MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntrmax 26910
Description: There is a bound on the residual valid for all 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntrmax 𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑐
Distinct variable groups:   𝑥,𝑎   𝑥,𝑐,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrmax
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 12921 . . . 4 + ⊆ ℝ
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
3 1red 11155 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
4 pntrval.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
54pntrval 26908 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
6 rpre 12922 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
7 chpcl 26471 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
98, 6resubcld 11582 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ψ‘𝑥) − 𝑥) ∈ ℝ)
105, 9eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑥) ∈ ℝ)
11 rerpdivcl 12944 . . . . . 6 (((𝑅𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
1210, 11mpancom 686 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
1312recnd 11182 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
1413adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
155oveq1d 7371 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) − 𝑥) / 𝑥))
168recnd 11182 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
17 rpcn 12924 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
18 rpne0 12930 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
1916, 17, 17, 18divsubdird 11969 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (((ψ‘𝑥) − 𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − (𝑥 / 𝑥)))
2017, 18dividd 11928 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 𝑥) = 1)
2120oveq2d 7372 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − (𝑥 / 𝑥)) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
2215, 19, 213eqtrd 2780 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
2322mpteq2ia 5208 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
24 rerpdivcl 12944 . . . . . . 7 (((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
258, 24mpancom 686 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
2625adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
27 1red 11155 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
28 chpo1ub 26826 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
2928a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
30 ax-1cn 11108 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
31 o1const 15501 . . . . . . 7 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
321, 30, 31mp2an 690 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1)
3332a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
3426, 27, 29, 33o1sub2 15507 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ∈ 𝑂(1))
3523, 34eqeltrid 2842 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑅𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
36 chpcl 26471 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
37 peano2re 11327 . . . . 5 ((ψ‘𝑦) ∈ ℝ → ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
3836, 37syl 17 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
3938ad2antrl 726 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
40223ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
4140fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)))
42 1re 11154 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
43383ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
44 resubcl 11464 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ) → (1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ∈ ℝ)
4542, 43, 44sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ∈ ℝ)
46 0red 11157 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
47253ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
48 chpge0 26473 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
49483ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
50363ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
51 addge02 11665 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ (ψ‘𝑦) ∈ ℝ) → (0 ≤ (ψ‘𝑦) ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1)))
5242, 50, 51sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 ≤ (ψ‘𝑦) ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1)))
5349, 52mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
54 suble0 11668 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ) → ((1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1)))
5542, 43, 54sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1)))
5653, 55mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ 0)
5783ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
5863ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
59 chpge0 26473 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
61 rpregt0 12928 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
62613ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
63 divge0 12023 . . . . . . . . . 10 ((((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ψ‘𝑥)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → 0 ≤ ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
6457, 60, 62, 63syl21anc 836 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
6545, 46, 47, 56, 64letrd 11311 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
66 2re 12226 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
67 readdcl 11133 . . . . . . . . . . 11 (((ψ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((ψ‘𝑦) + 2) ∈ ℝ)
6850, 66, 67sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑦) + 2) ∈ ℝ)
69 1red 11155 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
7058adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
71 1red 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
7266a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 2 ∈ ℝ)
73 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1)
74 1lt2 12323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 2
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 1 < 2)
7670, 71, 72, 73, 75lelttrd 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 𝑥 < 2)
77 chpeq0 26554 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → ((ψ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 < 2))
7870, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → ((ψ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 < 2))
