pntibndlem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem pntibndlem2 27549

Description: Lemma for pntibnd 27551. The main work, after eliminating all the quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
pntibndlem1.l	⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
pntibndlem3.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c	⊢ 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ⁺)
pntibndlem2.10	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pntibndlem2.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
pntibndlem2.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](2 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
pntibndlem2.7	⊢ 𝑋 = ((exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)
pntibndlem2.8	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
pntibndlem2.9	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntibndlem2.11	⊢ (𝜑 → ((𝑌 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ ((𝑀 / 2) · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑁) / 𝑁)) ≤ (𝐸 / 2)))

**Assertion**
Ref	Expression
pntibndlem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))

Distinct variable groups: 𝑢,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧,𝐸 𝑢,𝐿,𝑥,𝑧 𝑁,𝑎,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧 𝑢,𝐴,𝑥 𝑢,𝐶,𝑥,𝑦 𝑢,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧 𝑧,𝑀 𝑥,𝑇,𝑦 𝑧,𝑌 𝑢,𝑍,𝑥,𝑦 𝜑,𝑢 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑎) 𝐴(𝑦,𝑧,𝑎) 𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑎) 𝐶(𝑧,𝑎) 𝑅(𝑎) 𝑇(𝑧,𝑢,𝑎) 𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑎) 𝐿(𝑦,𝑎) 𝑀(𝑥,𝑦,𝑢,𝑎) 𝑋(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑎) 𝑌(𝑥,𝑦,𝑢,𝑎) 𝑍(𝑧,𝑎)

**Proof of Theorem pntibndlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibndlem2.10	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 12938	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
3		pntibndlem2.11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ ((𝑀 / 2) · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑁) / 𝑁)) ≤ (𝐸 / 2)))
4	3	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ ((𝑀 / 2) · 𝑌)))
5	4	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < 𝑁)
6		1red 11124	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7		ioossre 13314	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
8		pntibnd.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
9		pntibndlem1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
10		pntibndlem1.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
11	8, 9, 10	pntibndlem1 27547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
12	7, 11	sselid 3928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
13		pntibndlem3.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
14	7, 13	sselid 3928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
15	12, 14	remulcld 11153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
16	6, 15	readdcld 11152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
17	1	nnred 12151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
18	16, 17	remulcld 11153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ)
19		2re 12210	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
20		remulcl 11102	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
21	19, 17, 20	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22		pntibndlem3.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
23		pntibndlem3.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
24	23	rpred 12940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
25		remulcl 11102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
26	19, 24, 25	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
27		2rp 12901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
29	28	relogcld 26579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
30	26, 29	readdcld 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
31	22, 30	eqeltrid 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
32		eliooord 13312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
33	13, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
34	33	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
35	14, 34	elrpd 12937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
36	31, 35	rerpdivcld 12971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
37	36	reefcld 16002	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
38		pnfxr 11177	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
39		icossre 13335	. . . . . . 7 ⊢ (((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ⊆ ℝ)
40	37, 38, 39	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ⊆ ℝ)
41		pntibndlem2.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
42	40, 41	sseldd 3931	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
43		ioossre 13314	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
44		pntibndlem2.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
45	43, 44	sselid 3928	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
46	42, 45	remulcld 11153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑌) ∈ ℝ)
47	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
48		eliooord 13312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
49	11, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐿 ∧ 𝐿 < 1))
50	49	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐿)
51	12, 50	elrpd 12937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ⁺)
52	51	rpge0d 12944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
53	49	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 < 1)
54	35	rpge0d 12944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
55	33	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < 1)
56	12, 6, 14, 6, 52, 53, 54, 55	ltmul12ad 12074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < (1 · 1))
57		1t1e1 12293	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 1) = 1
58	56, 57	breqtrdi 5136	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 1)
59	15, 6, 6, 58	ltadd2dd 11283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) < (1 + 1))
60		df-2 12199	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
61	59, 60	breqtrrdi 5137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2)
62	16, 47, 2, 61	ltmul1dd 12995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (2 · 𝑁))
63	4	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ ((𝑀 / 2) · 𝑌))
64	42	recnd 11151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
