Theorem pntrlog2bnd 27067

Description: A bound on 𝑅(𝑥)log↑2(𝑥). Equation 10.6.15 of [Shapiro], p. 431. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntpbnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ 𝑐)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑐,𝑅   𝑎,𝑐,𝑛,𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrlog2bnd

Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 13381	. . 3 ⊢ (1(,)+∞) ⊆ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
3		1red 11211	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
4	2	sselda 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5		1rp 12974	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
7		1red 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
8		eliooord 13379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
9	8	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
10	9	simpld 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
11	7, 4, 10	ltled 11358	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
12	4, 6, 11	rpgecld 13051	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13		pntpbnd.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
14	13	pntrf 27046	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅:ℝ+⟶ℝ
15	14	ffvelcdmi 7081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅‘𝑥) ∈ ℝ)
16	12, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅‘𝑥) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅‘𝑥) ∈ ℂ)
18	17	abscld 15379	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(𝑅‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	12	relogcld 26113	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
20	18, 19	remulcld 11240	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
21		2re 12282	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
23	4, 10	rplogcld 26119	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
24	22, 23	rerpdivcld 13043	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
25		fzfid 13934	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∈ Fin)
26	12	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
27		elfznn 13526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
28	27	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
29	28	nnrpd 13010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
30	26, 29	rpdivcld 13029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
31	14	ffvelcdmi 7081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
34	33	abscld 15379	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
35	29	relogcld 26113	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
36	34, 35	remulcld 11240	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
37	25, 36	fsumrecl 15676	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
38	24, 37	remulcld 11240	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
39	20, 38	resubcld 11638	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
40	39, 12	rerpdivcld 13043	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ∈ ℝ)
41	13	pntrmax 27047	. . 3 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐
42		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖))))) = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
43		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0)) = (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0))
44		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
45		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)
46		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → 𝐴 ∈ ℝ)
47		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → 1 ≤ 𝐴)
48	42, 13, 43, 44, 45, 46, 47	pntrlog2bndlem6 27066	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1))
49	48	rexlimdvaa 3157	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐 → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1)))
50	41, 49	mpi 20	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1))
51		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
52		chpcl 26608	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
53	51, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
54	53, 51	readdcld 11239	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 𝑦) ∈ ℝ)
55	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ∈ ℝ+)
56		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ 𝑦)
57	51, 55, 56	rpgecld 13051	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
58	57	relogcld 26113	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
59	54, 58	remulcld 11240	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
60	40	adantr 482	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ∈ ℝ)
61	53	ad2ant2r 746	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
62		simprll 778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
63	61, 62	readdcld 11239	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 𝑦) ∈ ℝ)
64	57	ad2ant2r 746	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
65	64	relogcld 26113	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
66	63, 65	remulcld 11240	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
67	12	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
68	66, 67	rerpdivcld 13043	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥) ∈ ℝ)
69	16	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑅‘𝑥) ∈ ℝ)
70	69	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑅‘𝑥) ∈ ℂ)
71	70	abscld 15379	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅‘𝑥)) ∈ ℝ)
72	67	relogcld 26113	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
73	71, 72	remulcld 11240	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
74	24	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
75	37	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
76	74, 75	remulcld 11240	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
77	73, 76	resubcld 11638	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
78	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 2 ∈ ℝ)
79	4	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
80	10	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 < 𝑥)
81	79, 80	rplogcld 26119	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
82		2rp 12975	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
83	82	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 2 ∈ ℝ+)
84	83	rpge0d 13016	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ 2)
85	78, 81, 84	divge0d 13052	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (2 / (log‘𝑥)))
86		fzfid 13934	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∈ Fin)
87	36	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
