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Theorem pntrsumo1 26709
Description: A bound on a sum over 𝑅. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntrsumo1 (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑎,𝑥   𝑅,𝑛,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrsumo1
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 10974 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
2 elicopnf 13174 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
43simplbi 498 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
5 0red 10977 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
6 1red 10975 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
7 0lt1 11495 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 0 < 1)
93simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
105, 6, 4, 8, 9ltletrd 11133 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 0 < 𝑥)
114, 10elrpd 12766 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1211ssriv 3930 . . . . . . 7 (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
1312a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (1[,)+∞) ⊆ ℝ+)
14 rpssre 12734 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
1513, 14sstrdi 3938 . . . . 5 (⊤ → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
1615resmptd 5946 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
17 chpcl 26269 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
184, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
19 peano2re 11146 . . . . . . . . . . 11 ((ψ‘𝑥) ∈ ℝ → ((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
2111rprege0d 12776 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
22 flge0nn0 13536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
24 nn0p1nn 12270 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
2620, 25nndivred 12025 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℝ)
2726recnd 11002 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
28 ax-1cn 10928 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
29 subcl 11218 . . . . . . . 8 (((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) ∈ ℂ)
3027, 28, 29sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) ∈ ℂ)
31 fzfid 13689 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
32 elfznn 13282 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3332adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
34 nnrp 12738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
35 pntrval.r . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
3635pntrf 26707 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅:ℝ+⟶ℝ
3736ffvelrni 6955 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
3834, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
39 peano2nn 11983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
40 nnmulcl 11995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
4139, 40mpdan 684 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
4238, 41nndivred 12025 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4333, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4431, 43fsumrecl 15442 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4544recnd 11002 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
464, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
47 oveq2 7277 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑛))
48 fvoveq1 7292 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (ψ‘(𝑚 − 1)) = (ψ‘(𝑛 − 1)))
49 oveq1 7276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 − 1) = (𝑛 − 1))
5048, 49oveq12d 7287 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = ((ψ‘(𝑛 − 1)) − (𝑛 − 1)))
5147, 50jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((1 / 𝑚) = (1 / 𝑛) ∧ ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = ((ψ‘(𝑛 − 1)) − (𝑛 − 1))))
52 oveq2 7277 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (1 / 𝑚) = (1 / (𝑛 + 1)))
53 fvoveq1 7292 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (ψ‘(𝑚 − 1)) = (ψ‘((𝑛 + 1) − 1)))
54 oveq1 7276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
5553, 54oveq12d 7287 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)))
5652, 55jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((1 / 𝑚) = (1 / (𝑛 + 1)) ∧ ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1))))
57 oveq2 7277 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 1 → (1 / 𝑚) = (1 / 1))
58 1div1e1 11663 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 1) = 1
5957, 58eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 1 → (1 / 𝑚) = 1)
60 oveq1 7276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = (1 − 1))
61 1m1e0 12043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 − 1) = 0
6260, 61eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = 0)
6362fveq2d 6773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 1 → (ψ‘(𝑚 − 1)) = (ψ‘0))
64 2pos 12074 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
65 0re 10976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
66 chpeq0 26352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ ℝ → ((ψ‘0) = 0 ↔ 0 < 2))
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ψ‘0) = 0 ↔ 0 < 2)
6864, 67mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . 14 (ψ‘0) = 0
6963, 68eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 1 → (ψ‘(𝑚 − 1)) = 0)
7069, 62oveq12d 7287 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 1 → ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = (0 − 0))
71 0m0e0 12091 . . . . . . . . . . . 12 (0 − 0) = 0
7270, 71eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 1 → ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = 0)
7359, 72jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 1 → ((1 / 𝑚) = 1 ∧ ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = 0))
74 oveq2 7277 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (1 / 𝑚) = (1 / ((⌊‘𝑥) + 1)))
75 fvoveq1 7292 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (ψ‘(𝑚 − 1)) = (ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))
76 oveq1 7276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (𝑚 − 1) = (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))
7775, 76oveq12d 7287 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))
