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Theorem pntrsumo1 25667
Description: A bound on a sum over 𝑅. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntrsumo1 (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑎,𝑥   𝑅,𝑛,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrsumo1
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 10356 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
2 elicopnf 12558 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
43simplbi 493 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
5 0red 10360 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
6 1red 10357 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
7 0lt1 10874 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 0 < 1)
93simprbi 492 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
105, 6, 4, 8, 9ltletrd 10516 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 0 < 𝑥)
114, 10elrpd 12153 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1211ssriv 3831 . . . . . . 7 (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
1312a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (1[,)+∞) ⊆ ℝ+)
14 rpssre 12119 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
1513, 14syl6ss 3839 . . . . 5 (⊤ → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
1615resmptd 5689 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
17 chpcl 25263 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
184, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
19 peano2re 10528 . . . . . . . . . . 11 ((ψ‘𝑥) ∈ ℝ → ((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
2111rprege0d 12163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
22 flge0nn0 12916 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
24 nn0p1nn 11659 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
2620, 25nndivred 11405 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℝ)
2726recnd 10385 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
28 ax-1cn 10310 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
29 subcl 10600 . . . . . . . 8 (((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) ∈ ℂ)
3027, 28, 29sylancl 582 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) ∈ ℂ)
31 fzfid 13067 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
32 elfznn 12663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3332adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
34 nnrp 12125 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
35 pntrval.r . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
3635pntrf 25665 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅:ℝ+⟶ℝ
3736ffvelrni 6607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
3834, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
39 peano2nn 11364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
40 nnmulcl 11375 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
4139, 40mpdan 680 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
4238, 41nndivred 11405 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4333, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4431, 43fsumrecl 14842 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4544recnd 10385 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
464, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
47 oveq2 6913 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑛))
48 fvoveq1 6928 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (ψ‘(𝑚 − 1)) = (ψ‘(𝑛 − 1)))
49 oveq1 6912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 − 1) = (𝑛 − 1))
5048, 49oveq12d 6923 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = ((ψ‘(𝑛 − 1)) − (𝑛 − 1)))
5147, 50jca 509 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((1 / 𝑚) = (1 / 𝑛) ∧ ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = ((ψ‘(𝑛 − 1)) − (𝑛 − 1))))
52 oveq2 6913 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (1 / 𝑚) = (1 / (𝑛 + 1)))
53 fvoveq1 6928 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (ψ‘(𝑚 − 1)) = (ψ‘((𝑛 + 1) − 1)))
54 oveq1 6912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
5553, 54oveq12d 6923 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)))
5652, 55jca 509 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((1 / 𝑚) = (1 / (𝑛 + 1)) ∧ ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1))))
57 oveq2 6913 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 1 → (1 / 𝑚) = (1 / 1))
58 1div1e1 11042 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 1) = 1
5957, 58syl6eq 2877 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 1 → (1 / 𝑚) = 1)
60 oveq1 6912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = (1 − 1))
61 1m1e0 11423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 − 1) = 0
6260, 61syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = 0)
6362fveq2d 6437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 1 → (ψ‘(𝑚 − 1)) = (ψ‘0))
64 2pos 11461 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
65 0re 10358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
66 chpeq0 25346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ ℝ → ((ψ‘0) = 0 ↔ 0 < 2))
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ψ‘0) = 0 ↔ 0 < 2)
6864, 67mpbir 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (ψ‘0) = 0
6963, 68syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 1 → (ψ‘(𝑚 − 1)) = 0)
7069, 62oveq12d 6923 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 1 → ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = (0 − 0))
71 0m0e0 11478 . . . . . . . . . . . 12 (0 − 0) = 0
7270, 71syl6eq 2877 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 1 → ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = 0)
7359, 72jca 509 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 1 → ((1 / 𝑚) = 1 ∧ ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = 0))
74 oveq2 6913 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (1 / 𝑚) = (1 / ((⌊‘𝑥) + 1)))
