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Theorem pntibndlem2 27635
Description: Lemma for pntibnd 27637. The main work, after eliminating all the quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
pntibndlem2.10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pntibndlem2.5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
pntibndlem2.6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](2 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
pntibndlem2.7 𝑋 = ((exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)
pntibndlem2.8 (𝜑𝑀 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
pntibndlem2.9 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntibndlem2.11 (𝜑 → ((𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ ((𝑀 / 2) · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ (𝐸 / 2)))
Assertion
Ref Expression
pntibndlem2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝐿,𝑥,𝑧   𝑁,𝑎,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐴,𝑥   𝑢,𝐶,𝑥,𝑦   𝑢,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑀   𝑥,𝑇,𝑦   𝑧,𝑌   𝑢,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑎)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐶(𝑧,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑇(𝑧,𝑢,𝑎)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐿(𝑦,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑧,𝑎)

Proof of Theorem pntibndlem2
StepHypRef Expression
1 pntibndlem2.10 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnrpd 13075 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3 pntibndlem2.11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ ((𝑀 / 2) · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ (𝐸 / 2)))
43simpld 494 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ ((𝑀 / 2) · 𝑌)))
54simpld 494 . . 3 (𝜑𝑌 < 𝑁)
6 1red 11262 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7 ioossre 13448 . . . . . . . 8 (0(,)1) ⊆ ℝ
8 pntibnd.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
9 pntibndlem1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 pntibndlem1.l . . . . . . . . 9 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
118, 9, 10pntibndlem1 27633 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
127, 11sselid 3981 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
13 pntibndlem3.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
147, 13sselid 3981 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1512, 14remulcld 11291 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
166, 15readdcld 11290 . . . . 5 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
171nnred 12281 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1816, 17remulcld 11291 . . . 4 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ)
19 2re 12340 . . . . 5 2 ∈ ℝ
20 remulcl 11240 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
2119, 17, 20sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22 pntibndlem3.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
23 pntibndlem3.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
2423rpred 13077 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
25 remulcl 11240 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
2619, 24, 25sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
27 2rp 13039 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
2928relogcld 26665 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
3026, 29readdcld 11290 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
3122, 30eqeltrid 2845 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
32 eliooord 13446 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
3313, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
3433simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐸)
3514, 34elrpd 13074 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3631, 35rerpdivcld 13108 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
3736reefcld 16124 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
38 pnfxr 11315 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
39 icossre 13468 . . . . . . 7 (((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ⊆ ℝ)
4037, 38, 39sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ⊆ ℝ)
41 pntibndlem2.8 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
4240, 41sseldd 3984 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
43 ioossre 13448 . . . . . 6 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
44 pntibndlem2.9 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
4543, 44sselid 3981 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4642, 45remulcld 11291 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 · 𝑌) ∈ ℝ)
4719a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
48 eliooord 13446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
4911, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
5049simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐿)
5112, 50elrpd 13074 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
5251rpge0d 13081 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
5349simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 < 1)
5435rpge0d 13081 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
5533simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 < 1)
5612, 6, 14, 6, 52, 53, 54, 55ltmul12ad 12209 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < (1 · 1))
57 1t1e1 12428 . . . . . . . 8 (1 · 1) = 1
5856, 57breqtrdi 5184 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 1)
5915, 6, 6, 58ltadd2dd 11420 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) < (1 + 1))
60 df-2 12329 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
6159, 60breqtrrdi 5185 . . . . 5 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2)
6216, 47, 2, 61ltmul1dd 13132 . . . 4 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (2 · 𝑁))
634simprd 495 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≤ ((𝑀 / 2) · 𝑌))
6442recnd 11289 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
6545recnd 11289 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
66 rpcnne0 13053 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
6727, 66mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
68 div23 11941 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑌) / 2) = ((𝑀 / 2) · 𝑌))
6964, 65, 67, 68syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑌) / 2) = ((𝑀 / 2) · 𝑌))
7063, 69breqtrrd 5171 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≤ ((𝑀 · 𝑌) / 2))
7117, 46, 28lemuldiv2d 13127 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ≤ (𝑀 · 𝑌) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑀 · 𝑌) / 2)))
7270, 71mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ (𝑀 · 𝑌))
7318, 21, 46, 62, 72ltletrd 11421 . . 3 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌))
74 pntibndlem3.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
75 pntibndlem3.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
768, 9, 10, 74, 23, 75, 22, 13, 9, 1pntibndlem2a 27634 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑢𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))
