MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntrmax 26912
Description: There is a bound on the residual valid for all 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntrmax 𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑐
Distinct variable groups:   𝑥,𝑎   𝑥,𝑐,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrmax
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 12922 . . . 4 + ⊆ ℝ
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
3 1red 11156 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
4 pntrval.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
54pntrval 26910 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
6 rpre 12923 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
7 chpcl 26473 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
98, 6resubcld 11583 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ψ‘𝑥) − 𝑥) ∈ ℝ)
105, 9eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑥) ∈ ℝ)
11 rerpdivcl 12945 . . . . . 6 (((𝑅𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
1210, 11mpancom 686 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
1312recnd 11183 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
1413adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
155oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) − 𝑥) / 𝑥))
168recnd 11183 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
17 rpcn 12925 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
18 rpne0 12931 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
1916, 17, 17, 18divsubdird 11970 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (((ψ‘𝑥) − 𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − (𝑥 / 𝑥)))
2017, 18dividd 11929 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 𝑥) = 1)
2120oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − (𝑥 / 𝑥)) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
2215, 19, 213eqtrd 2780 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
2322mpteq2ia 5208 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
24 rerpdivcl 12945 . . . . . . 7 (((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
258, 24mpancom 686 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
2625adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
27 1red 11156 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
28 chpo1ub 26828 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
2928a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
30 ax-1cn 11109 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
31 o1const 15502 . . . . . . 7 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
321, 30, 31mp2an 690 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1)
3332a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
3426, 27, 29, 33o1sub2 15508 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ∈ 𝑂(1))
3523, 34eqeltrid 2842 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑅𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
36 chpcl 26473 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
37 peano2re 11328 . . . . 5 ((ψ‘𝑦) ∈ ℝ → ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
3836, 37syl 17 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
3938ad2antrl 726 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
40223ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
4140fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)))
42 1re 11155 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
43383ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
44 resubcl 11465 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ) → (1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ∈ ℝ)
4542, 43, 44sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ∈ ℝ)
46 0red 11158 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
47253ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
48 chpge0 26475 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
49483ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
50363ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
51 addge02 11666 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ (ψ‘𝑦) ∈ ℝ) → (0 ≤ (ψ‘𝑦) ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1)))
5242, 50, 51sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 ≤ (ψ‘𝑦) ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1)))
5349, 52mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
54 suble0 11669 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ) → ((1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1)))
5542, 43, 54sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1)))
5653, 55mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ 0)
5783ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
5863ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
59 chpge0 26475 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
61 rpregt0 12929 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
62613ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
63 divge0 12024 . . . . . . . . . 10 ((((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ψ‘𝑥)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → 0 ≤ ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
6457, 60, 62, 63syl21anc 836 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
6545, 46, 47, 56, 64letrd 11312 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
66 2re 12227 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
67 readdcl 11134 . . . . . . . . . . 11 (((ψ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((ψ‘𝑦) + 2) ∈ ℝ)
6850, 66, 67sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑦) + 2) ∈ ℝ)
69 1red 11156 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
7058adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
71 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
7266a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 2 ∈ ℝ)
73 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1)
74 1lt2 12324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 2
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 1 < 2)
7670, 71, 72, 73, 75lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 𝑥 < 2)
77 chpeq0 26556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → ((ψ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 < 2))
7870, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → ((ψ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 < 2))
7976, 78mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → (ψ‘𝑥) = 0)
8079oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) = (0 / 𝑥))
81 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ+)
8281rpcnne0d 12966 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
83 div0 11843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (0 / 𝑥) = 0)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 / 𝑥) = 0)
8584, 49eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → (0 / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
8780, 86eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
8847adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
8957adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
9050adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
91 0lt1 11677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < 1)
93 lediv2a 12049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ ((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ψ‘𝑥))) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑥) / 1))
9493ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ ((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ψ‘𝑥))) → (1 ≤ 𝑥 → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑥) / 1)))
9569, 92, 62, 57, 60, 94syl212anc 1380 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 ≤ 𝑥 → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑥) / 1)))
9695imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑥) / 1))
9789recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
9897div1d 11923 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 1) = (ψ‘𝑥))
9996, 98breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑥))
100 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
101 ltle 11243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦𝑥𝑦))
1026, 101sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦𝑥𝑦))
1031023impia 1117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥𝑦)
104 chpwordi 26506 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
10558, 100, 103, 104syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
106105adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
10788, 89, 90, 99, 106letrd 11312 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
10858, 69, 87, 107lecasei 11261 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
109 2nn0 12430 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
110 nn0addge1 12459 . . . . . . . . . . 11 (((ψ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (ψ‘𝑦) ≤ ((ψ‘𝑦) + 2))
11150, 109, 110sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑦) ≤ ((ψ‘𝑦) + 2))
11247, 50, 68, 108, 111letrd 11312 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) + 2))
113 df-2 12216 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
114113oveq2i 7368 . . . . . . . . . 10 ((ψ‘𝑦) + 2) = ((ψ‘𝑦) + (1 + 1))
11550recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑦) ∈ ℂ)
11630a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 ∈ ℂ)
117115, 116, 116add12d 11381 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑦) + (1 + 1)) = (1 + ((ψ‘𝑦) + 1)))
118114, 117eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑦) + 2) = (1 + ((ψ‘𝑦) + 1)))
119112, 118breqtrd 5131 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (1 + ((ψ‘𝑦) + 1)))
12047, 69, 43absdifled 15319 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1) ↔ ((1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∧ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (1 + ((ψ‘𝑦) + 1)))))
12165, 119, 120mpbir2and 711 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
12241, 121eqbrtrd 5127 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
1231223expb 1120 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
124123adantrlr 721 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
125124adantll 712 . . 3 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
1262, 3, 14, 35, 39, 125o1bddrp 15424 . 2 (⊤ → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑐)
127126mptru 1548 1 𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑐
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  0cn0 12413  +crp 12915  abscabs 15119  𝑂(1)co1 15368  ψcchp 26442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-o1 15372  df-lo1 15373  df-sum 15571  df-ef 15950  df-e 15951  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913  df-cht 26446  df-vma 26447  df-chp 26448  df-ppi 26449
This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  26932  pntibnd  26941  pnt3  26960
  Copyright terms: Public domain W3C validator