75 fvoveq1 6928 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (ψ‘(𝑚 − 1)) = (ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))
76 oveq1 6912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (𝑚 − 1) = (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))
7775, 76oveq12d 6923 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))
7874, 77jca 509 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → ((1 / 𝑚) = (1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∧ ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))))
79 nnuz 12005 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
8025, 79syl6eleq 2916 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1))
81 elfznn 12663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
8281adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
8382nnrecred 11402 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
8483recnd 10385 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
8582nnred 11367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → 𝑚 ∈ ℝ)
86 peano2rem 10669 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
88 chpcl 25263 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 − 1) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑚 − 1)) ∈ ℝ)
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (ψ‘(𝑚 − 1)) ∈ ℝ)
9089, 87resubcld 10782 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) ∈ ℝ)
9190recnd 10385 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) ∈ ℂ)
9251, 56, 73, 78, 80, 84, 91fsumparts 14912 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))((1 / 𝑛) · (((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)) − ((ψ‘(𝑛 − 1)) − (𝑛 − 1)))) = ((((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))) − (1 · 0)) − Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))(((1 / (𝑛 + 1)) − (1 / 𝑛)) · ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)))))
934flcld 12894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
94 fzval3 12832 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑥) ∈ ℤ → (1...(⌊‘𝑥)) = (1..^((⌊‘𝑥) + 1)))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (1...(⌊‘𝑥)) = (1..^((⌊‘𝑥) + 1)))
9695eqcomd 2831 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (1..^((⌊‘𝑥) + 1)) = (1...(⌊‘𝑥)))
9732adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
9897nncnd 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℂ)
99 pncan 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
10098, 28, 99sylancl 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
10197nnred 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ)
102100, 101eqeltrd 2906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) − 1) ∈ ℝ)
103 chpcl 25263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 + 1) − 1) ∈ ℝ → (ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
105104recnd 10385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) ∈ ℂ)
106102recnd 10385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) − 1) ∈ ℂ)
107 peano2rem 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
108101, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
109 chpcl 25263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 − 1) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ψ‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
111110recnd 10385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ψ‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
112 1cnd 10351 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℂ)
11398, 112subcld 10713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
114105, 106, 111, 113sub4d 10762 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)) − ((ψ‘(𝑛 − 1)) − (𝑛 − 1))) = (((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − (ψ‘(𝑛 − 1))) − (((𝑛 + 1) − 1) − (𝑛 − 1))))
115 vmacl 25257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
11697, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
117116recnd 10385 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
118 nnm1nn0 11661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
11997, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
120 chpp1 25294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → (ψ‘((𝑛 − 1) + 1)) = ((ψ‘(𝑛 − 1)) + (Λ‘((𝑛 − 1) + 1))))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ψ‘((𝑛 − 1) + 1)) = ((ψ‘(𝑛 − 1)) + (Λ‘((𝑛 − 1) + 1))))
122 npcan 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
12398, 28, 122sylancl 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
124123, 100eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 − 1) + 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
125124fveq2d 6437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ψ‘((𝑛 − 1) + 1)) = (ψ‘((𝑛 + 1) − 1)))
126123fveq2d 6437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘((𝑛 − 1) + 1)) = (Λ‘𝑛))
127126oveq2d 6921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((ψ‘(𝑛 − 1)) + (Λ‘((𝑛 − 1) + 1))) = ((ψ‘(𝑛 − 1)) + (Λ‘𝑛)))
128121, 125, 1273eqtr3d 2869 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) = ((ψ‘(𝑛 − 1)) + (Λ‘𝑛)))
129111, 117, 128mvrladdd 10767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − (ψ‘(𝑛 − 1))) = (Λ‘𝑛))
130 peano2cn 10527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
13198, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
132131, 98, 112nnncan2d 10748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑛 + 1) − 1) − (𝑛 − 1)) = ((𝑛 + 1) − 𝑛))
133 pncan2 10608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 𝑛) = 1)
13498, 28, 133sylancl 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) − 𝑛) = 1)
135132, 134eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑛 + 1) − 1) − (𝑛 − 1)) = 1)
136129, 135oveq12d 6923 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − (ψ‘(𝑛 − 1))) − (((𝑛 + 1) − 1) − (𝑛 − 1))) = ((Λ‘𝑛) − 1))
137114, 136eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)) − ((ψ‘(𝑛 − 1)) − (𝑛 − 1))) = ((Λ‘𝑛) − 1))
138137oveq2d 6921 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 / 𝑛) · (((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)) − ((ψ‘(𝑛 − 1)) − (𝑛 − 1)))) = ((1 / 𝑛) · ((Λ‘𝑛) − 1)))