65	45	recnd 11151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
66		rpcnne0 12915	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ⁺ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
67	27, 66	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
68		div23 11806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑌) / 2) = ((𝑀 / 2) · 𝑌))
69	64, 65, 67, 68	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑌) / 2) = ((𝑀 / 2) · 𝑌))
70	63, 69	breqtrrd 5123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ ((𝑀 · 𝑌) / 2))
71	17, 46, 28	lemuldiv2d 12990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ≤ (𝑀 · 𝑌) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑀 · 𝑌) / 2)))
72	70, 71	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ (𝑀 · 𝑌))
73	18, 21, 46, 62, 72	ltletrd 11284	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌))
74		pntibndlem3.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
75		pntibndlem3.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
76	8, 9, 10, 74, 23, 75, 22, 13, 9, 1	pntibndlem2a 27548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))
77	76	simp1d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ∈ ℝ)
78	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
79	76	simp2d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ≤ 𝑢)
80	77, 78, 79	rpgecld 12979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ∈ ℝ⁺)
81	8	pntrf 27521	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅:ℝ⁺⟶ℝ
82	81	ffvelcdmi 7025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑢) ∈ ℝ)
83	80, 82	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅‘𝑢) ∈ ℝ)
84	83, 80	rerpdivcld 12971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅‘𝑢) / 𝑢) ∈ ℝ)
85	84	recnd 11151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅‘𝑢) / 𝑢) ∈ ℂ)
86	85	abscld 15353	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ∈ ℝ)
87	81	ffvelcdmi 7025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑁) ∈ ℝ)
88	2, 87	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝑁) ∈ ℝ)
89	88, 1	nndivred 12190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑅‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
90	89	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
91	90	recnd 11151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
92	85, 91	subcld 11483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℂ)
93	92	abscld 15353	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) ∈ ℝ)
94	91	abscld 15353	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
95	93, 94	readdcld 11152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘(((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) ∈ ℝ)
96	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐸 ∈ ℝ)
97	85, 91	abs2difd 15374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) − (abs‘((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) ≤ (abs‘(((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁))))
98	86, 94, 93	lesubaddd 11725	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) − (abs‘((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) ≤ (abs‘(((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) ↔ (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ ((abs‘(((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅‘𝑁) / 𝑁)))))
99	97, 98	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ ((abs‘(((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅‘𝑁) / 𝑁))))
100	96	rehalfcld 12379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
101	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
102	77, 101	resubcld 11556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 − 𝑁) ∈ ℝ)
103	102, 78	rerpdivcld 12971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
104		3re 12216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 3 ∈ ℝ)
106	86, 105	readdcld 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3) ∈ ℝ)
107	103, 106	remulcld 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3)) ∈ ℝ)
108		pntibndlem2.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
109	108	rpred 12940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
110	109	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑇 ∈ ℝ)
111		1red 11124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 1 ∈ ℝ)
112		4nn 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℕ
113		nnrp 12908	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ⁺)
114	112, 113	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ⁺)
115	35, 114	rpdivcld 12957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 4) ∈ ℝ⁺)
116	108, 115	rpdivcld 12957	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ⁺)
117	116	rpred 12940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ)
118	117	reefcld 16002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ)
119	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ)
120		efgt1 16032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ⁺ → 1 < (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))))
121	116, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))))
122	121	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 1 < (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))))
123		pntibndlem2.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑋 = ((exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)
124		pntibndlem3.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ⁺)
125	124	rpred 12940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ)
126	118, 125	readdcld 11152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
127	123, 126	eqeltrid 2837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
128	118, 124	ltaddrpd 12973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < ((exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
129	128, 123	breqtrrdi 5137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < 𝑋)
130		eliooord 13312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) → (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < +∞))
131	44, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < +∞))
132	131	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
133	118, 127, 45, 129, 132	lttrd 11285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < 𝑌)
134	118, 45, 17, 133, 5	lttrd 11285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < 𝑁)
135	134	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < 𝑁)
