Theorem pntrlog2bnd 27710

Description: A bound on 𝑅(𝑥)log↑2(𝑥). Equation 10.6.15 of [Shapiro], p. 431. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntpbnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ 𝑐)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑐,𝑅   𝑎,𝑐,𝑛,𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrlog2bnd

Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 13430	. . 3 ⊢ (1(,)+∞) ⊆ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
3		1red 11205	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
4	2	sselda 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5		1rp 13016	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
7		1red 11205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
8		eliooord 13428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
9	8	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
10	9	simpld 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
11	7, 4, 10	ltled 11354	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
12	4, 6, 11	rpgecld 13095	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13		pntpbnd.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
14	13	pntrf 27689	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅:ℝ+⟶ℝ
15	14	ffvelcdmi 7076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅‘𝑥) ∈ ℝ)
16	12, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅‘𝑥) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11233	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅‘𝑥) ∈ ℂ)
18	17	abscld 15486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(𝑅‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	12	relogcld 26750	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
20	18, 19	remulcld 11235	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
21		2re 12311	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
23	4, 10	rplogcld 26756	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
24	22, 23	rerpdivcld 13087	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
25		fzfid 14005	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∈ Fin)
26	12	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
27		elfznn 13577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
28	27	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
29	28	nnrpd 13054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
30	26, 29	rpdivcld 13073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
31	14	ffvelcdmi 7076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
34	33	abscld 15486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
35	29	relogcld 26750	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
36	34, 35	remulcld 11235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
37	25, 36	fsumrecl 15781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
38	24, 37	remulcld 11235	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
39	20, 38	resubcld 11638	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
40	39, 12	rerpdivcld 13087	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ∈ ℝ)
41	13	pntrmax 27690	. . 3 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐
42		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖))))) = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
43		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0)) = (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0))
44		simprl 782	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
45		simprr 784	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)
46		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → 𝐴 ∈ ℝ)
47		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → 1 ≤ 𝐴)
48	42, 13, 43, 44, 45, 46, 47	pntrlog2bndlem6 27709	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1))
49	48	rexlimdvaa 3173	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐 → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1)))
50	41, 49	mpi 21	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1))
51		simprl 782	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
52		chpcl 27250	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
53	51, 52	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
54	53, 51	readdcld 11234	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 𝑦) ∈ ℝ)
55	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ∈ ℝ+)
56		simprr 784	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ 𝑦)
57	51, 55, 56	rpgecld 13095	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
58	57	relogcld 26750	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
59	54, 58	remulcld 11235	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
60	40	adantr 485	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ∈ ℝ)
61	53	ad2ant2r 759	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
62		simprll 790	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
63	61, 62	readdcld 11234	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 𝑦) ∈ ℝ)
64	57	ad2ant2r 759	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
65	64	relogcld 26750	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
66	63, 65	remulcld 11235	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
67	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
68	66, 67	rerpdivcld 13087	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥) ∈ ℝ)
69	16	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑅‘𝑥) ∈ ℝ)
70	69	recnd 11233	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑅‘𝑥) ∈ ℂ)
71	70	abscld 15486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅‘𝑥)) ∈ ℝ)
72	67	relogcld 26750	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
73	71, 72	remulcld 11235	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
74	24	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
75	37	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
76	74, 75	remulcld 11235	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
77	73, 76	resubcld 11638	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
78	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 2 ∈ ℝ)
79	4	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
80	10	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 < 𝑥)
81	79, 80	rplogcld 26756	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
82		2rp 13017	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
83	82	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 2 ∈ ℝ+)
84	83	rpge0d 13060	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ 2)
85	78, 81, 84	divge0d 13096	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (2 / (log‘𝑥)))
86		fzfid 14005	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∈ Fin)
87	36	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
88	33	adantlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
