MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntrmax 27608
Description: There is a bound on the residual valid for all 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntrmax 𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑐
Distinct variable groups:   𝑥,𝑎   𝑥,𝑐,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrmax
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 13042 . . . 4 + ⊆ ℝ
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
3 1red 11262 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
4 pntrval.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
54pntrval 27606 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑥) = ((ψ‘𝑥) − 𝑥))
6 rpre 13043 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
7 chpcl 27167 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
98, 6resubcld 11691 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ψ‘𝑥) − 𝑥) ∈ ℝ)
105, 9eqeltrd 2841 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑥) ∈ ℝ)
11 rerpdivcl 13065 . . . . . 6 (((𝑅𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
1210, 11mpancom 688 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
1312recnd 11289 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
1413adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
155oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) − 𝑥) / 𝑥))
168recnd 11289 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
17 rpcn 13045 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
18 rpne0 13051 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
1916, 17, 17, 18divsubdird 12082 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (((ψ‘𝑥) − 𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − (𝑥 / 𝑥)))
2017, 18dividd 12041 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 𝑥) = 1)
2120oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − (𝑥 / 𝑥)) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
2215, 19, 213eqtrd 2781 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
2322mpteq2ia 5245 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
24 rerpdivcl 13065 . . . . . . 7 (((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
258, 24mpancom 688 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
2625adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
27 1red 11262 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
28 chpo1ub 27524 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
2928a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
30 ax-1cn 11213 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
31 o1const 15656 . . . . . . 7 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
321, 30, 31mp2an 692 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1)
3332a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
3426, 27, 29, 33o1sub2 15662 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ∈ 𝑂(1))
3523, 34eqeltrid 2845 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑅𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
36 chpcl 27167 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
37 peano2re 11434 . . . . 5 ((ψ‘𝑦) ∈ ℝ → ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
3836, 37syl 17 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
3938ad2antrl 728 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
40223ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = (((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1))
4140fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)))
42 1re 11261 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
43383ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
44 resubcl 11573 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ) → (1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ∈ ℝ)
4542, 43, 44sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ∈ ℝ)
46 0red 11264 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
47253ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
48 chpge0 27169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
49483ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ (ψ‘𝑦))
50363ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
51 addge02 11774 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ (ψ‘𝑦) ∈ ℝ) → (0 ≤ (ψ‘𝑦) ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1)))
5242, 50, 51sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 ≤ (ψ‘𝑦) ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1)))
5349, 52mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
54 suble0 11777 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((ψ‘𝑦) + 1) ∈ ℝ) → ((1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1)))
5542, 43, 54sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ ((ψ‘𝑦) + 1)))
5653, 55mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ 0)
5783ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
5863ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
59 chpge0 27169 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ (ψ‘𝑥))
61 rpregt0 13049 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
62613ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
63 divge0 12137 . . . . . . . . . 10 ((((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ψ‘𝑥)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → 0 ≤ ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
6457, 60, 62, 63syl21anc 838 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ≤ ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
6545, 46, 47, 56, 64letrd 11418 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
66 2re 12340 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
67 readdcl 11238 . . . . . . . . . . 11 (((ψ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((ψ‘𝑦) + 2) ∈ ℝ)
6850, 66, 67sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑦) + 2) ∈ ℝ)
69 1red 11262 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
7058adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
71 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
7266a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 2 ∈ ℝ)
73 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 𝑥 ≤ 1)
74 1lt2 12437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 2
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 1 < 2)
7670, 71, 72, 73, 75lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → 𝑥 < 2)
77 chpeq0 27252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → ((ψ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 < 2))
7870, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → ((ψ‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 < 2))
7976, 78mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → (ψ‘𝑥) = 0)
8079oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) = (0 / 𝑥))
81 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ+)
8281rpcnne0d 13086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
83 div0 11955 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (0 / 𝑥) = 0)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 / 𝑥) = 0)
8584, 49eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → (0 / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
8780, 86eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑥 ≤ 1) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
8847adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
8957adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
9050adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑦) ∈ ℝ)
91 0lt1 11785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < 1)
93 lediv2a 12162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ ((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ψ‘𝑥))) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑥) / 1))
9493ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ ((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ψ‘𝑥))) → (1 ≤ 𝑥 → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑥) / 1)))
9569, 92, 62, 57, 60, 94syl212anc 1382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 ≤ 𝑥 → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑥) / 1)))
9695imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑥) / 1))
9789recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
9897div1d 12035 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 1) = (ψ‘𝑥))
9996, 98breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑥))
100 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
101 ltle 11349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦𝑥𝑦))
1026, 101sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦𝑥𝑦))
1031023impia 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥𝑦)
104 chpwordi 27200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
10558, 100, 103, 104syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
106105adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → (ψ‘𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
10788, 89, 90, 99, 106letrd 11418 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 1 ≤ 𝑥) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
10858, 69, 87, 107lecasei 11367 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (ψ‘𝑦))
109 2nn0 12543 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
110 nn0addge1 12572 . . . . . . . . . . 11 (((ψ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (ψ‘𝑦) ≤ ((ψ‘𝑦) + 2))
11150, 109, 110sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑦) ≤ ((ψ‘𝑦) + 2))
11247, 50, 68, 108, 111letrd 11418 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((ψ‘𝑦) + 2))
113 df-2 12329 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
114113oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 ((ψ‘𝑦) + 2) = ((ψ‘𝑦) + (1 + 1))
11550recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (ψ‘𝑦) ∈ ℂ)
11630a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 ∈ ℂ)
117115, 116, 116add12d 11488 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑦) + (1 + 1)) = (1 + ((ψ‘𝑦) + 1)))
118114, 117eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑦) + 2) = (1 + ((ψ‘𝑦) + 1)))
119112, 118breqtrd 5169 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (1 + ((ψ‘𝑦) + 1)))
12047, 69, 43absdifled 15473 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1) ↔ ((1 − ((ψ‘𝑦) + 1)) ≤ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∧ ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ≤ (1 + ((ψ‘𝑦) + 1)))))
12165, 119, 120mpbir2and 713 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (abs‘(((ψ‘𝑥) / 𝑥) − 1)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
12241, 121eqbrtrd 5165 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
1231223expb 1121 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
124123adantrlr 723 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
125124adantll 714 . . 3 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ ((ψ‘𝑦) + 1))
1262, 3, 14, 35, 39, 125o1bddrp 15578 . 2 (⊤ → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑐)
127126mptru 1547 1 𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑐
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  0cn0 12526  +crp 13034  abscabs 15273  𝑂(1)co1 15522  ψcchp 27136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-o1 15526  df-lo1 15527  df-sum 15723  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-cht 27140  df-vma 27141  df-chp 27142  df-ppi 27143
This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  27628  pntibnd  27637  pnt3  27656
  Copyright terms: Public domain W3C validator