MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlem3 26490
Description: Lemma for pnt 26495. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem3.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem3.A (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntlem3.1 𝑇 = {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}
pntlem3.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem3.3 ((𝜑𝑢𝑇) → (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) ∈ 𝑇)
Assertion
Ref Expression
pntlem3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐴   𝑢,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶   𝑢,𝑡,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑎   𝑢,𝑇,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑢,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑢,𝑎)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑡,𝑎)

Proof of Theorem pntlem3
Dummy variables 𝑠 𝑤 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 12593 . . . 4 + ⊆ ℝ
2 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
32subcn 23763 . . . . . . . . . . . 12 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5 ssid 3923 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
6 cncfmptid 23810 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑝 ∈ ℂ ↦ 𝑝) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
75, 5, 6mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℂ ↦ 𝑝) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → (𝑝 ∈ ℂ ↦ 𝑝) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9 pntlem3.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
109adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1110rpcnd 12630 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → 𝐶 ∈ ℂ)
125a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → ℂ ⊆ ℂ)
13 cncfmptc 23809 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑝 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
1411, 12, 12, 13syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → (𝑝 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
15 3nn0 12108 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℕ0
162expcn 23769 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ ℕ0 → (𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝↑3)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1715, 16mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → (𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝↑3)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
182cncfcn1 23808 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1917, 18eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → (𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝↑3)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2014, 19mulcncf 24343 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → (𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝐶 · (𝑝↑3))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
212, 4, 8, 20cncfmpt2f 23812 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → (𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
22 pntlem3.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}
2322ssrab3 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 ⊆ (0[,]𝐴)
24 0re 10835 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
25 pntlem3.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2625rpred 12628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
27 iccssre 13017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0[,]𝐴) ⊆ ℝ)
2824, 26, 27sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0[,]𝐴) ⊆ ℝ)
2923, 28sstrid 3912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ⊆ ℝ)
30 0xr 10880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ*
3125rpxrd 12629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3225rpge0d 12632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
33 ubicc2 13053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
3430, 31, 32, 33mp3an2i 1468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
35 1rp 12590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ+
36 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → (𝑅𝑥) = (𝑅𝑧))
37 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
3836, 37oveq12d 7231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = ((𝑅𝑧) / 𝑧))
3938fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)))
4039breq1d 5063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴))
41 pntlem3.A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
4241adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
43 1re 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ
44 elicopnf 13033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧)))
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑧 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧)))
4645simprbda 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ)
47 0red 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
4843a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
49 0lt1 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 < 1
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 1)
5145simplbda 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑧)
5247, 48, 46, 50, 51ltletrd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 𝑧)
5346, 52elrpd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
5440, 42, 53rspcdva 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (1[,)+∞)) → (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴)
5554ralrimiva 3105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴)
56 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 1 → (𝑦[,)+∞) = (1[,)+∞))
5756raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 1 → (∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴))
5857rspcev 3537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴)
5935, 55, 58sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴)
60 breq2 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝐴 → ((abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴))
6160rexralbidv 3220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴))
6261, 22elrab2 3605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑇 ↔ (𝐴 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝐴))
6334, 59, 62sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑇)
6463ne0d 4250 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
65 elicc2 13000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡𝐴)))
6624, 26, 65sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡𝐴)))
6766biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡𝐴))
6867simp2d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 ≤ 𝑡)
6968a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]𝐴)) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 → 0 ≤ 𝑡))
7069ralrimiva 3105 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 → 0 ≤ 𝑡))
7122raleqi 3323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑤𝑇 0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}0 ≤ 𝑤)
72 breq2 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑡 → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑡))
7372ralrab2 3612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑤 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 → 0 ≤ 𝑡))
7471, 73bitri 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤𝑇 0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 → 0 ≤ 𝑡))
7570, 74sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑤𝑇 0 ≤ 𝑤)
76 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
7776ralbidv 3118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑇 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑇 0 ≤ 𝑤))
7877rspcev 3537 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑇 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤)
7924, 75, 78sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤)
80 infrecl 11814 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8129, 64, 79, 80syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8281recnd 10861 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ)
