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Theorem pntrlog2bndlem4 27625
Description: Lemma for pntrlog2bnd 27629. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
pntrlog2bnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntrlog2bnd.t 𝑇 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0))
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem4 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥   𝑅,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑎)   𝑆(𝑖,𝑎)   𝑇(𝑥,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem4
Dummy variables 𝑐 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioore 13418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
21adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3 1rp 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
5 1red 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
6 eliooord 13447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
76adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
87simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
95, 2, 8ltled 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
102, 4, 9rpgecld 13117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1110rprege0d 13085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
12 flge0nn0 13861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
14 nn0p1nn 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
1615nnrpd 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ+)
1710, 16rpdivcld 13095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℝ+)
18 pntrlog2bnd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
1918pntrval 27607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1))) = ((ψ‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1))) − (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1))))
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1))) = ((ψ‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1))) − (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1))))
212, 15nndivred 12321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℝ)
22 2re 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
24 flltp1 13841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < ((⌊‘𝑥) + 1))
252, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 < ((⌊‘𝑥) + 1))
2615nncnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℂ)
2726mulridd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((⌊‘𝑥) + 1) · 1) = ((⌊‘𝑥) + 1))
2825, 27breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 < (((⌊‘𝑥) + 1) · 1))
292, 5, 16ltdivmuld 13129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) < 1 ↔ 𝑥 < (((⌊‘𝑥) + 1) · 1)))
3028, 29mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) < 1)
31 1lt2 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 2
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 2)
3321, 5, 23, 30, 32lttrd 11423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) < 2)
34 chpeq0 27253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℝ → ((ψ‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1))) = 0 ↔ (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) < 2))
3521, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((ψ‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1))) = 0 ↔ (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) < 2))
3633, 35mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (ψ‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1))) = 0)
3736oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((ψ‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1))) − (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1))) = (0 − (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1))))
3820, 37eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1))) = (0 − (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1))))
3938fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)))) = (abs‘(0 − (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)))))
40 0red 11265 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
4117rpge0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)))
4240, 21, 41abssuble0d 15472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(0 − (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)))) = ((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 0))
4321recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
4443subid1d 11610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) − 0) = (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)))
4539, 42, 443eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)))) = (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)))
4613nn0red 12590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
47 pntsval.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
4847pntsval2 27621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ → (𝑆‘(⌊‘𝑥)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(⌊‘𝑥)))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
4946, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑆‘(⌊‘𝑥)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(⌊‘𝑥)))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
5013nn0cnd 12591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℂ)
51 1cnd 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
5250, 51pncand 11622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((⌊‘𝑥) + 1) − 1) = (⌊‘𝑥))
5352fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑆‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) = (𝑆‘(⌊‘𝑥)))
5447pntsval2 27621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑆𝑥) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
552, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑆𝑥) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
56 flidm 13850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘(⌊‘𝑥)) = (⌊‘𝑥))
572, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘(⌊‘𝑥)) = (⌊‘𝑥))
5857oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘(⌊‘𝑥))) = (1...(⌊‘𝑥)))
5958sumeq1d 15737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(⌊‘𝑥)))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
6055, 59eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑆𝑥) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘(⌊‘𝑥)))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
6149, 53, 603eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑆‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) = (𝑆𝑥))
6252fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑇‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) = (𝑇‘(⌊‘𝑥)))
