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Theorem pntibndlem2 25571
Description: Lemma for pntibnd 25573. The main work, after eliminating all the quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
pntibndlem2.10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pntibndlem2.5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
pntibndlem2.6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](2 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
pntibndlem2.7 𝑋 = ((exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)
pntibndlem2.8 (𝜑𝑀 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
pntibndlem2.9 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntibndlem2.11 (𝜑 → ((𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ ((𝑀 / 2) · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ (𝐸 / 2)))
Assertion
Ref Expression
pntibndlem2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝐿,𝑥,𝑧   𝑁,𝑎,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐴,𝑥   𝑢,𝐶,𝑥,𝑦   𝑢,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑀   𝑥,𝑇,𝑦   𝑧,𝑌   𝑢,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑎)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐶(𝑧,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑇(𝑧,𝑢,𝑎)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐿(𝑦,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑧,𝑎)

Proof of Theorem pntibndlem2
StepHypRef Expression
1 pntibndlem2.10 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnrpd 12068 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3 pntibndlem2.11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ ((𝑀 / 2) · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ (𝐸 / 2)))
43simpld 488 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ ((𝑀 / 2) · 𝑌)))
54simpld 488 . . 3 (𝜑𝑌 < 𝑁)
6 1red 10294 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7 ioossre 12437 . . . . . . . 8 (0(,)1) ⊆ ℝ
8 pntibnd.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
9 pntibndlem1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 pntibndlem1.l . . . . . . . . 9 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
118, 9, 10pntibndlem1 25569 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
127, 11sseldi 3759 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
13 pntibndlem3.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
147, 13sseldi 3759 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1512, 14remulcld 10324 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
166, 15readdcld 10323 . . . . 5 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
171nnred 11291 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1816, 17remulcld 10324 . . . 4 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ)
19 2re 11346 . . . . 5 2 ∈ ℝ
20 remulcl 10274 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
2119, 17, 20sylancr 581 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22 pntibndlem3.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
23 pntibndlem3.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
2423rpred 12070 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
25 remulcl 10274 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
2619, 24, 25sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
27 2rp 12033 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
2928relogcld 24660 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
3026, 29readdcld 10323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
3122, 30syl5eqel 2848 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
32 eliooord 12435 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
3313, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
3433simpld 488 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐸)
3514, 34elrpd 12067 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3631, 35rerpdivcld 12101 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
3736reefcld 15100 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
38 pnfxr 10346 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
39 icossre 12456 . . . . . . 7 (((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ⊆ ℝ)
4037, 38, 39sylancl 580 . . . . . 6 (𝜑 → ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ⊆ ℝ)
41 pntibndlem2.8 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
4240, 41sseldd 3762 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
43 ioossre 12437 . . . . . 6 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
44 pntibndlem2.9 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
4543, 44sseldi 3759 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4642, 45remulcld 10324 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 · 𝑌) ∈ ℝ)
4719a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
48 eliooord 12435 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
4911, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 < 𝐿𝐿 < 1))
5049simpld 488 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐿)
5112, 50elrpd 12067 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
5251rpge0d 12074 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
5349simprd 489 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 < 1)
5435rpge0d 12074 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
5533simprd 489 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 < 1)
5612, 6, 14, 6, 52, 53, 54, 55ltmul12ad 11219 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < (1 · 1))
57 1t1e1 11440 . . . . . . . 8 (1 · 1) = 1
5856, 57syl6breq 4850 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) < 1)
5915, 6, 6, 58ltadd2dd 10450 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) < (1 + 1))
60 df-2 11335 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
6159, 60syl6breqr 4851 . . . . 5 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2)
6216, 47, 2, 61ltmul1dd 12125 . . . 4 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (2 · 𝑁))
634simprd 489 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≤ ((𝑀 / 2) · 𝑌))
6442recnd 10322 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
6545recnd 10322 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
66 rpcnne0 12048 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
6727, 66mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
68 div23 10958 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑌) / 2) = ((𝑀 / 2) · 𝑌))
6964, 65, 67, 68syl3anc 1490 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑌) / 2) = ((𝑀 / 2) · 𝑌))