7776simp1d 1143 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ∈ ℝ)
782adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
7976simp2d 1144 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁𝑢)
8077, 78, 79rpgecld 13116 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ∈ ℝ+)
818pntrf 27607 . . . . . . . . . 10 𝑅:ℝ+⟶ℝ
8281ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑢) ∈ ℝ)
8380, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑢) ∈ ℝ)
8483, 80rerpdivcld 13108 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) / 𝑢) ∈ ℝ)
8584recnd 11289 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) / 𝑢) ∈ ℂ)
8685abscld 15475 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℝ)
8781ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
882, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
8988, 1nndivred 12320 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
9089adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
9190recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
9285, 91subcld 11620 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁)) ∈ ℂ)
9392abscld 15475 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ∈ ℝ)
9491abscld 15475 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
9593, 94readdcld 11290 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))) ∈ ℝ)
9614adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐸 ∈ ℝ)
9785, 91abs2difd 15496 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) − (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))))
9886, 94, 93lesubaddd 11860 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) − (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ↔ (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ ((abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)))))
9997, 98mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ ((abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))))
10096rehalfcld 12513 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
10117adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
10277, 101resubcld 11691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢𝑁) ∈ ℝ)
103102, 78rerpdivcld 13108 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
104 3re 12346 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
105104a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 3 ∈ ℝ)
10686, 105readdcld 11290 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3) ∈ ℝ)
107103, 106remulcld 11291 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) ∈ ℝ)
108 pntibndlem2.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
109108rpred 13077 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
110109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑇 ∈ ℝ)
111 1red 11262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 1 ∈ ℝ)
112 4nn 12349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℕ
113 nnrp 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
114112, 113mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
11535, 114rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
116108, 115rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ+)
117116rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ)
118117reefcld 16124 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ)
119118adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ)
120 efgt1 16152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))))
121116, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))))
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 1 < (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))))
123 pntibndlem2.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = ((exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)
124 pntibndlem3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
125124rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
126118, 125readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
127123, 126eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
128118, 124ltaddrpd 13110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < ((exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
129128, 123breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < 𝑋)
130 eliooord 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) → (𝑋 < 𝑌𝑌 < +∞))
13144, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑌 < +∞))
132131simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 < 𝑌)
133118, 127, 45, 129, 132lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < 𝑌)
134118, 45, 17, 133, 5lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < 𝑁)
135134adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < 𝑁)
136111, 119, 101, 122, 135lttrd 11422 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 1 < 𝑁)
137101, 136rplogcld 26671 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
138110, 137rerpdivcld 13108 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
139107, 138readdcld 11290 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
140 peano2re 11434 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) ∈ ℝ)
14186, 140syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) ∈ ℝ)
142103, 141remulcld 11291 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) ∈ ℝ)
143 chpcl 27167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ℝ → (ψ‘𝑢) ∈ ℝ)
14477, 143syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑢) ∈ ℝ)
145 chpcl 27167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
146101, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
147144, 146resubcld 11691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) ∈ ℝ)
148147, 78rerpdivcld 13108 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁) ∈ ℝ)
149142, 148readdcld 11290 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) ∈ ℝ)
150103, 86remulcld 11291 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) ∈ ℝ)
15188adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
15283, 151resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) ∈ ℝ)
153152recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) ∈ ℂ)
154153abscld 15475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) ∈ ℝ)
155154, 78rerpdivcld 13108 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁) ∈ ℝ)
156150, 155readdcld 11290 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁)) ∈ ℝ)
157103, 84remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℝ)
158157renegcld 11690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℝ)
159158recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℂ)
160152, 78rerpdivcld 13108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁) ∈ ℝ)
161160recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁) ∈ ℂ)
162159, 161abstrid 15495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁))) ≤ ((abs‘-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (abs‘(((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁))))
16377recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ∈ ℂ)
164101recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