6362oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · (𝑇‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))) = (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))
6461, 63oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑆‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))) = ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥)))))
6545, 64oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)))) · ((𝑆‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))))) = ((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))))
662recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6766div1d 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 1) = 𝑥)
6867fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅‘(𝑥 / 1)) = (𝑅𝑥))
6918pntrf 27608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑅:ℝ+⟶ℝ
7069ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑥) ∈ ℝ)
7110, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅𝑥) ∈ ℝ)
7268, 71eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅‘(𝑥 / 1)) ∈ ℝ)
7372recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅‘(𝑥 / 1)) ∈ ℂ)
7473abscld 15476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 1))) ∈ ℝ)
7574recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 1))) ∈ ℂ)
7675mul01d 11461 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 1))) · 0) = 0)
7765, 76oveq12d 7450 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((abs‘(𝑅‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)))) · ((𝑆‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))))) − ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 1))) · 0)) = (((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) − 0))
7847pntsf 27618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑆:ℝ⟶ℝ
7978ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑆𝑥) ∈ ℝ)
802, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑆𝑥) ∈ ℝ)
81 pntrlog2bnd.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑇 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0))
82 relogcl 26618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℝ+ → (log‘𝑎) ∈ ℝ)
83 remulcl 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑎) ∈ ℝ) → (𝑎 · (log‘𝑎)) ∈ ℝ)
8482, 83sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑎 · (log‘𝑎)) ∈ ℝ)
85 0red 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑎 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
8684, 85ifclda 4560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ ℝ → if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0) ∈ ℝ)
8781, 86fmpti 7131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇:ℝ⟶ℝ
8887ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ → (𝑇‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℝ)
8946, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑇‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℝ)
9023, 89remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℝ)
9180, 90resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥)))) ∈ ℝ)
9221, 91remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) ∈ ℝ)
9392recnd 11290 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) ∈ ℂ)
9493subid1d 11610 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) − 0) = ((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))))
9577, 94eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((abs‘(𝑅‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)))) · ((𝑆‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))))) − ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 1))) · 0)) = ((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))))
962flcld 13839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
97 fzval3 13774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘𝑥) ∈ ℤ → (1...(⌊‘𝑥)) = (1..^((⌊‘𝑥) + 1)))
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = (1..^((⌊‘𝑥) + 1)))
9998eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1..^((⌊‘𝑥) + 1)) = (1...(⌊‘𝑥)))
10010adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
101 elfznn 13594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
102101adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
103102nnrpd 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
104100, 103rpdivcld 13095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
10569ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
107106recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
108107abscld 15476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
109108recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
1103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ+)
111103, 110rpaddcld 13093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
112100, 111rpdivcld 13095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
11369ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
115114recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
116115abscld 15476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
117116recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))) ∈ ℂ)
118109, 117negsubdi2d 11637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → -((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) = ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))))
119118eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))) = -((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))))
120102nncnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℂ)
121 1cnd 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℂ)
122120, 121pncand 11622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
123122fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) = (𝑆𝑛))
124122fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1)) = (𝑇𝑛))
125 rpre 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ)
126 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑛 → (𝑎 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+))
127 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑛𝑎 = 𝑛)
128 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑛 → (log‘𝑎) = (log‘𝑛))
129127, 128oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑛 → (𝑎 · (log‘𝑎)) = (𝑛 · (log‘𝑛)))
130126, 129ifbieq1d 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑛 → if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0) = if(𝑛 ∈ ℝ+, (𝑛 · (log‘𝑛)), 0))
131 ovex 7465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 · (log‘𝑛)) ∈ V
132 c0ex 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ V