8382adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ)
84 elrp 12588 . . . . . . . . . . . . . 14 (inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ↔ (inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )))
8584biimpri 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
8681, 85sylan 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
87 3z 12210 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℤ
88 rpexpcl 13654 . . . . . . . . . . . 12 ((inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℤ) → (inf(𝑇, ℝ, < )↑3) ∈ ℝ+)
8986, 87, 88sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → (inf(𝑇, ℝ, < )↑3) ∈ ℝ+)
9010, 89rpmulcld 12644 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)) ∈ ℝ+)
91 cncfi 23791 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ∧ inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)) ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))
9221, 83, 90, 91syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))
9381ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
94 rphalfcl 12613 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ+ → (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
9594adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
9693, 95ltaddrpd 12661 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → inf(𝑇, ℝ, < ) < (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)))
9795rpred 12628 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
9893, 97readdcld 10862 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
9993, 98ltnled 10979 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (inf(𝑇, ℝ, < ) < (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ↔ ¬ (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ inf(𝑇, ℝ, < )))
10096, 99mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ¬ (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ inf(𝑇, ℝ, < ))
101 ax-resscn 10786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
10229, 101sstrdi 3913 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
103102ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑇 ⊆ ℂ)
104 ssralv 3967 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ⊆ ℂ → (∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) → ∀𝑢𝑇 ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)))))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) → ∀𝑢𝑇 ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)))))
10629ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑇 ⊆ ℝ)
107106sselda 3901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → 𝑢 ∈ ℝ)
10898adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
109107, 108ltnled 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑢 < (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ↔ ¬ (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
11081ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
11197adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
112110, 111resubcld 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
11393, 95ltsubrpd 12660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝑠 / 2)) < inf(𝑇, ℝ, < ))
114113adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝑠 / 2)) < inf(𝑇, ℝ, < ))
11529ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → 𝑇 ⊆ ℝ)
11679ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤)
117 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → 𝑢𝑇)
118 infrelb 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤𝑢𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑢)
119115, 116, 117, 118syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑢)
120112, 110, 107, 114, 119ltletrd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝑠 / 2)) < 𝑢)
121107, 110, 111absdifltd 14997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < (𝑠 / 2) ↔ ((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝑠 / 2)) < 𝑢𝑢 < (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)))))
122121biimprd 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝑠 / 2)) < 𝑢𝑢 < (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2))) → (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < (𝑠 / 2)))
123120, 122mpand 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑢 < (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) → (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < (𝑠 / 2)))
124 rphalflt 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℝ+ → (𝑠 / 2) < 𝑠)
125124ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑠 / 2) < 𝑠)
126107, 110resubcld 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
127126recnd 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ)
128127abscld 15000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) ∈ ℝ)
129 rpre 12594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ)
130129ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → 𝑠 ∈ ℝ)
131 lttr 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) ∈ ℝ ∧ (𝑠 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < (𝑠 / 2) ∧ (𝑠 / 2) < 𝑠) → (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠))
132128, 111, 130, 131syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < (𝑠 / 2) ∧ (𝑠 / 2) < 𝑠) → (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠))
133125, 132mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < (𝑠 / 2) → (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠))
134123, 133syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑢 < (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) → (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠))
135109, 134sylbird 263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (¬ (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢 → (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠))
136135con1d 147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (¬ (abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
137107recnd 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → 𝑢 ∈ ℂ)
138 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 = 𝑢𝑝 = 𝑢)
139 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑢 → (𝑝↑3) = (𝑢↑3))
140139oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 = 𝑢 → (𝐶 · (𝑝↑3)) = (𝐶 · (𝑢↑3)))
141138, 140oveq12d 7231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑢 → (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))) = (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))))
142 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3)))) = (𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))
143 ovex 7246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) ∈ V
144141, 142, 143fvmpt 6818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ ℂ → ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) = (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))))
145137, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) = (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))))
14683ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ)
147 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 = inf(𝑇, ℝ, < ) → 𝑝 = inf(𝑇, ℝ, < ))
148 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = inf(𝑇, ℝ, < ) → (𝑝↑3) = (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))
149148oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 = inf(𝑇, ℝ, < ) → (𝐶 · (𝑝↑3)) = (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)))
150147, 149oveq12d 7231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = inf(𝑇, ℝ, < ) → (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))) = (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))
151 ovex 7246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) ∈ V
152150, 142, 151fvmpt 6818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ → ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )) = (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))
153146, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )) = (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))
