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Theorem pntibndlem2 27649
Description: Lemma for pntibnd 27651. The main work, after eliminating all the quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
pntibndlem2.10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pntibndlem2.5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
pntibndlem2.6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](2 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
pntibndlem2.7 𝑋 = ((exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)
pntibndlem2.8 (𝜑𝑀 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
pntibndlem2.9 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntibndlem2.11 (𝜑 → ((𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ ((𝑀 / 2) · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ (𝐸 / 2)))
Assertion
Ref Expression
pntibndlem2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝐿,𝑥,𝑧   𝑁,𝑎,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐴,𝑥   𝑢,𝐶,𝑥,𝑦   𝑢,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑀   𝑥,𝑇,𝑦   𝑧,𝑌   𝑢,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑎)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐶(𝑧,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑇(𝑧,𝑢,𝑎)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐿(𝑦,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑧,𝑎)

Proof of Theorem pntibndlem2
StepHypRef Expression
1 pntibndlem2.10 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnrpd 13072 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3 pntibndlem2.11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ ((𝑀 / 2) · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ (𝐸 / 2)))
43simpld 494 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ ((𝑀 / 2) · 𝑌)))
54simpld 494 . . 3 (𝜑𝑌 < 𝑁)
6 1red 11259 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7 ioossre 13444 . . . . . . . 8 (0(,)1) ⊆ ℝ
8 pntibnd.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
9 pntibndlem1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 pntibndlem1.l . . . . . . . . 9 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
118, 9, 10pntibndlem1 27647 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
127, 11sselid 3992 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
13 pntibndlem3.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
147, 13sselid 3992 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1512, 14remulcld 11288 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
166, 15readdcld 11287 . . . . 5 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
171nnred 12278 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1816, 17remulcld 11288 . . . 4 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ)
19 2re 12337 . . . . 5 2 ∈ ℝ
20 remulcl 11237 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
2119, 17, 20sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22 pntibndlem3.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
23 pntibndlem3.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
2423rpred 13074 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
25 remulcl 11237 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
2619, 24, 25sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
27 2rp 13036 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
2928relogcld 26679 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
3026, 29readdcld 11287 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
3122, 30eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
32 eliooord 13442 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
3313, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
3433simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐸)
3514, 34elrpd 13071 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3631, 35rerpdivcld 13105 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
3736reefcld 16120 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
38 pnfxr 11312 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
39 icossre 13464 . . . . . . 7 (((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ⊆ ℝ)
4037, 38, 39sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ⊆ ℝ)
41 pntibndlem2.8 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
4240, 41sseldd 3995 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
43 ioossre 13444 . . . . . 6 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
44 pntibndlem2.9 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
4543, 44sselid 3992 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4642, 45remulcld 11288 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 · 𝑌) ∈ ℝ)
4719a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
48 eliooord 13442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
4911, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
5049simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐿)
5112, 50elrpd 13071 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
5251rpge0d 13078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
5349simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 < 1)
5435rpge0d 13078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
5533simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 < 1)
5612, 6, 14, 6, 52, 53, 54, 55ltmul12ad 12206 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < (1 · 1))
57 1t1e1 12425 . . . . . . . 8 (1 · 1) = 1
5856, 57breqtrdi 5188 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 1)
5915, 6, 6, 58ltadd2dd 11417 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) < (1 + 1))
60 df-2 12326 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
6159, 60breqtrrdi 5189 . . . . 5 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2)
6216, 47, 2, 61ltmul1dd 13129 . . . 4 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (2 · 𝑁))
634simprd 495 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≤ ((𝑀 / 2) · 𝑌))
6442recnd 11286 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
6545recnd 11286 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
66 rpcnne0 13050 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
6727, 66mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
68 div23 11938 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑌) / 2) = ((𝑀 / 2) · 𝑌))
6964, 65, 67, 68syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑌) / 2) = ((𝑀 / 2) · 𝑌))
7063, 69breqtrrd 5175 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≤ ((𝑀 · 𝑌) / 2))
7117, 46, 28lemuldiv2d 13124 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ≤ (𝑀 · 𝑌) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑀 · 𝑌) / 2)))
7270, 71mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ (𝑀 · 𝑌))
7318, 21, 46, 62, 72ltletrd 11418 . . 3 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌))
74 pntibndlem3.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
75 pntibndlem3.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
768, 9, 10, 74, 23, 75, 22, 13, 9, 1pntibndlem2a 27648 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑢𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))