133131, 132ifex 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if(𝑛 ∈ ℝ+, (𝑛 · (log‘𝑛)), 0) ∈ V
134130, 81, 133fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑇𝑛) = if(𝑛 ∈ ℝ+, (𝑛 · (log‘𝑛)), 0))
135125, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑇𝑛) = if(𝑛 ∈ ℝ+, (𝑛 · (log‘𝑛)), 0))
136 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℝ+ → if(𝑛 ∈ ℝ+, (𝑛 · (log‘𝑛)), 0) = (𝑛 · (log‘𝑛)))
137135, 136eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑇𝑛) = (𝑛 · (log‘𝑛)))
138103, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑇𝑛) = (𝑛 · (log‘𝑛)))
139124, 138eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1)) = (𝑛 · (log‘𝑛)))
140139oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1))) = (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))
141123, 140oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1)))) = ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))
142119, 141oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))) · ((𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1))))) = (-((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))))
143108, 116resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ)
144143recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) ∈ ℂ)
145102nnred 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ)
14678ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑆𝑛) ∈ ℝ)
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑆𝑛) ∈ ℝ)
14822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 2 ∈ ℝ)
149103relogcld 26666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
150145, 149remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
151148, 150remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
152147, 151resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
153152recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))) ∈ ℂ)
154144, 153mulneg1d 11717 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (-((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) = -(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))))
155142, 154eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))) · ((𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1))))) = -(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))))
15699, 155sumeq12rdv 15744 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))) · ((𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1))))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))-(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))))
157 fzfid 14015 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
158143, 152remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) ∈ ℝ)
159158recnd 11290 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) ∈ ℂ)
160157, 159fsumneg 15824 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))-(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) = -Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))))
161156, 160eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))) · ((𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1))))) = -Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))))
16295, 161oveq12d 7450 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((abs‘(𝑅‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)))) · ((𝑆‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))))) − ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 1))) · 0)) − Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))) · ((𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1)))))) = (((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) − -Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))))
163 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → (𝑥 / 𝑚) = (𝑥 / 𝑛))
164163fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → (𝑅‘(𝑥 / 𝑚)) = (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))
165164fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑚))) = (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))
166 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → (𝑆‘(𝑚 − 1)) = (𝑆‘(𝑛 − 1)))
167 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → (𝑇‘(𝑚 − 1)) = (𝑇‘(𝑛 − 1)))
168167oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1))) = (2 · (𝑇‘(𝑛 − 1))))
169166, 168oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑆‘(𝑚 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1)))) = ((𝑆‘(𝑛 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑛 − 1)))))
170165, 169jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑚))) = (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∧ ((𝑆‘(𝑚 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1)))) = ((𝑆‘(𝑛 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑛 − 1))))))
171 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑥 / 𝑚) = (𝑥 / (𝑛 + 1)))
172171fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑚)) = (𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))
173172fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑚))) = (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))))
174 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑆‘(𝑚 − 1)) = (𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)))
175 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑇‘(𝑚 − 1)) = (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1)))
176175oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1))) = (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1))))
177174, 176oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑆‘(𝑚 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1)))) = ((𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1)))))
178173, 177jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑚))) = (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))) ∧ ((𝑆‘(𝑚 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1)))) = ((𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1))))))
179 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 1 → (𝑥 / 𝑚) = (𝑥 / 1))
180179fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 1 → (𝑅‘(𝑥 / 𝑚)) = (𝑅‘(𝑥 / 1)))
181180fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 1 → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑚))) = (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 1))))
182 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = (1 − 1))
183 1m1e0 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 − 1) = 0
184182, 183eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = 0)
185184fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 1 → (𝑆‘(𝑚 − 1)) = (𝑆‘0))
