Theorem pntrlog2bnd 26154

Description: A bound on 𝑅(𝑥)log↑2(𝑥). Equation 10.6.15 of [Shapiro], p. 431. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntpbnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ 𝑐)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑐,𝑅   𝑎,𝑐,𝑛,𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrlog2bnd

Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 12792	. . 3 ⊢ (1(,)+∞) ⊆ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
3		1red 10636	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
4	2	sselda 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5		1rp 12387	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
7		1red 10636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
8		eliooord 12790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
9	8	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
10	9	simpld 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
11	7, 4, 10	ltled 10782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
12	4, 6, 11	rpgecld 12464	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13		pntpbnd.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
14	13	pntrf 26133	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅:ℝ+⟶ℝ
15	14	ffvelrni 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅‘𝑥) ∈ ℝ)
16	12, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅‘𝑥) ∈ ℝ)
17	16	recnd 10663	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅‘𝑥) ∈ ℂ)
18	17	abscld 14790	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(𝑅‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	12	relogcld 25200	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
20	18, 19	remulcld 10665	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
21		2re 11705	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
23	4, 10	rplogcld 25206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
24	22, 23	rerpdivcld 12456	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
25		fzfid 13335	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∈ Fin)
26	12	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
27		elfznn 12930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
28	27	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
29	28	nnrpd 12423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
30	26, 29	rpdivcld 12442	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
31	14	ffvelrni 6845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
33	32	recnd 10663	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
34	33	abscld 14790	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
35	29	relogcld 25200	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
36	34, 35	remulcld 10665	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
37	25, 36	fsumrecl 15085	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
38	24, 37	remulcld 10665	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
39	20, 38	resubcld 11062	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
40	39, 12	rerpdivcld 12456	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ∈ ℝ)
41	13	pntrmax 26134	. . 3 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐
42		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖))))) = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
43		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0)) = (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0))
44		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
45		simprr 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)
46		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → 𝐴 ∈ ℝ)
47		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → 1 ≤ 𝐴)
48	42, 13, 43, 44, 45, 46, 47	pntrlog2bndlem6 26153	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐)) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1))
49	48	rexlimdvaa 3285	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝑐 → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1)))
50	41, 49	mpi 20	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1))
51		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
52		chpcl 25695	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
53	51, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
54	53, 51	readdcld 10664	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 𝑦) ∈ ℝ)
55	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ∈ ℝ+)
56		simprr 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ 𝑦)
57	51, 55, 56	rpgecld 12464	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
58	57	relogcld 25200	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
59	54, 58	remulcld 10665	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
60	40	adantr 483	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ∈ ℝ)
61	53	ad2ant2r 745	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
62		simprll 777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
63	61, 62	readdcld 10664	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 𝑦) ∈ ℝ)
64	57	ad2ant2r 745	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
65	64	relogcld 25200	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
66	63, 65	remulcld 10665	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
67	12	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
68	66, 67	rerpdivcld 12456	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥) ∈ ℝ)
69	16	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑅‘𝑥) ∈ ℝ)
70	69	recnd 10663	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑅‘𝑥) ∈ ℂ)
71	70	abscld 14790	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅‘𝑥)) ∈ ℝ)
72	67	relogcld 25200	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
73	71, 72	remulcld 10665	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
74	24	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
75	37	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
76	74, 75	remulcld 10665	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
77	73, 76	resubcld 11062	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
78	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 2 ∈ ℝ)
79	4	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
80	10	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 < 𝑥)
81	79, 80	rplogcld 25206	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
82		2rp 12388	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
83	82	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 2 ∈ ℝ+)
84	83	rpge0d 12429	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ 2)
85	78, 81, 84	divge0d 12465	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (2 / (log‘𝑥)))
86		fzfid 13335	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∈ Fin)
87	36	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
88	33	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
89	88	abscld 14790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