16578rpne0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ≠ 0)
166163, 164, 164, 165divsubdird 12082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) / 𝑁) = ((𝑢 / 𝑁) − (𝑁 / 𝑁)))
167164, 165dividd 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
168167oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 / 𝑁) − (𝑁 / 𝑁)) = ((𝑢 / 𝑁) − 1))
169166, 168eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) / 𝑁) = ((𝑢 / 𝑁) − 1))
170169oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (((𝑢 / 𝑁) − 1) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)))
17177, 78rerpdivcld 13108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 / 𝑁) ∈ ℝ)
172171recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 / 𝑁) ∈ ℂ)
173 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 1 ∈ ℂ)
174172, 173, 85subdird 11720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 / 𝑁) − 1) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (((𝑢 / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) − (1 · ((𝑅𝑢) / 𝑢))))
17580rpcnne0d 13086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0))
17678rpcnne0d 13086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
17783recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑢) ∈ ℂ)
178 dmdcan 11977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑅𝑢) ∈ ℂ) → ((𝑢 / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = ((𝑅𝑢) / 𝑁))
179175, 176, 177, 178syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = ((𝑅𝑢) / 𝑁))
18085mullidd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = ((𝑅𝑢) / 𝑢))
181179, 180oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) − (1 · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) = (((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑢) / 𝑢)))
182170, 174, 1813eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑢) / 𝑢)))
183182negeqd 11502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = -(((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑢) / 𝑢)))
18483, 78rerpdivcld 13108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) / 𝑁) ∈ ℝ)
185184recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) / 𝑁) ∈ ℂ)
186185, 85negsubdi2d 11636 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑢) / 𝑁)))
187183, 186eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑢) / 𝑁)))
188151recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑁) ∈ ℂ)
189177, 188, 164, 165divsubdird 12082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁) = (((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑁) / 𝑁)))
190187, 189oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁)) = ((((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑢) / 𝑁)) + (((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))))
19185, 185, 91npncand 11644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑢) / 𝑁)) + (((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) = (((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁)))
192190, 191eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁)) = (((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁)))
193192fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁))) = (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))))
194157recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℂ)
195194absnegd 15488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) = (abs‘(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))))
196103recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
197196, 85absmuld 15493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) = ((abs‘((𝑢𝑁) / 𝑁)) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))))
19877, 101subge0d 11853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (0 ≤ (𝑢𝑁) ↔ 𝑁𝑢))
19979, 198mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 0 ≤ (𝑢𝑁))
200102, 78, 199divge0d 13117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 0 ≤ ((𝑢𝑁) / 𝑁))
201103, 200absidd 15461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑢𝑁) / 𝑁)) = ((𝑢𝑁) / 𝑁))
202201oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑢𝑁) / 𝑁)) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))))
203195, 197, 2023eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))))
204153, 164, 165absdivd 15494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁)) = ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / (abs‘𝑁)))
20578rprege0d 13084 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
206 absid 15335 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
207205, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
208207oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁))
209204, 208eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁)) = ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁))
210203, 209oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (abs‘(((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁))) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁)))
211162, 193, 2103brtr3d 5174 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁)))
212102, 147readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) ∈ ℝ)
213212, 78rerpdivcld 13108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁) ∈ ℝ)
214147recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) ∈ ℂ)
215164, 163subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁𝑢) ∈ ℂ)
216214, 215abstrid 15495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢))) ≤ ((abs‘((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) + (abs‘(𝑁𝑢))))
2178pntrval 27606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑢) = ((ψ‘𝑢) − 𝑢))
21880, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑢) = ((ψ‘𝑢) − 𝑢))
2198pntrval 27606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
22078, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
221218, 220oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) = (((ψ‘𝑢) − 𝑢) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)))
222144recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑢) ∈ ℂ)
223146recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑁) ∈ ℂ)
224 subadd4 11553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) − (𝑢𝑁)) = (((ψ‘𝑢) + 𝑁) − ((ψ‘𝑁) + 𝑢)))
225 sub4 11554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) − (𝑢𝑁)) = (((ψ‘𝑢) − 𝑢) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)))
226 addsub4 11552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ ((ψ‘𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) + 𝑁) − ((ψ‘𝑁) + 𝑢)) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢)))
227226an42s 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) + 𝑁) − ((ψ‘𝑁) + 𝑢)) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢)))
228224, 225, 2273eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) − 𝑢) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢)))
229222, 223, 163, 164, 228syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − 𝑢) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢)))
230221, 229eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢)) = ((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)))