139 peano2rem 10669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Λ‘𝑛) ∈ ℝ → ((Λ‘𝑛) − 1) ∈ ℝ)
140116, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) − 1) ∈ ℝ)
141140recnd 10385 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) − 1) ∈ ℂ)
14297nnne0d 11401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ≠ 0)
143141, 98, 142divrec2d 11131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) = ((1 / 𝑛) · ((Λ‘𝑛) − 1)))
144138, 143eqtr4d 2864 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 / 𝑛) · (((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)) − ((ψ‘(𝑛 − 1)) − (𝑛 − 1)))) = (((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛))
14596, 144sumeq12rdv 14815 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))((1 / 𝑛) · (((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)) − ((ψ‘(𝑛 − 1)) − (𝑛 − 1)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛))
14623nn0cnd 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (⌊‘𝑥) ∈ ℂ)
147 pncan 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⌊‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑥) + 1) − 1) = (⌊‘𝑥))
148146, 28, 147sylancl 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((⌊‘𝑥) + 1) − 1) = (⌊‘𝑥))
149148fveq2d 6437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) = (ψ‘(⌊‘𝑥)))
150 chpfl 25289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘(⌊‘𝑥)) = (ψ‘𝑥))
1514, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (ψ‘(⌊‘𝑥)) = (ψ‘𝑥))
152149, 151eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) = (ψ‘𝑥))
153152oveq1d 6920 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) = ((ψ‘𝑥) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))
15418recnd 10385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
15525nncnd 11368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℂ)
156 1cnd 10351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ∈ ℂ)
157154, 155, 156subsub3d 10743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((ψ‘𝑥) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) = (((ψ‘𝑥) + 1) − ((⌊‘𝑥) + 1)))
158153, 157eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) = (((ψ‘𝑥) + 1) − ((⌊‘𝑥) + 1)))
159158oveq2d 6921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))) = ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · (((ψ‘𝑥) + 1) − ((⌊‘𝑥) + 1))))
16025nnrecred 11402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℝ)
161160recnd 10385 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
162 peano2cn 10527 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ψ‘𝑥) ∈ ℂ → ((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℂ)
163154, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℂ)
164161, 163, 155subdid 10810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · (((ψ‘𝑥) + 1) − ((⌊‘𝑥) + 1))) = (((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘𝑥) + 1)) − ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((⌊‘𝑥) + 1))))
16525nnne0d 11401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≠ 0)
166163, 155, 165divrec2d 11131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) = ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘𝑥) + 1)))
167166eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘𝑥) + 1)) = (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)))
168155, 165recid2d 11123 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((⌊‘𝑥) + 1)) = 1)
169167, 168oveq12d 6923 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘𝑥) + 1)) − ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((⌊‘𝑥) + 1))) = ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1))
170159, 164, 1693eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))) = ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1))
17128mul01i 10545 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 0) = 0
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (1 · 0) = 0)
173170, 172oveq12d 6923 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))) − (1 · 0)) = (((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) − 0))
17430subid1d 10702 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) − 0) = ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1))
175173, 174eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))) − (1 · 0)) = ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1))
17697, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
177176nnrecred 11402 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
178177recnd 10385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
17997, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
180179recnd 10385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅𝑛) ∈ ℂ)
181178, 180mulneg1d 10807 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (-(1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) · (𝑅𝑛)) = -((1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) · (𝑅𝑛)))
18298, 112mulcld 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 · 1) ∈ ℂ)
18398, 131mulcld 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
184176nnne0d 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ≠ 0)
185131, 182, 183, 184divsubdird 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑛 + 1) − (𝑛 · 1)) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (((𝑛 + 1) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − ((𝑛 · 1) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
18698mulid1d 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 · 1) = 𝑛)
187186oveq2d 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) − (𝑛 · 1)) = ((𝑛 + 1) − 𝑛))
188187, 134eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) − (𝑛 · 1)) = 1)
189188oveq1d 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑛 + 1) − (𝑛 · 1)) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
190131mulid1d 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) · 1) = (𝑛 + 1))
191131, 98mulcomd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) · 𝑛) = (𝑛 · (𝑛 + 1)))