7063, 69breqtrrd 4837 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≤ ((𝑀 · 𝑌) / 2))
7117, 46, 28lemuldiv2d 12120 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ≤ (𝑀 · 𝑌) ↔ 𝑁 ≤ ((𝑀 · 𝑌) / 2)))
7270, 71mpbird 248 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ (𝑀 · 𝑌))
7318, 21, 46, 62, 72ltletrd 10451 . . 3 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌))
74 pntibndlem3.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
75 pntibndlem3.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
768, 9, 10, 74, 23, 75, 22, 13, 9, 1pntibndlem2a 25570 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑢𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))
7776simp1d 1172 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ∈ ℝ)
782adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
7976simp2d 1173 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁𝑢)
8077, 78, 79rpgecld 12109 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ∈ ℝ+)
818pntrf 25543 . . . . . . . . . 10 𝑅:ℝ+⟶ℝ
8281ffvelrni 6548 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑢) ∈ ℝ)
8380, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑢) ∈ ℝ)
8483, 80rerpdivcld 12101 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) / 𝑢) ∈ ℝ)
8584recnd 10322 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) / 𝑢) ∈ ℂ)
8685abscld 14460 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℝ)
8781ffvelrni 6548 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
882, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
8988, 1nndivred 11326 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
9089adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
9190recnd 10322 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
9285, 91subcld 10646 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁)) ∈ ℂ)
9392abscld 14460 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ∈ ℝ)
9491abscld 14460 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
9593, 94readdcld 10323 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))) ∈ ℝ)
9614adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐸 ∈ ℝ)
9785, 91abs2difd 14481 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) − (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))))
9886, 94, 93lesubaddd 10878 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) − (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ↔ (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ ((abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)))))
9997, 98mpbid 223 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ ((abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))))
10096rehalfcld 11525 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
10117adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
10277, 101resubcld 10712 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢𝑁) ∈ ℝ)
103102, 78rerpdivcld 12101 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
104 3re 11352 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
105104a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 3 ∈ ℝ)
10686, 105readdcld 10323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3) ∈ ℝ)
107103, 106remulcld 10324 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) ∈ ℝ)
108 pntibndlem2.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
109108rpred 12070 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
110109adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑇 ∈ ℝ)
111 1red 10294 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 1 ∈ ℝ)
112 4nn 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℕ
113 nnrp 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
114112, 113mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
11535, 114rpdivcld 12087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
116108, 115rpdivcld 12087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ+)
117116rpred 12070 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ)
118117reefcld 15100 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ)
119118adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ)
120 efgt1 15128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))))
121116, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))))
122121adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 1 < (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))))
123 pntibndlem2.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = ((exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)
124 pntibndlem3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
125124rpred 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
126118, 125readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
127123, 126syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
128118, 124ltaddrpd 12103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < ((exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
129128, 123syl6breqr 4851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < 𝑋)
130 eliooord 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) → (𝑋 < 𝑌𝑌 < +∞))
13144, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑌 < +∞))
132131simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 < 𝑌)
133118, 127, 45, 129, 132lttrd 10452 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < 𝑌)
134118, 45, 17, 133, 5lttrd 10452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < 𝑁)
135134adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < 𝑁)
136111, 119, 101, 122, 135lttrd 10452 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 1 < 𝑁)
137101, 136rplogcld 24666 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
138110, 137rerpdivcld 12101 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
139107, 138readdcld 10323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
140 peano2re 10463 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) ∈ ℝ)
14186, 140syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) ∈ ℝ)
142103, 141remulcld 10324 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) ∈ ℝ)
143 chpcl 25141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ℝ → (ψ‘𝑢) ∈ ℝ)
14477, 143syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑢) ∈ ℝ)
145 chpcl 25141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
146101, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
147144, 146resubcld 10712 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) ∈ ℝ)