154145, 153oveq12d 7231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < ))) = ((𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) − (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)))))
155154fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) = (abs‘((𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) − (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))))
156155breq1d 5063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)) ↔ (abs‘((𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) − (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))
1579rpred 12628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
158157ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → 𝐶 ∈ ℝ)
159 reexpcl 13652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑢↑3) ∈ ℝ)
160107, 15, 159sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑢↑3) ∈ ℝ)
161158, 160remulcld 10863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝐶 · (𝑢↑3)) ∈ ℝ)
162107, 161resubcld 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) ∈ ℝ)
16315a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → 3 ∈ ℕ0)
164110, 163reexpcld 13733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (inf(𝑇, ℝ, < )↑3) ∈ ℝ)
165158, 164remulcld 10863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)) ∈ ℝ)
166110, 165resubcld 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) ∈ ℝ)
167162, 166, 165absdifltd 14997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((abs‘((𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) − (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)) ↔ (((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) < (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) ∧ (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) < ((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) + (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))))
168165recnd 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)) ∈ ℂ)
169146, 168npcand 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) + (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) = inf(𝑇, ℝ, < ))
170169breq2d 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) < ((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) + (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) ↔ (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) < inf(𝑇, ℝ, < )))
171 pntlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑢𝑇) → (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) ∈ 𝑇)
172171ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) ∈ 𝑇)
173 infrelb 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤 ∧ (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))))
174115, 116, 172, 173syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))))
175110, 162, 174lensymd 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ¬ (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) < inf(𝑇, ℝ, < ))
176175pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) < inf(𝑇, ℝ, < ) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
177170, 176sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) < ((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) + (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
178177adantld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) < (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) ∧ (𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) < ((inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) + (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)))) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
179167, 178sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((abs‘((𝑢 − (𝐶 · (𝑢↑3))) − (inf(𝑇, ℝ, < ) − (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
180156, 179sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → ((abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3)) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
181136, 180jad 190 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢𝑇) → (((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
182181ralimdva 3100 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∀𝑢𝑇 ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) → ∀𝑢𝑇 (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
18364ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑇 ≠ ∅)
18479ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤)
185 infregelb 11816 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤) ∧ (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ∈ ℝ) → ((inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ ∀𝑢𝑇 (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
186106, 183, 184, 98, 185syl31anc 1375 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ((inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ ∀𝑢𝑇 (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ 𝑢))
187182, 186sylibrd 262 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∀𝑢𝑇 ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ inf(𝑇, ℝ, < )))
188105, 187syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))) → (inf(𝑇, ℝ, < ) + (𝑠 / 2)) ≤ inf(𝑇, ℝ, < )))
189100, 188mtod 201 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))
190189nrexdv 3189 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < inf(𝑇, ℝ, < )) → ¬ ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − inf(𝑇, ℝ, < ))) < 𝑠 → (abs‘(((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘𝑢) − ((𝑝 ∈ ℂ ↦ (𝑝 − (𝐶 · (𝑝↑3))))‘inf(𝑇, ℝ, < )))) < (𝐶 · (inf(𝑇, ℝ, < )↑3))))
19192, 190pm2.65da 817 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 0 < inf(𝑇, ℝ, < ))
192191adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ¬ 0 < inf(𝑇, ℝ, < ))
19329adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑇 ⊆ ℝ)
19464adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑇 ≠ ∅)
19579adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤)
196129adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑠 ∈ ℝ)
197 infregelb 11816 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑥𝑤) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑠 ≤ inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑇 𝑠𝑤))
198193, 194, 195, 196, 197syl31anc 1375 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠 ≤ inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑇 𝑠𝑤))
19922raleqi 3323 . . . . . . . . . 10 (∀𝑤𝑇 𝑠𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}𝑠𝑤)
200 breq2 5057 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑡 → (𝑠𝑤𝑠𝑡))
201200ralrab2 3612 . . . . . . . . . 10 (∀𝑤 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}𝑠𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡𝑠𝑡))
202199, 201bitri 278 . . . . . . . . 9 (∀𝑤𝑇 𝑠𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡𝑠𝑡))
203198, 202bitrdi 290 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠 ≤ inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡𝑠𝑡)))
204 rpgt0 12598 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑠)
205204adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑠)
20681adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
207 ltletr 10924 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ((0 < 𝑠𝑠 ≤ inf(𝑇, ℝ, < )) → 0 < inf(𝑇, ℝ, < )))
20824, 196, 206, 207mp3an2i 1468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ((0 < 𝑠𝑠 ≤ inf(𝑇, ℝ, < )) → 0 < inf(𝑇, ℝ, < )))
209205, 208mpand 695 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠 ≤ inf(𝑇, ℝ, < ) → 0 < inf(𝑇, ℝ, < )))
210203, 209sylbird 263 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → (∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡𝑠𝑡) → 0 < inf(𝑇, ℝ, < )))
211192, 210mtod 201 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡𝑠𝑡))
212 rexanali 3184 . . . . . 6 (∃𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ∧ ¬ 𝑠𝑡) ↔ ¬ ∀𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡𝑠𝑡))
213211, 212sylibr 237 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ∧ ¬ 𝑠𝑡))
214 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → (𝑅𝑧) = (𝑅𝑥))