7776simp1d 1141 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ∈ ℝ)
782adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
7976simp2d 1142 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁𝑢)
8077, 78, 79rpgecld 13113 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ∈ ℝ+)
818pntrf 27621 . . . . . . . . . 10 𝑅:ℝ+⟶ℝ
8281ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑢) ∈ ℝ)
8380, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑢) ∈ ℝ)
8483, 80rerpdivcld 13105 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) / 𝑢) ∈ ℝ)
8584recnd 11286 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) / 𝑢) ∈ ℂ)
8685abscld 15471 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℝ)
8781ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
882, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
8988, 1nndivred 12317 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
9089adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
9190recnd 11286 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
9285, 91subcld 11617 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁)) ∈ ℂ)
9392abscld 15471 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ∈ ℝ)
9491abscld 15471 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
9593, 94readdcld 11287 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))) ∈ ℝ)
9614adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐸 ∈ ℝ)
9785, 91abs2difd 15492 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) − (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))))
9886, 94, 93lesubaddd 11857 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) − (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ↔ (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ ((abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)))))
9997, 98mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ ((abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))))
10096rehalfcld 12510 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
10117adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
10277, 101resubcld 11688 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢𝑁) ∈ ℝ)
103102, 78rerpdivcld 13105 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
104 3re 12343 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
105104a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 3 ∈ ℝ)
10686, 105readdcld 11287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3) ∈ ℝ)
107103, 106remulcld 11288 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) ∈ ℝ)
108 pntibndlem2.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
109108rpred 13074 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
110109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑇 ∈ ℝ)
111 1red 11259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 1 ∈ ℝ)
112 4nn 12346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℕ
113 nnrp 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
114112, 113mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
11535, 114rpdivcld 13091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
116108, 115rpdivcld 13091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ+)
117116rpred 13074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ)
118117reefcld 16120 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ)
119118adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ)
120 efgt1 16148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))))
121116, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))))
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 1 < (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))))
123 pntibndlem2.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = ((exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)
124 pntibndlem3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
125124rpred 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
126118, 125readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
127123, 126eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
128118, 124ltaddrpd 13107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < ((exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
129128, 123breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < 𝑋)
130 eliooord 13442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) → (𝑋 < 𝑌𝑌 < +∞))
13144, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑌 < +∞))
132131simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 < 𝑌)
133118, 127, 45, 129, 132lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < 𝑌)
134118, 45, 17, 133, 5lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < 𝑁)
135134adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < 𝑁)
136111, 119, 101, 122, 135lttrd 11419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 1 < 𝑁)
137101, 136rplogcld 26685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
138110, 137rerpdivcld 13105 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
139107, 138readdcld 11287 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
140 peano2re 11431 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) ∈ ℝ)
14186, 140syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) ∈ ℝ)
142103, 141remulcld 11288 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) ∈ ℝ)
143 chpcl 27181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ℝ → (ψ‘𝑢) ∈ ℝ)
14477, 143syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑢) ∈ ℝ)
145 chpcl 27181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
146101, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
147144, 146resubcld 11688 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) ∈ ℝ)
148147, 78rerpdivcld 13105 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁) ∈ ℝ)
149142, 148readdcld 11287 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) ∈ ℝ)
150103, 86remulcld 11288 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) ∈ ℝ)
15188adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
15283, 151resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) ∈ ℝ)
153152recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) ∈ ℂ)
154153abscld 15471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) ∈ ℝ)
155154, 78rerpdivcld 13105 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁) ∈ ℝ)
156150, 155readdcld 11287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁)) ∈ ℝ)
157103, 84remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℝ)
158157renegcld 11687 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℝ)
159158recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℂ)
160152, 78rerpdivcld 13105 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁) ∈ ℝ)
161160recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁) ∈ ℂ)
162159, 161abstrid 15491 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁))) ≤ ((abs‘-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (abs‘(((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁))))
16377recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ∈ ℂ)
164101recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
16578rpne0d 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ≠ 0)
