MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrlog2bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntrlog2bnd 26157
Description: A bound on 𝑅(𝑥)log↑2(𝑥). Equation 10.6.15 of [Shapiro], p. 431. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ 𝑐)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑐,𝑅   𝑎,𝑐,𝑛,𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrlog2bnd
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossre 12784 . . 3 (1(,)+∞) ⊆ ℝ
21a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
3 1red 10627 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
42sselda 3951 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5 1rp 12379 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
7 1red 10627 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
8 eliooord 12782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
98adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
109simpld 498 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
117, 4, 10ltled 10773 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
124, 6, 11rpgecld 12456 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13 pntpbnd.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
1413pntrf 26136 . . . . . . . . 9 𝑅:ℝ+⟶ℝ
1514ffvelrni 6831 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑥) ∈ ℝ)
1612, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅𝑥) ∈ ℝ)
1716recnd 10654 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅𝑥) ∈ ℂ)
1817abscld 14785 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(𝑅𝑥)) ∈ ℝ)
1912relogcld 25203 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
2018, 19remulcld 10656 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
21 2re 11697 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
234, 10rplogcld 25209 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
2422, 23rerpdivcld 12448 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
25 fzfid 13334 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∈ Fin)
2612adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
27 elfznn 12929 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
2827adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
2928nnrpd 12415 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
3026, 29rpdivcld 12434 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3114ffvelrni 6831 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3332recnd 10654 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
3433abscld 14785 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
3529relogcld 25203 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
3634, 35remulcld 10656 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
3725, 36fsumrecl 15080 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
3824, 37remulcld 10656 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
3920, 38resubcld 11053 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
4039, 12rerpdivcld 12448 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ∈ ℝ)
4113pntrmax 26137 . . 3 𝑐 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐
42 eqid 2824 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖))))) = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
43 eqid 2824 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0)) = (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0))
44 simprl 770 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
45 simprr 772 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)
46 simpll 766 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → 𝐴 ∈ ℝ)
47 simplr 768 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → 1 ≤ 𝐴)
4842, 13, 43, 44, 45, 46, 47pntrlog2bndlem6 26156 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1))
4948rexlimdvaa 3277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (∃𝑐 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐 → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1)))
5041, 49mpi 20 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1))
51 simprl 770 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
52 chpcl 25698 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
5351, 52syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
5453, 51readdcld 10655 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 𝑦) ∈ ℝ)
555a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ∈ ℝ+)
56 simprr 772 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ 𝑦)
5751, 55, 56rpgecld 12456 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
5857relogcld 25203 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
5954, 58remulcld 10656 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
6040adantr 484 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ∈ ℝ)
6153ad2ant2r 746 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
62 simprll 778 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6361, 62readdcld 10655 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 𝑦) ∈ ℝ)
6457ad2ant2r 746 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6564relogcld 25203 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
6663, 65remulcld 10656 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
6712adantr 484 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
6866, 67rerpdivcld 12448 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥) ∈ ℝ)
6916adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑅𝑥) ∈ ℝ)
7069recnd 10654 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑅𝑥) ∈ ℂ)
7170abscld 14785 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝑥)) ∈ ℝ)
7267relogcld 25203 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
7371, 72remulcld 10656 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
7424adantr 484 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
7537adantr 484 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
7674, 75remulcld 10656 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
7773, 76resubcld 11053 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
7821a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 2 ∈ ℝ)
794adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8010adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 < 𝑥)
8179, 80rplogcld 25209 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
82 2rp 12380 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
8382a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 2 ∈ ℝ+)
8483rpge0d 12421 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ 2)
8578, 81, 84divge0d 12457 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (2 / (log‘𝑥)))
86 fzfid 13334 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∈ Fin)
8736adantlr 714 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
8833adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
8988abscld 14785 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
9029adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
9190relogcld 25203 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
9288absge0d 14793 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 0 ≤ (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))
9390rpred 12417 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
9427adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