136	111, 119, 101, 122, 135	lttrd 11285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 1 < 𝑁)
137	101, 136	rplogcld 26585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (log‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
138	110, 137	rerpdivcld 12971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
139	107, 138	readdcld 11152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
140		peano2re 11297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1) ∈ ℝ)
141	86, 140	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1) ∈ ℝ)
142	103, 141	remulcld 11153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) ∈ ℝ)
143		chpcl 27081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (ψ‘𝑢) ∈ ℝ)
144	77, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑢) ∈ ℝ)
145		chpcl 27081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
146	101, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
147	144, 146	resubcld 11556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) ∈ ℝ)
148	147, 78	rerpdivcld 12971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁) ∈ ℝ)
149	142, 148	readdcld 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) ∈ ℝ)
150	103, 86	remulcld 11153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) ∈ ℝ)
151	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅‘𝑁) ∈ ℝ)
152	83, 151	resubcld 11556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁)) ∈ ℝ)
153	152	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁)) ∈ ℂ)
154	153	abscld 15353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁))) ∈ ℝ)
155	154, 78	rerpdivcld 12971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁))) / 𝑁) ∈ ℝ)
156	150, 155	readdcld 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁))) / 𝑁)) ∈ ℝ)
157	103, 84	remulcld 11153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ∈ ℝ)
158	157	renegcld 11555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ∈ ℝ)
159	158	recnd 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ∈ ℂ)
160	152, 78	rerpdivcld 12971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁)) / 𝑁) ∈ ℝ)
161	160	recnd 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁)) / 𝑁) ∈ ℂ)
162	159, 161	abstrid 15373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(-(((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + (((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁)) / 𝑁))) ≤ ((abs‘-(((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + (abs‘(((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁)) / 𝑁))))
163	77	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ∈ ℂ)
164	101	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
165	78	rpne0d 12945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ≠ 0)
166	163, 164, 164, 165	divsubdird 11947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) = ((𝑢 / 𝑁) − (𝑁 / 𝑁)))
167	164, 165	dividd 11906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
168	167	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 / 𝑁) − (𝑁 / 𝑁)) = ((𝑢 / 𝑁) − 1))
169	166, 168	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) = ((𝑢 / 𝑁) − 1))
170	169	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) = (((𝑢 / 𝑁) − 1) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)))
171	77, 78	rerpdivcld 12971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 / 𝑁) ∈ ℝ)
172	171	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 / 𝑁) ∈ ℂ)
173		1cnd 11118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 1 ∈ ℂ)
174	172, 173, 85	subdird 11585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 / 𝑁) − 1) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) = (((𝑢 / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) − (1 · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢))))
175	80	rpcnne0d 12949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0))
176	78	rpcnne0d 12949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
177	83	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅‘𝑢) ∈ ℂ)
178		dmdcan 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑅‘𝑢) ∈ ℂ) → ((𝑢 / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) = ((𝑅‘𝑢) / 𝑁))
179	175, 176, 177, 178	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) = ((𝑅‘𝑢) / 𝑁))
180	85	mullidd 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) = ((𝑅‘𝑢) / 𝑢))
181	179, 180	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) − (1 · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) = (((𝑅‘𝑢) / 𝑁) − ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)))
182	170, 174, 181	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) = (((𝑅‘𝑢) / 𝑁) − ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)))
183	182	negeqd 11365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) = -(((𝑅‘𝑢) / 𝑁) − ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)))
184	83, 78	rerpdivcld 12971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅‘𝑢) / 𝑁) ∈ ℝ)
185	184	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅‘𝑢) / 𝑁) ∈ ℂ)
186	185, 85	negsubdi2d 11499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑅‘𝑢) / 𝑁) − ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) = (((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑢) / 𝑁)))
187	183, 186	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) = (((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑢) / 𝑁)))
188	151	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅‘𝑁) ∈ ℂ)
189	177, 188, 164, 165	divsubdird 11947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁)) / 𝑁) = (((𝑅‘𝑢) / 𝑁) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁)))
190	187, 189	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (-(((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + (((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁)) / 𝑁)) = ((((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑢) / 𝑁)) + (((𝑅‘𝑢) / 𝑁) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁))))
191	85, 185, 91	npncand 11507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑢) / 𝑁)) + (((𝑅‘𝑢) / 𝑁) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) = (((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁)))
192	190, 191	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (-(((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + (((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁)) / 𝑁)) = (((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁)))
