MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  selberg4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selberg4 27409
Description: The Selberg symmetry formula for products of three primes, instead of two. The sum here can also be written in the symmetric form ฮฃ๐‘–๐‘—๐‘˜ โ‰ค ๐‘ฅ, ฮ›(๐‘–)ฮ›(๐‘—)ฮ›(๐‘˜); we eliminate one of the nested sums by using the definition of ฯˆ(๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ฅ, ฮ›(๐‘˜). This statement can thus equivalently be written ฯˆ(๐‘ฅ)logโ†‘2(๐‘ฅ) = 2ฮฃ๐‘–๐‘—๐‘˜ โ‰ค ๐‘ฅ, ฮ›(๐‘–)ฮ›(๐‘—)ฮ›(๐‘˜) + ๐‘‚(๐‘ฅlog๐‘ฅ). Equation 10.4.23 of [Shapiro], p. 422. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
selberg4 (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ ๐‘‚(1)
Distinct variable group:   ๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ

Proof of Theorem selberg4
Dummy variables ๐‘– ๐‘ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 12293 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„
21a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
3 elioore 13361 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
43adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
5 eliooord 13390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†’ (1 < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < +โˆž))
65adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (1 < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < +โˆž))
76simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ 1 < ๐‘ฅ)
84, 7rplogcld 26478 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
92, 8rerpdivcld 13054 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
10 fzfid 13945 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ Fin)
11 elfznn 13537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
13 vmacl 26965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
154adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
1615, 12nndivred 12273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘š) โˆˆ โ„)
17 chpcl 26971 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ / ๐‘š) โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)) โˆˆ โ„)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)) โˆˆ โ„)
1914, 18remulcld 11251 . . . . . . . . . . . . 13 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) โˆˆ โ„)
2012nnrpd 13021 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„+)
2120relogcld 26472 . . . . . . . . . . . . 13 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (logโ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
2219, 21remulcld 11251 . . . . . . . . . . . 12 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š)) โˆˆ โ„)
2310, 22fsumrecl 15687 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š)) โˆˆ โ„)
249, 23remulcld 11251 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆˆ โ„)
2510, 19fsumrecl 15687 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) โˆˆ โ„)
2624, 25resubcld 11649 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) โˆˆ โ„)
27 1rp 12985 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„+
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
29 1red 11222 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3029, 4, 7ltled 11369 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
314, 28, 30rpgecld 13062 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
3226, 31rerpdivcld 13054 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3332recnd 11249 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
34 chpcl 26971 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
354, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3631relogcld 26472 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3735, 36remulcld 11251 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
3837, 25readdcld 11250 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) โˆˆ โ„)
3938, 31rerpdivcld 13054 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4039recnd 11249 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
412, 36remulcld 11251 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
4241recnd 11249 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
4333, 40, 42addsubassd 11598 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) + ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) = (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) + (((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))
4426recnd 11249 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) โˆˆ โ„‚)
4538recnd 11249 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) โˆˆ โ„‚)
464recnd 11249 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4731rpne0d 13028 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
4844, 45, 46, 47divdird 12035 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) + (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))))) / ๐‘ฅ) = (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) + ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ)))
4924recnd 11249 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆˆ โ„‚)
5025recnd 11249 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) โˆˆ โ„‚)
5137recnd 11249 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
5249, 50, 51nppcan3d 11605 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) + (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))))) = (((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))
53 elfznn 13537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
5453ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
55 vmacl 26965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
5714adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
5820adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„+)
5958relogcld 26472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))))) โ†’ (logโ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
6057, 59remulcld 11251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)) โˆˆ โ„)
6156, 60remulcld 11251 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆˆ โ„)
6261recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆˆ โ„‚)
634, 62fsumfldivdiag 27037 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))))
6414recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„‚)
6518recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)) โˆˆ โ„‚)
6621recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (logโ€˜๐‘š) โˆˆ โ„‚)
6764, 65, 66mul32d 11431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š)) = (((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))))
6864, 66mulcld 11241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)) โˆˆ โ„‚)
6968, 65mulcomd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) = ((ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)) ยท ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))))
70 chpval 26969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฅ / ๐‘š) โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))(ฮ›โ€˜๐‘›))
7116, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))(ฮ›โ€˜๐‘›))
7271oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)) ยท ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))(ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))))
73 fzfid 13945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) โˆˆ Fin)
7456anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
7574recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
7673, 68, 75fsummulc1 15738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))(ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))))
7772, 76eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)) ยท ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))))
7867, 69, 773eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))))
7978sumeq2dv 15656 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))))
80 fzfid 13945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ Fin)
81 elfznn 13537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
8281adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
8382, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
8483recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
85 elfznn 13537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
8685adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