148147, 78rerpdivcld 12101 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁) ∈ ℝ)
149142, 148readdcld 10323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) ∈ ℝ)
150103, 86remulcld 10324 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) ∈ ℝ)
15188adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
15283, 151resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) ∈ ℝ)
153152recnd 10322 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) ∈ ℂ)
154153abscld 14460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) ∈ ℝ)
155154, 78rerpdivcld 12101 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁) ∈ ℝ)
156150, 155readdcld 10323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁)) ∈ ℝ)
157103, 84remulcld 10324 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℝ)
158157renegcld 10711 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℝ)
159158recnd 10322 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℂ)
160152, 78rerpdivcld 12101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁) ∈ ℝ)
161160recnd 10322 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁) ∈ ℂ)
162159, 161abstrid 14480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁))) ≤ ((abs‘-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (abs‘(((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁))))
16377recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ∈ ℂ)
164101recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
16578rpne0d 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ≠ 0)
166163, 164, 164, 165divsubdird 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) / 𝑁) = ((𝑢 / 𝑁) − (𝑁 / 𝑁)))
167164, 165dividd 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
168167oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 / 𝑁) − (𝑁 / 𝑁)) = ((𝑢 / 𝑁) − 1))
169166, 168eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) / 𝑁) = ((𝑢 / 𝑁) − 1))
170169oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (((𝑢 / 𝑁) − 1) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)))
17177, 78rerpdivcld 12101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 / 𝑁) ∈ ℝ)
172171recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 / 𝑁) ∈ ℂ)
173 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 1 ∈ ℂ)
174172, 173, 85subdird 10741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 / 𝑁) − 1) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (((𝑢 / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) − (1 · ((𝑅𝑢) / 𝑢))))
17580rpcnne0d 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0))
17678rpcnne0d 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
17783recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑢) ∈ ℂ)
178 dmdcan 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑅𝑢) ∈ ℂ) → ((𝑢 / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = ((𝑅𝑢) / 𝑁))
179175, 176, 177, 178syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = ((𝑅𝑢) / 𝑁))
18085mulid2d 10312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = ((𝑅𝑢) / 𝑢))
181179, 180oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) − (1 · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) = (((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑢) / 𝑢)))
182170, 174, 1813eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑢) / 𝑢)))
183182negeqd 10529 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = -(((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑢) / 𝑢)))
18483, 78rerpdivcld 12101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) / 𝑁) ∈ ℝ)
185184recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) / 𝑁) ∈ ℂ)
186185, 85negsubdi2d 10662 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑢) / 𝑁)))
187183, 186eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → -(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) = (((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑢) / 𝑁)))
188151recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑁) ∈ ℂ)
189177, 188, 164, 165divsubdird 11094 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁) = (((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑁) / 𝑁)))
190187, 189oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁)) = ((((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑢) / 𝑁)) + (((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))))
19185, 185, 91npncand 10670 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑢) / 𝑁)) + (((𝑅𝑢) / 𝑁) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) = (((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁)))
192190, 191eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁)) = (((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁)))
193192fveq2d 6379 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁))) = (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))))
194157recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℂ)
195194absnegd 14473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) = (abs‘(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))))
196103recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
197196, 85absmuld 14478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) = ((abs‘((𝑢𝑁) / 𝑁)) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))))
19877, 101subge0d 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (0 ≤ (𝑢𝑁) ↔ 𝑁𝑢))
19979, 198mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 0 ≤ (𝑢𝑁))
200102, 78, 199divge0d 12110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 0 ≤ ((𝑢𝑁) / 𝑁))
201103, 200absidd 14446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑢𝑁) / 𝑁)) = ((𝑢𝑁) / 𝑁))
202201oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑢𝑁) / 𝑁)) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))))
203195, 197, 2023eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))))
204153, 164, 165absdivd 14479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁)) = ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / (abs‘𝑁)))
20578rprege0d 12077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
206 absid 14321 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
207205, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
208207oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁))
209204, 208eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁)) = ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁))