7976, 78mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → (ψ‘𝑥) = 0)
8079oveq1d 7371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) = (0 / 𝑥))
81 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ+)
8281rpcnne0d 12965 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
83 div0 11842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (0 / 𝑥) = 0)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 / 𝑥) = 0)
8584, 49eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → (0 / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
8780, 86eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
8847adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
8957adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
9050adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
91 0lt1 11676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < 1)
93 lediv2a 12048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ ((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ψ‘𝑥))) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑥) / 1))
9493ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ ((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ψ‘𝑥))) → (1 ≤ 𝑥 → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑥) / 1)))
9569, 92, 62, 57, 60, 94syl212anc 1380 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 ≤ 𝑥 → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑥) / 1)))
9695imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑥) / 1))
9789recnd 11182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
9897div1d 11922 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 1) = (ψ‘𝑥))
9996, 98breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑥))
100 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
101 ltle 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦𝑥𝑦))
1026, 101sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦𝑥𝑦))
1031023impia 1117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥𝑦)
104 chpwordi 26504 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
10558, 100, 103, 104syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
106105adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
10788, 89, 90, 99, 106letrd 11311 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
10858, 69, 87, 107lecasei 11260 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
109 2nn0 12429 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
110 nn0addge1 12458 . . . . . . . . . . 11 (((ψ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (ψ‘𝑦) ≤ ((ψ‘𝑦) + 2))
11150, 109, 110sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑦) ≤ ((ψ‘𝑦) + 2))
11247, 50, 68, 108, 111letrd 11311 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) + 2))
113 df-2 12215 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
114113oveq2i 7367 . . . . . . . . . 10 ((ψ‘𝑦) + 2) = ((ψ‘𝑦) + (1 + 1))
11550recnd 11182 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑦) ∈ ℂ)
11630a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 ∈ ℂ)
117115, 116, 116add12d 11380 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑦) + (1 + 1)) = (1 + ((ψ‘𝑦) + 1)))
118114, 117eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑦) + 2) = (1 + ((ψ‘𝑦) + 1)))
119112, 118breqtrd 5131 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (1 + ((ψ‘𝑦) + 1)))
12047, 69, 43absdifled 15318 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1) ↔ ((1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∧ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (1 + ((ψ‘𝑦) + 1)))))
12165, 119, 120mpbir2and 711 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
12241, 121eqbrtrd 5127 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
1231223expb 1120 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
124123adantrlr 721 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
125124adantll 712 . . 3 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
1262, 3, 14, 35, 39, 125o1bddrp 15423 . 2 (⊤ → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑐)
127126mptru 1548 1 𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑐
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7356  cc 11048  cr 11049  0cc0 11050  1c1 11051   + caddc 11053   < clt 11188  cle 11189  cmin 11384   / cdiv 11811  2c2 12207  0cn0 12412  +crp 12914  abscabs 15118  𝑂(1)co1 15367  ψcchp 26440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-inf2 9576  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128  ax-addf 11129  ax-mulf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-supp 8092  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8647  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9305  df-fi 9346  df-sup 9377  df-inf 9378  df-oi 9445  df-dju 9836  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-xnn0 12485  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-q 12873  df-rp 12915  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13906  df-exp 13967  df-fac 14173  df-bc 14202  df-hash 14230  df-shft 14951  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119  df-abs 15120  df-limsup 15352  df-clim 15369  df-rlim 15370  df-o1 15371  df-lo1 15372  df-sum 15570  df-ef 15949  df-e 15950  df-sin 15951  df-cos 15952  df-pi 15954  df-dvds 16136  df-gcd 16374  df-prm 16547  df-pc 16708  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-starv 17147  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-tset 17151  df-ple 17152  df-ds 17154  df-unif 17155  df-hom 17156  df-cco 17157  df-rest 17303  df-topn 17304  df-0g 17322  df-gsum 17323  df-topgen 17324  df-pt 17325  df-prds 17328  df-xrs 17383  df-qtop 17388  df-imas 17389  df-xps 17391  df-mre 17465  df-mrc 17466  df-acs 17468  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-submnd 18601  df-mulg 18871  df-cntz 19095  df-cmn 19562  df-psmet 20786  df-xmet 20787  df-met 20788  df-bl 20789  df-mopn 20790  df-fbas 20791  df-fg 20792  df-cnfld 20795  df-top 22241  df-topon 22258  df-topsp 22280  df-bases 22294  df-cld 22368  df-ntr 22369  df-cls 22370  df-nei 22447  df-lp 22485  df-perf 22486  df-cn 22576  df-cnp 22577  df-haus 22664  df-tx 22911  df-hmeo 23104  df-fil 23195  df-fm 23287  df-flim 23288  df-flf 23289  df-xms 23671  df-ms 23672  df-tms 23673  df-cncf 24239  df-limc 25228  df-dv 25229  df-log 25910  df-cxp 25911  df-cht 26444  df-vma 26445  df-chp 26446  df-ppi 26447
This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  26930  pntibnd  26939  pnt3  26958
  Copyright terms: Public domain W3C validator