8786, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
8886nnrpd 13021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„+)
8988relogcld 26472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ (logโ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
9087, 89remulcld 11251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)) โˆˆ โ„)
9190recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)) โˆˆ โ„‚)
9280, 84, 91fsummulc2 15737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))))
9392sumeq2dv 15656 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))))
9463, 79, 933eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))))
9594oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) = ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))))
9695oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) = (((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))
9752, 96eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) + (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))))) = (((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))
9897oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) + (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))))) / ๐‘ฅ) = ((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))
9948, 98eqtr3d 2773 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) + ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ)) = ((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))
10099oveq1d 7427 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) + ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) = (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))
10143, 100eqtr3d 2773 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) + (((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) = (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))
102101mpteq2dva 5248 . . . 4 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) + (((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) = (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))
10339, 41resubcld 11649 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
104 selberg3lem2 27406 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ ๐‘‚(1)
105104a1i 11 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ ๐‘‚(1))
10631ex 412 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+))
107106ssrdv 3988 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (1(,)+โˆž) โІ โ„+)
108 selberg2 27399 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ ๐‘‚(1)
109108a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ ๐‘‚(1))
110107, 109o1res2 15514 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ ๐‘‚(1))
11132, 103, 105, 110o1add2 15575 . . . 4 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š))) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) + (((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘š)))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) โˆˆ ๐‘‚(1))
112102, 111eqeltrrd 2833 . . 3 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ ๐‘‚(1))
11380, 90fsumrecl 15687 . . . . . . . . . . 11 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)) โˆˆ โ„)
11483, 113remulcld 11251 . . . . . . . . . 10 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆˆ โ„)
11510, 114fsumrecl 15687 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆˆ โ„)
1169, 115remulcld 11251 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) โˆˆ โ„)
117116, 37readdcld 11250 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
118117, 31rerpdivcld 13054 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
119118, 41resubcld 11649 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
120119recnd 11249 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
1214adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
122121, 82nndivred 12273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„)
123122adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„)
124123, 86nndivred 12273 . . . . . . . . . . . . 13 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š) โˆˆ โ„)
125 chpcl 26971 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š) โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)) โˆˆ โ„)
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)) โˆˆ โ„)
12787, 126remulcld 11251 . . . . . . . . . . 11 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))) โˆˆ โ„)
12880, 127fsumrecl 15687 . . . . . . . . . 10 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))) โˆˆ โ„)
12983, 128remulcld 11251 . . . . . . . . 9 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))) โˆˆ โ„)
13010, 129fsumrecl 15687 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))) โˆˆ โ„)
1319, 130remulcld 11251 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) โˆˆ โ„)
13237, 131resubcld 11649 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) โˆˆ โ„)
133132, 31rerpdivcld 13054 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
134133recnd 11249 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
135116recnd 11249 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) โˆˆ โ„‚)
136131recnd 11249 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) โˆˆ โ„‚)
13751, 135, 136pnncand 11617 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))))) โˆ’ (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))))) = (((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))))
138135, 51addcomd 11423 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) = (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))))))
139138oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))))) = ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) + ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))))) โˆ’ (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))))))
14087recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„‚)
14189recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ (logโ€˜๐‘š) โˆˆ โ„‚)
142126recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)) โˆˆ โ„‚)
143140, 141, 142adddid 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))) = (((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)) + ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))
144143sumeq2dv 15656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)) + ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))
145127recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))) โˆˆ โ„‚)
14680, 91, 145fsumadd 15693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))(((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)) + ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))
147144, 146eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))
148147oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) = ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))))
149113recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)) โˆˆ โ„‚)
150128recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))) โˆˆ โ„‚)
15184, 149, 150adddid 11245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) = (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) + ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))))
152148, 151eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) = (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) + ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))))
153152sumeq2dv 15656 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) + ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))))
154114recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆˆ โ„‚)
155129recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))) โˆˆ โ„‚)
15610, 154, 155fsumadd 15693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) + ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))))
157153, 156eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))))
158157oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) = ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))))
1599recnd 11249 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
160115recnd 11249 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) โˆˆ โ„‚)
161130recnd 11249 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))) โˆˆ โ„‚)