210203, 209oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘-(((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (abs‘(((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) / 𝑁))) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁)))
211162, 193, 2103brtr3d 4840 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁)))
212102, 147readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) ∈ ℝ)
213212, 78rerpdivcld 12101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁) ∈ ℝ)
214147recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) ∈ ℂ)
215164, 163subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁𝑢) ∈ ℂ)
216214, 215abstrid 14480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢))) ≤ ((abs‘((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) + (abs‘(𝑁𝑢))))
2178pntrval 25542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑢) = ((ψ‘𝑢) − 𝑢))
21880, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑢) = ((ψ‘𝑢) − 𝑢))
2198pntrval 25542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
22078, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
221218, 220oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)) = (((ψ‘𝑢) − 𝑢) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)))
222144recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑢) ∈ ℂ)
223146recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑁) ∈ ℂ)
224 subadd4 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) − (𝑢𝑁)) = (((ψ‘𝑢) + 𝑁) − ((ψ‘𝑁) + 𝑢)))
225 sub4 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) − (𝑢𝑁)) = (((ψ‘𝑢) − 𝑢) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)))
226 addsub4 10578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ ((ψ‘𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) + 𝑁) − ((ψ‘𝑁) + 𝑢)) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢)))
227226an42s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) + 𝑁) − ((ψ‘𝑁) + 𝑢)) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢)))
228224, 225, 2273eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ψ‘𝑢) ∈ ℂ ∧ (ψ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (((ψ‘𝑢) − 𝑢) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢)))
229222, 223, 163, 164, 228syl22anc 867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − 𝑢) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢)))
230221, 229eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢)) = ((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁)))
231230fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑁𝑢))) = (abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))))
232 chpwordi 25174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑢) → (ψ‘𝑁) ≤ (ψ‘𝑢))
233101, 77, 79, 232syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (ψ‘𝑁) ≤ (ψ‘𝑢))
234146, 144, 233abssubge0d 14455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) = ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)))
235101, 77, 79abssuble0d 14456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(𝑁𝑢)) = (𝑢𝑁))
236234, 235oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) + (abs‘(𝑁𝑢))) = (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑢𝑁)))
237102recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢𝑁) ∈ ℂ)
238214, 237addcomd 10492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) + (𝑢𝑁)) = ((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))))
239236, 238eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) + (abs‘(𝑁𝑢))) = ((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))))
240216, 231, 2393brtr3d 4840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) ≤ ((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))))
241154, 212, 78, 240lediv1dd 12128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁) ≤ (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁))
242155, 213, 150, 241leadd2dd 10896 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁)) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁)))
243150recnd 10322 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) ∈ ℂ)
244148recnd 10322 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁) ∈ ℂ)
245243, 196, 244addassd 10316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁))))
24686recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ∈ ℂ)
247196, 246, 173adddid 10318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 1)))
248196mulid1d 10311 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 1) = ((𝑢𝑁) / 𝑁))
249248oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 1)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((𝑢𝑁) / 𝑁)))
250247, 249eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((𝑢𝑁) / 𝑁)))
251250oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) = (((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)))
252237, 214, 164, 165divdird 11093 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)))
253252oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁))))
254245, 251, 2533eqtr4d 2809 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + (((𝑢𝑁) + ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁))) / 𝑁)))
255242, 254breqtrrd 4837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢))) + ((abs‘((𝑅𝑢) − (𝑅𝑁))) / 𝑁)) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)))
25693, 156, 149, 211, 255letrd 10448 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)))
257 remulcl 10274 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
25819, 103, 257sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
259258, 138readdcld 10323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
260 remulcl 10274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑢𝑁) ∈ ℝ) → (2 · (𝑢𝑁)) ∈ ℝ)
26119, 102, 260sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · (𝑢𝑁)) ∈ ℝ)
262101, 137rerpdivcld 12101 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑁 / (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
263110, 262remulcld 10324 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
264261, 263readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) ∈ ℝ)
265 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑢 → (ψ‘𝑦) = (ψ‘𝑢))
266265oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑢 → ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) = ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)))
267 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑢 → (𝑦𝑁) = (𝑢𝑁))
268267oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑢 → (2 · (𝑦𝑁)) = (2 · (𝑢𝑁)))
