selberg4r - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > selberg4r		Structured version Visualization version GIF version

Theorem selberg4r 27699

Description: Selberg's symmetry formula, using the residual of the second Chebyshev function. Equation 10.6.11 of [Shapiro], p. 430. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pntrval.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

**Assertion**
Ref	Expression
selberg4r	⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Distinct variable groups: 𝑚,𝑎,𝑛,𝑥 𝑅,𝑚,𝑛,𝑥 Allowed substitution hint: 𝑅(𝑎)

**Proof of Theorem selberg4r**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3		1rp 13019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ⁺)
5		1red 11208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
6		eliooord 13431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
7	6	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
8	7	simpld 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
9	5, 2, 8	ltled 11357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
10	2, 4, 9	rpgecld 13098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
11		pntrval.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
12	11	pntrval 27691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
13	10, 12	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅‘𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
14	13	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) = (((ψ‘𝑥) − 𝑥) · (log‘𝑥)))
15		chpcl 27253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
16	2, 15	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
18	2	recnd 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
19	10	relogcld 26753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
21	17, 18, 20	subdird 11670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((ψ‘𝑥) − 𝑥) · (log‘𝑥)) = (((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (𝑥 · (log‘𝑥))))
22	14, 21	eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) = (((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (𝑥 · (log‘𝑥))))
23	10	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
24		elfznn 13580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
25	24	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
26	25	nnrpd 13057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
27	26	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
28	23, 27	rpdivcld 13076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ⁺)
29		elfznn 13580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛))) → 𝑚 ∈ ℕ)
30	29	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
31	30	nnrpd 13057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℝ⁺)
32	28, 31	rpdivcld 13076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚) ∈ ℝ⁺)
33	11	pntrval 27691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 / 𝑛) / 𝑚) ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) = ((ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) − ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) = ((ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) − ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))
35	34	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · ((ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) − ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))
36		vmacl 27247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
37	30, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℂ)
39	2	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
40	39, 25	nndivred 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ)
41	40	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ)
42	41, 30	nndivred 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚) ∈ ℝ)
43		chpcl 27253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 / 𝑛) / 𝑚) ∈ ℝ → (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) ∈ ℝ)
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) ∈ ℂ)
46	42	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚) ∈ ℂ)
47	38, 45, 46	subdid 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((Λ‘𝑚) · ((ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) − ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) = (((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) − ((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))
48	35, 47	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) = (((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) − ((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))
49	48	sumeq2dv 15752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) − ((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))
50		fzfid 14008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ Fin)
51	37, 44	remulcld 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) ∈ ℝ)
52	51	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) ∈ ℂ)
53	38, 46	mulcld 11228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) ∈ ℂ)
54	50, 52, 53	fsumsub 15838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) − ((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) − Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))