166163, 164, 164, 165divsubdird 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) / 𝑁) = ((𝑢 / 𝑁) − (𝑁 / 𝑁)))
167164, 165dividd 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
168167oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 / 𝑁) − (𝑁 / 𝑁)) = ((𝑢 / 𝑁) − 1))
169166, 168eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) / 𝑁) = ((𝑢 / 𝑁) − 1))
170169oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (((𝑢 / 𝑁) − 1) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)))
17177, 78rerpdivcld 13105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 / 𝑁) ∈ ℝ)
172171recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 / 𝑁) ∈ ℂ)
173 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 1 ∈ ℂ)
174172, 173, 85subdird 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 / 𝑁) − 1) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (((𝑢 / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) − (1 · ((𝑅𝑢) / 𝑢))))
17580rpcnne0d 13083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0))
17678rpcnne0d 13083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
17783recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑢) ∈ ℂ)
178 dmdcan 11974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑅𝑢) ∈ ℂ) → ((𝑢 / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = ((𝑅𝑢) / 𝑁))
179175, 176, 177, 178syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = ((𝑅𝑢) / 𝑁))
18085mullidd 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = ((𝑅𝑢) / 𝑢))
181179, 180oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) − (1 · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) = (((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑢) / 𝑢)))
182170, 174, 1813eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑢) / 𝑢)))
183182negeqd 11499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = -(((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑢) / 𝑢)))
18483, 78rerpdivcld 13105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) / 𝑁) ∈ ℝ)
185184recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) / 𝑁) ∈ ℂ)
186185, 85negsubdi2d 11633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑢) / 𝑁)))
187183, 186eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑢) / 𝑁)))
188151recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑁) ∈ ℂ)
189177, 188, 164, 165divsubdird 12079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁) = (((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑁) / 𝑁)))
190187, 189oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁)) = ((((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑢) / 𝑁)) + (((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))))
19185, 185, 91npncand 11641 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑢) / 𝑁)) + (((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) = (((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁)))
192190, 191eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁)) = (((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁)))
193192fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁))) = (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))))
194157recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℂ)
195194absnegd 15484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) = (abs‘(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))))
196103recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
197196, 85absmuld 15489 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) = ((abs‘((𝑢𝑁) / 𝑁)) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))))
19877, 101subge0d 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (0 ≤ (𝑢𝑁) ↔ 𝑁𝑢))
19979, 198mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 0 ≤ (𝑢𝑁))
200102, 78, 199divge0d 13114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 0 ≤ ((𝑢𝑁) / 𝑁))
201103, 200absidd 15457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑢𝑁) / 𝑁)) = ((𝑢𝑁) / 𝑁))
202201oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑢𝑁) / 𝑁)) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))))
203195, 197, 2023eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))))
204153, 164, 165absdivd 15490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁)) = ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / (abs‘𝑁)))
20578rprege0d 13081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
206 absid 15331 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
207205, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
208207oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁))
209204, 208eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁)) = ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁))
210203, 209oveq12d 7448 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (abs‘(((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁))) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁)))
211162, 193, 2103brtr3d 5178 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁)))
212102, 147readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) ∈ ℝ)
213212, 78rerpdivcld 13105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁) ∈ ℝ)
214147recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) ∈ ℂ)
215164, 163subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁𝑢) ∈ ℂ)
216214, 215abstrid 15491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢))) ≤ ((abs‘((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) + (abs‘(𝑁𝑢))))
2178pntrval 27620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑢) = ((ψ‘𝑢) − 𝑢))
21880, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑢) = ((ψ‘𝑢) − 𝑢))
2198pntrval 27620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
22078, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
221218, 220oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) = (((ψ‘𝑢) − 𝑢) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)))
222144recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑢) ∈ ℂ)
223146recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑁) ∈ ℂ)
224 subadd4 11550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) − (𝑢𝑁)) = (((ψ‘𝑢) + 𝑁) − ((ψ‘𝑁) + 𝑢)))
225 sub4 11551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) − (𝑢𝑁)) = (((ψ‘𝑢) − 𝑢) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)))
226 addsub4 11549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ ((ψ‘𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) + 𝑁) − ((ψ‘𝑁) + 𝑢)) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢)))
227226an42s 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) + 𝑁) − ((ψ‘𝑁) + 𝑢)) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢)))
228224, 225, 2273eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) − 𝑢) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢)))
229222, 223, 163, 164, 228syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − 𝑢) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢)))
230221, 229eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢)) = ((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)))
231230fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢))) = (abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))))