193	192	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(-(((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + (((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁)) / 𝑁))) = (abs‘(((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁))))
194	157	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ∈ ℂ)
195	194	absnegd 15366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘-(((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) = (abs‘(((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢))))
196	103	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
197	196, 85	absmuld 15371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) = ((abs‘((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))))
198	77, 101	subge0d 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (0 ≤ (𝑢 − 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑢))
199	79, 198	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 0 ≤ (𝑢 − 𝑁))
200	102, 78, 199	divge0d 12980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 0 ≤ ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁))
201	103, 200	absidd 15337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) = ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁))
202	201	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) = (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))))
203	195, 197, 202	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘-(((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) = (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))))
204	153, 164, 165	absdivd 15372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁)) / 𝑁)) = ((abs‘((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁))) / (abs‘𝑁)))
205	78	rprege0d 12947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
206		absid 15210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
207	205, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
208	207	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁))) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁))) / 𝑁))
209	204, 208	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁)) / 𝑁)) = ((abs‘((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁))) / 𝑁))
210	203, 209	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘-(((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + (abs‘(((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁)) / 𝑁))) = ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁))) / 𝑁)))
211	162, 193, 210	3brtr3d 5126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) ≤ ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁))) / 𝑁)))
212	102, 147	readdcld 11152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 − 𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) ∈ ℝ)
213	212, 78	rerpdivcld 12971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁) ∈ ℝ)
214	147	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) ∈ ℂ)
215	164, 163	subcld 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 − 𝑢) ∈ ℂ)
216	214, 215	abstrid 15373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁 − 𝑢))) ≤ ((abs‘((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) + (abs‘(𝑁 − 𝑢))))
217	8	pntrval 27520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑢) = ((ψ‘𝑢) − 𝑢))
218	80, 217	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅‘𝑢) = ((ψ‘𝑢) − 𝑢))
219	8	pntrval 27520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
220	78, 219	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅‘𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
221	218, 220	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁)) = (((ψ‘𝑢) − 𝑢) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)))
222	144	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑢) ∈ ℂ)
223	146	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑁) ∈ ℂ)
224		subadd4 11416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) − (𝑢 − 𝑁)) = (((ψ‘𝑢) + 𝑁) − ((ψ‘𝑁) + 𝑢)))
225		sub4 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) − (𝑢 − 𝑁)) = (((ψ‘𝑢) − 𝑢) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)))
226		addsub4 11415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ ((ψ‘𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) + 𝑁) − ((ψ‘𝑁) + 𝑢)) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁 − 𝑢)))
227	226	an42s 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) + 𝑁) − ((ψ‘𝑁) + 𝑢)) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁 − 𝑢)))
228	224, 225, 227	3eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) − 𝑢) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁 − 𝑢)))
229	222, 223, 163, 164, 228	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − 𝑢) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁 − 𝑢)))
230	221, 229	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁 − 𝑢)) = ((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁)))
231	230	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁 − 𝑢))) = (abs‘((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁))))
232	102	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 − 𝑁) ∈ ℂ)
233		chpwordi 27114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢) → (ψ‘𝑁) ≤ (ψ‘𝑢))
234	101, 77, 79, 233	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑁) ≤ (ψ‘𝑢))
235	146, 144, 234	abssubge0d 15348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) = ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)))
236	101, 77, 79	abssuble0d 15349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(𝑁 − 𝑢)) = (𝑢 − 𝑁))
237	235, 236	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) + (abs‘(𝑁 − 𝑢))) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑢 − 𝑁)))
238	214, 232, 237	comraddd 11338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) + (abs‘(𝑁 − 𝑢))) = ((𝑢 − 𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))))
239	216, 231, 238	3brtr3d 5126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁))) ≤ ((𝑢 − 𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))))
240	154, 212, 78, 239	lediv1dd 12998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁))) / 𝑁) ≤ (((𝑢 − 𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁))
241	155, 213, 150, 240	leadd2dd 11743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁))) / 𝑁)) ≤ ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢 − 𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁)))
242	150	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) ∈ ℂ)