88	33	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
89	88	abscld 15379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
90	29	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
91	90	relogcld 26113	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
92	88	absge0d 15387	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 0 ≤ (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))
93	90	rpred 13012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
94	27	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
95	94	nnge1d 12256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 1 ≤ 𝑛)
96	93, 95	logge0d 26120	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 0 ≤ (log‘𝑛))
97	89, 91, 92, 96	mulge0d 11787	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 0 ≤ ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
98	86, 87, 97	fsumge0 15737	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
99	74, 75, 85, 98	mulge0d 11787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
100	73, 76	subge02d 11802	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (0 ≤ ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ↔ (((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ≤ ((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥))))
101	99, 100	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ≤ ((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)))
102	70	absge0d 15387	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (abs‘(𝑅‘𝑥)))
103	81	rpge0d 13016	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
104		chpcl 26608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
105	79, 104	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
106	105, 79	readdcld 11239	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑥) + 𝑥) ∈ ℝ)
107	13	pntrval 27045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅‘𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
108	67, 107	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑅‘𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
109	108	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅‘𝑥)) = (abs‘((ψ‘𝑥) − 𝑥)))
110	105	recnd 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
111	79	recnd 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
112	110, 111	abs2dif2d 15401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((ψ‘𝑥) − 𝑥)) ≤ ((abs‘(ψ‘𝑥)) + (abs‘𝑥)))
113		chpge0 26610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
114	79, 113	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
115	105, 114	absidd 15365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(ψ‘𝑥)) = (ψ‘𝑥))
116	67	rpge0d 13016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ 𝑥)
117	79, 116	absidd 15365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
118	115, 117	oveq12d 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘(ψ‘𝑥)) + (abs‘𝑥)) = ((ψ‘𝑥) + 𝑥))
119	112, 118	breqtrd 5173	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((ψ‘𝑥) − 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑥) + 𝑥))
120	109, 119	eqbrtrd 5169	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅‘𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑥) + 𝑥))
121		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 < 𝑦)
122	79, 62, 121	ltled 11358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ≤ 𝑦)
123		chpwordi 26641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
124	79, 62, 122, 123	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
125	105, 79, 61, 62, 124, 122	le2addd 11829	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑥) + 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) + 𝑦))
126	71, 106, 63, 120, 125	letrd 11367	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅‘𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 𝑦))
127	67, 64	logled 26117	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑦)))
128	122, 127	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑦))
129	71, 63, 72, 65, 102, 103, 126, 128	lemul12ad 12152	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
130	77, 73, 66, 101, 129	letrd 11367	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
131	77, 66, 67, 130	lediv1dd 13070	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥))
132	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ∈ ℝ+)
133		chpge0 26610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
134	62, 133	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
135	64	rpge0d 13016	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ 𝑦)
136	61, 62, 134, 135	addge0d 11786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ ((ψ‘𝑦) + 𝑦))
137		simprlr 779	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ≤ 𝑦)
138	62, 137	logge0d 26120	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (log‘𝑦))
139	63, 65, 136, 138	mulge0d 11787	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
140	11	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ≤ 𝑥)
141	132, 67, 66, 139, 140	lediv2ad 13034	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥) ≤ ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 1))
142	61	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℂ)
143	62	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
144	142, 143	addcld 11229	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 𝑦) ∈ ℂ)
145	65	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
146	144, 145	mulcld 11230	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
147	146	div1d 11978	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 1) = (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
148	141, 147	breqtrd 5173	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
149	60, 68, 66, 131, 148	letrd 11367	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
150	2, 3, 40, 50, 59, 149	lo1bddrp 15465	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ 𝑐)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  +∞cpnf 11241   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440   / cdiv 11867  ℕcn 12208  2c2 12263  ℝ⁺crp 12970  (,)cioo 13320  ...cfz 13480  ⌊cfl 13751  abscabs 15177  ≤𝑂(1)clo1 15427  Σcsu 15628  logclog 26045  Λcvma 26576  ψcchp 26577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-o1 15430  df-lo1 15431  df-sum 15629  df-ef 16007  df-e 16008  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-cmp 22873  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-limc 25365  df-dv 25366  df-ulm 25871  df-log 26047  df-cxp 26048  df-atan 26352  df-em 26477  df-cht 26581  df-vma 26582  df-chp 26583  df-ppi 26584  df-mu 26585

This theorem is referenced by:  pntlemp  27093