9594nnge1d 11671 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 1 ≤ 𝑛)
9693, 95logge0d 25210 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 0 ≤ (log‘𝑛))
9789, 91, 92, 96mulge0d 11202 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 0 ≤ ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
9886, 87, 97fsumge0 15139 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
9974, 75, 85, 98mulge0d 11202 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
10073, 76subge02d 11217 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (0 ≤ ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ↔ (((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ≤ ((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥))))
10199, 100mpbid 235 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ≤ ((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)))
10270absge0d 14793 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (abs‘(𝑅𝑥)))
10381rpge0d 12421 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
104 chpcl 25698 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
10579, 104syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
106105, 79readdcld 10655 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑥) + 𝑥) ∈ ℝ)
10713pntrval 26135 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
10867, 107syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑅𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
109108fveq2d 6655 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝑥)) = (abs‘((ψ‘𝑥) − 𝑥)))
110105recnd 10654 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
11179recnd 10654 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
112110, 111abs2dif2d 14807 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((ψ‘𝑥) − 𝑥)) ≤ ((abs‘(ψ‘𝑥)) + (abs‘𝑥)))
113 chpge0 25700 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
11479, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
115105, 114absidd 14771 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(ψ‘𝑥)) = (ψ‘𝑥))
11667rpge0d 12421 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ 𝑥)
11779, 116absidd 14771 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
118115, 117oveq12d 7156 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘(ψ‘𝑥)) + (abs‘𝑥)) = ((ψ‘𝑥) + 𝑥))
119112, 118breqtrd 5073 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((ψ‘𝑥) − 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑥) + 𝑥))
120109, 119eqbrtrd 5069 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑥) + 𝑥))
121 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 < 𝑦)
12279, 62, 121ltled 10773 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥𝑦)
123 chpwordi 25731 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
12479, 62, 122, 123syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
125105, 79, 61, 62, 124, 122le2addd 11244 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑥) + 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) + 𝑦))
12671, 106, 63, 120, 125letrd 10782 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 𝑦))
12767, 64logled 25207 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥𝑦 ↔ (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑦)))
128122, 127mpbid 235 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑦))
12971, 63, 72, 65, 102, 103, 126, 128lemul12ad 11567 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
13077, 73, 66, 101, 129letrd 10782 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
13177, 66, 67, 130lediv1dd 12475 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥))
1325a1i 11 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ∈ ℝ+)
133 chpge0 25700 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
13462, 133syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
13564rpge0d 12421 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ 𝑦)
13661, 62, 134, 135addge0d 11201 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ ((ψ‘𝑦) + 𝑦))
137 simprlr 779 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ≤ 𝑦)
13862, 137logge0d 25210 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (log‘𝑦))
13963, 65, 136, 138mulge0d 11202 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
14011adantr 484 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ≤ 𝑥)
141132, 67, 66, 139, 140lediv2ad 12439 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥) ≤ ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 1))
14261recnd 10654 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℂ)
14362recnd 10654 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
144142, 143addcld 10645 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 𝑦) ∈ ℂ)
14565recnd 10654 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
146144, 145mulcld 10646 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
147146div1d 11393 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 1) = (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
148141, 147breqtrd 5073 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
14960, 68, 66, 131, 148letrd 10782 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
1502, 3, 40, 50, 59, 149lo1bddrp 14871 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ 𝑐)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3132  wrex 3133  wss 3918  ifcif 4448   class class class wbr 5047  cmpt 5127  cfv 6336  (class class class)co 7138  cc 10520  cr 10521  0cc0 10522  1c1 10523   + caddc 10525   · cmul 10527  +∞cpnf 10657   < clt 10660  cle 10661  cmin 10855   / cdiv 11282  cn 11623  2c2 11678  +crp 12375  (,)cioo 12724  ...cfz 12883  cfl 13153  abscabs 14582  ≤𝑂(1)clo1 14833  Σcsu 15031  logclog 25135  Λcvma 25666  ψcchp 25667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-disj 5013  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-xnn0 11954  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-ioo 12728  df-ioc 12729  df-ico 12730  df-icc 12731  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14415  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-limsup 14817  df-clim 14834  df-rlim 14835  df-o1 14836  df-lo1 14837  df-sum 15032  df-ef 15410  df-e 15411  df-sin 15412  df-cos 15413  df-tan 15414  df-pi 15415  df-dvds 15597  df-gcd 15831  df-prm 16003  df-pc 16161  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-hom 16578  df-cco 16579  df-rest 16685  df-topn 16686  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-topgen 16706  df-pt 16707  df-prds 16710  df-xrs 16764  df-qtop 16769  df-imas 16770  df-xps 16772  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-mulg 18214  df-cntz 18436  df-cmn 18897  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-fbas 20528  df-fg 20529  df-cnfld 20532  df-top 21488  df-topon 21505  df-topsp 21527  df-bases 21540  df-cld 21613  df-ntr 21614  df-cls 21615  df-nei 21692  df-lp 21730  df-perf 21731  df-cn 21821  df-cnp 21822  df-haus 21909  df-cmp 21981  df-tx 22156  df-hmeo 22349  df-fil 22440  df-fm 22532  df-flim 22533  df-flf 22534  df-xms 22916  df-ms 22917  df-tms 22918  df-cncf 23472  df-limc 24458  df-dv 24459  df-ulm 24961  df-log 25137  df-cxp 25138  df-atan 25442  df-em 25567  df-cht 25671  df-vma 25672  df-chp 25673  df-ppi 25674  df-mu 25675
This theorem is referenced by:  pntlemp  26183
  Copyright terms: Public domain W3C validator