269268oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑢 → ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) = ((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))))
270266, 269breq12d 4822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑢 → (((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) ↔ ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))))))
271 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑁𝑥 = 𝑁)
272 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑁 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑁))
273271, 272oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥[,](2 · 𝑥)) = (𝑁[,](2 · 𝑁)))
274 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
275274oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)))
276 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑁 → (𝑦𝑥) = (𝑦𝑁))
277276oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑁 → (2 · (𝑦𝑥)) = (2 · (𝑦𝑁)))
278 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑁 → (log‘𝑥) = (log‘𝑁))
279271, 278oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 / (log‘𝑥)) = (𝑁 / (log‘𝑁)))
280279oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑁 → (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))))
281277, 280oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑁 → ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) = ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))))
282275, 281breq12d 4822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑁 → (((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))))))
283273, 282raleqbidv 3300 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑁 → (∀𝑦 ∈ (𝑥[,](2 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))))))
284 pntibndlem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](2 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
285284adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](2 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑇 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
286 1re 10293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
287286rexri 10351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ*
288 elioopnf 12470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ* → (𝑁 ∈ (1(,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁)))
289287, 288ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (1(,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
290101, 136, 289sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑁 ∈ (1(,)+∞))
291283, 285, 290rspcdva 3467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ∀𝑦 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑦𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))))
29218adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ)
29321adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
29476simp3d 1174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))
295 ltle 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2))
29616, 19, 295sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) < 2 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2))
29761, 296mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2)
298297adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2)
29916adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
30019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 2 ∈ ℝ)
301299, 300, 78lemul1d 12113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) ≤ 2 ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ≤ (2 · 𝑁)))
302298, 301mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ≤ (2 · 𝑁))
30377, 292, 293, 294, 302letrd 10448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ≤ (2 · 𝑁))
304 elicc2 12440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑢𝑢 ≤ (2 · 𝑁))))
305101, 293, 304syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑢𝑢 ≤ (2 · 𝑁))))
30677, 79, 303, 305mpbir3and 1442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑢 ∈ (𝑁[,](2 · 𝑁)))
307270, 291, 306rspcdva 3467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) ≤ ((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))))
308147, 264, 78, 307lediv1dd 12128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁) ≤ (((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) / 𝑁))
309261recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · (𝑢𝑁)) ∈ ℂ)
310108adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
311310rpred 12070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑇 ∈ ℝ)
312311, 262remulcld 10324 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
313312recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) ∈ ℂ)
314 divdir 10964 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · (𝑢𝑁)) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) / 𝑁) = (((2 · (𝑢𝑁)) / 𝑁) + ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁)))
315309, 313, 176, 314syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) / 𝑁) = (((2 · (𝑢𝑁)) / 𝑁) + ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁)))
316 2cnd 11350 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 2 ∈ ℂ)
317316, 237, 164, 165divassd 11090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((2 · (𝑢𝑁)) / 𝑁) = (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)))
318110recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝑇 ∈ ℂ)
319137rpcnne0d 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((log‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ≠ 0))
320 div12 10961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ ((log‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ≠ 0)) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) = (𝑁 · (𝑇 / (log‘𝑁))))
321318, 164, 319, 320syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) = (𝑁 · (𝑇 / (log‘𝑁))))
322321oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁) = ((𝑁 · (𝑇 / (log‘𝑁))) / 𝑁))
323310, 137rpdivcld 12087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ∈ ℝ+)
324323rpcnd 12072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
325324, 164, 165divcan3d 11060 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑁 · (𝑇 / (log‘𝑁))) / 𝑁) = (𝑇 / (log‘𝑁)))
326322, 325eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁) = (𝑇 / (log‘𝑁)))
327317, 326oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((2 · (𝑢𝑁)) / 𝑁) + ((𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁))) / 𝑁)) = ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
328315, 327eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((2 · (𝑢𝑁)) + (𝑇 · (𝑁 / (log‘𝑁)))) / 𝑁) = ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