7874, 77jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → ((1 / 𝑚) = (1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∧ ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) = ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))))
79 nnuz 12618 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
8025, 79eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1))
81 elfznn 13282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
8382nnrecred 12022 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
8483recnd 11002 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
8582nnred 11986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → 𝑚 ∈ ℝ)
86 peano2rem 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
88 chpcl 26269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 − 1) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑚 − 1)) ∈ ℝ)
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (ψ‘(𝑚 − 1)) ∈ ℝ)
9089, 87resubcld 11401 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) ∈ ℝ)
9190recnd 11002 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → ((ψ‘(𝑚 − 1)) − (𝑚 − 1)) ∈ ℂ)
9251, 56, 73, 78, 80, 84, 91fsumparts 15514 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))((1 / 𝑛) · (((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)) − ((ψ‘(𝑛 − 1)) − (𝑛 − 1)))) = ((((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))) − (1 · 0)) − Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))(((1 / (𝑛 + 1)) − (1 / 𝑛)) · ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)))))
934flcld 13514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
94 fzval3 13452 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑥) ∈ ℤ → (1...(⌊‘𝑥)) = (1..^((⌊‘𝑥) + 1)))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (1...(⌊‘𝑥)) = (1..^((⌊‘𝑥) + 1)))
9695eqcomd 2746 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (1..^((⌊‘𝑥) + 1)) = (1...(⌊‘𝑥)))
9732adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
9897nncnd 11987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℂ)
99 pncan 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
10098, 28, 99sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
10197nnred 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ)
102100, 101eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) − 1) ∈ ℝ)
103 chpcl 26269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 + 1) − 1) ∈ ℝ → (ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
105104recnd 11002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) ∈ ℂ)
106102recnd 11002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) − 1) ∈ ℂ)
107 peano2rem 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
108101, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
109 chpcl 26269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 − 1) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ψ‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
111110recnd 11002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ψ‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
112 1cnd 10969 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℂ)
11398, 112subcld 11330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
114105, 106, 111, 113sub4d 11379 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)) − ((ψ‘(𝑛 − 1)) − (𝑛 − 1))) = (((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − (ψ‘(𝑛 − 1))) − (((𝑛 + 1) − 1) − (𝑛 − 1))))
115 vmacl 26263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
11697, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
117116recnd 11002 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
118 nnm1nn0 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
11997, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
120 chpp1 26300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → (ψ‘((𝑛 − 1) + 1)) = ((ψ‘(𝑛 − 1)) + (Λ‘((𝑛 − 1) + 1))))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ψ‘((𝑛 − 1) + 1)) = ((ψ‘(𝑛 − 1)) + (Λ‘((𝑛 − 1) + 1))))
122 npcan 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
12398, 28, 122sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
124123, 100eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 − 1) + 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
125124fveq2d 6773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ψ‘((𝑛 − 1) + 1)) = (ψ‘((𝑛 + 1) − 1)))
126123fveq2d 6773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘((𝑛 − 1) + 1)) = (Λ‘𝑛))
127126oveq2d 7285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((ψ‘(𝑛 − 1)) + (Λ‘((𝑛 − 1) + 1))) = ((ψ‘(𝑛 − 1)) + (Λ‘𝑛)))
128121, 125, 1273eqtr3d 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) = ((ψ‘(𝑛 − 1)) + (Λ‘𝑛)))
129111, 117, 128mvrladdd 11386 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − (ψ‘(𝑛 − 1))) = (Λ‘𝑛))
130 peano2cn 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
13198, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
132131, 98, 112nnncan2d 11365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑛 + 1) − 1) − (𝑛 − 1)) = ((𝑛 + 1) − 𝑛))
133 pncan2 11226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 𝑛) = 1)
13498, 28, 133sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) − 𝑛) = 1)
135132, 134eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑛 + 1) − 1) − (𝑛 − 1)) = 1)
136129, 135oveq12d 7287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − (ψ‘(𝑛 − 1))) − (((𝑛 + 1) − 1) − (𝑛 − 1))) = ((Λ‘𝑛) − 1))
137114, 136eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)) − ((ψ‘(𝑛 − 1)) − (𝑛 − 1))) = ((Λ‘𝑛) − 1))
138137oveq2d 7285 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 / 𝑛) · (((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)) − ((ψ‘(𝑛 − 1)) − (𝑛 − 1)))) = ((1 / 𝑛) · ((Λ‘𝑛) − 1)))
139 peano2rem 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Λ‘𝑛) ∈ ℝ → ((Λ‘𝑛) − 1) ∈ ℝ)
140116, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) − 1) ∈ ℝ)
141140recnd 11002 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) − 1) ∈ ℂ)
14297nnne0d 12021 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ≠ 0)
143141, 98, 142divrec2d 11753 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) = ((1 / 𝑛) · ((Λ‘𝑛) − 1)))
144138, 143eqtr4d 2783 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 / 𝑛) · (((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)) − ((ψ‘(𝑛 − 1)) − (𝑛 − 1)))) = (((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛))