232102recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢𝑁) ∈ ℂ)
233 chpwordi 27214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑢) → (ψ‘𝑁) ≤ (ψ‘𝑢))
234101, 77, 79, 233syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑁) ≤ (ψ‘𝑢))
235146, 144, 234abssubge0d 15466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) = ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)))
236101, 77, 79abssuble0d 15467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(𝑁𝑢)) = (𝑢𝑁))
237235, 236oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) + (abs‘(𝑁𝑢))) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑢𝑁)))
238214, 232, 237comraddd 11472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) + (abs‘(𝑁𝑢))) = ((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))))
239216, 231, 2383brtr3d 5178 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) ≤ ((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))))
240154, 212, 78, 239lediv1dd 13132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁) ≤ (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁))
241155, 213, 150, 240leadd2dd 11875 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁)) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁)))
242150recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) ∈ ℂ)
243148recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁) ∈ ℂ)
244242, 196, 243addassd 11280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁))))
24586recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℂ)
246196, 245, 173adddid 11282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 1)))
247196mulridd 11275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 1) = ((𝑢𝑁) / 𝑁))
248247oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 1)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((𝑢𝑁) / 𝑁)))
249246, 248eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((𝑢𝑁) / 𝑁)))
250249oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) = (((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)))
251232, 214, 164, 165divdird 12078 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)))
252251oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁))))
253244, 250, 2523eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁)))
254241, 253breqtrrd 5175 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁)) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)))
25593, 156, 149, 211, 254letrd 11415 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)))
256 remulcl 11237 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
25719, 103, 256sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
258257, 138readdcld 11287 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
259 remulcl 11237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑢𝑁) ∈ ℝ) → (2 · (𝑢𝑁)) ∈ ℝ)
26019, 102, 259sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · (𝑢𝑁)) ∈ ℝ)
261101, 137rerpdivcld 13105 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 / (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
262110, 261remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
263260, 262readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) ∈ ℝ)
264 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑢 → (ψ‘𝑦) = (ψ‘𝑢))
265264oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑢 → ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) = ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)))
266 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑢 → (𝑦𝑁) = (𝑢𝑁))
267266oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑢 → (2 · (𝑦𝑁)) = (2 · (𝑢𝑁)))
268267oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑢 → ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) = ((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))))
269265, 268breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑢 → (((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) ↔ ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))))))
270 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑁𝑥 = 𝑁)
271 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑁 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑁))
272270, 271oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥[,](2 · 𝑥)) = (𝑁[,](2 · 𝑁)))
273 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
274273oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)))
275 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑁 → (𝑦𝑥) = (𝑦𝑁))
276275oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑁 → (2 · (𝑦𝑥)) = (2 · (𝑦𝑁)))
277 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑁 → (log‘𝑥) = (log‘𝑁))
278270, 277oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 / (log‘𝑥)) = (𝑁 / (log‘𝑁)))
279278oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑁 → (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))))
280276, 279oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑁 → ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) = ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))))
281274, 280breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑁 → (((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))))))
282272, 281raleqbidv 3343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑁 → (∀𝑦 ∈ (𝑥[,](2 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))))))
283 pntibndlem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](2 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
284283adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](2 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
285 1xr 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ*
286 elioopnf 13479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ* → (𝑁 ∈ (1(,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁)))
287285, 286ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (1(,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
288101, 136, 287sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ∈ (1(,)+∞))
289282, 284, 288rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ∀𝑦 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))))
29018adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ)
29121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
29276simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))
293 ltle 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2))
29416, 19, 293sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2))
29561, 294mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2)
296295adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2)
29716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
29819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 2 ∈ ℝ)
299297, 298, 78lemul1d 13117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2 ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ≤ (2 · 𝑁)))
300296, 299mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ≤ (2 · 𝑁))
30177, 290, 291, 292, 300letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ≤ (2 · 𝑁))
302 elicc2 13448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑢𝑢 ≤ (2 · 𝑁))))
303101, 291, 302syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑢𝑢 ≤ (2 · 𝑁))))