89	88	abscld 15486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
90	29	adantlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
91	90	relogcld 26750	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
92	88	absge0d 15494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 0 ≤ (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))
93	90	rpred 13056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
94	27	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
95	94	nnge1d 12280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 1 ≤ 𝑛)
96	93, 95	logge0d 26757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 0 ≤ (log‘𝑛))
97	89, 91, 92, 96	mulge0d 11787	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 0 ≤ ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
98	86, 87, 97	fsumge0 15843	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
99	74, 75, 85, 98	mulge0d 11787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
100	73, 76	subge02d 11802	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (0 ≤ ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ↔ (((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ≤ ((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥))))
101	99, 100	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ≤ ((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)))
102	70	absge0d 15494	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (abs‘(𝑅‘𝑥)))
103	81	rpge0d 13060	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
104		chpcl 27250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
105	79, 104	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
106	105, 79	readdcld 11234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑥) + 𝑥) ∈ ℝ)
107	13	pntrval 27688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅‘𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
108	67, 107	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑅‘𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
109	108	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅‘𝑥)) = (abs‘((ψ‘𝑥) − 𝑥)))
110	105	recnd 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
111	79	recnd 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
112	110, 111	abs2dif2d 15508	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((ψ‘𝑥) − 𝑥)) ≤ ((abs‘(ψ‘𝑥)) + (abs‘𝑥)))
113		chpge0 27252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
114	79, 113	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
115	105, 114	absidd 15470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(ψ‘𝑥)) = (ψ‘𝑥))
116	67	rpge0d 13060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ 𝑥)
117	79, 116	absidd 15470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
118	115, 117	oveq12d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘(ψ‘𝑥)) + (abs‘𝑥)) = ((ψ‘𝑥) + 𝑥))
119	112, 118	breqtrd 5138	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((ψ‘𝑥) − 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑥) + 𝑥))
120	109, 119	eqbrtrd 5134	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅‘𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑥) + 𝑥))
121		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 < 𝑦)
122	79, 62, 121	ltled 11354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ≤ 𝑦)
123		chpwordi 27283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
124	79, 62, 122, 123	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
125	105, 79, 61, 62, 124, 122	le2addd 11829	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑥) + 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) + 𝑦))
126	71, 106, 63, 120, 125	letrd 11363	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅‘𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 𝑦))
127	67, 64	logled 26754	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑦)))
128	122, 127	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑦))
129	71, 63, 72, 65, 102, 103, 126, 128	lemul12ad 12153	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
130	77, 73, 66, 101, 129	letrd 11363	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
131	77, 66, 67, 130	lediv1dd 13114	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥))
132	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ∈ ℝ+)
133		chpge0 27252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
134	62, 133	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
135	64	rpge0d 13060	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ 𝑦)
136	61, 62, 134, 135	addge0d 11786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ ((ψ‘𝑦) + 𝑦))
137		simprlr 791	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ≤ 𝑦)
138	62, 137	logge0d 26757	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (log‘𝑦))
139	63, 65, 136, 138	mulge0d 11787	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
140	11	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ≤ 𝑥)
141	132, 67, 66, 139, 140	lediv2ad 13078	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥) ≤ ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 1))
142	61	recnd 11233	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℂ)
143	62	recnd 11233	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
144	142, 143	addcld 11224	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 𝑦) ∈ ℂ)
145	65	recnd 11233	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
146	144, 145	mulcld 11225	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
147	146	div1d 11979	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 1) = (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
148	141, 147	breqtrd 5138	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
149	60, 68, 66, 131, 148	letrd 11363	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
150	2, 3, 40, 50, 59, 149	lo1bddrp 15572	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ 𝑐)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913  ifcif 4489   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101  +∞cpnf 11236   < clt 11239   ≤ cle 11240   − cmin 11437   / cdiv 11867  ℕcn 12229  2c2 12291  ℝ⁺crp 13012  (,)cioo 13368  ...cfz 13531  ⌊cfl 13819  abscabs 15281  ≤𝑂(1)clo1 15534  Σcsu 15733  logclog 26681  Λcvma 27218  ψcchp 27219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-o1 15537  df-lo1 15538  df-sum 15734  df-ef 16117  df-e 16118  df-sin 16119  df-cos 16120  df-tan 16121  df-pi 16122  df-dvds 16307  df-gcd 16549  df-prm 16726  df-pc 16893  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-cmp 23509  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991  df-ulm 26502  df-log 26683  df-cxp 26684  df-atan 26994  df-em 27119  df-cht 27223  df-vma 27224  df-chp 27225  df-ppi 27226  df-mu 27227

This theorem is referenced by:  pntlemp  27736