14596, 144sumeq12rdv 15415 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))((1 / 𝑛) · (((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)) − ((ψ‘(𝑛 − 1)) − (𝑛 − 1)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛))
14623nn0cnd 12293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (⌊‘𝑥) ∈ ℂ)
147 pncan 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⌊‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑥) + 1) − 1) = (⌊‘𝑥))
148146, 28, 147sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((⌊‘𝑥) + 1) − 1) = (⌊‘𝑥))
149148fveq2d 6773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) = (ψ‘(⌊‘𝑥)))
150 chpfl 26295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘(⌊‘𝑥)) = (ψ‘𝑥))
1514, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (ψ‘(⌊‘𝑥)) = (ψ‘𝑥))
152149, 151eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) = (ψ‘𝑥))
153152oveq1d 7284 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) = ((ψ‘𝑥) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))
15418recnd 11002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
15525nncnd 11987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℂ)
156 1cnd 10969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ∈ ℂ)
157154, 155, 156subsub3d 11360 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((ψ‘𝑥) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) = (((ψ‘𝑥) + 1) − ((⌊‘𝑥) + 1)))
158153, 157eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) = (((ψ‘𝑥) + 1) − ((⌊‘𝑥) + 1)))
159158oveq2d 7285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))) = ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · (((ψ‘𝑥) + 1) − ((⌊‘𝑥) + 1))))
16025nnrecred 12022 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℝ)
161160recnd 11002 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
162 peano2cn 11145 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ψ‘𝑥) ∈ ℂ → ((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℂ)
163154, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℂ)
164161, 163, 155subdid 11429 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · (((ψ‘𝑥) + 1) − ((⌊‘𝑥) + 1))) = (((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘𝑥) + 1)) − ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((⌊‘𝑥) + 1))))
16525nnne0d 12021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≠ 0)
166163, 155, 165divrec2d 11753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) = ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘𝑥) + 1)))
167166eqcomd 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘𝑥) + 1)) = (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)))
168155, 165recid2d 11745 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((⌊‘𝑥) + 1)) = 1)
169167, 168oveq12d 7287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘𝑥) + 1)) − ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((⌊‘𝑥) + 1))) = ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1))
170159, 164, 1693eqtrd 2784 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))) = ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1))
17128mul01i 11163 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 0) = 0
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (1 · 0) = 0)
173170, 172oveq12d 7287 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))) − (1 · 0)) = (((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) − 0))
17430subid1d 11319 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) − 0) = ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1))
175173, 174eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))) − (1 · 0)) = ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1))
17697, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
177176nnrecred 12022 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
178177recnd 11002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
17997, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
180179recnd 11002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅𝑛) ∈ ℂ)
181178, 180mulneg1d 11426 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (-(1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) · (𝑅𝑛)) = -((1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) · (𝑅𝑛)))
18298, 112mulcld 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 · 1) ∈ ℂ)
18398, 131mulcld 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
184176nnne0d 12021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ≠ 0)
185131, 182, 183, 184divsubdird 11788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑛 + 1) − (𝑛 · 1)) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (((𝑛 + 1) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − ((𝑛 · 1) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
18698mulid1d 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 · 1) = 𝑛)
187186oveq2d 7285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) − (𝑛 · 1)) = ((𝑛 + 1) − 𝑛))
188187, 134eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) − (𝑛 · 1)) = 1)
189188oveq1d 7284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑛 + 1) − (𝑛 · 1)) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
190131mulid1d 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) · 1) = (𝑛 + 1))
191131, 98mulcomd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) · 𝑛) = (𝑛 · (𝑛 + 1)))
192190, 191oveq12d 7287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑛 + 1) · 1) / ((𝑛 + 1) · 𝑛)) = ((𝑛 + 1) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
19397, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
194193nnne0d 12021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
195112, 98, 131, 142, 194divcan5d 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑛 + 1) · 1) / ((𝑛 + 1) · 𝑛)) = (1 / 𝑛))
196192, 195eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (1 / 𝑛))
197112, 131, 98, 194, 142divcan5d 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 · 1) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (1 / (𝑛 + 1)))
198196, 197oveq12d 7287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑛 + 1) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) − ((𝑛 · 1) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = ((1 / 𝑛) − (1 / (𝑛 + 1))))
199185, 189, 1983eqtr3d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = ((1 / 𝑛) − (1 / (𝑛 + 1))))
