5346, 52elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
5440, 42, 53rspcdva 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴)
5554ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴)
56 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 1 → (𝑦[,)+∞) = (1[,)+∞))
5756raleqdv 3313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 1 → (∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴))
5857rspcev 3581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴)
5935, 55, 58sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴)
60 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝐴 → ((abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴))
6160rexralbidv 3214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴))
6261, 22elrab2 3648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑇 ↔ (𝐴 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴))
6334, 59, 62sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑇)
6463ne0d 4295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
65 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡𝐴)))
6624, 26, 65sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡𝐴)))
6766biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡𝐴))
6867simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 ≤ 𝑡)
6968a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]𝐴)) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 → 0 ≤ 𝑡))
7069ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 → 0 ≤ 𝑡))
7122raleqi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑤𝑇 0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}0 ≤ 𝑤)
72 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑡 → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑡))
7372ralrab2 3656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑤 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 → 0 ≤ 𝑡))
7471, 73bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤𝑇 0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 → 0 ≤ 𝑡))
7570, 74sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑤𝑇 0 ≤ 𝑤)
76 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
7776ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑇 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑇 0 ≤ 𝑤))
7877rspcev 3581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑇 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤)
7924, 75, 78sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤)
80 infrecl 12137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8129, 64, 79, 80syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8281recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ)
8382adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ)
84 elrp 12917 . . . . . . . . . . . . . 14 (inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ↔ (inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )))
8584biimpri 227 . . . . . . . . . . . . 13 ((inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
8681, 85sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
87 3z 12536 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℤ
88 rpexpcl 13986 . . . . . . . . . . . 12 ((inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℤ) → (inf(𝑇, ℝ, < )↑3) ∈ ℝ+)
8986, 87, 88sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → (inf(𝑇, ℝ, < )↑3) ∈ ℝ+)
9010, 89rpmulcld 12973 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)) ∈ ℝ+)
91 cncfi 24257 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ∧ inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)) ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))
9221, 83, 90, 91syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))
9381ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
94 rphalfcl 12942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ+ → (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
9594adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
9693, 95ltaddrpd 12990 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → inf(𝑇, ℝ, < ) < (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)))
9795rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
9893, 97readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
9993, 98ltnled 11302 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (inf(𝑇, ℝ, < ) < (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ↔ ¬ (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ inf(𝑇, ℝ, < )))
10096, 99mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ¬ (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ inf(𝑇, ℝ, < ))
101 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
10229, 101sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
103102ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑇 ⊆ ℂ)
104 ssralv 4010 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ⊆ ℂ → (∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) → ∀𝑢𝑇 ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)))))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) → ∀𝑢𝑇 ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)))))
10629ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑇 ⊆ ℝ)
107106sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → 𝑢 ∈ ℝ)
10898adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
109107, 108ltnled 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑢 < (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ↔ ¬ (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
11081ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
11197adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
112110, 111resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
11393, 95ltsubrpd 12989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝑠 / 2)) < inf(𝑇, ℝ, < ))
114113adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝑠 / 2)) < inf(𝑇, ℝ, < ))
11529ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → 𝑇 ⊆ ℝ)
11679ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤)
117 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → 𝑢𝑇)
118 infrelb 12140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤𝑢𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑢)
119115, 116, 117, 118syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑢)
120112, 110, 107, 114, 119ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝑠 / 2)) < 𝑢)
121107, 110, 111absdifltd 15318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < (𝑠 / 2) ↔ ((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝑠 / 2)) < 𝑢𝑢 < (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)))))
122121biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝑠 / 2)) < 𝑢𝑢 < (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2))) → (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < (𝑠 / 2)))
123120, 122mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑢 < (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) → (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < (𝑠 / 2)))
124 rphalflt 12944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℝ+ → (𝑠 / 2) < 𝑠)
125124ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑠 / 2) < 𝑠)
126107, 110resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
127126recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ)
128127abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) ∈ ℝ)
129 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ)
130129ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → 𝑠 ∈ ℝ)
131 lttr 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) ∈ ℝ ∧ (𝑠 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < (𝑠 / 2) ∧ (𝑠 / 2) < 𝑠) → (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠))
132128, 111, 130, 131syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < (𝑠 / 2) ∧ (𝑠 / 2) < 𝑠) → (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠))
133125, 132mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < (𝑠 / 2) → (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠))
134123, 133syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑢 < (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) → (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠))
135109, 134sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (¬ (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢 → (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠))
136135con1d 145 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (¬ (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