243	148	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁) ∈ ℂ)
244	242, 196, 243	addassd 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) = ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁))))
245	86	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ∈ ℂ)
246	196, 245, 173	adddid 11147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) = ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · 1)))
247	196	mulridd 11140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · 1) = ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁))
248	247	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · 1)) = ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)))
249	246, 248	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) = ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)))
250	249	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) = (((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)))
251	232, 214, 164, 165	divdird 11946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁) = (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)))
252	251	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢 − 𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁)) = ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁))))
253	244, 250, 252	3eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) = ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢 − 𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁)))
254	241, 253	breqtrrd 5123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅‘𝑢) − (𝑅‘𝑁))) / 𝑁)) ≤ ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)))
255	93, 156, 149, 211, 254	letrd 11281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) ≤ ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)))
256		remulcl 11102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
257	19, 103, 256	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
258	257, 138	readdcld 11152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
259		remulcl 11102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑢 − 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · (𝑢 − 𝑁)) ∈ ℝ)
260	19, 102, 259	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · (𝑢 − 𝑁)) ∈ ℝ)
261	101, 137	rerpdivcld 12971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 / (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
262	110, 261	remulcld 11153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
263	260, 262	readdcld 11152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((2 · (𝑢 − 𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) ∈ ℝ)
264		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (ψ‘𝑦) = (ψ‘𝑢))
265	264	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) = ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)))
266		oveq1 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (𝑦 − 𝑁) = (𝑢 − 𝑁))
267	266	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (2 · (𝑦 − 𝑁)) = (2 · (𝑢 − 𝑁)))
268	267	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((2 · (𝑦 − 𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) = ((2 · (𝑢 − 𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))))
269	265, 268	breq12d 5108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) ↔ ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑢 − 𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))))))
270		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → 𝑥 = 𝑁)
271		oveq2 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑁))
272	270, 271	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥[,](2 · 𝑥)) = (𝑁[,](2 · 𝑁)))
273		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
274	273	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)))
275		oveq2 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑦 − 𝑥) = (𝑦 − 𝑁))
276	275	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2 · (𝑦 − 𝑥)) = (2 · (𝑦 − 𝑁)))
277		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (log‘𝑥) = (log‘𝑁))
278	270, 277	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 / (log‘𝑥)) = (𝑁 / (log‘𝑁)))
279	278	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))))
280	276, 279	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) = ((2 · (𝑦 − 𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))))
281	274, 280	breq12d 5108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))))))
282	272, 281	raleqbidv 3313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∀𝑦 ∈ (𝑥[,](2 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))))))
283		pntibndlem2.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](2 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
284	283	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](2 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
285		1xr 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
286		elioopnf 13350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ∈ ℝ^* → (𝑁 ∈ (1(,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁)))
287	285, 286	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (1(,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
288	101, 136, 287	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ∈ (1(,)+∞))
289	282, 284, 288	rspcdva 3574	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ∀𝑦 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))))
290	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ)
291	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
292	76	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))
293		ltle 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2))
294	16, 19, 293	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2))
295	61, 294	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2)
296	295	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2)
297	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
298	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 2 ∈ ℝ)
299	297, 298, 78	lemul1d 12983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2 ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ≤ (2 · 𝑁)))
300	296, 299	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ≤ (2 · 𝑁))
301	77, 290, 291, 292, 300	letrd 11281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ≤ (2 · 𝑁))
302		elicc2 13318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ (2 · 𝑁))))
303	101, 291, 302	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ (2 · 𝑁))))