55	49, 54	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) − Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))
56	55	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) = ((Λ‘𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) − Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))
57		vmacl 27247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
58	25, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
59	58	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
60	50, 51	fsumrecl 15784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) ∈ ℝ)
61	60	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) ∈ ℂ)
62	50, 53	fsumcl 15783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) ∈ ℂ)
63	59, 61, 62	subdid 11669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) − Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) = (((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) − ((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))
64	56, 63	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) = (((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) − ((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))
65	64	sumeq2dv 15752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) − ((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))
66		fzfid 14008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
67	58, 60	remulcld 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) ∈ ℝ)
68	67	recnd 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) ∈ ℂ)
69	59, 62	mulcld 11228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) ∈ ℂ)
70	66, 68, 69	fsumsub 15838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) − ((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))
71	65, 70	eqtrd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))
72	71	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))) = ((2 / (log‘𝑥)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))))
73		2re 12314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
75	2, 8	rplogcld 26759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ⁺)
76	74, 75	rerpdivcld 13090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
77	76	recnd 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
78	66, 67	fsumrecl 15784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) ∈ ℝ)
79	78	recnd 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) ∈ ℂ)
80	66, 69	fsumcl 15783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) ∈ ℂ)
81	77, 79, 80	subdid 11669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))) = (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))))
82	72, 81	eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))) = (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))))
83	22, 82	oveq12d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) = ((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (𝑥 · (log‘𝑥))) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))))
84	16, 19	remulcld 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
85	84	recnd 11236	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
86	18, 20	mulcld 11228	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
87	76, 78	remulcld 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))) ∈ ℝ)
88	87	recnd 11236	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))) ∈ ℂ)
89	77, 80	mulcld 11228	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) ∈ ℂ)
90	85, 86, 88, 89	sub4d 11617	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (𝑥 · (log‘𝑥))) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) = ((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) − ((𝑥 · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))))
91	83, 90	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) = ((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) − ((𝑥 · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))))
92	91	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) = (((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) − ((𝑥 · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥))
93	84, 87	resubcld 11641	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) ∈ ℝ)
94	93	recnd 11236	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) ∈ ℂ)
95	2, 19	remulcld 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
96	37, 42	remulcld 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) ∈ ℝ)
97	50, 96	fsumrecl 15784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) ∈ ℝ)
98	58, 97	remulcld 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) ∈ ℝ)
99	66, 98	fsumrecl 15784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) ∈ ℝ)
100	76, 99	remulcld 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) ∈ ℝ)
101	95, 100	resubcld 11641	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))) ∈ ℝ)
102	101	recnd 11236	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))) ∈ ℂ)
103	10	rpne0d 13064	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ≠ 0)
104	94, 102, 18, 103	divsubdird 12029	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) − ((𝑥 · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) = (((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) − (((𝑥 · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))) / 𝑥)))