137107recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → 𝑢 ∈ ℂ)
138 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 = 𝑢𝑝 = 𝑢)
139 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑢 → (𝑝↑3) = (𝑢↑3))
140139oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 = 𝑢 → (𝐶 · (𝑝↑3)) = (𝐶 · (𝑢↑3)))
141138, 140oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑢 → (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))) = (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))))
142 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3)))) = (𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))
143 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) ∈ V
144141, 142, 143fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ ℂ → ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) = (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))))
145137, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) = (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))))
14683ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ)
147 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 = inf(𝑇, ℝ, < ) → 𝑝 = inf(𝑇, ℝ, < ))
148 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = inf(𝑇, ℝ, < ) → (𝑝↑3) = (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))
149148oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 = inf(𝑇, ℝ, < ) → (𝐶 · (𝑝↑3)) = (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)))
150147, 149oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = inf(𝑇, ℝ, < ) → (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))) = (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))
151 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) ∈ V
152150, 142, 151fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ → ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )) = (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))
153146, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )) = (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))
154145, 153oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < ))) = ((𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) − (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)))))
155154fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) = (abs‘((𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) − (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))))
156155breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)) ↔ (abs‘((𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) − (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))
1579rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
158157ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → 𝐶 ∈ ℝ)
159 reexpcl 13984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑢↑3) ∈ ℝ)
160107, 15, 159sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑢↑3) ∈ ℝ)
161158, 160remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝐶 · (𝑢↑3)) ∈ ℝ)
162107, 161resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) ∈ ℝ)
16315a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → 3 ∈ ℕ0)
164110, 163reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (inf(𝑇, ℝ, < )↑3) ∈ ℝ)
165158, 164remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)) ∈ ℝ)
166110, 165resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) ∈ ℝ)
167162, 166, 165absdifltd 15318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((abs‘((𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) − (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)) ↔ (((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) < (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) ∧ (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) < ((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) + (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))))
168165recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)) ∈ ℂ)
169146, 168npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) + (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) = inf(𝑇, ℝ, < ))
170169breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) < ((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) + (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) ↔ (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) < inf(𝑇, ℝ, < )))
171 pntlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑢𝑇) → (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) ∈ 𝑇)
172171ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) ∈ 𝑇)
173 infrelb 12140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤 ∧ (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))))
174115, 116, 172, 173syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))))
175110, 162, 174lensymd 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ¬ (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) < inf(𝑇, ℝ, < ))
176175pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) < inf(𝑇, ℝ, < ) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
177170, 176sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) < ((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) + (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
178177adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) < (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) ∧ (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) < ((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) + (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)))) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
179167, 178sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((abs‘((𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) − (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
180156, 179sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
181136, 180jad 187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
182181ralimdva 3164 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∀𝑢𝑇 ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) → ∀𝑢𝑇 (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
18364ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑇 ≠ ∅)
18479ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤)
185 infregelb 12139 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤) ∧ (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ∈ ℝ) → ((inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ ∀𝑢𝑇 (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
186106, 183, 184, 98, 185syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ((inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ ∀𝑢𝑇 (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
187182, 186sylibrd 258 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∀𝑢𝑇 ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ inf(𝑇, ℝ, < )))
188105, 187syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ inf(𝑇, ℝ, < )))
189100, 188mtod 197 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))
190189nrexdv 3146 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → ¬ ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))
19192, 190pm2.65da 815 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 0 < inf(𝑇, ℝ, < ))
192191adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ¬ 0 < inf(𝑇, ℝ, < ))
19329adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑇 ⊆ ℝ)
19464adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑇 ≠ ∅)
19579adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤)
196129adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑠 ∈ ℝ)
197 infregelb 12139 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑠 ≤ inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑇 𝑠𝑤))
198193, 194, 195, 196, 197syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠 ≤ inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑇 𝑠𝑤))
19922raleqi 3311 . . . . . . . . . 10 (∀𝑤𝑇 𝑠𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}𝑠𝑤)
200 breq2 5109 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑡 → (𝑠𝑤𝑠𝑡))
201200ralrab2 3656 . . . . . . . . . 10 (∀𝑤 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}𝑠𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡𝑠𝑡))
202199, 201bitri 274 . . . . . . . . 9 (∀𝑤𝑇 𝑠𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡𝑠𝑡))
203198, 202bitrdi 286 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠 ≤ inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡𝑠𝑡)))