304	77, 79, 301, 303	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁)))
305	269, 289, 304	rspcdva 3574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑢 − 𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))))
306	147, 263, 78, 305	lediv1dd 12998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁) ≤ (((2 · (𝑢 − 𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) / 𝑁))
307	260	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · (𝑢 − 𝑁)) ∈ ℂ)
308	108	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
309	308	rpred 12940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑇 ∈ ℝ)
310	309, 261	remulcld 11153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
311	310	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) ∈ ℂ)
312		divdir 11812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · (𝑢 − 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((2 · (𝑢 − 𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) / 𝑁) = (((2 · (𝑢 − 𝑁)) / 𝑁) + ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁)))
313	307, 311, 176, 312	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((2 · (𝑢 − 𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) / 𝑁) = (((2 · (𝑢 − 𝑁)) / 𝑁) + ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁)))
314		2cnd 12214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 2 ∈ ℂ)
315	314, 232, 164, 165	divassd 11943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((2 · (𝑢 − 𝑁)) / 𝑁) = (2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)))
316	110	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑇 ∈ ℂ)
317	137	rpcnne0d 12949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((log‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ≠ 0))
318		div12 11809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ ((log‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ≠ 0)) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) = (𝑁 · (𝑇 / (log‘𝑁))))
319	316, 164, 317, 318	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) = (𝑁 · (𝑇 / (log‘𝑁))))
320	319	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁) = ((𝑁 · (𝑇 / (log‘𝑁))) / 𝑁))
321	308, 137	rpdivcld 12957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ∈ ℝ⁺)
322	321	rpcnd 12942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
323	322, 164, 165	divcan3d 11913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑁 · (𝑇 / (log‘𝑁))) / 𝑁) = (𝑇 / (log‘𝑁)))
324	320, 323	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁) = (𝑇 / (log‘𝑁)))
325	315, 324	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((2 · (𝑢 − 𝑁)) / 𝑁) + ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁)) = ((2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
326	313, 325	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((2 · (𝑢 − 𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) / 𝑁) = ((2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
327	306, 326	breqtrd 5121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁) ≤ ((2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
328	148, 258, 142, 327	leadd2dd 11743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) ≤ ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) + ((2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁)))))
329	142	recnd 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) ∈ ℂ)
330	257	recnd 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) ∈ ℂ)
331	138	recnd 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
332	329, 330, 331	addassd 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁))) + (𝑇 / (log‘𝑁))) = ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) + ((2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁)))))
333		2cn 12211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
334		mulcom 11103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ) → (2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) = (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · 2))
335	333, 196, 334	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) = (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · 2))
336	335	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁))) = ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · 2)))
337	141	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1) ∈ ℂ)
338	196, 337, 314	adddid 11147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1) + 2)) = ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · 2)))
339	245, 173, 314	addassd 11145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1) + 2) = ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + (1 + 2)))
340		1p2e3 12274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 2) = 3
341	340	oveq2i 7366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + (1 + 2)) = ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3)
342	339, 341	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1) + 2) = ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3))
343	342	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · (((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1) + 2)) = (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3)))
344	336, 338, 343	3eqtr2d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁))) = (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3)))
345	344	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁))) + (𝑇 / (log‘𝑁))) = ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
346	332, 345	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) + ((2 · ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁)))) = ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
347	328, 346	breqtrd 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) ≤ ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
348	93, 149, 139, 255, 347	letrd 11281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) ≤ ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
349	100	rehalfcld 12379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 2) / 2) ∈ ℝ)
350	77, 297, 78	ledivmul2d 12994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 / 𝑁) ≤ (1 + (𝐿 · 𝐸)) ↔ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))
351	292, 350	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 / 𝑁) ≤ (1 + (𝐿 · 𝐸)))
352		ax-1cn 11075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
353	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
354	353	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ)
