MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntpbnd1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntpbnd1a 27473
Description: Lemma for pntpbnd 27476. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
pntpbnd1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (expβ€˜(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1a.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
pntpbnd1a.2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ < 𝑁 ∧ 𝑁 ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)))
pntpbnd1a.3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘))))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1a (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) ≀ 𝐸)
Distinct variable group:   𝑁,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž)   𝑅(π‘Ž)   𝐸(π‘Ž)   𝐾(π‘Ž)   𝑋(π‘Ž)   π‘Œ(π‘Ž)

Proof of Theorem pntpbnd1a
StepHypRef Expression
1 pntpbnd1a.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
21nnrpd 13020 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
3 pntpbnd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
43pntrf 27451 . . . . . . 7 𝑅:ℝ+βŸΆβ„
54ffvelcdmi 7079 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ ℝ)
62, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ ℝ)
76, 2rerpdivcld 13053 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜π‘) / 𝑁) ∈ ℝ)
87recnd 11246 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜π‘) / 𝑁) ∈ β„‚)
98abscld 15389 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) ∈ ℝ)
102relogcld 26512 . . 3 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1110, 2rerpdivcld 13053 . 2 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) ∈ ℝ)
12 ioossre 13391 . . 3 (0(,)1) βŠ† ℝ
13 pntpbnd1.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0(,)1))
1412, 13sselid 3975 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
156recnd 11246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ β„‚)
161nnred 12231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1716recnd 11246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
181nnne0d 12266 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
1915, 17, 18absdivd 15408 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) = ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / (absβ€˜π‘)))
201nnnn0d 12536 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2120nn0ge0d 12539 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑁)
2216, 21absidd 15375 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘) = 𝑁)
2322oveq2d 7421 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / (absβ€˜π‘)) = ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / 𝑁))
2419, 23eqtrd 2766 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) = ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / 𝑁))
2515abscld 15389 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ∈ ℝ)
261peano2nnd 12233 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
27 vmacl 27005 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29 peano2rem 11531 . . . . . . . 8 ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ β†’ ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
3130recnd 11246 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
3231abscld 15389 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
33 pntpbnd1a.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘))))
3426nnrpd 13020 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
353pntrval 27450 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜(𝑁 + 1)) = ((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝑁 + 1)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜(𝑁 + 1)) = ((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝑁 + 1)))
373pntrval 27450 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜π‘) = ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ 𝑁))
382, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π‘) = ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ 𝑁))
3936, 38oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘)) = (((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝑁 + 1)) βˆ’ ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ 𝑁)))
40 peano2re 11391 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4116, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42 chpcl 27011 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4443recnd 11246 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
4541recnd 11246 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
46 chpcl 27011 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π‘) ∈ ℝ)
4716, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜π‘) ∈ ℝ)
4847recnd 11246 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜π‘) ∈ β„‚)
4944, 45, 48, 17sub4d 11624 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝑁 + 1)) βˆ’ ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ 𝑁)) = (((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (Οˆβ€˜π‘)) βˆ’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 𝑁)))
5028recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
51 chpp1 27042 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) = ((Οˆβ€˜π‘) + (Ξ›β€˜(𝑁 + 1))))
5220, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) = ((Οˆβ€˜π‘) + (Ξ›β€˜(𝑁 + 1))))
5348, 50, 52mvrladdd 11631 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (Οˆβ€˜π‘)) = (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)))
54 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
55 pncan2 11471 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 𝑁) = 1)
5617, 54, 55sylancl 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 𝑁) = 1)
5753, 56oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (Οˆβ€˜π‘)) βˆ’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 𝑁)) = ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1))
5839, 49, 573eqtrd 2770 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘)) = ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1))
5958fveq2d 6889 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘))) = (absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)))
6033, 59breqtrd 5167 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ≀ (absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)))
61 1red 11219 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
6261, 10resubcld 11646 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
63 0red 11221 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
64 2re 12290 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
65 eliooord 13389 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) β†’ (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
6613, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
6766simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐸)
6814, 67elrpd 13019 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
69 rerpdivcl 13010 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7064, 68, 69sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7164a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
72 1lt2 12387 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
7372a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 < 2)
74 2cn 12291 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„‚
7574div1i 11946 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
7666simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 < 1)