200199negeqd 11213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → -(1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = -((1 / 𝑛) − (1 / (𝑛 + 1))))
20197nnrecred 12022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
202201recnd 11002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
203193nnrecred 12022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
204203recnd 11002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
205202, 204negsubdi2d 11346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → -((1 / 𝑛) − (1 / (𝑛 + 1))) = ((1 / (𝑛 + 1)) − (1 / 𝑛)))
206200, 205eqtr2d 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 / (𝑛 + 1)) − (1 / 𝑛)) = -(1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
20797nnrpd 12767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
208100, 207eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) − 1) ∈ ℝ+)
20935pntrval 26706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 + 1) − 1) ∈ ℝ+ → (𝑅‘((𝑛 + 1) − 1)) = ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)))
210208, 209syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘((𝑛 + 1) − 1)) = ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)))
211100fveq2d 6773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘((𝑛 + 1) − 1)) = (𝑅𝑛))
212210, 211eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)) = (𝑅𝑛))
213206, 212oveq12d 7287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((1 / (𝑛 + 1)) − (1 / 𝑛)) · ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1))) = (-(1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) · (𝑅𝑛)))
214180, 183, 184divrec2d 11753 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = ((1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) · (𝑅𝑛)))
215214negeqd 11213 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → -((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = -((1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))) · (𝑅𝑛)))
216181, 213, 2153eqtr4d 2790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((1 / (𝑛 + 1)) − (1 / 𝑛)) · ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1))) = -((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
21796, 216sumeq12rdv 15415 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))(((1 / (𝑛 + 1)) − (1 / 𝑛)) · ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))-((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
218 fzfid 13689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
21997, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
220219recnd 11002 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
221218, 220fsumneg 15495 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))-((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = -Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
222217, 221eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))(((1 / (𝑛 + 1)) − (1 / 𝑛)) · ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1))) = -Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
223175, 222oveq12d 7287 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((((1 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((ψ‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))) − (1 · 0)) − Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))(((1 / (𝑛 + 1)) − (1 / 𝑛)) · ((ψ‘((𝑛 + 1) − 1)) − ((𝑛 + 1) − 1)))) = (((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) − -Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
22492, 145, 2233eqtr3d 2788 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) = (((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) − -Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
22530, 46subnegd 11337 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) − -Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
226224, 225eqtrd 2780 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) = (((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
22730, 46, 226mvrladdd 11386 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) − ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
228227mpteq2ia 5182 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) − ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1))) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
229 fzfid 13689 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
23032adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
231230, 115syl 17 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
232231, 139syl 17 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) − 1) ∈ ℝ)
233232, 230nndivred 12025 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) ∈ ℝ)
234229, 233fsumrecl 15442 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) ∈ ℝ)
235 rpre 12735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
236235adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
237236, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
238237, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
239 rprege0 12742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
240239, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
241240adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
242241, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
243238, 242nndivred 12025 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℝ)
244 peano2rem 11286 . . . . . . . 8 ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℝ → ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) ∈ ℝ)
245243, 244syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1) ∈ ℝ)
246 reex 10961 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
247246, 14ssexi 5250 . . . . . . . . . . 11 + ∈ V
248247a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ℝ+ ∈ V)
249231, 230nndivred 12025 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
250249recnd 11002 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
251229, 250fsumcl 15441 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
252 relogcl 25727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
253252adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
254253recnd 11002 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
255251, 254subcld 11330 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