329308, 328breqtrd 4835 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁) ≤ ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
330148, 259, 142, 329leadd2dd 10896 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁)))))
331142recnd 10322 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) ∈ ℂ)
332258recnd 10322 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) ∈ ℂ)
333138recnd 10322 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
334331, 332, 333addassd 10316 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁))) + (𝑇 / (log‘𝑁))) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁)))))
335 2cn 11347 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
336 mulcom 10275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ) → (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 2))
337335, 196, 336sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 2))
338337oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁))) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 2)))
339141recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) ∈ ℂ)
340196, 339, 316adddid 10318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) + 2)) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((𝑢𝑁) / 𝑁) · 2)))
341246, 173, 316addassd 10316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) + 2) = ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (1 + 2)))
342 1p2e3 11422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 2) = 3
343342oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + (1 + 2)) = ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)
344341, 343syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) + 2) = ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3))
345344oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1) + 2)) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)))
346338, 340, 3453eqtr2d 2805 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁))) = (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)))
347346oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁))) + (𝑇 / (log‘𝑁))) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
348334, 347eqtr3d 2801 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + ((2 · ((𝑢𝑁) / 𝑁)) + (𝑇 / (log‘𝑁)))) = ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
349330, 348breqtrd 4835 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 1)) + (((ψ‘𝑢) − (ψ‘𝑁)) / 𝑁)) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
35093, 149, 139, 256, 349letrd 10448 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))))
351100rehalfcld 11525 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 2) / 2) ∈ ℝ)
35277, 299, 78ledivmul2d 12124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 / 𝑁) ≤ (1 + (𝐿 · 𝐸)) ↔ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))
353294, 352mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 / 𝑁) ≤ (1 + (𝐿 · 𝐸)))
354 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
35515adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
356355recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ)
357 addcom 10476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℂ) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) = ((𝐿 · 𝐸) + 1))
358354, 356, 357sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) = ((𝐿 · 𝐸) + 1))
359353, 358breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 / 𝑁) ≤ ((𝐿 · 𝐸) + 1))
360171, 111, 355lesubaddd 10878 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢 / 𝑁) − 1) ≤ (𝐿 · 𝐸) ↔ (𝑢 / 𝑁) ≤ ((𝐿 · 𝐸) + 1)))
361359, 360mpbird 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢 / 𝑁) − 1) ≤ (𝐿 · 𝐸))
362169, 361eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑢𝑁) / 𝑁) ≤ (𝐿 · 𝐸))
3639adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
364363rpred 12070 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ)
365 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑢 → (𝑅𝑥) = (𝑅𝑢))
366 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑢𝑥 = 𝑢)
367365, 366oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = ((𝑅𝑢) / 𝑢))
368367fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢 → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)))
369368breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑢 → ((abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐴))
37074adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
371369, 370, 80rspcdva 3467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐴)
37286, 364, 105, 371leadd1dd 10895 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3) ≤ (𝐴 + 3))
373103, 200jca 507 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑢𝑁) / 𝑁)))
374 3nn 11351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℕ
375 nnrp 12041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
376374, 375ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℝ+
377 rpaddcl 12052 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
378363, 376, 377sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
379378rprege0d 12077 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 + 3)))
380 lemul12b 11134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑢𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑢𝑁) / 𝑁)) ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ) ∧ (((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 + 3)))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) ≤ (𝐿 · 𝐸) ∧ ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3) ≤ (𝐴 + 3)) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) ≤ ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3))))
381373, 355, 106, 379, 380syl22anc 867 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) ≤ (𝐿 · 𝐸) ∧ ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3) ≤ (𝐴 + 3)) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) ≤ ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3))))
382362, 372, 381mp2and 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) ≤ ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3)))
38335adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
384112, 113mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 4 ∈ ℝ+)
385383, 384rpdivcld 12087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
386385rpcnd 12072 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 4) ∈ ℂ)
387378rpcnd 12072 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐴 + 3) ∈ ℂ)