162159, 160, 161adddid 11245 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š))) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) = (((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))))
163158, 162eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) = (((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))))
164137, 139, 1633eqtr4d 2781 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))))) = ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))))
165164oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))))) / ๐‘ฅ) = (((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ))
166117recnd 11249 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
16751, 136subcld 11578 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) โˆˆ โ„‚)
168166, 167, 46, 47divsubdird 12036 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))))) / ๐‘ฅ) = (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ)))
169 2cnd 12297 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
17089, 126readdcld 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))) โˆˆ โ„)
17187, 170remulcld 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))) โˆˆ โ„)
17280, 171fsumrecl 15687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))) โˆˆ โ„)
17383, 172remulcld 11251 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) โˆˆ โ„)
17410, 173fsumrecl 15687 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) โˆˆ โ„)
175174recnd 11249 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) โˆˆ โ„‚)
176169, 175mulcld 11241 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) โˆˆ โ„‚)
17736recnd 11249 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
1788rpne0d 13028 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)
179176, 177, 46, 178, 47divdiv1d 12028 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) / ๐‘ฅ) = ((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ((logโ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ)))
180177, 46mulcomd 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))
181180oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ((logโ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ)) = ((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))
182179, 181eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) / ๐‘ฅ) = ((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))
183169, 175, 177, 178div23d 12034 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) = ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))))
184183oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / (logโ€˜๐‘ฅ)) / ๐‘ฅ) = (((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ))
18531, 8rpmulcld 13039 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
186185rpcnd 13025 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
187185rpne0d 13028 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0)
188169, 175, 186, 187divassd 12032 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) = (2 ยท (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))
189182, 184, 1883eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ) = (2 ยท (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))
190165, 168, 1893eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ)) = (2 ยท (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))
191190oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) = ((2 ยท (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))
192118recnd 11249 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
193192, 42, 134sub32d 11610 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ)) = ((((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))
194174, 185rerpdivcld 13054 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
195194recnd 11249 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
196169, 195, 177subdid 11677 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ (2 ยท ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ))) = ((2 ยท (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))
197191, 193, 1963eqtr4d 2781 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ)) = (2 ยท ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ))))
198197mpteq2dva 5248 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (2 ยท ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)))))
199194, 36resubcld 11649 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
200 ioossre 13392 . . . . . . 7 (1(,)+โˆž) โІ โ„
201 2cnd 12297 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
202 o1const 15571 . . . . . . 7 (((1(,)+โˆž) โІ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ 2) โˆˆ ๐‘‚(1))
203200, 201, 202sylancr 586 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ 2) โˆˆ ๐‘‚(1))
204 selbergb 27397 . . . . . . 7 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)(absโ€˜((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘–)))) / ๐‘ฆ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฆ)))) โ‰ค ๐‘
205 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)(absโ€˜((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘–)))) / ๐‘ฆ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฆ)))) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
206 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)(absโ€˜((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘–)))) / ๐‘ฆ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฆ)))) โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)(absโ€˜((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘–)))) / ๐‘ฆ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฆ)))) โ‰ค ๐‘)
207205, 206selberg4lem1 27408 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)(absโ€˜((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘–)))) / ๐‘ฆ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฆ)))) โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
208207rexlimiva 3146 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)(absโ€˜((ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฆ))((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘–)))) / ๐‘ฆ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฆ)))) โ‰ค ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
209204, 208mp1i 13 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
2102, 199, 203, 209o1mul2 15576 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (2 ยท ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ((logโ€˜๐‘š) + (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š))))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ ๐‘‚(1))
211198, 210eqeltrd 2832 . . . 4 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
212120, 134, 211o1dif 15581 . . 3 (โŠค โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ (((((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (logโ€˜๐‘š)))) + ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ ๐‘‚(1) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ ๐‘‚(1)))
213112, 212mpbid 231 . 2 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ ๐‘‚(1))
214213mptru 1547 1 (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โ†ฆ ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ ((2 / (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜((๐‘ฅ / ๐‘›) / ๐‘š)))))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ ๐‘‚(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 395   = wceq 1540  โŠคwtru 1541   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069   โІ wss 3948   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11114  โ„cr 11115  1c1 11117   + caddc 11119   ยท cmul 11121  +โˆžcpnf 11252   < clt 11255   โ‰ค cle 11256   โˆ’ cmin 11451   / cdiv 11878  โ„•cn 12219  2c2 12274  โ„+crp 12981  (,)cioo 13331  [,)cico 13333  ...cfz 13491  โŒŠcfl 13762  abscabs 15188  ๐‘‚(1)co1 15437  ฮฃcsu 15639  logclog 26404  ฮ›cvma 26939  ฯˆcchp 26940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-o1 15441  df-lo1 15442  df-sum 15640  df-ef 16018  df-e 16019  df-sin 16020  df-cos 16021  df-tan 16022  df-pi 16023  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16777  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-cmp 23212  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717  df-ulm 26229  df-log 26406  df-cxp 26407  df-atan 26714  df-em 26840  df-cht 26944  df-vma 26945  df-chp 26946  df-ppi 26947  df-mu 26948
This theorem is referenced by:  selberg4r  27418
  Copyright terms: Public domain W3C validator