192190, 191oveq12d 6923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑛 + 1) · 1) / ((𝑛 + 1) · 𝑛)) = ((𝑛 + 1) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
19397, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
194193nnne0d 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
195112, 98, 131, 142, 194divcan5d 11153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑛 + 1) · 1) / ((𝑛 + 1) · 𝑛)) = (1 / 𝑛))
196192, 195eqtr3d 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (1 / 𝑛))
197112, 131, 98, 194, 142divcan5d 11153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 · 1) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (1 / (𝑛 + 1)))
198196, 197oveq12d 6923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑛 + 1) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − ((𝑛 · 1) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = ((1 / 𝑛) − (1 / (𝑛 + 1))))
199185, 189, 1983eqtr3d 2869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = ((1 / 𝑛) − (1 / (𝑛 + 1))))
200199negeqd 10595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → -(1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = -((1 / 𝑛) − (1 / (𝑛 + 1))))
20197nnrecred 11402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
202201recnd 10385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
203193nnrecred 11402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
204203recnd 10385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
205202, 204negsubdi2d 10729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → -((1 / 𝑛) − (1 / (𝑛 + 1))) = ((1 / (𝑛 + 1)) − (1 / 𝑛)))
206200, 205eqtr2d 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 / (𝑛 + 1)) − (1 / 𝑛)) = -(1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
20797nnrpd 12154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
208100, 207eqeltrd 2906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) − 1) ∈ ℝ+)
20935pntrval 25664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 + 1) − 1) ∈ ℝ+ → (𝑅‘((𝑛 + 1) − 1)) = ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)))
210208, 209syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘((𝑛 + 1) − 1)) = ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)))
211100fveq2d 6437 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘((𝑛 + 1) − 1)) = (𝑅𝑛))
212210, 211eqtr3d 2863 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)) = (𝑅𝑛))
213206, 212oveq12d 6923 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((1 / (𝑛 + 1)) − (1 / 𝑛)) · ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1))) = (-(1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) · (𝑅𝑛)))
214180, 183, 184divrec2d 11131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = ((1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) · (𝑅𝑛)))
215214negeqd 10595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → -((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = -((1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) · (𝑅𝑛)))
216181, 213, 2153eqtr4d 2871 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((1 / (𝑛 + 1)) − (1 / 𝑛)) · ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1))) = -((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
21796, 216sumeq12rdv 14815 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))(((1 / (𝑛 + 1)) − (1 / 𝑛)) · ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))-((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
218 fzfid 13067 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
21997, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
220219recnd 10385 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
221218, 220fsumneg 14893 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))-((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = -Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
222217, 221eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))(((1 / (𝑛 + 1)) − (1 / 𝑛)) · ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1))) = -Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
223175, 222oveq12d 6923 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))) − (1 · 0)) − Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))(((1 / (𝑛 + 1)) − (1 / 𝑛)) · ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)))) = (((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) − -Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
22492, 145, 2233eqtr3d 2869 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) = (((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) − -Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
22530, 46subnegd 10720 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) − -Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
226224, 225eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) = (((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
22730, 46, 226mvrladdd 10767 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) − ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
228227mpteq2ia 4963 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) − ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1))) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
229 fzfid 13067 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
23032adantl 475 . . . . . . . . . . 11 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
231230, 115syl 17 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
232231, 139syl 17 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) − 1) ∈ ℝ)
233232, 230nndivred 11405 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) ∈ ℝ)
234229, 233fsumrecl 14842 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) ∈ ℝ)
235 rpre 12120 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
236235adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
237236, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
238237, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
239 rprege0 12129 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