30477, 79, 301, 303mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁)))
305269, 289, 304rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))))
306147, 263, 78, 305lediv1dd 13132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁) ≤ (((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) / 𝑁))
307260recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · (𝑢𝑁)) ∈ ℂ)
308108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
309308rpred 13074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑇 ∈ ℝ)
310309, 261remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
311310recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) ∈ ℂ)
312 divdir 11944 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · (𝑢𝑁)) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) / 𝑁) = (((2 · (𝑢𝑁)) / 𝑁) + ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁)))
313307, 311, 176, 312syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) / 𝑁) = (((2 · (𝑢𝑁)) / 𝑁) + ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁)))
314 2cnd 12341 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 2 ∈ ℂ)
315314, 232, 164, 165divassd 12075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((2 · (𝑢𝑁)) / 𝑁) = (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)))
316110recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑇 ∈ ℂ)
317137rpcnne0d 13083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((log‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ≠ 0))
318 div12 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ ((log‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ≠ 0)) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) = (𝑁 · (𝑇 / (log‘𝑁))))
319316, 164, 317, 318syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) = (𝑁 · (𝑇 / (log‘𝑁))))
320319oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁) = ((𝑁 · (𝑇 / (log‘𝑁))) / 𝑁))
321308, 137rpdivcld 13091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ∈ ℝ+)
322321rpcnd 13076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
323322, 164, 165divcan3d 12045 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑁 · (𝑇 / (log‘𝑁))) / 𝑁) = (𝑇 / (log‘𝑁)))
324320, 323eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁) = (𝑇 / (log‘𝑁)))
325315, 324oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((2 · (𝑢𝑁)) / 𝑁) + ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁)) = ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
326313, 325eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) / 𝑁) = ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
327306, 326breqtrd 5173 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁) ≤ ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
328148, 258, 142, 327leadd2dd 11875 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁)))))
329142recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) ∈ ℂ)
330257recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) ∈ ℂ)
331138recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
332329, 330, 331addassd 11280 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁))) + (𝑇 / (log‘𝑁))) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁)))))
333 2cn 12338 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
334 mulcom 11238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ) → (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 2))
335333, 196, 334sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 2))
336335oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁))) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 2)))
337141recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) ∈ ℂ)
338196, 337, 314adddid 11282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) + 2)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 2)))
339245, 173, 314addassd 11280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) + 2) = ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (1 + 2)))
340 1p2e3 12406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 2) = 3
341340oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (1 + 2)) = ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)
342339, 341eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) + 2) = ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3))
343342oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) + 2)) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)))
344336, 338, 3433eqtr2d 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁))) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)))
345344oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁))) + (𝑇 / (log‘𝑁))) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
346332, 345eqtr3d 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁)))) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
347328, 346breqtrd 5173 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
34893, 149, 139, 255, 347letrd 11415 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
349100rehalfcld 12510 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 2) / 2) ∈ ℝ)
35077, 297, 78ledivmul2d 13128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 / 𝑁) ≤ (1 + (𝐿 · 𝐸)) ↔ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))
351292, 350mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 / 𝑁) ≤ (1 + (𝐿 · 𝐸)))
352 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
35315adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
354353recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ)
355 addcom 11444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) = ((𝐿 · 𝐸) + 1))
356352, 354, 355sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) = ((𝐿 · 𝐸) + 1))
357351, 356breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 / 𝑁) ≤ ((𝐿 · 𝐸) + 1))
358171, 111, 353lesubaddd 11857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 / 𝑁) − 1) ≤ (𝐿 · 𝐸) ↔ (𝑢 / 𝑁) ≤ ((𝐿 · 𝐸) + 1)))
359357, 358mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 / 𝑁) − 1) ≤ (𝐿 · 𝐸))
360169, 359eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) / 𝑁) ≤ (𝐿 · 𝐸))
3619adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
362361rpred 13074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ)
363 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑢 → (𝑅𝑥) = (𝑅𝑢))
364 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑢𝑥 = 𝑢)
365363, 364oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = ((𝑅𝑢) / 𝑢))
366365fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢 → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)))
367366breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑢 → ((abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐴))
36874adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
369367, 368, 80rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐴)
37086, 362, 105, 369leadd1dd 11874 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3) ≤ (𝐴 + 3))
371103, 200jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑢𝑁) / 𝑁)))
372 3rp 13037 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℝ+
373 rpaddcl 13054 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