186 0re 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
187 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 0 → (⌊‘𝑎) = (⌊‘0))
188 0z 12626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ℤ
189 flid 13849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
190188, 189ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⌊‘0) = 0
191187, 190eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 0 → (⌊‘𝑎) = 0)
192191oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 0 → (1...(⌊‘𝑎)) = (1...0))
193 fz10 13586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...0) = ∅
194192, 193eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 0 → (1...(⌊‘𝑎)) = ∅)
195194sumeq1d 15737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 0 → Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))) = Σ𝑖 ∈ ∅ ((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
196 sum0 15758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ𝑖 ∈ ∅ ((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))) = 0
197195, 196eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 0 → Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))) = 0)
198197, 47, 132fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ ℝ → (𝑆‘0) = 0)
199186, 198ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆‘0) = 0
200185, 199eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 1 → (𝑆‘(𝑚 − 1)) = 0)
201184fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 1 → (𝑇‘(𝑚 − 1)) = (𝑇‘0))
202 rpne0 13052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℝ+𝑎 ≠ 0)
203202necon2bi 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 0 → ¬ 𝑎 ∈ ℝ+)
204203iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 0 → if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0) = 0)
205204, 81, 132fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℝ → (𝑇‘0) = 0)
206186, 205ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇‘0) = 0
207201, 206eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 1 → (𝑇‘(𝑚 − 1)) = 0)
208207oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 1 → (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1))) = (2 · 0))
209 2t0e0 12436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 0) = 0
210208, 209eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 1 → (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1))) = 0)
211200, 210oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 1 → ((𝑆‘(𝑚 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1)))) = (0 − 0))
212 0m0e0 12387 . . . . . . . . . . . . 13 (0 − 0) = 0
213211, 212eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 1 → ((𝑆‘(𝑚 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1)))) = 0)
214181, 213jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 1 → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑚))) = (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 1))) ∧ ((𝑆‘(𝑚 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1)))) = 0))
215 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (𝑥 / 𝑚) = (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)))
216215fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑚)) = (𝑅‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1))))
217216fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑚))) = (abs‘(𝑅‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)))))
218 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (𝑆‘(𝑚 − 1)) = (𝑆‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))
219 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (𝑇‘(𝑚 − 1)) = (𝑇‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))
220219oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1))) = (2 · (𝑇‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))))
221218, 220oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → ((𝑆‘(𝑚 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1)))) = ((𝑆‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))))
222217, 221jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = ((⌊‘𝑥) + 1) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑚))) = (abs‘(𝑅‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)))) ∧ ((𝑆‘(𝑚 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1)))) = ((𝑆‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))))))
223 nnuz 12922 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
22415, 223eleqtrdi 2850 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1))
22510adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
226 elfznn 13594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
227226adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
228227nnrpd 13076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
229225, 228rpdivcld 13095 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (𝑥 / 𝑚) ∈ ℝ+)
23069ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 / 𝑚) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑥 / 𝑚)) ∈ ℝ)
231229, 230syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑚)) ∈ ℝ)
232231recnd 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑚)) ∈ ℂ)
233232abscld 15476 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑚))) ∈ ℝ)
234233recnd 11290 . . . . . . . . . . 11 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑚))) ∈ ℂ)
235227nnred 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → 𝑚 ∈ ℝ)
236 1red 11263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → 1 ∈ ℝ)
237235, 236resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
23878ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 − 1) ∈ ℝ → (𝑆‘(𝑚 − 1)) ∈ ℝ)
239237, 238syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (𝑆‘(𝑚 − 1)) ∈ ℝ)
24022a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → 2 ∈ ℝ)
24187ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 − 1) ∈ ℝ → (𝑇‘(𝑚 − 1)) ∈ ℝ)
242237, 241syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (𝑇‘(𝑚 − 1)) ∈ ℝ)
243240, 242remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1))) ∈ ℝ)
244239, 243resubcld 11692 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → ((𝑆‘(𝑚 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1)))) ∈ ℝ)
245244recnd 11290 . . . . . . . . . . 11 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝑥) + 1))) → ((𝑆‘(𝑚 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑚 − 1)))) ∈ ℂ)