240239, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
241240adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
242241, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
243238, 242nndivred 11405 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℝ)
244 peano2rem 10669 . . . . . . . 8 ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℝ → ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) ∈ ℝ)
245243, 244syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) ∈ ℝ)
246 reex 10343 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
247246, 14ssexi 5028 . . . . . . . . . . 11 + ∈ V
248247a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ℝ+ ∈ V)
249231, 230nndivred 11405 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
250249recnd 10385 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
251229, 250fsumcl 14841 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
252 relogcl 24721 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
253252adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
254253recnd 10385 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
255251, 254subcld 10713 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
256230nnrecred 11402 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
257229, 256fsumrecl 14842 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) ∈ ℝ)
258257, 253resubcld 10782 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
259 eqidd 2826 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))))
260 eqidd 2826 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))))
261248, 255, 258, 259, 260offval2 7174 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)))))
262256recnd 10385 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
263229, 250, 262fsumsub 14894 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (1 / 𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛)))
264231recnd 10385 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
265 1cnd 10351 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℂ)
266230nncnd 11368 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℂ)
267230nnne0d 11401 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ≠ 0)
268264, 265, 266, 267divsubdird 11166 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) = (((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (1 / 𝑛)))
269268sumeq2dv 14810 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (1 / 𝑛)))
270257recnd 10385 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) ∈ ℂ)
271251, 270, 254nnncan2d 10748 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛)))
272263, 269, 2713eqtr4rd 2872 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛))
273272mpteq2dva 4967 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛)))
274261, 273eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛)))
275 vmadivsum 25584 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
27614a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
277258recnd 10385 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
278 1red 10357 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
279 harmoniclbnd 25148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛))
280279adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛))
281253, 257, 280abssubge0d 14547 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)))
282281adantrr 710 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)))
283235ad2antrl 721 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
284 simprr 791 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
285 harmonicubnd 25149 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) ≤ ((log‘𝑥) + 1))
286283, 284, 285syl2anc 581 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) ≤ ((log‘𝑥) + 1))
287 1red 10357 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
288257, 253, 287lesubadd2d 10951 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)) ≤ 1 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) ≤ ((log‘𝑥) + 1)))
289288adantrr 710 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)) ≤ 1 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) ≤ ((log‘𝑥) + 1)))
290286, 289mpbird 249 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)) ≤ 1)
291282, 290eqbrtrd 4895 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ 1)
292276, 277, 278, 278, 291elo1d 14644 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
293 o1sub 14723 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
294275, 292, 293sylancr 583 . . . . . . . 8 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
295274, 294eqeltrrd 2907 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
296243recnd 10385 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
297 1cnd 10351 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
298237recnd 10385 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
299 rpcnne0 12132 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
300299adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
301 divdir 11035 . . . . . . . . . . . 12 (((ψ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥)))
302298, 297, 300, 301syl3anc 1496 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥)))
303302mpteq2dva 4967 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥))))
304 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
305237, 304rerpdivcld 12187 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
306 rpreccl 12140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
307306adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
308 eqidd 2826 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)))
309 eqidd 2826 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
310248, 305, 307, 308, 309offval2 7174 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥))))
311 chpo1ub 25582 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
312 divrcnv 14958 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
31328, 312ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ⇝𝑟 0