215 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥𝑧 = 𝑥)
216214, 215oveq12d 7231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑅𝑧) / 𝑧) = ((𝑅𝑥) / 𝑥))
217216fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) = (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)))
218217breq1d 5063 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → ((abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑡))
219218cbvralvw 3358 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑡)
220 rpre 12594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
221220ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ)
222 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑦𝑥)
223 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
224223rpred 12628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ)
225 elicopnf 13033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝑦[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑥)))
226224, 225syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ (𝑦[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑥)))
227221, 222, 226mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ (𝑦[,)+∞))
228 pntlem3.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
229228pntrval 26443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
230229ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (𝑅𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
231230oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) − 𝑥) / 𝑥))
232 chpcl 26006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
233221, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
234233recnd 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
235 rpcn 12596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
236235ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℂ)
237 rpne0 12602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
238237ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ≠ 0)
239234, 236, 236, 238divsubdird 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (((ψ‘𝑥) − 𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − (𝑥 / 𝑥)))
240236, 238dividd 11606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
241240oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − (𝑥 / 𝑥)) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
242231, 239, 2413eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1) = ((𝑅𝑥) / 𝑥))
243242fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) = (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)))
244243breq1d 5063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ≤ 𝑡 ↔ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑡))
245 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) → ¬ 𝑠𝑡)
246245ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → ¬ 𝑠𝑡)
24728ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) → (0[,]𝐴) ⊆ ℝ)
248247ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (0[,]𝐴) ⊆ ℝ)
249 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ (0[,]𝐴))
250249adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑡 ∈ (0[,]𝐴))
251248, 250sseldd 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑡 ∈ ℝ)
252 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑠 ∈ ℝ+)
253252rpred 12628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑠 ∈ ℝ)
254251, 253ltnled 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (𝑡 < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠𝑡))
255246, 254mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → 𝑡 < 𝑠)
256220, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
257 rerpdivcl 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
258256, 257mpancom 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
259258ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
260 resubcl 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1) ∈ ℝ)
261259, 43, 260sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1) ∈ ℝ)
262261recnd 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1) ∈ ℂ)
263262abscld 15000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ∈ ℝ)
264 lelttr 10923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (((abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ≤ 𝑡𝑡 < 𝑠) → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))
265263, 251, 253, 264syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → (((abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ≤ 𝑡𝑡 < 𝑠) → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))
266255, 265mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ≤ 𝑡 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))
267244, 266sylbird 263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → ((abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑡 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))
268227, 267embantd 59 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑥𝑥 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ (𝑦[,)+∞) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑡) → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))
269268exp32 424 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ (𝑦[,)+∞) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑡) → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))))
270269com24 95 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ (𝑦[,)+∞) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑡) → (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))))
271270ralimdv2 3099 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑡 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
272219, 271syl5bi 245 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
273272reximdva 3193 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ¬ 𝑠𝑡)) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
274273anassrs 471 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]𝐴)) ∧ ¬ 𝑠𝑡) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
275274impancom 455 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡) → (¬ 𝑠𝑡 → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
276275expimpd 457 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]𝐴)) → ((∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ∧ ¬ 𝑠𝑡) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
277276rexlimdva 3203 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → (∃𝑡 ∈ (0[,]𝐴)(∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ∧ ¬ 𝑠𝑡) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
278213, 277mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))
279 ssrexv 3968 . . . 4 (ℝ+ ⊆ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
2801, 278, 279mpsyl 68 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))
281280ralrimiva 3105 . 2 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠))
282258recnd 10861 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
283282rgen 3071 . . . 4 𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ
284283a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
2851a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
286 1cnd 10828 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
287284, 285, 286rlim2 15057 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑦𝑥 → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) < 𝑠)))
288281, 287mpbird 260 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  wss 3866  c0 4237   class class class wbr 5053  cmpt 5135  cfv 6380  (class class class)co 7213  infcinf 9057  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  +∞cpnf 10864  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062   / cdiv 11489  2c2 11885  3c3 11886  0cn0 12090  cz 12176  +crp 12586  [,)cico 12937  [,]cicc 12938  cexp 13635  abscabs 14797  𝑟 crli 15046  TopOpenctopn 16926  fldccnfld 20363   Cn ccn 22121   ×t ctx 22457  cnccncf 23773  ψcchp 25975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-prm 16229  df-pc 16390  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-log 25445  df-vma 25980  df-chp 25981
This theorem is referenced by:  pntleml  26492
  Copyright terms: Public domain W3C validator