374361, 372, 373sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
375374rprege0d 13081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 + 3)))
376 lemul12b 12121 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑢𝑁) / 𝑁)) ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ) ∧ (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 + 3)))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) ≤ (𝐿 · 𝐸) ∧ ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3) ≤ (𝐴 + 3)) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) ≤ ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3))))
377371, 353, 106, 375, 376syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) ≤ (𝐿 · 𝐸) ∧ ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3) ≤ (𝐴 + 3)) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) ≤ ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3))))
378360, 370, 377mp2and 699 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) ≤ ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3)))
37935adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
380112, 113mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 4 ∈ ℝ+)
381379, 380rpdivcld 13091 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
382381rpcnd 13076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 4) ∈ ℂ)
383374rpcnd 13076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐴 + 3) ∈ ℂ)
384374rpne0d 13079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐴 + 3) ≠ 0)
385382, 383, 384divcan1d 12041 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝐸 / 4) / (𝐴 + 3)) · (𝐴 + 3)) = (𝐸 / 4))
38614recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
387386adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐸 ∈ ℂ)
388380rpcnd 13076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 4 ∈ ℂ)
389380rpne0d 13079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 4 ≠ 0)
390387, 388, 389divrec2d 12044 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 4) = ((1 / 4) · 𝐸))
391390oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 4) / (𝐴 + 3)) = (((1 / 4) · 𝐸) / (𝐴 + 3)))
392 4cn 12348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℂ
393 4ne0 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ≠ 0
394392, 393reccli 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 4) ∈ ℂ
395394a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 / 4) ∈ ℂ)
396395, 387, 383, 384div23d 12077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((1 / 4) · 𝐸) / (𝐴 + 3)) = (((1 / 4) / (𝐴 + 3)) · 𝐸))
39710oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 · 𝐸) = (((1 / 4) / (𝐴 + 3)) · 𝐸)
398396, 397eqtr4di 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((1 / 4) · 𝐸) / (𝐴 + 3)) = (𝐿 · 𝐸))
399391, 398eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐿 · 𝐸) = ((𝐸 / 4) / (𝐴 + 3)))
400399oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3)) = (((𝐸 / 4) / (𝐴 + 3)) · (𝐴 + 3)))
401 2ne0 12367 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
402401a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 2 ≠ 0)
403387, 314, 314, 402, 402divdiv1d 12071 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 2) / 2) = (𝐸 / (2 · 2)))
404 2t2e4 12427 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 2) = 4
405404oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸 / (2 · 2)) = (𝐸 / 4)
406403, 405eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 2) / 2) = (𝐸 / 4))
407385, 400, 4063eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3)) = ((𝐸 / 2) / 2))
408378, 407breqtrd 5173 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) ≤ ((𝐸 / 2) / 2))
409117adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ)
410137rpred 13074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
41178reeflogd 26680 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (exp‘(log‘𝑁)) = 𝑁)
412135, 411breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < (exp‘(log‘𝑁)))
413 eflt 16149 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑇 / (𝐸 / 4)) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < (exp‘(log‘𝑁))))
414409, 410, 413syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑇 / (𝐸 / 4)) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < (exp‘(log‘𝑁))))
415412, 414mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (𝐸 / 4)) < (log‘𝑁))
416409, 410, 415ltled 11406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (𝐸 / 4)) ≤ (log‘𝑁))
417110, 381, 137, 416lediv23d 13142 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ≤ (𝐸 / 4))
418417, 406breqtrrd 5175 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ≤ ((𝐸 / 2) / 2))
419107, 138, 349, 349, 408, 418le2addd 11879 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))) ≤ (((𝐸 / 2) / 2) + ((𝐸 / 2) / 2)))
420100recnd 11286 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
4214202halvesd 12509 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝐸 / 2) / 2) + ((𝐸 / 2) / 2)) = (𝐸 / 2))
422419, 421breqtrd 5173 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))) ≤ (𝐸 / 2))
42393, 139, 100, 348, 422letrd 11415 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ (𝐸 / 2))
4243simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ (𝐸 / 2))
425424adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ (𝐸 / 2))
42693, 94, 100, 100, 423, 425le2addd 11879 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
4273872halvesd 12509 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
428426, 427breqtrd 5173 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ 𝐸)
42986, 95, 96, 99, 428letrd 11415 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
430429ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
4315, 73, 430jca31 514 . 2 (𝜑 → ((𝑌 < 𝑁 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
432 breq2 5151 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (𝑌 < 𝑧𝑌 < 𝑁))
433 oveq2 7438 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) = ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))
434433breq1d 5157 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌)))
435432, 434anbi12d 632 . . . 4 (𝑧 = 𝑁 → ((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ↔ (𝑌 < 𝑁 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌))))
436 id 22 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁𝑧 = 𝑁)
437436, 433oveq12d 7448 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧)) = (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))
438437raleqdv 3323 . . . 4 (𝑧 = 𝑁 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
439435, 438anbi12d 632 . . 3 (𝑧 = 𝑁 → (((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑌 < 𝑁 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
440439rspcev 3621 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑌 < 𝑁 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
4412, 431, 440syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  4c4 12320  +crp 13031  (,)cioo 13383  [,)cico 13385  [,]cicc 13386  abscabs 15269  expce 16093  logclog 26610  ψcchp 27150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-pc 16870  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-vma 27155  df-chp 27156
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