MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntrmax 26445
Description: There is a bound on the residual valid for all 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntrmax 𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑐
Distinct variable groups:   𝑥,𝑎   𝑥,𝑐,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrmax
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 12593 . . . 4 + ⊆ ℝ
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
3 1red 10834 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
4 pntrval.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
54pntrval 26443 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
6 rpre 12594 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
7 chpcl 26006 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
98, 6resubcld 11260 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ψ‘𝑥) − 𝑥) ∈ ℝ)
105, 9eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑥) ∈ ℝ)
11 rerpdivcl 12616 . . . . . 6 (((𝑅𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
1210, 11mpancom 688 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
1312recnd 10861 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
1413adantl 485 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
155oveq1d 7228 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) − 𝑥) / 𝑥))
168recnd 10861 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
17 rpcn 12596 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
18 rpne0 12602 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
1916, 17, 17, 18divsubdird 11647 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (((ψ‘𝑥) − 𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − (𝑥 / 𝑥)))
2017, 18dividd 11606 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 𝑥) = 1)
2120oveq2d 7229 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − (𝑥 / 𝑥)) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
2215, 19, 213eqtrd 2781 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
2322mpteq2ia 5146 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
24 rerpdivcl 12616 . . . . . . 7 (((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
258, 24mpancom 688 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
2625adantl 485 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
27 1red 10834 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
28 chpo1ub 26361 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
2928a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
30 ax-1cn 10787 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
31 o1const 15181 . . . . . . 7 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
321, 30, 31mp2an 692 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1)
3332a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
3426, 27, 29, 33o1sub2 15187 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ∈ 𝑂(1))
3523, 34eqeltrid 2842 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑅𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
36 chpcl 26006 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
37 peano2re 11005 . . . . 5 ((ψ‘𝑦) ∈ ℝ → ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
3836, 37syl 17 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
3938ad2antrl 728 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
40223ad2ant1 1135 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
4140fveq2d 6721 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)))
42 1re 10833 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
43383ad2ant2 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
44 resubcl 11142 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ) → (1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ∈ ℝ)
4542, 43, 44sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ∈ ℝ)
46 0red 10836 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
47253ad2ant1 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
48 chpge0 26008 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
49483ad2ant2 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
50363ad2ant2 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
51 addge02 11343 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ (ψ‘𝑦) ∈ ℝ) → (0 ≤ (ψ‘𝑦) ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1)))
5242, 50, 51sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 ≤ (ψ‘𝑦) ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1)))
5349, 52mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
54 suble0 11346 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ) → ((1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1)))
5542, 43, 54sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1)))
5653, 55mpbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ 0)
5783ad2ant1 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
5863ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
59 chpge0 26008 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
61 rpregt0 12600 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
62613ad2ant1 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
63 divge0 11701 . . . . . . . . . 10 ((((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ψ‘𝑥)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → 0 ≤ ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
6457, 60, 62, 63syl21anc 838 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
6545, 46, 47, 56, 64letrd 10989 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
66 2re 11904 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
67 readdcl 10812 . . . . . . . . . . 11 (((ψ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((ψ‘𝑦) + 2) ∈ ℝ)
6850, 66, 67sylancl 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑦) + 2) ∈ ℝ)
69 1red 10834 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
7058adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
71 1red 10834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
7266a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 2 ∈ ℝ)
73 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1)
74 1lt2 12001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 2
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 1 < 2)
7670, 71, 72, 73, 75lelttrd 10990 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 𝑥 < 2)
77 chpeq0 26089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → ((ψ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 < 2))
7870, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → ((ψ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 < 2))
7976, 78mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → (ψ‘𝑥) = 0)
8079oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) = (0 / 𝑥))
81 simp1 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ+)
8281rpcnne0d 12637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
83 div0 11520 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (0 / 𝑥) = 0)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 / 𝑥) = 0)
8584, 49eqbrtrd 5075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
8685adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → (0 / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
8780, 86eqbrtrd 5075 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
8847adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
8957adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
9050adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
91 0lt1 11354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < 1)
93 lediv2a 11726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ ((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ψ‘𝑥))) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑥) / 1))
9493ex 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ ((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ψ‘𝑥))) → (1 ≤ 𝑥 → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑥) / 1)))
9569, 92, 62, 57, 60, 94syl212anc 1382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 ≤ 𝑥 → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑥) / 1)))
9695imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑥) / 1))
9789recnd 10861 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
9897div1d 11600 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 1) = (ψ‘𝑥))
9996, 98breqtrd 5079 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑥))
100 simp2 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
101 ltle 10921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦𝑥𝑦))
1026, 101sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦𝑥𝑦))
1031023impia 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥𝑦)
104 chpwordi 26039 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
10558, 100, 103, 104syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
106105adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
10788, 89, 90, 99, 106letrd 10989 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
10858, 69, 87, 107lecasei 10938 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
109 2nn0 12107 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
110 nn0addge1 12136 . . . . . . . . . . 11 (((ψ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (ψ‘𝑦) ≤ ((ψ‘𝑦) + 2))
11150, 109, 110sylancl 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑦) ≤ ((ψ‘𝑦) + 2))
11247, 50, 68, 108, 111letrd 10989 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) + 2))
113 df-2 11893 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
114113oveq2i 7224 . . . . . . . . . 10 ((ψ‘𝑦) + 2) = ((ψ‘𝑦) + (1 + 1))
11550recnd 10861 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑦) ∈ ℂ)
11630a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 ∈ ℂ)
117115, 116, 116add12d 11058 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑦) + (1 + 1)) = (1 + ((ψ‘𝑦) + 1)))
118114, 117syl5eq 2790 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑦) + 2) = (1 + ((ψ‘𝑦) + 1)))
119112, 118breqtrd 5079 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (1 + ((ψ‘𝑦) + 1)))
12047, 69, 43absdifled 14998 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1) ↔ ((1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∧ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (1 + ((ψ‘𝑦) + 1)))))
12165, 119, 120mpbir2and 713 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
12241, 121eqbrtrd 5075 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
1231223expb 1122 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
124123adantrlr 723 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
125124adantll 714 . . 3 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
1262, 3, 14, 35, 39, 125o1bddrp 15103 . 2 (⊤ → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑐)
127126mptru 1550 1 𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑐
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wtru 1544  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  wss 3866   class class class wbr 5053  cmpt 5135  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062   / cdiv 11489  2c2 11885  0cn0 12090  +crp 12586  abscabs 14797  𝑂(1)co1 15047  ψcchp 25975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-o1 15051  df-lo1 15052  df-sum 15250  df-ef 15629  df-e 15630  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-prm 16229  df-pc 16390  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-log 25445  df-cxp 25446  df-cht 25979  df-vma 25980  df-chp 25981  df-ppi 25982
This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  26465  pntibnd  26474  pnt3  26493
  Copyright terms: Public domain W3C validator