90	29	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
91	90	relogcld 25200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
92	88	absge0d 14798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 0 ≤ (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))
93	90	rpred 12425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
94	27	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
95	94	nnge1d 11679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 1 ≤ 𝑛)
96	93, 95	logge0d 25207	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 0 ≤ (log‘𝑛))
97	89, 91, 92, 96	mulge0d 11211	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → 0 ≤ ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
98	86, 87, 97	fsumge0 15144	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
99	74, 75, 85, 98	mulge0d 11211	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
100	73, 76	subge02d 11226	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (0 ≤ ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ↔ (((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ≤ ((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥))))
101	99, 100	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ≤ ((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)))
102	70	absge0d 14798	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (abs‘(𝑅‘𝑥)))
103	81	rpge0d 12429	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
104		chpcl 25695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
105	79, 104	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
106	105, 79	readdcld 10664	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑥) + 𝑥) ∈ ℝ)
107	13	pntrval 26132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅‘𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
108	67, 107	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑅‘𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
109	108	fveq2d 6669	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅‘𝑥)) = (abs‘((ψ‘𝑥) − 𝑥)))
110	105	recnd 10663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
111	79	recnd 10663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
112	110, 111	abs2dif2d 14812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((ψ‘𝑥) − 𝑥)) ≤ ((abs‘(ψ‘𝑥)) + (abs‘𝑥)))
113		chpge0 25697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
114	79, 113	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
115	105, 114	absidd 14776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(ψ‘𝑥)) = (ψ‘𝑥))
116	67	rpge0d 12429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ 𝑥)
117	79, 116	absidd 14776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
118	115, 117	oveq12d 7168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘(ψ‘𝑥)) + (abs‘𝑥)) = ((ψ‘𝑥) + 𝑥))
119	112, 118	breqtrd 5085	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((ψ‘𝑥) − 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑥) + 𝑥))
120	109, 119	eqbrtrd 5081	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅‘𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑥) + 𝑥))
121		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 < 𝑦)
122	79, 62, 121	ltled 10782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ≤ 𝑦)
123		chpwordi 25728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
124	79, 62, 122, 123	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
125	105, 79, 61, 62, 124, 122	le2addd 11253	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑥) + 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) + 𝑦))
126	71, 106, 63, 120, 125	letrd 10791	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(𝑅‘𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 𝑦))
127	67, 64	logled 25204	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑦)))
128	122, 127	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑦))
129	71, 63, 72, 65, 102, 103, 126, 128	lemul12ad 11576	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
130	77, 73, 66, 101, 129	letrd 10791	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
131	77, 66, 67, 130	lediv1dd 12483	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥))
132	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ∈ ℝ+)
133		chpge0 25697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
134	62, 133	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
135	64	rpge0d 12429	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ 𝑦)
136	61, 62, 134, 135	addge0d 11210	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ ((ψ‘𝑦) + 𝑦))
137		simprlr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ≤ 𝑦)
138	62, 137	logge0d 25207	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (log‘𝑦))
139	63, 65, 136, 138	mulge0d 11211	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
140	11	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ≤ 𝑥)
141	132, 67, 66, 139, 140	lediv2ad 12447	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥) ≤ ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 1))
142	61	recnd 10663	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (ψ‘𝑦) ∈ ℂ)
143	62	recnd 10663	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
144	142, 143	addcld 10654	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 𝑦) ∈ ℂ)
145	65	recnd 10663	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
146	144, 145	mulcld 10655	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
147	146	div1d 11402	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 1) = (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
148	141, 147	breqtrd 5085	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)) / 𝑥) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
149	60, 68, 66, 131, 148	letrd 10791	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ (((ψ‘𝑦) + 𝑦) · (log‘𝑦)))
150	2, 3, 40, 50, 59, 149	lo1bddrp 14876	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)((((abs‘(𝑅‘𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ≤ 𝑐)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3936  ifcif 4467   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  +∞cpnf 10666   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864   / cdiv 11291  ℕcn 11632  2c2 11686  ℝ⁺crp 12383  (,)cioo 12732  ...cfz 12886  ⌊cfl 13154  abscabs 14587  ≤𝑂(1)clo1 14838  Σcsu 15036  logclog 25132  Λcvma 25663  ψcchp 25664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-disj 5025  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-o1 14841  df-lo1 14842  df-sum 15037  df-ef 15415  df-e 15416  df-sin 15417  df-cos 15418  df-tan 15419  df-pi 15420  df-dvds 15602  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-pc 16168  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-cmp 21989  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-ulm 24959  df-log 25134  df-cxp 25135  df-atan 25439  df-em 25564  df-cht 25668  df-vma 25669  df-chp 25670  df-ppi 25671  df-mu 25672

This theorem is referenced by:  pntlemp  26180