231230fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢))) = (abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))))
232102recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢𝑁) ∈ ℂ)
233 chpwordi 27200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑢) → (ψ‘𝑁) ≤ (ψ‘𝑢))
234101, 77, 79, 233syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑁) ≤ (ψ‘𝑢))
235146, 144, 234abssubge0d 15470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) = ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)))
236101, 77, 79abssuble0d 15471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(𝑁𝑢)) = (𝑢𝑁))
237235, 236oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) + (abs‘(𝑁𝑢))) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑢𝑁)))
238214, 232, 237comraddd 11475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) + (abs‘(𝑁𝑢))) = ((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))))
239216, 231, 2383brtr3d 5174 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) ≤ ((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))))
240154, 212, 78, 239lediv1dd 13135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁) ≤ (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁))
241155, 213, 150, 240leadd2dd 11878 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁)) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁)))
242150recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) ∈ ℂ)
243148recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁) ∈ ℂ)
244242, 196, 243addassd 11283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁))))
24586recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℂ)
246196, 245, 173adddid 11285 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 1)))
247196mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 1) = ((𝑢𝑁) / 𝑁))
248247oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 1)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((𝑢𝑁) / 𝑁)))
249246, 248eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((𝑢𝑁) / 𝑁)))
250249oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) = (((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)))
251232, 214, 164, 165divdird 12081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)))
252251oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁))))
253244, 250, 2523eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁)))
254241, 253breqtrrd 5171 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁)) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)))
25593, 156, 149, 211, 254letrd 11418 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)))
256 remulcl 11240 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
25719, 103, 256sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
258257, 138readdcld 11290 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
259 remulcl 11240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑢𝑁) ∈ ℝ) → (2 · (𝑢𝑁)) ∈ ℝ)
26019, 102, 259sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · (𝑢𝑁)) ∈ ℝ)
261101, 137rerpdivcld 13108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 / (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
262110, 261remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
263260, 262readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) ∈ ℝ)
264 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑢 → (ψ‘𝑦) = (ψ‘𝑢))
265264oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑢 → ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) = ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)))
266 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑢 → (𝑦𝑁) = (𝑢𝑁))
267266oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑢 → (2 · (𝑦𝑁)) = (2 · (𝑢𝑁)))
268267oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑢 → ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) = ((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))))
269265, 268breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑢 → (((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) ↔ ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))))))
270 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑁𝑥 = 𝑁)
271 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑁 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑁))
272270, 271oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥[,](2 · 𝑥)) = (𝑁[,](2 · 𝑁)))
273 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
274273oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)))
275 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑁 → (𝑦𝑥) = (𝑦𝑁))
276275oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑁 → (2 · (𝑦𝑥)) = (2 · (𝑦𝑁)))
277 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑁 → (log‘𝑥) = (log‘𝑁))
278270, 277oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 / (log‘𝑥)) = (𝑁 / (log‘𝑁)))
279278oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑁 → (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))))
280276, 279oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑁 → ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) = ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))))
281274, 280breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑁 → (((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))))))
282272, 281raleqbidv 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑁 → (∀𝑦 ∈ (𝑥[,](2 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))))))
283 pntibndlem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](2 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
284283adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](2 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
285 1xr 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ*
286 elioopnf 13483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ* → (𝑁 ∈ (1(,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁)))
287285, 286ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (1(,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
288101, 136, 287sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ∈ (1(,)+∞))
289282, 284, 288rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ∀𝑦 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))))
29018adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ)
29121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
29276simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))
293 ltle 11349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2))
29416, 19, 293sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2))
29561, 294mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2)
296295adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2)
29716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
29819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 2 ∈ ℝ)
299297, 298, 78lemul1d 13120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2 ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ≤ (2 · 𝑁)))
300296, 299mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ≤ (2 · 𝑁))
30177, 290, 291, 292, 300letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ≤ (2 · 𝑁))