246170, 178, 214, 222, 224, 234, 245fsumparts 15843 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1)))) − ((𝑆‘(𝑛 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) = ((((abs‘(𝑅‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)))) · ((𝑆‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))))) − ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 1))) · 0)) − Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))) · ((𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1)))))))
247147recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑆𝑛) ∈ ℂ)
24887ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
249145, 248syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
250148, 249remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (𝑇𝑛)) ∈ ℝ)
251250recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (𝑇𝑛)) ∈ ℂ)
252 1red 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
253145, 252resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
25478ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 − 1) ∈ ℝ → (𝑆‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
255253, 254syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑆‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
256255recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑆‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
25787ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 − 1) ∈ ℝ → (𝑇‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
258253, 257syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑇‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
259148, 258remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (𝑇‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
260259recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (𝑇‘(𝑛 − 1))) ∈ ℂ)
261247, 251, 256, 260sub4d 11670 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑆𝑛) − (2 · (𝑇𝑛))) − ((𝑆‘(𝑛 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑛 − 1))))) = (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − ((2 · (𝑇𝑛)) − (2 · (𝑇‘(𝑛 − 1))))))
262124oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1))) = (2 · (𝑇𝑛)))
263123, 262oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1)))) = ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑇𝑛))))
264263oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1)))) − ((𝑆‘(𝑛 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑛 − 1))))) = (((𝑆𝑛) − (2 · (𝑇𝑛))) − ((𝑆‘(𝑛 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑛 − 1))))))
265 2cnd 12345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
266249recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑇𝑛) ∈ ℂ)
267258recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑇‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
268265, 266, 267subdid 11720 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))) = ((2 · (𝑇𝑛)) − (2 · (𝑇‘(𝑛 − 1)))))
269268oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))) = (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − ((2 · (𝑇𝑛)) − (2 · (𝑇‘(𝑛 − 1))))))
270261, 264, 2693eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1)))) − ((𝑆‘(𝑛 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑛 − 1))))) = (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))
271270oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1)))) − ((𝑆‘(𝑛 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) = ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))))
27299, 271sumeq12rdv 15744 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1)))) − ((𝑆‘(𝑛 − 1)) − (2 · (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))))
273246, 272eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((abs‘(𝑅‘(𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)))) · ((𝑆‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))))) − ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 1))) · 0)) − Σ𝑛 ∈ (1..^((⌊‘𝑥) + 1))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))) · ((𝑆‘((𝑛 + 1) − 1)) − (2 · (𝑇‘((𝑛 + 1) − 1)))))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))))
274157, 159fsumcl 15770 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) ∈ ℂ)
27593, 274subnegd 11628 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) − -Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) = (((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))))
276162, 273, 2753eqtr3rd 2785 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))))
27710relogcld 26666 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
278277recnd 11290 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
27966, 278mulcomd 11283 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 · (log‘𝑥)) = ((log‘𝑥) · 𝑥))
280276, 279oveq12d 7450 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / ((log‘𝑥) · 𝑥)))
281147, 255resubcld 11692 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
282249, 258resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
283148, 282remulcld 11292 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
284281, 283resubcld 11692 . . . . . . . . . . 11 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))) ∈ ℝ)
285108, 284remulcld 11292 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) ∈ ℝ)
286157, 285fsumrecl 15771 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) ∈ ℝ)
287286recnd 11290 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) ∈ ℂ)
2882, 8rplogcld 26672 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
289288rpne0d 13083 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ≠ 0)
29010rpne0d 13083 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ≠ 0)
291287, 278, 66, 289, 290divdiv1d 12075 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / (log‘𝑥)) / 𝑥) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / ((log‘𝑥) · 𝑥)))
292280, 291eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / (log‘𝑥)) / 𝑥))
293292oveq2d 7448 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥) + ((((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) = (((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥) + ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / (log‘𝑥)) / 𝑥)))
29471recnd 11290 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅𝑥) ∈ ℂ)
295294abscld 15476 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(𝑅𝑥)) ∈ ℝ)
296295, 277remulcld 11292 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
297108, 281remulcld 11292 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
298157, 297fsumrecl 15771 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
299298, 288rerpdivcld 13109 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
300296, 299resubcld 11692 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