256230nnrecred 12022 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
257229, 256fsumrecl 15442 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) ∈ ℝ)
258257, 253resubcld 11401 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
259 eqidd 2741 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))))
260 eqidd 2741 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))))
261248, 255, 258, 259, 260offval2 7545 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∘f − (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)))))
262256recnd 11002 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
263229, 250, 262fsumsub 15496 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (1 / 𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛)))
264231recnd 11002 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
265 1cnd 10969 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℂ)
266230nncnd 11987 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℂ)
267230nnne0d 12021 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ≠ 0)
268264, 265, 266, 267divsubdird 11788 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) = (((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (1 / 𝑛)))
269268sumeq2dv 15411 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (1 / 𝑛)))
270257recnd 11002 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) ∈ ℂ)
271251, 270, 254nnncan2d 11365 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛)))
272263, 269, 2713eqtr4rd 2791 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛))
273272mpteq2dva 5179 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛)))
274261, 273eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∘f − (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛)))
275 vmadivsum 26626 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
27614a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
277258recnd 11002 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
278 1red 10975 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
279 harmoniclbnd 26154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛))
280279adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛))
281253, 257, 280abssubge0d 15139 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)))
282281adantrr 714 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)))
283235ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
284 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
285 harmonicubnd 26155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) ≤ ((log‘𝑥) + 1))
286283, 284, 285syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) ≤ ((log‘𝑥) + 1))
287 1red 10975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
288257, 253, 287lesubadd2d 11572 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)) ≤ 1 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) ≤ ((log‘𝑥) + 1)))
289288adantrr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)) ≤ 1 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) ≤ ((log‘𝑥) + 1)))
290286, 289mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)) ≤ 1)
291282, 290eqbrtrd 5101 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ 1)
292276, 277, 278, 278, 291elo1d 15241 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
293 o1sub 15321 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∘f − (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
294275, 292, 293sylancr 587 . . . . . . . 8 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∘f − (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑛) − (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
295274, 294eqeltrrd 2842 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
296243recnd 11002 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
297 1cnd 10969 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
298237recnd 11002 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
299 rpcnne0 12745 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
300299adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
301 divdir 11656 . . . . . . . . . . . 12 (((ψ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥)))
302298, 297, 300, 301syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥)))
303302mpteq2dva 5179 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥))))
304 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
305237, 304rerpdivcld 12800 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
306 rpreccl 12753 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
307306adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
308 eqidd 2741 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)))
309 eqidd 2741 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
310248, 305, 307, 308, 309offval2 7545 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥))))
311 chpo1ub 26624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
312 divrcnv 15560 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
31328, 312ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ⇝𝑟 0
314 rlimo1 15322 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ⇝𝑟 0 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
315313, 314mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
316 o1add 15319 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))) ∈ 𝑂(1))
317311, 315, 316sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))) ∈ 𝑂(1))
318310, 317eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥))) ∈ 𝑂(1))
319303, 318eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
320238, 304rerpdivcld 12800 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ)
321 chpge0 26271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
322236, 321syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
323237, 322ge0p1rpd 12799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℝ+)
324323rprege0d 12776 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((ψ‘𝑥) + 1)))
325242nnrpd 12767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ+)
326325rpregt0d 12775 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘𝑥) + 1)))
327 divge0 11842 . . . . . . . . . . . . 13 (((((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((ψ‘𝑥) + 1)) ∧ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘𝑥) + 1))) → 0 ≤ (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)))