105	95	recnd 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
106	99	recnd 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) ∈ ℂ)
107	77, 106	mulcld 11228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) ∈ ℂ)
108	105, 107, 18, 103	divsubdird 12029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑥 · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))) / 𝑥) = (((𝑥 · (log‘𝑥)) / 𝑥) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) / 𝑥)))
109	20, 18, 103	divcan3d 11995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 · (log‘𝑥)) / 𝑥) = (log‘𝑥))
110	77, 106, 18, 103	divassd 12025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) / 𝑥) = ((2 / (log‘𝑥)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) / 𝑥)))
111	98	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) ∈ ℂ)
112	66, 18, 111, 103	fsumdivc 15836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) / 𝑥) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) / 𝑥))
113	41	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℂ)
114	30	nncnd 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
115	30	nnne0d 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ≠ 0)
116	113, 38, 114, 115	div12d 12026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((𝑥 / 𝑛) · ((Λ‘𝑚) / 𝑚)) = ((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))
117	18	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℂ)
118	117	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
119	25	nncnd 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℂ)
120	119	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
121	37, 30	nndivred 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((Λ‘𝑚) / 𝑚) ∈ ℝ)
122	121	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((Λ‘𝑚) / 𝑚) ∈ ℂ)
123	25	nnne0d 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ≠ 0)
124	123	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑛 ≠ 0)
125	118, 120, 122, 124	div32d 12013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((𝑥 / 𝑛) · ((Λ‘𝑚) / 𝑚)) = (𝑥 · (((Λ‘𝑚) / 𝑚) / 𝑛)))
126	116, 125	eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) = (𝑥 · (((Λ‘𝑚) / 𝑚) / 𝑛)))
127	126	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) / 𝑥) = ((𝑥 · (((Λ‘𝑚) / 𝑚) / 𝑛)) / 𝑥))
128	25	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
129	121, 128	nndivred 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (((Λ‘𝑚) / 𝑚) / 𝑛) ∈ ℝ)
130	129	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (((Λ‘𝑚) / 𝑚) / 𝑛) ∈ ℂ)
131	103	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ≠ 0)
132	131	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑥 ≠ 0)
133	130, 118, 132	divcan3d 11995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((𝑥 · (((Λ‘𝑚) / 𝑚) / 𝑛)) / 𝑥) = (((Λ‘𝑚) / 𝑚) / 𝑛))
134	127, 133	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) / 𝑥) = (((Λ‘𝑚) / 𝑚) / 𝑛))
135	134	sumeq2dv 15752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) / 𝑥) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(((Λ‘𝑚) / 𝑚) / 𝑛))
136	96	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) ∈ ℂ)
137	50, 117, 136, 131	fsumdivc 15836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) / 𝑥) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) / 𝑥))
138	50, 119, 122, 123	fsumdivc 15836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚) / 𝑛) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(((Λ‘𝑚) / 𝑚) / 𝑛))
139	135, 137, 138	3eqtr4d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) / 𝑥) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚) / 𝑛))
140	139	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) / 𝑥)) = ((Λ‘𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚) / 𝑛)))
141	97	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) ∈ ℂ)
142	59, 141, 117, 131	divassd 12025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) / 𝑥) = ((Λ‘𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)) / 𝑥)))
143	50, 121	fsumrecl 15784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚) ∈ ℝ)
144	143	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚) ∈ ℂ)
145	59, 119, 144, 123	div32d 12013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) = ((Λ‘𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚) / 𝑛)))
146	140, 142, 145	3eqtr4d 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) / 𝑥) = (((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)))
147	146	sumeq2dv 15752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) / 𝑥) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)))
148	112, 147	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) / 𝑥) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)))
149	148	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))) / 𝑥)) = ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))))
150	110, 149	eqtrd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) / 𝑥) = ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))))