388378rpne0d 12075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐴 + 3) ≠ 0)
389386, 387, 388divcan1d 11056 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝐸 / 4) / (𝐴 + 3)) · (𝐴 + 3)) = (𝐸 / 4))
39014recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
391390adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 𝐸 ∈ ℂ)
392384rpcnd 12072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 4 ∈ ℂ)
393384rpne0d 12075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 4 ≠ 0)
394391, 392, 393divrec2d 11059 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 4) = ((1 / 4) · 𝐸))
395394oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 4) / (𝐴 + 3)) = (((1 / 4) · 𝐸) / (𝐴 + 3)))
396 4cn 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℂ
397 4ne0 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ≠ 0
398396, 397reccli 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 4) ∈ ℂ
399398a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (1 / 4) ∈ ℂ)
400399, 391, 387, 388div23d 11092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((1 / 4) · 𝐸) / (𝐴 + 3)) = (((1 / 4) / (𝐴 + 3)) · 𝐸))
40110oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 · 𝐸) = (((1 / 4) / (𝐴 + 3)) · 𝐸)
402400, 401syl6eqr 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((1 / 4) · 𝐸) / (𝐴 + 3)) = (𝐿 · 𝐸))
403395, 402eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐿 · 𝐸) = ((𝐸 / 4) / (𝐴 + 3)))
404403oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3)) = (((𝐸 / 4) / (𝐴 + 3)) · (𝐴 + 3)))
405 2ne0 11383 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
406405a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → 2 ≠ 0)
407391, 316, 316, 406, 406divdiv1d 11086 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 2) / 2) = (𝐸 / (2 · 2)))
408 2t2e4 11442 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 2) = 4
409408oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸 / (2 · 2)) = (𝐸 / 4)
410407, 409syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 2) / 2) = (𝐸 / 4))
411389, 404, 4103eqtr4d 2809 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐿 · 𝐸) · (𝐴 + 3)) = ((𝐸 / 2) / 2))
412382, 411breqtrd 4835 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) ≤ ((𝐸 / 2) / 2))
413117adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ)
414137rpred 12070 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
41578reeflogd 24661 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (exp‘(log‘𝑁)) = 𝑁)
416135, 415breqtrrd 4837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < (exp‘(log‘𝑁)))
417 eflt 15129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑇 / (𝐸 / 4)) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < (exp‘(log‘𝑁))))
418413, 414, 417syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝑇 / (𝐸 / 4)) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(𝑇 / (𝐸 / 4))) < (exp‘(log‘𝑁))))
419416, 418mpbird 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (𝐸 / 4)) < (log‘𝑁))
420413, 414, 419ltled 10439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (𝐸 / 4)) ≤ (log‘𝑁))
421110, 385, 137, 420lediv23d 12138 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ≤ (𝐸 / 4))
422421, 410breqtrrd 4837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑇 / (log‘𝑁)) ≤ ((𝐸 / 2) / 2))
423107, 138, 351, 351, 412, 422le2addd 10900 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))) ≤ (((𝐸 / 2) / 2) + ((𝐸 / 2) / 2)))
424100recnd 10322 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
4254242halvesd 11524 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (((𝐸 / 2) / 2) + ((𝐸 / 2) / 2)) = (𝐸 / 2))
426423, 425breqtrd 4835 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((((𝑢𝑁) / 𝑁) · ((abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) + 3)) + (𝑇 / (log‘𝑁))) ≤ (𝐸 / 2))
42793, 139, 100, 350, 426letrd 10448 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ (𝐸 / 2))
4283simprd 489 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ (𝐸 / 2))
429428adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ (𝐸 / 2))
43093, 94, 100, 100, 427, 429le2addd 10900 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
4313912halvesd 11524 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
432430, 431breqtrd 4835 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → ((abs‘(((𝑅𝑢) / 𝑢) − ((𝑅𝑁) / 𝑁))) + (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁))) ≤ 𝐸)
43386, 95, 96, 99, 432letrd 10448 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
434433ralrimiva 3113 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)
4355, 73, 434jca31 510 . 2 (𝜑 → ((𝑌 < 𝑁 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
436 breq2 4813 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (𝑌 < 𝑧𝑌 < 𝑁))
437 oveq2 6850 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) = ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))
438437breq1d 4819 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌)))
439436, 438anbi12d 624 . . . 4 (𝑧 = 𝑁 → ((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ↔ (𝑌 < 𝑁 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌))))
440 id 22 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁𝑧 = 𝑁)
441440, 437oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧)) = (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))
442441raleqdv 3292 . . . 4 (𝑧 = 𝑁 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
443439, 442anbi12d 624 . . 3 (𝑧 = 𝑁 → (((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑌 < 𝑁 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
444443rspcev 3461 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑌 < 𝑁 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
4452, 435, 444syl2anc 579 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑌 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑀 · 𝑌)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3732   class class class wbr 4809  cmpt 4888  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  +∞cpnf 10325  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  3c3 11328  4c4 11329  +crp 12028  (,)cioo 12377  [,)cico 12379  [,]cicc 12380  abscabs 14259  expce 15074  logclog 24592  ψcchp 25110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-pi 15085  df-dvds 15266  df-gcd 15498  df-prm 15666  df-pc 15821  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-vma 25115  df-chp 25116
This theorem is referenced by:  pntibndlem3  25572
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