314 rlimo1 14724 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ⇝𝑟 0 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
315313, 314mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
316 o1add 14721 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))) ∈ 𝑂(1))
317311, 315, 316sylancr 583 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))) ∈ 𝑂(1))
318310, 317eqeltrrd 2907 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥))) ∈ 𝑂(1))
319303, 318eqeltrd 2906 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
320238, 304rerpdivcld 12187 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ)
321 chpge0 25265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
322236, 321syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
323237, 322ge0p1rpd 12186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℝ+)
324323rprege0d 12163 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((ψ‘𝑥) + 1)))
325242nnrpd 12154 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ+)
326325rpregt0d 12162 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘𝑥) + 1)))
327 divge0 11222 . . . . . . . . . . . . 13 (((((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((ψ‘𝑥) + 1)) ∧ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘𝑥) + 1))) → 0 ≤ (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)))
328324, 326, 327syl2anc 581 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)))
329243, 328absidd 14538 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1))) = (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)))
330320recnd 10385 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℂ)
331330abscld 14552 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)) ∈ ℝ)
332 fllep1 12897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
333236, 332syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
334 rpregt0 12128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
335334adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
336323rpregt0d 12162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((ψ‘𝑥) + 1)))
337 lediv2 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘𝑥) + 1)) ∧ (((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((ψ‘𝑥) + 1))) → (𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1) ↔ (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ≤ (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
338335, 326, 336, 337syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1) ↔ (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ≤ (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
339333, 338mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ≤ (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥))
340320leabsd 14530 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥) ≤ (abs‘(((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
341243, 320, 331, 339, 340letrd 10513 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ≤ (abs‘(((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
342329, 341eqbrtrd 4895 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1))) ≤ (abs‘(((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
343342adantrr 710 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1))) ≤ (abs‘(((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
344278, 319, 320, 296, 343o1le 14760 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1))) ∈ 𝑂(1))
345 o1const 14727 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
34614, 28, 345mp2an 685 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1)
347346a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
348296, 297, 344, 347o1sub2 14733 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1)) ∈ 𝑂(1))
349234, 245, 295, 348o1sub2 14733 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) − ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1))) ∈ 𝑂(1))
35013, 349o1res2 14671 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) − ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1))) ∈ 𝑂(1))
351228, 350syl5eqelr 2911 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1))
35216, 351eqeltrd 2906 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ↾ (1[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
353 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
354353, 45fmpti 6631 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))):ℝ⟶ℂ
355354a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))):ℝ⟶ℂ)
356 ssidd 3849 . . . 4 (⊤ → ℝ ⊆ ℝ)
357355, 356, 278o1resb 14674 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ↾ (1[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))
358352, 357mpbird 249 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1))
359358mptru 1666 1 (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wtru 1659  wcel 2166  wne 2999  Vcvv 3414  wss 3798   class class class wbr 4873  cmpt 4952  cres 5344  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  𝑓 cof 7155  cc 10250  cr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257  +∞cpnf 10388   < clt 10391  cle 10392  cmin 10585  -cneg 10586   / cdiv 11009  cn 11350  2c2 11406  0cn0 11618  cz 11704  cuz 11968  +crp 12112  [,)cico 12465  ...cfz 12619  ..^cfzo 12760  cfl 12886  abscabs 14351  𝑟 crli 14593  𝑂(1)co1 14594  Σcsu 14793  logclog 24700  Λcvma 25231  ψcchp 25232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-bc 13383  df-hash 13411  df-shft 14184  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-o1 14598  df-lo1 14599  df-sum 14794  df-ef 15170  df-e 15171  df-sin 15172  df-cos 15173  df-pi 15175  df-dvds 15358  df-gcd 15590  df-prm 15758  df-pc 15913  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-perf 21312  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-haus 21490  df-cmp 21561  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cncf 23051  df-limc 24029  df-dv 24030  df-log 24702  df-cxp 24703  df-em 25132  df-cht 25236  df-vma 25237  df-chp 25238  df-ppi 25239
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