328324, 326, 327syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)))
329243, 328absidd 15130 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1))) = (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)))
330320recnd 11002 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℂ)
331330abscld 15144 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)) ∈ ℝ)
332 fllep1 13517 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
333236, 332syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
334 rpregt0 12741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
335334adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
336323rpregt0d 12775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((ψ‘𝑥) + 1)))
337 lediv2 11863 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘𝑥) + 1)) ∧ (((ψ‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((ψ‘𝑥) + 1))) → (𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1) ↔ (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ≤ (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
338335, 326, 336, 337syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1) ↔ (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ≤ (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
339333, 338mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ≤ (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥))
340320leabsd 15122 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥) ≤ (abs‘(((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
341243, 320, 331, 339, 340letrd 11130 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) ≤ (abs‘(((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
342329, 341eqbrtrd 5101 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1))) ≤ (abs‘(((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
343342adantrr 714 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1))) ≤ (abs‘(((ψ‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
344278, 319, 320, 296, 343o1le 15360 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1))) ∈ 𝑂(1))
345 o1const 15325 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
34614, 28, 345mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1)
347346a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
348296, 297, 344, 347o1sub2 15331 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1)) ∈ 𝑂(1))
349234, 245, 295, 348o1sub2 15331 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) − ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1))) ∈ 𝑂(1))
35013, 349o1res2 15268 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) − 1) / 𝑛) − ((((ψ‘𝑥) + 1) / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 1))) ∈ 𝑂(1))
351228, 350eqeltrrid 2846 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1))
35216, 351eqeltrd 2841 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ↾ (1[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
353 eqid 2740 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
354353, 45fmpti 6981 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))):ℝ⟶ℂ
355354a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))):ℝ⟶ℂ)
356 ssidd 3949 . . . 4 (⊤ → ℝ ⊆ ℝ)
357355, 356, 278o1resb 15271 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ↾ (1[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))
358352, 357mpbird 256 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1))
359358mptru 1549 1 (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2110  wne 2945  Vcvv 3431  wss 3892   class class class wbr 5079  cmpt 5162  cres 5591  wf 6427  cfv 6431  (class class class)co 7269  f cof 7523  cc 10868  cr 10869  0cc0 10870  1c1 10871   + caddc 10873   · cmul 10875  +∞cpnf 11005   < clt 11008  cle 11009  cmin 11203  -cneg 11204   / cdiv 11630  cn 11971  2c2 12026  0cn0 12231  cz 12317  cuz 12579  +crp 12727  [,)cico 13078  ...cfz 13236  ..^cfzo 13379  cfl 13506  abscabs 14941  𝑟 crli 15190  𝑂(1)co1 15191  Σcsu 15393  logclog 25706  Λcvma 26237  ψcchp 26238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948  ax-addf 10949  ax-mulf 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-2o 8287  df-oadd 8290  df-er 8479  df-map 8598  df-pm 8599  df-ixp 8667  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-fsupp 9105  df-fi 9146  df-sup 9177  df-inf 9178  df-oi 9245  df-dju 9658  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-dec 12435  df-uz 12580  df-q 12686  df-rp 12728  df-xneg 12845  df-xadd 12846  df-xmul 12847  df-ioo 13080  df-ioc 13081  df-ico 13082  df-icc 13083  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-fl 13508  df-mod 13586  df-seq 13718  df-exp 13779  df-fac 13984  df-bc 14013  df-hash 14041  df-shft 14774  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808  df-sqrt 14942  df-abs 14943  df-limsup 15176  df-clim 15193  df-rlim 15194  df-o1 15195  df-lo1 15196  df-sum 15394  df-ef 15773  df-e 15774  df-sin 15775  df-cos 15776  df-tan 15777  df-pi 15778  df-dvds 15960  df-gcd 16198  df-prm 16373  df-pc 16534  df-struct 16844  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-ress 16938  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-starv 16973  df-sca 16974  df-vsca 16975  df-ip 16976  df-tset 16977  df-ple 16978  df-ds 16980  df-unif 16981  df-hom 16982  df-cco 16983  df-rest 17129  df-topn 17130  df-0g 17148  df-gsum 17149  df-topgen 17150  df-pt 17151  df-prds 17154  df-xrs 17209  df-qtop 17214  df-imas 17215  df-xps 17217  df-mre 17291  df-mrc 17292  df-acs 17294  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-submnd 18427  df-mulg 18697  df-cntz 18919  df-cmn 19384  df-psmet 20585  df-xmet 20586  df-met 20587  df-bl 20588  df-mopn 20589  df-fbas 20590  df-fg 20591  df-cnfld 20594  df-top 22039  df-topon 22056  df-topsp 22078  df-bases 22092  df-cld 22166  df-ntr 22167  df-cls 22168  df-nei 22245  df-lp 22283  df-perf 22284  df-cn 22374  df-cnp 22375  df-haus 22462  df-cmp 22534  df-tx 22709  df-hmeo 22902  df-fil 22993  df-fm 23085  df-flim 23086  df-flf 23087  df-xms 23469  df-ms 23470  df-tms 23471  df-cncf 24037  df-limc 25026  df-dv 25027  df-ulm 25532  df-log 25708  df-cxp 25709  df-atan 26013  df-em 26138  df-cht 26242  df-vma 26243  df-chp 26244  df-ppi 26245
This theorem is referenced by:  pntrsumbnd  26710
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