151	109, 150	oveq12d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑥 · (log‘𝑥)) / 𝑥) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))) / 𝑥)) = ((log‘𝑥) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)))))
152	108, 151	eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑥 · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))) / 𝑥) = ((log‘𝑥) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)))))
153	152	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) − (((𝑥 · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))) / 𝑥)) = (((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) − ((log‘𝑥) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))))))
154	94, 18, 103	divcld 11990	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) ∈ ℂ)
155	58, 25	nndivred 12289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
156	155, 143	remulcld 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) ∈ ℝ)
157	66, 156	fsumrecl 15784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) ∈ ℝ)
158	76, 157	remulcld 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))) ∈ ℝ)
159	158	recnd 11236	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))) ∈ ℂ)
160	154, 20, 159	subsub2d 11597	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) − ((log‘𝑥) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))))) = (((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) + (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))) − (log‘𝑥))))
161	153, 160	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) − (((𝑥 · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚))))) / 𝑥)) = (((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) + (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))) − (log‘𝑥))))
162	104, 161	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) − ((𝑥 · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · ((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) = (((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) + (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))) − (log‘𝑥))))
163	92, 162	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) = (((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) + (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))) − (log‘𝑥))))
164	163	mpteq2dva 5208	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) + (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))) − (log‘𝑥)))))
165	93, 10	rerpdivcld 13090	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) ∈ ℝ)
166	158, 19	resubcld 11641	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))) − (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
167		selberg4 27690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
168	167	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
169		2cnd 12318	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℂ)
170	157, 75	rerpdivcld 13090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
171	170	recnd 11236	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
172	19	rehalfcld 12490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((log‘𝑥) / 2) ∈ ℝ)
173	172	recnd 11236	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((log‘𝑥) / 2) ∈ ℂ)
174	169, 171, 173	subdid 11669	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) / (log‘𝑥)) − ((log‘𝑥) / 2))) = ((2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) / (log‘𝑥))) − (2 · ((log‘𝑥) / 2))))
175	157	recnd 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) ∈ ℂ)
176	75	rpne0d 13064	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ≠ 0)
177	169, 20, 175, 176	div32d 12013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))) = (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) / (log‘𝑥))))
178	177	eqcomd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) / (log‘𝑥))) = ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))))
179		2ne0 12346	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
180	179	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ≠ 0)
181	20, 169, 180	divcan2d 11992	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · ((log‘𝑥) / 2)) = (log‘𝑥))
182	178, 181	oveq12d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) / (log‘𝑥))) − (2 · ((log‘𝑥) / 2))) = (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))) − (log‘𝑥)))
183	174, 182	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) / (log‘𝑥)) − ((log‘𝑥) / 2))) = (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))) − (log‘𝑥)))
184	183	mpteq2dva 5208	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (2 · ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) / (log‘𝑥)) − ((log‘𝑥) / 2)))) = (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))) − (log‘𝑥))))
185	170, 172	resubcld 11641	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) / (log‘𝑥)) − ((log‘𝑥) / 2)) ∈ ℝ)
186		ioossre 13433	. . . . . . 7 ⊢ (1(,)+∞) ⊆ ℝ
187		2cnd 12318	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
188		o1const 15670	. . . . . . 7 ⊢ (((1(,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
189	186, 187, 188	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
190		2vmadivsum 27670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) / (log‘𝑥)) − ((log‘𝑥) / 2))) ∈ 𝑂(1)