301300recnd 11290 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
302287, 278, 289divcld 12044 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
303301, 302, 66, 290divdird 12082 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥))) + (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / (log‘𝑥))) / 𝑥) = (((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥) + ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / (log‘𝑥)) / 𝑥)))
304296recnd 11290 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
305299recnd 11290 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
306304, 305, 302subsubd 11649 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / (log‘𝑥)))) = ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥))) + (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / (log‘𝑥))))
307 2cnd 12345 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℂ)
308266, 267subcld 11621 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))) ∈ ℂ)
309109, 308mulcld 11282 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℂ)
310157, 307, 309fsummulc2 15821 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(2 · ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))
311281recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) ∈ ℂ)
312265, 308mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℂ)
313311, 312nncand 11626 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) = (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))
314313oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))) = ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))
315284recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))) ∈ ℂ)
316109, 311, 315subdid 11720 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))) = (((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) − ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))))
317109, 265, 308mul12d 11471 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))) = (2 · ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))
318314, 316, 3173eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) − ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))) = (2 · ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))
319318sumeq2dv 15739 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) − ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(2 · ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))
320297recnd 11290 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℂ)
321285recnd 11290 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) ∈ ℂ)
322157, 320, 321fsumsub 15825 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) − ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))))
323310, 319, 3223eqtr2rd 2783 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))) = (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))
324323oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))) / (log‘𝑥)) = ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))) / (log‘𝑥)))
325298recnd 11290 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℂ)
326325, 287, 278, 289divsubdird 12083 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))) / (log‘𝑥)) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / (log‘𝑥))))
327108, 282remulcld 11292 . . . . . . . . . . . 12 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
328157, 327fsumrecl 15771 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
329328recnd 11290 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℂ)
330307, 329, 278, 289div23d 12081 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))) / (log‘𝑥)) = ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))
331324, 326, 3303eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / (log‘𝑥))) = ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1))))))
332331oveq2d 7448 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / (log‘𝑥)))) = (((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))))
333306, 332eqtr3d 2778 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥))) + (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / (log‘𝑥))) = (((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))))
334333oveq1d 7447 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥))) + (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1))) − (2 · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / (log‘𝑥))) / 𝑥) = ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / 𝑥))
335293, 303, 3343eqtr2d 2782 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥) + ((((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) = ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / 𝑥))
336335mpteq2dva 5241 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥) + ((((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / 𝑥)))
337300, 10rerpdivcld 13109 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥) ∈ ℝ)
338157, 158fsumrecl 15771 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) ∈ ℝ)
33992, 338readdcld 11291 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) ∈ ℝ)
34010, 288rpmulcld 13094 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
341339, 340rerpdivcld 13109 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
34247, 18pntrlog2bndlem1 27622 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1)
343342a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1))
344340rpcnd 13080 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
345340rpne0d 13083 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 · (log‘𝑥)) ≠ 0)
34693, 274, 344, 345divdird 12082 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) = ((((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) + (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))))
34791recnd 11290 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥)))) ∈ ℂ)
34843, 347, 344, 345divassd 12079 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) = ((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · (((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥)))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))))
349348oveq1d 7447 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) + (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) = (((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · (((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥)))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) + (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))))