302 elicc2 13452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑢𝑢 ≤ (2 · 𝑁))))
303101, 291, 302syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑢𝑢 ≤ (2 · 𝑁))))
30477, 79, 301, 303mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁)))
305269, 289, 304rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))))
306147, 263, 78, 305lediv1dd 13135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁) ≤ (((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) / 𝑁))
307260recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · (𝑢𝑁)) ∈ ℂ)
308108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
309308rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑇 ∈ ℝ)
310309, 261remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
311310recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) ∈ ℂ)
312 divdir 11947 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · (𝑢𝑁)) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) / 𝑁) = (((2 · (𝑢𝑁)) / 𝑁) + ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁)))
313307, 311, 176, 312syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) / 𝑁) = (((2 · (𝑢𝑁)) / 𝑁) + ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁)))
314 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 2 ∈ ℂ)
315314, 232, 164, 165divassd 12078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((2 · (𝑢𝑁)) / 𝑁) = (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)))
316110recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑇 ∈ ℂ)
317137rpcnne0d 13086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((log‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ≠ 0))
318 div12 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ ((log‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ≠ 0)) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) = (𝑁 · (𝑇 / (log‘𝑁))))
319316, 164, 317, 318syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) = (𝑁 · (𝑇 / (log‘𝑁))))
320319oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁) = ((𝑁 · (𝑇 / (log‘𝑁))) / 𝑁))
321308, 137rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ∈ ℝ+)
322321rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
323322, 164, 165divcan3d 12048 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑁 · (𝑇 / (log‘𝑁))) / 𝑁) = (𝑇 / (log‘𝑁)))
324320, 323eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁) = (𝑇 / (log‘𝑁)))
325315, 324oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((2 · (𝑢𝑁)) / 𝑁) + ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁)) = ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
326313, 325eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) / 𝑁) = ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
327306, 326breqtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁) ≤ ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
328148, 258, 142, 327leadd2dd 11878 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁)))))
329142recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) ∈ ℂ)
330257recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) ∈ ℂ)
331138recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
332329, 330, 331addassd 11283 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁))) + (𝑇 / (log‘𝑁))) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁)))))
333 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
334 mulcom 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ) → (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 2))
335333, 196, 334sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 2))
336335oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁))) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 2)))
337141recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) ∈ ℂ)
338196, 337, 314adddid 11285 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) + 2)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 2)))
339245, 173, 314addassd 11283 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) + 2) = ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (1 + 2)))
340 1p2e3 12409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 2) = 3
341340oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (1 + 2)) = ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)
342339, 341eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) + 2) = ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3))
343342oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) + 2)) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)))
344336, 338, 3433eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁))) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)))
345344oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁))) + (𝑇 / (log‘𝑁))) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
346332, 345eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁)))) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
347328, 346breqtrd 5169 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
34893, 149, 139, 255, 347letrd 11418 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
349100rehalfcld 12513 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 2) / 2) ∈ ℝ)
35077, 297, 78ledivmul2d 13131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 / 𝑁) ≤ (1 + (𝐿 · 𝐸)) ↔ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))
351292, 350mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 / 𝑁) ≤ (1 + (𝐿 · 𝐸)))
352 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
35315adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
354353recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ)
355 addcom 11447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) = ((𝐿 · 𝐸) + 1))
356352, 354, 355sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) = ((𝐿 · 𝐸) + 1))
357351, 356breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 / 𝑁) ≤ ((𝐿 · 𝐸) + 1))
358171, 111, 353lesubaddd 11860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 / 𝑁) − 1) ≤ (𝐿 · 𝐸) ↔ (𝑢 / 𝑁) ≤ ((𝐿 · 𝐸) + 1)))
359357, 358mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 / 𝑁) − 1) ≤ (𝐿 · 𝐸))
360169, 359eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) / 𝑁) ≤ (𝐿 · 𝐸))
3619adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
362361rpred 13077 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ)
363 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑢 → (𝑅𝑥) = (𝑅𝑢))
364 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑢𝑥 = 𝑢)
365363, 364oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = ((𝑅𝑢) / 𝑢))
366365fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢 → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)))
367366breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑢 → ((abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐴))
36874adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
369367, 368, 80rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐴)
37086, 362, 105, 369leadd1dd 11877 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3) ≤ (𝐴 + 3))
371103, 200jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑢𝑁) / 𝑁)))