191	190	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) / (log‘𝑥)) − ((log‘𝑥) / 2))) ∈ 𝑂(1))
192	74, 185, 189, 191	o1mul2 15675	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (2 · ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚)) / (log‘𝑥)) − ((log‘𝑥) / 2)))) ∈ 𝑂(1))
193	184, 192	eqeltrrd 2870	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
194	165, 166, 168, 193	o1add2 15674	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((((ψ‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (ψ‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥) + (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) / 𝑚))) − (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
195	164, 194	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
196	195	mptru 1574	1 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((Λ‘𝑚) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑛) / 𝑚)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ∧ wa 400 = wceq 1567 ⊤wtru 1568 ∈ wcel 2149 ≠ wne 2964 ⊆ wss 3913 class class class wbr 5113 ↦ cmpt 5196 ‘cfv 6537 (class class class)co 7411 ℂcc 11097 ℝcr 11098 0cc0 11099 1c1 11100 + caddc 11102 · cmul 11104 +∞cpnf 11239 < clt 11242 − cmin 11440 / cdiv 11870 ℕcn 12232 2c2 12294 ℝ⁺crp 13015 (,)cioo 13371 ...cfz 13534 ⌊cfl 13822 𝑂(1)co1 15536 Σcsu 15736 logclog 26684 Λcvma 27221 ψcchp 27222

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1822 ax-4 1836 ax-5 1937 ax-6 1994 ax-7 2035 ax-8 2151 ax-9 2159 ax-10 2182 ax-11 2198 ax-12 2219 ax-ext 2741 ax-rep 5242 ax-sep 5261 ax-nul 5271 ax-pow 5337 ax-pr 5405 ax-un 7733 ax-inf2 9609 ax-cnex 11155 ax-resscn 11156 ax-1cn 11157 ax-icn 11158 ax-addcl 11159 ax-addrcl 11160 ax-mulcl 11161 ax-mulrcl 11162 ax-mulcom 11163 ax-addass 11164 ax-mulass 11165 ax-distr 11166 ax-i2m1 11167 ax-1ne0 11168 ax-1rid 11169 ax-rnegex 11170 ax-rrecex 11171 ax-cnre 11172 ax-pre-lttri 11173 ax-pre-lttrn 11174 ax-pre-ltadd 11175 ax-pre-mulgt0 11176 ax-pre-sup 11177 ax-addf 11178

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1570 df-fal 1580 df-ex 1807 df-nf 1811 df-sb 2098 df-mo 2573 df-eu 2603 df-clab 2748 df-cleq 2761 df-clel 2844 df-nfc 2918 df-ne 2965 df-nel 3071 df-ral 3086 df-rex 3096 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3424 df-v 3465 df-sbc 3754 df-csb 3862 df-dif 3916 df-un 3918 df-in 3920 df-ss 3930 df-pss 3933 df-nul 4295 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-tp 4599 df-op 4601 df-uni 4877 df-int 4917 df-iun 4962 df-iin 4963 df-disj 5081 df-br 5114 df-opab 5178 df-mpt 5197 df-tr 5223 df-id 5557 df-eprel 5562 df-po 5570 df-so 5571 df-fr 5615 df-se 5616 df-we 5617 df-xp 5668 df-rel 5669 df-cnv 5670 df-co 5671 df-dm 5672 df-rn 5673 df-res 5674 df-ima 5675 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7368 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-of 7675 df-om 7862 df-1st 7985 df-2nd 7986 df-supp 8156 df-frecs 8277 df-wrecs 8308 df-recs 8357 df-rdg 8396 df-1o 8452 df-2o 8453 df-oadd 8456 df-er 8693 df-map 8825 df-pm 8826 df-ixp 8895 df-en 8943 df-dom 8944 df-sdom 8945 df-fin 8946 df-fsupp 9321 df-fi 9370 df-sup 9401 df-inf 9402 df-oi 9471 df-dju 9886 df-card 9924 df-pnf 11244 df-mnf 11245 df-xr 11246 df-ltxr 11247 df-le 11248 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11871 df-nn 12233 df-2 12302 df-3 12303 df-4 12304 df-5 12305 df-6 12306 df-7 12307 df-8 12308 df-9 12309 df-n0 12504 df-xnn0 12577 df-z 12591 df-dec 12711 df-uz 12862 df-q 12972 df-rp 13016 df-xneg 13136 df-xadd 13137 df-xmul 13138 df-ioo 13375 df-ioc 13376 df-ico 13377 df-icc 13378 df-fz 13535 df-fzo 13682 df-fl 13824 df-mod 13902 df-seq 14037 df-exp 14097 df-fac 14309 df-bc 14338 df-hash 14366 df-shft 15103 df-cj 15149 df-re 15150 df-im 15151 df-sqrt 15285 df-abs 15286 df-limsup 15521 df-clim 15538 df-rlim 15539 df-o1 15540 df-lo1 15541 df-sum 15737 df-ef 16120 df-e 16121 df-sin 16122 df-cos 16123 df-tan 16124 df-pi 16125 df-dvds 16310 df-gcd 16552 df-prm 16729 df-pc 16896 df-struct 17206 df-sets 17223 df-slot 17241 df-ndx 17253 df-base 17269 df-ress 17290 df-plusg 17322 df-mulr 17323 df-starv 17324 df-sca 17325 df-vsca 17326 df-ip 17327 df-tset 17328 df-ple 17329 df-ds 17331 df-unif 17332 df-hom 17333 df-cco 17334 df-rest 17474 df-topn 17475 df-0g 17493 df-gsum 17494 df-topgen 17495 df-pt 17496 df-prds 17499 df-xrs 17555 df-qtop 17560 df-imas 17561 df-xps 17563 df-mre 17637 df-mrc 17638 df-acs 17640 df-mgm 18697 df-sgrp 18776 df-mnd 18792 df-submnd 18841 df-mulg 19133 df-cntz 19386 df-cmn 19851 df-psmet 21482 df-xmet 21483 df-met 21484 df-bl 21485 df-mopn 21486 df-fbas 21487 df-fg 21488 df-cnfld 21491 df-top 23019 df-topon 23036 df-topsp 23058 df-bases 23071 df-cld 23144 df-ntr 23145 df-cls 23146 df-nei 23223 df-lp 23261 df-perf 23262 df-cn 23352 df-cnp 23353 df-haus 23440 df-cmp 23512 df-tx 23687 df-hmeo 23880 df-fil 23971 df-fm 24063 df-flim 24064 df-flf 24065 df-xms 24445 df-ms 24446 df-tms 24447 df-cncf 25005 df-limc 25993 df-dv 25994 df-ulm 26505 df-log 26686 df-cxp 26687 df-atan 26997 df-em 27122 df-cht 27226 df-vma 27227 df-chp 27228 df-ppi 27229 df-mu 27230

This theorem is referenced by: selberg34r 27700

W3C validator