355		addcom 11310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) = ((𝐿 · 𝐸) + 1))
356	352, 354, 355	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) = ((𝐿 · 𝐸) + 1))
357	351, 356	breqtrd 5121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 / 𝑁) ≤ ((𝐿 · 𝐸) + 1))
358	171, 111, 353	lesubaddd 11725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 / 𝑁) − 1) ≤ (𝐿 · 𝐸) ↔ (𝑢 / 𝑁) ≤ ((𝐿 · 𝐸) + 1)))
359	357, 358	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 / 𝑁) − 1) ≤ (𝐿 · 𝐸))
360	169, 359	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) ≤ (𝐿 · 𝐸))
361	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
362	361	rpred 12940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ)
363		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑅‘𝑥) = (𝑅‘𝑢))
364		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → 𝑥 = 𝑢)
365	363, 364	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝑅‘𝑥) / 𝑥) = ((𝑅‘𝑢) / 𝑢))
366	365	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) = (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)))
367	366	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐴))
368	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
369	367, 368, 80	rspcdva 3574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐴)
370	86, 362, 105, 369	leadd1dd 11742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3) ≤ (𝐴 + 3))
371	103, 200	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)))
372		3rp 12902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℝ⁺
373		rpaddcl 12920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 3 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ⁺)
374	361, 372, 373	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ⁺)
375	374	rprege0d 12947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 + 3)))
376		lemul12b 11989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑢 − 𝑁) / 𝑁)) ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ) ∧ (((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 + 3)))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) ≤ (𝐿 · 𝐸) ∧ ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3) ≤ (𝐴 + 3)) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3)) ≤ ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3))))
377	371, 353, 106, 375, 376	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) ≤ (𝐿 · 𝐸) ∧ ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3) ≤ (𝐴 + 3)) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3)) ≤ ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3))))
378	360, 370, 377	mp2and 699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3)) ≤ ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3)))
379	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
380	112, 113	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 4 ∈ ℝ⁺)
381	379, 380	rpdivcld 12957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ⁺)
382	381	rpcnd 12942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 4) ∈ ℂ)
383	374	rpcnd 12942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐴 + 3) ∈ ℂ)
384	374	rpne0d 12945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐴 + 3) ≠ 0)
385	382, 383, 384	divcan1d 11909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝐸 / 4) / (𝐴 + 3)) · (𝐴 + 3)) = (𝐸 / 4))
386	14	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
387	386	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐸 ∈ ℂ)
388	380	rpcnd 12942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 4 ∈ ℂ)
389	380	rpne0d 12945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 4 ≠ 0)
390	387, 388, 389	divrec2d 11912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 4) = ((1 / 4) · 𝐸))
391	390	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 4) / (𝐴 + 3)) = (((1 / 4) · 𝐸) / (𝐴 + 3)))
392		4cn 12221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℂ
393		4ne0 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ≠ 0
394	392, 393	reccli 11862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
395	394	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 / 4) ∈ ℂ)
396	395, 387, 383, 384	div23d 11945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((1 / 4) · 𝐸) / (𝐴 + 3)) = (((1 / 4) / (𝐴 + 3)) · 𝐸))
397	10	oveq1i 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 · 𝐸) = (((1 / 4) / (𝐴 + 3)) · 𝐸)
398	396, 397	eqtr4di 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((1 / 4) · 𝐸) / (𝐴 + 3)) = (𝐿 · 𝐸))
399	391, 398	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐿 · 𝐸) = ((𝐸 / 4) / (𝐴 + 3)))
400	399	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3)) = (((𝐸 / 4) / (𝐴 + 3)) · (𝐴 + 3)))
401		2ne0 12240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≠ 0
402	401	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 2 ≠ 0)
403	387, 314, 314, 402, 402	divdiv1d 11939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 2) / 2) = (𝐸 / (2 · 2)))
404		2t2e4 12295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 2) = 4
405	404	oveq2i 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸 / (2 · 2)) = (𝐸 / 4)
406	403, 405	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 2) / 2) = (𝐸 / 4))
407	385, 400, 406	3eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3)) = ((𝐸 / 2) / 2))
408	378, 407	breqtrd 5121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3)) ≤ ((𝐸 / 2) / 2))
409	117	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ)
410	137	rpred 12940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
411	78	reeflogd 26580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (exp‘(log‘𝑁)) = 𝑁)
412	135, 411	breqtrrd 5123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < (exp‘(log‘𝑁)))
413		eflt 16033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑇 / (𝐸 / 4)) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < (exp‘(log‘𝑁))))
414	409, 410, 413	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑇 / (𝐸 / 4)) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < (exp‘(log‘𝑁))))
415	412, 414	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (𝐸 / 4)) < (log‘𝑁))
416	409, 410, 415	ltled 11272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (𝐸 / 4)) ≤ (log‘𝑁))
417	110, 381, 137, 416	lediv23d 13008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ≤ (𝐸 / 4))
418	417, 406	breqtrrd 5123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ≤ ((𝐸 / 2) / 2))
419	107, 138, 349, 349, 408, 418	le2addd 11747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))) ≤ (((𝐸 / 2) / 2) + ((𝐸 / 2) / 2)))