204 rpgt0 12927 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑠)
205204adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑠)
20681adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
207 ltletr 11247 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ((0 < 𝑠𝑠 ≤ inf(𝑇, ℝ, < )) → 0 < inf(𝑇, ℝ, < )))
20824, 196, 206, 207mp3an2i 1466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ((0 < 𝑠𝑠 ≤ inf(𝑇, ℝ, < )) → 0 < inf(𝑇, ℝ, < )))
209205, 208mpand 693 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠 ≤ inf(𝑇, ℝ, < ) → 0 < inf(𝑇, ℝ, < )))
210203, 209sylbird 259 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → (∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡𝑠𝑡) → 0 < inf(𝑇, ℝ, < )))
211192, 210mtod 197 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡𝑠𝑡))
212 rexanali 3105 . . . . . 6 (∃𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ∧ ¬ 𝑠𝑡) ↔ ¬ ∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡𝑠𝑡))
213211, 212sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ∧ ¬ 𝑠𝑡))
214 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → (𝑅𝑧) = (𝑅𝑥))
215 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥𝑧 = 𝑥)
216214, 215oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑅𝑧) / 𝑧) = ((𝑅𝑥) / 𝑥))
217216fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) = (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)))
218217breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → ((abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑡))
219218cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑡)
220 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
221220ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ)
222 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑦𝑥)
223 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
224223rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ)
225 elicopnf 13362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝑦[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑥)))
226224, 225syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ (𝑦[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑥)))
227221, 222, 226mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ (𝑦[,)+∞))
228 pntlem3.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
229228pntrval 26910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
230229ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (𝑅𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
231230oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) − 𝑥) / 𝑥))
232 chpcl 26473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
233221, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
234233recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
235 rpcn 12925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
236235ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℂ)
237 rpne0 12931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
238237ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ≠ 0)
239234, 236, 236, 238divsubdird 11970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (((ψ‘𝑥) − 𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − (𝑥 / 𝑥)))
240236, 238dividd 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
241240oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − (𝑥 / 𝑥)) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
242231, 239, 2413eqtrrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1) = ((𝑅𝑥) / 𝑥))
243242fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) = (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)))
244243breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ≤ 𝑡 ↔ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑡))
245 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) → ¬ 𝑠𝑡)
246245ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → ¬ 𝑠𝑡)
24728ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) → (0[,]𝐴) ⊆ ℝ)
248247ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (0[,]𝐴) ⊆ ℝ)
249 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ (0[,]𝐴))
250249adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑡 ∈ (0[,]𝐴))
251248, 250sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑡 ∈ ℝ)
252 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑠 ∈ ℝ+)
253252rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑠 ∈ ℝ)
254251, 253ltnled 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (𝑡 < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠𝑡))
255246, 254mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑡 < 𝑠)
256220, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
257 rerpdivcl 12945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
258256, 257mpancom 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
259258ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
260 resubcl 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1) ∈ ℝ)
261259, 43, 260sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1) ∈ ℝ)
262261recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1) ∈ ℂ)
263262abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ∈ ℝ)
264 lelttr 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ≤ 𝑡𝑡 < 𝑠) → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))
265263, 251, 253, 264syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (((abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ≤ 𝑡𝑡 < 𝑠) → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))
266255, 265mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ≤ 𝑡 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))
267244, 266sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → ((abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑡 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))
268227, 267embantd 59 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ (𝑦[,)+∞) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑡) → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))
269268exp32 421 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ (𝑦[,)+∞) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑡) → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))))
270269com24 95 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ (𝑦[,)+∞) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑡) → (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))))
271270ralimdv2 3160 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑡 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
272219, 271biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
273272reximdva 3165 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
274273anassrs 468 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]𝐴)) ∧ ¬ 𝑠𝑡) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
275274impancom 452 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡) → (¬ 𝑠𝑡 → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
276275expimpd 454 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]𝐴)) → ((∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ∧ ¬ 𝑠𝑡) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
277276rexlimdva 3152 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → (∃𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ∧ ¬ 𝑠𝑡) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
278213, 277mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))
279 ssrexv 4011 . . . 4 (ℝ+ ⊆ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
2801, 278, 279mpsyl 68 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))
281280ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))
282258recnd 11183 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
283282rgen 3066 . . . 4 𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ
284283a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
2851a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
286 1cnd 11150 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
287284, 285, 286rlim2 15378 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
288281, 287mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  3c3 12209  0cn0 12413  cz 12499  +crp 12915  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  cexp 13967  abscabs 15119  𝑟 crli 15367  TopOpenctopn 17303  fldccnfld 20796   Cn ccn 22575   ×t ctx 22911  cnccncf 24239  ψcchp 26442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-vma 26447  df-chp 26448
This theorem is referenced by:  pntleml  26959
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