372 3rp 13040 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℝ+
373 rpaddcl 13057 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
374361, 372, 373sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
375374rprege0d 13084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 + 3)))
376 lemul12b 12124 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑢𝑁) / 𝑁)) ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ) ∧ (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 + 3)))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) ≤ (𝐿 · 𝐸) ∧ ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3) ≤ (𝐴 + 3)) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) ≤ ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3))))
377371, 353, 106, 375, 376syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) ≤ (𝐿 · 𝐸) ∧ ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3) ≤ (𝐴 + 3)) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) ≤ ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3))))
378360, 370, 377mp2and 699 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) ≤ ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3)))
37935adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
380112, 113mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 4 ∈ ℝ+)
381379, 380rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
382381rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 4) ∈ ℂ)
383374rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐴 + 3) ∈ ℂ)
384374rpne0d 13082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐴 + 3) ≠ 0)
385382, 383, 384divcan1d 12044 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝐸 / 4) / (𝐴 + 3)) · (𝐴 + 3)) = (𝐸 / 4))
38614recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
387386adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐸 ∈ ℂ)
388380rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 4 ∈ ℂ)
389380rpne0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 4 ≠ 0)
390387, 388, 389divrec2d 12047 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 4) = ((1 / 4) · 𝐸))
391390oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 4) / (𝐴 + 3)) = (((1 / 4) · 𝐸) / (𝐴 + 3)))
392 4cn 12351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℂ
393 4ne0 12374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ≠ 0
394392, 393reccli 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 4) ∈ ℂ
395394a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 / 4) ∈ ℂ)
396395, 387, 383, 384div23d 12080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((1 / 4) · 𝐸) / (𝐴 + 3)) = (((1 / 4) / (𝐴 + 3)) · 𝐸))
39710oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 · 𝐸) = (((1 / 4) / (𝐴 + 3)) · 𝐸)
398396, 397eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((1 / 4) · 𝐸) / (𝐴 + 3)) = (𝐿 · 𝐸))
399391, 398eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐿 · 𝐸) = ((𝐸 / 4) / (𝐴 + 3)))
400399oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3)) = (((𝐸 / 4) / (𝐴 + 3)) · (𝐴 + 3)))
401 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
402401a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 2 ≠ 0)
403387, 314, 314, 402, 402divdiv1d 12074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 2) / 2) = (𝐸 / (2 · 2)))
404 2t2e4 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 2) = 4
405404oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸 / (2 · 2)) = (𝐸 / 4)
406403, 405eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 2) / 2) = (𝐸 / 4))
407385, 400, 4063eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3)) = ((𝐸 / 2) / 2))
408378, 407breqtrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) ≤ ((𝐸 / 2) / 2))
409117adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ)
410137rpred 13077 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
41178reeflogd 26666 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (exp‘(log‘𝑁)) = 𝑁)
412135, 411breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < (exp‘(log‘𝑁)))
413 eflt 16153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑇 / (𝐸 / 4)) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < (exp‘(log‘𝑁))))
414409, 410, 413syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑇 / (𝐸 / 4)) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < (exp‘(log‘𝑁))))
415412, 414mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (𝐸 / 4)) < (log‘𝑁))
416409, 410, 415ltled 11409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (𝐸 / 4)) ≤ (log‘𝑁))
417110, 381, 137, 416lediv23d 13145 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ≤ (𝐸 / 4))
418417, 406breqtrrd 5171 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ≤ ((𝐸 / 2) / 2))
419107, 138, 349, 349, 408, 418le2addd 11882 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))) ≤ (((𝐸 / 2) / 2) + ((𝐸 / 2) / 2)))
420100recnd 11289 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
4214202halvesd 12512 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝐸 / 2) / 2) + ((𝐸 / 2) / 2)) = (𝐸 / 2))
422419, 421breqtrd 5169 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))) ≤ (𝐸 / 2))
42393, 139, 100, 348, 422letrd 11418 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ (𝐸 / 2))
4243simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ (𝐸 / 2))
425424adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ (𝐸 / 2))
42693, 94, 100, 100, 423, 425le2addd 11882 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
4273872halvesd 12512 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
428426, 427breqtrd 5169 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ 𝐸)
42986, 95, 96, 99, 428letrd 11418 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
430429ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
4315, 73, 430jca31 514 . 2 (𝜑 → ((𝑌 < 𝑁 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
432 breq2 5147 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (𝑌 < 𝑧𝑌 < 𝑁))
433 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) = ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))
434433breq1d 5153 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌)))
435432, 434anbi12d 632 . . . 4 (𝑧 = 𝑁 → ((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ↔ (𝑌 < 𝑁 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌))))
436 id 22 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁𝑧 = 𝑁)
437436, 433oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧)) = (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))
438437raleqdv 3326 . . . 4 (𝑧 = 𝑁 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
439435, 438anbi12d 632 . . 3 (𝑧 = 𝑁 → (((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑌 < 𝑁 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
440439rspcev 3622 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑌 < 𝑁 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
4412, 431, 440syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  abscabs 15273  expce 16097  logclog 26596  ψcchp 27136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-vma 27141  df-chp 27142
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