420	100	recnd 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
421	420	2halvesd 12378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝐸 / 2) / 2) + ((𝐸 / 2) / 2)) = (𝐸 / 2))
422	419, 421	breqtrd 5121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢 − 𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))) ≤ (𝐸 / 2))
423	93, 139, 100, 348, 422	letrd 11281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) ≤ (𝐸 / 2))
424	3	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑅‘𝑁) / 𝑁)) ≤ (𝐸 / 2))
425	424	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅‘𝑁) / 𝑁)) ≤ (𝐸 / 2))
426	93, 94, 100, 100, 423, 425	le2addd 11747	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘(((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) ≤ ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
427	387	2halvesd 12378	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
428	426, 427	breqtrd 5121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘(((𝑅‘𝑢) / 𝑢) − ((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅‘𝑁) / 𝑁))) ≤ 𝐸)
429	86, 95, 96, 99, 428	letrd 11281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
430	429	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
431	5, 73, 430	jca31 514	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 < 𝑁 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
432		breq2 5099	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑌 < 𝑧 ↔ 𝑌 < 𝑁))
433		oveq2 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) = ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))
434	433	breq1d 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌)))
435	432, 434	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → ((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ↔ (𝑌 < 𝑁 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌))))
436		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → 𝑧 = 𝑁)
437	436, 433	oveq12d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧)) = (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))
438	437	raleqdv 3293	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
439	435, 438	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑌 < 𝑁 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
440	439	rspcev 3573	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝑌 < 𝑁 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
441	2, 431, 440	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2929 ∀wral 3048 ∃wrex 3057 ⊆ wss 3898 class class class wbr 5095 ↦ cmpt 5176 ‘cfv 6489 (class class class)co 7355 ℂcc 11015 ℝcr 11016 0cc0 11017 1c1 11018 + caddc 11020 · cmul 11022 +∞cpnf 11154 ℝ^*cxr 11156 < clt 11157 ≤ cle 11158 − cmin 11355 -cneg 11356 / cdiv 11785 ℕcn 12136 2c2 12191 3c3 12192 4c4 12193 ℝ⁺crp 12896 (,)cioo 13252 [,)cico 13254 [,]cicc 13255 abscabs 15148 expce 15975 logclog 26510 ψcchp 27050

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2705 ax-rep 5221 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7677 ax-inf2 9542 ax-cnex 11073 ax-resscn 11074 ax-1cn 11075 ax-icn 11076 ax-addcl 11077 ax-addrcl 11078 ax-mulcl 11079 ax-mulrcl 11080 ax-mulcom 11081 ax-addass 11082 ax-mulass 11083 ax-distr 11084 ax-i2m1 11085 ax-1ne0 11086 ax-1rid 11087 ax-rnegex 11088 ax-rrecex 11089 ax-cnre 11090 ax-pre-lttri 11091 ax-pre-lttrn 11092 ax-pre-ltadd 11093 ax-pre-mulgt0 11094 ax-pre-sup 11095 ax-addf 11096

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2725 df-clel 2808 df-nfc 2882 df-ne 2930 df-nel 3034 df-ral 3049 df-rex 3058 df-rmo 3347 df-reu 3348 df-rab 3397 df-v 3439 df-sbc 3738 df-csb 3847 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3918 df-nul 4283 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-tp 4582 df-op 4584 df-uni 4861 df-int 4900 df-iun 4945 df-iin 4946 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-tr 5203 df-id 5516 df-eprel 5521 df-po 5529 df-so 5530 df-fr 5574 df-se 5575 df-we 5576 df-xp 5627 df-rel 5628 df-cnv 5629 df-co 5630 df-dm 5631 df-rn 5632 df-res 5633 df-ima 5634 df-pred 6256 df-ord 6317 df-on 6318 df-lim 6319 df-suc 6320 df-iota 6445 df-fun 6491 df-fn 6492 df-f 6493 df-f1 6494 df-fo 6495 df-f1o 6496 df-fv 6497 df-isom 6498 df-riota 7312 df-ov 7358 df-oprab 7359 df-mpo 7360 df-of 7619 df-om 7806 df-1st 7930 df-2nd 7931 df-supp 8100 df-frecs 8220 df-wrecs 8251 df-recs 8300 df-rdg 8338 df-1o 8394 df-2o 8395 df-oadd 8398 df-er 8631 df-map 8761 df-pm 8762 df-ixp 8832 df-en 8880 df-dom 8881 df-sdom 8882 df-fin 8883 df-fsupp 9257 df-fi 9306 df-sup 9337 df-inf 9338 df-oi 9407 df-dju 9805 df-card 9843 df-pnf 11159 df-mnf 11160 df-xr 11161 df-ltxr 11162 df-le 11163 df-sub 11357 df-neg 11358 df-div 11786 df-nn 12137 df-2 12199 df-3 12200 df-4 12201 df-5 12202 df-6 12203 df-7 12204 df-8 12205 df-9 12206 df-n0 12393 df-z 12480 df-dec 12599 df-uz 12743 df-q 12853 df-rp 12897 df-xneg 13017 df-xadd 13018 df-xmul 13019 df-ioo 13256 df-ioc 13257 df-ico 13258 df-icc 13259 df-fz 13415 df-fzo 13562 df-fl 13703 df-mod 13781 df-seq 13916 df-exp 13976 df-fac 14188 df-bc 14217 df-hash 14245 df-shft 14981 df-cj 15013 df-re 15014 df-im 15015 df-sqrt 15149 df-abs 15150 df-limsup 15385 df-clim 15402 df-rlim 15403 df-sum 15601 df-ef 15981 df-sin 15983 df-cos 15984 df-pi 15986 df-dvds 16171 df-gcd 16413 df-prm 16590 df-pc 16756 df-struct 17065 df-sets 17082 df-slot 17100 df-ndx 17112 df-base 17128 df-ress 17149 df-plusg 17181 df-mulr 17182 df-starv 17183 df-sca 17184 df-vsca 17185 df-ip 17186 df-tset 17187 df-ple 17188 df-ds 17190 df-unif 17191 df-hom 17192 df-cco 17193 df-rest 17333 df-topn 17334 df-0g 17352 df-gsum 17353 df-topgen 17354 df-pt 17355 df-prds 17358 df-xrs 17414 df-qtop 17419 df-imas 17420 df-xps 17422 df-mre 17496 df-mrc 17497 df-acs 17499 df-mgm 18556 df-sgrp 18635 df-mnd 18651 df-submnd 18700 df-mulg 18989 df-cntz 19237 df-cmn 19702 df-psmet 21292 df-xmet 21293 df-met 21294 df-bl 21295 df-mopn 21296 df-fbas 21297 df-fg 21298 df-cnfld 21301 df-top 22829 df-topon 22846 df-topsp 22868 df-bases 22881 df-cld 22954 df-ntr 22955 df-cls 22956 df-nei 23033 df-lp 23071 df-perf 23072 df-cn 23162 df-cnp 23163 df-haus 23250 df-tx 23497 df-hmeo 23690 df-fil 23781 df-fm 23873 df-flim 23874 df-flf 23875 df-xms 24255 df-ms 24256 df-tms 24257 df-cncf 24818 df-limc 25814 df-dv 25815 df-log 26512 df-vma 27055 df-chp 27056

This theorem is referenced by: pntibndlem3 27550

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