350346, 349eqtrd 2776 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) = (((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · (((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥)))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) + (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))))
351350mpteq2dva 5241 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · (((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥)))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) + (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))))))
35291, 340rerpdivcld 13109 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥)))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
35321, 352remulcld 11292 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · (((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥)))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ ℝ)
354338, 340rerpdivcld 13109 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
355 ioossre 13449 . . . . . . . . 9 (1(,)+∞) ⊆ ℝ
356355a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
357 1red 11263 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
35821, 5, 30ltled 11410 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) ≤ 1)
359358adantrr 717 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) ≤ 1)
360356, 21, 357, 357, 359ello1d 15560 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1))) ∈ ≤𝑂(1))
36180recnd 11290 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑆𝑥) ∈ ℂ)
36290recnd 11290 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℂ)
363361, 362, 344, 345divsubdird 12083 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥)))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) = (((𝑆𝑥) / (𝑥 · (log‘𝑥))) − ((2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))))
364363mpteq2dva 5241 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥)))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((𝑆𝑥) / (𝑥 · (log‘𝑥))) − ((2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))) / (𝑥 · (log‘𝑥))))))
36580, 340rerpdivcld 13109 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑆𝑥) / (𝑥 · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
36690, 340rerpdivcld 13109 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
367 2cnd 12345 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
368 o1const 15657 . . . . . . . . . . . 12 (((1(,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
369355, 367, 368sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
370365recnd 11290 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑆𝑥) / (𝑥 · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
37180, 10rerpdivcld 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑆𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
372371recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑆𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
373307, 278mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
374372, 373, 278, 289divsubdird 12083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥))) / (log‘𝑥)) = ((((𝑆𝑥) / 𝑥) / (log‘𝑥)) − ((2 · (log‘𝑥)) / (log‘𝑥))))
37523, 277remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
376371, 375resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
377376recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
378377, 278, 289divrecd 12047 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥))) / (log‘𝑥)) = ((((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥))) · (1 / (log‘𝑥))))
379361, 66, 278, 290, 289divdiv1d 12075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑆𝑥) / 𝑥) / (log‘𝑥)) = ((𝑆𝑥) / (𝑥 · (log‘𝑥))))
380307, 278, 289divcan4d 12050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · (log‘𝑥)) / (log‘𝑥)) = 2)
381379, 380oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑆𝑥) / 𝑥) / (log‘𝑥)) − ((2 · (log‘𝑥)) / (log‘𝑥))) = (((𝑆𝑥) / (𝑥 · (log‘𝑥))) − 2))
382374, 378, 3813eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑆𝑥) / (𝑥 · (log‘𝑥))) − 2) = ((((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥))) · (1 / (log‘𝑥))))
383382mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((𝑆𝑥) / (𝑥 · (log‘𝑥))) − 2)) = (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥))) · (1 / (log‘𝑥)))))
3845, 288rerpdivcld 13109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
38510ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+))
386385ssrdv 3988 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (1(,)+∞) ⊆ ℝ+)
38747selbergs 27619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)
388387a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
389386, 388o1res2 15600 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
390 divlogrlim 26678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0
391 rlimo1 15654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ⇝𝑟 0 → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
392390, 391mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
393376, 384, 389, 392o1mul2 15662 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥))) · (1 / (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
394383, 393eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((𝑆𝑥) / (𝑥 · (log‘𝑥))) − 2)) ∈ 𝑂(1))
395370, 307, 394o1dif 15667 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((𝑆𝑥) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ 2) ∈ 𝑂(1)))
396369, 395mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((𝑆𝑥) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
39722a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3982, 277remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
399 2rp 13040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
400399a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℝ+)
401400rpge0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ 2)
402 flge1nn 13862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
4032, 9, 402syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
404403nnrpd 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ+)
405 rpre 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ+ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
406 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = (⌊‘𝑥) → (𝑎 ∈ ℝ+ ↔ (⌊‘𝑥) ∈ ℝ+))
407 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = (⌊‘𝑥) → 𝑎 = (⌊‘𝑥))
408 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = (⌊‘𝑥) → (log‘𝑎) = (log‘(⌊‘𝑥)))
409407, 408oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = (⌊‘𝑥) → (𝑎 · (log‘𝑎)) = ((⌊‘𝑥) · (log‘(⌊‘𝑥))))
410406, 409ifbieq1d 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = (⌊‘𝑥) → if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0) = if((⌊‘𝑥) ∈ ℝ+, ((⌊‘𝑥) · (log‘(⌊‘𝑥))), 0))
411 ovex 7465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⌊‘𝑥) · (log‘(⌊‘𝑥))) ∈ V
412411, 132ifex 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if((⌊‘𝑥) ∈ ℝ+, ((⌊‘𝑥) · (log‘(⌊‘𝑥))), 0) ∈ V
413410, 81, 412fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ → (𝑇‘(⌊‘𝑥)) = if((⌊‘𝑥) ∈ ℝ+, ((⌊‘𝑥) · (log‘(⌊‘𝑥))), 0))
414405, 413syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ+ → (𝑇‘(⌊‘𝑥)) = if((⌊‘𝑥) ∈ ℝ+, ((⌊‘𝑥) · (log‘(⌊‘𝑥))), 0))
415 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ+ → if((⌊‘𝑥) ∈ ℝ+, ((⌊‘𝑥) · (log‘(⌊‘𝑥))), 0) = ((⌊‘𝑥) · (log‘(⌊‘𝑥))))
416414, 415eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ+ → (𝑇‘(⌊‘𝑥)) = ((⌊‘𝑥) · (log‘(⌊‘𝑥))))
417404, 416syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑇‘(⌊‘𝑥)) = ((⌊‘𝑥) · (log‘(⌊‘𝑥))))
418404relogcld 26666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℝ)
41913nn0ge0d 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ (⌊‘𝑥))
420403nnge1d 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ (⌊‘𝑥))
42146, 420logge0d 26673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ (log‘(⌊‘𝑥)))
422 flle 13840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
4232, 422syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
424404, 10logled 26670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘𝑥) ≤ 𝑥 ↔ (log‘(⌊‘𝑥)) ≤ (log‘𝑥)))
425423, 424mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘(⌊‘𝑥)) ≤ (log‘𝑥))
42646, 2, 418, 277, 419, 421, 423, 425lemul12ad 12211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘𝑥) · (log‘(⌊‘𝑥))) ≤ (𝑥 · (log‘𝑥)))
427417, 426eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑇‘(⌊‘𝑥)) ≤ (𝑥 · (log‘𝑥)))
42889, 398, 23, 401, 427lemul2ad 12209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))) ≤ (2 · (𝑥 · (log‘𝑥))))
42990, 23, 340ledivmul2d 13132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) ≤ 2 ↔ (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))) ≤ (2 · (𝑥 · (log‘𝑥)))))
430428, 429mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) ≤ 2)
431430adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) ≤ 2)
432356, 366, 357, 397, 431ello1d 15560 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ ≤𝑂(1))
433 0red 11265 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
43446, 418, 419, 421mulge0d 11841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ ((⌊‘𝑥) · (log‘(⌊‘𝑥))))
435434, 417breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ (𝑇‘(⌊‘𝑥)))
43623, 89, 401, 435mulge0d 11841 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))
43790, 340, 436divge0d 13118 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ ((2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))) / (𝑥 · (log‘𝑥))))
438366, 433, 437o1lo12 15575 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ ≤𝑂(1)))
439432, 438mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
440365, 366, 396, 439o1sub2 15663 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((𝑆𝑥) / (𝑥 · (log‘𝑥))) − ((2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))) / (𝑥 · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
441364, 440eqeltrd 2840 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥)))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
442352, 441o1lo1d 15576 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥)))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ ≤𝑂(1))
44321, 352, 360, 442, 41lo1mul 15665 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · (((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥)))) / (𝑥 · (log‘𝑥))))) ∈ ≤𝑂(1))
44447selbergsb 27620 . . . . . . . 8 𝑐 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((𝑆𝑦) / 𝑦) − (2 · (log‘𝑦)))) ≤ 𝑐
445 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((𝑆𝑦) / 𝑦) − (2 · (log‘𝑦)))) ≤ 𝑐) → 𝑐 ∈ ℝ+)
446 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((𝑆𝑦) / 𝑦) − (2 · (log‘𝑦)))) ≤ 𝑐) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((𝑆𝑦) / 𝑦) − (2 · (log‘𝑦)))) ≤ 𝑐)
44747, 18, 445, 446pntrlog2bndlem3 27624 . . . . . . . . 9 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((𝑆𝑦) / 𝑦) − (2 · (log‘𝑦)))) ≤ 𝑐) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
448447rexlimiva 3146 . . . . . . . 8 (∃𝑐 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((𝑆𝑦) / 𝑦) − (2 · (log‘𝑦)))) ≤ 𝑐 → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
449444, 448mp1i 13 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
450354, 449o1lo1d 15576 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ ≤𝑂(1))
451353, 354, 443, 450lo1add 15664 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · (((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥)))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) + (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))))) ∈ ≤𝑂(1))
452351, 451eqeltrd 2840 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ ≤𝑂(1))
453337, 341, 343, 452lo1add 15664 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑆𝑛) − (𝑆‘(𝑛 − 1)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥) + ((((𝑥 / ((⌊‘𝑥) + 1)) · ((𝑆𝑥) − (2 · (𝑇‘(⌊‘𝑥))))) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))))) ∈ ≤𝑂(1))
454336, 453eqeltrrd 2841 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1))
455454mptru 1546 1 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((abs‘(𝑅𝑥)) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · ((𝑇𝑛) − (𝑇‘(𝑛 − 1)))))) / 𝑥)) ∈ ≤𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wtru 1540  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  wss 3950  c0 4332  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  +∞cpnf 11293   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  +crp 13035  (,)cioo 13388  [,)cico 13390  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695  cfl 13831  abscabs 15274  𝑟 crli 15522  𝑂(1)co1 15523  ≤𝑂(1)clo1 15524  Σcsu 15723  cdvds 16291  logclog 26597  Λcvma 27136  ψcchp 27137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-o1 15527  df-lo1 15528  df-sum 15724  df-ef 16104  df-e 16105  df-sin 16106  df-cos 16107  df-tan 16108  df-pi 16109  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-pc 16876  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-ulm 26421  df-log 26599  df-cxp 26600  df-atan 26911  df-em 27037  df-cht 27141  df-vma 27142  df-chp 27143  df-ppi 27144  df-mu 27145
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem5  27626
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