77 0lt1 11740 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
79 2pos 12319 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
81 ltdiv2 12104 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8214, 67, 61, 78, 71, 80, 81syl222anc 1383 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8376, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 / 1) < (2 / 𝐸))
8475, 83eqbrtrrid 5177 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 < (2 / 𝐸))
8561, 71, 70, 73, 84lttrd 11379 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 < (2 / 𝐸))
86 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (expβ€˜(2 / 𝐸))
8770rpefcld 16055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
8886, 87eqeltrid 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
8988rpred 13022 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
90 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞))
9188rpxrd 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
92 elioopnf 13426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℝ* β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝑋 < π‘Œ)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝑋 < π‘Œ)))
9490, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝑋 < π‘Œ))
9594simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
9694simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
97 pntpbnd1a.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ < 𝑁 ∧ 𝑁 ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)))
9897simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Œ < 𝑁)
9989, 95, 16, 96, 98lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 < 𝑁)
10086, 99eqbrtrrid 5177 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(2 / 𝐸)) < 𝑁)
1012reeflogd 26513 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘)) = 𝑁)
102100, 101breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(2 / 𝐸)) < (expβ€˜(logβ€˜π‘)))
103 eflt 16067 . . . . . . . . . . . 12 (((2 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ ((2 / 𝐸) < (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(2 / 𝐸)) < (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
10470, 10, 103syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) < (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(2 / 𝐸)) < (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
105102, 104mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) < (logβ€˜π‘))
10661, 70, 10, 85, 105lttrd 11379 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 < (logβ€˜π‘))
10761, 10, 106ltled 11366 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (logβ€˜π‘))
108 1re 11218 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
109 suble0 11732 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ ((1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ 0 ↔ 1 ≀ (logβ€˜π‘)))
110108, 10, 109sylancr 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ 0 ↔ 1 ≀ (logβ€˜π‘)))
111107, 110mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ 0)
112 vmage0 27008 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)))
11326, 112syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)))
11462, 63, 28, 111, 113letrd 11375 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)))
11534relogcld 26512 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
116 readdcl 11195 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ (1 + (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
117108, 10, 116sylancr 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 + (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
118 vmalelog 27093 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ≀ (logβ€˜(𝑁 + 1)))
11926, 118syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ≀ (logβ€˜(𝑁 + 1)))
12071, 16remulcld 11248 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
121 epr 16158 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
122 rpmulcl 13003 . . . . . . . . . . . 12 ((e ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (e Β· 𝑁) ∈ ℝ+)
123121, 2, 122sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (e Β· 𝑁) ∈ ℝ+)
124123rpred 13022 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (e Β· 𝑁) ∈ ℝ)
1251nnge1d 12264 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑁)
12661, 16, 16, 125leadd2dd 11833 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑁))
127172timesd 12459 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
128126, 127breqtrrd 5169 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ (2 Β· 𝑁))
129 ere 16039 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
130 egt2lt3 16156 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < e ∧ e < 3)
131130simpli 483 . . . . . . . . . . . . 13 2 < e
13264, 129, 131ltleii 11341 . . . . . . . . . . . 12 2 ≀ e
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ≀ e)
134129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ e ∈ ℝ)
1351nngt0d 12265 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑁)
136 lemul1 12070 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ (2 ≀ e ↔ (2 Β· 𝑁) ≀ (e Β· 𝑁)))
13771, 134, 16, 135, 136syl112anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 ≀ e ↔ (2 Β· 𝑁) ≀ (e Β· 𝑁)))
138133, 137mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ≀ (e Β· 𝑁))
13941, 120, 124, 128, 138letrd 11375 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ (e Β· 𝑁))
14034, 123logled 26516 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (e Β· 𝑁) ↔ (logβ€˜(𝑁 + 1)) ≀ (logβ€˜(e Β· 𝑁))))
141139, 140mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(𝑁 + 1)) ≀ (logβ€˜(e Β· 𝑁)))
142 relogmul 26481 . . . . . . . . . 10 ((e ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜(e Β· 𝑁)) = ((logβ€˜e) + (logβ€˜π‘)))
143121, 2, 142sylancr 586 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(e Β· 𝑁)) = ((logβ€˜e) + (logβ€˜π‘)))
144 loge 26475 . . . . . . . . . 10 (logβ€˜e) = 1
145144oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 ((logβ€˜e) + (logβ€˜π‘)) = (1 + (logβ€˜π‘))
146143, 145eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(e Β· 𝑁)) = (1 + (logβ€˜π‘)))
147141, 146breqtrd 5167 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(𝑁 + 1)) ≀ (1 + (logβ€˜π‘)))
14828, 115, 117, 119, 147letrd 11375 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ≀ (1 + (logβ€˜π‘)))
14928, 61, 10absdifled 15387 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)) ≀ (logβ€˜π‘) ↔ ((1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∧ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ≀ (1 + (logβ€˜π‘)))))
150114, 148, 149mpbir2and 710 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)) ≀ (logβ€˜π‘))
15125, 32, 10, 60, 150letrd 11375 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘))
15225, 10, 2, 151lediv1dd 13080 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / 𝑁) ≀ ((logβ€˜π‘) / 𝑁))
15324, 152eqbrtrd 5163 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) ≀ ((logβ€˜π‘) / 𝑁))
15488relogcld 26512 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
155154, 88rerpdivcld 13053 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋) ∈ ℝ)
15661, 70, 85ltled 11366 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (2 / 𝐸))
157 efle 16068 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ) β†’ (1 ≀ (2 / 𝐸) ↔ (expβ€˜1) ≀ (expβ€˜(2 / 𝐸))))
158108, 70, 157sylancr 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 ≀ (2 / 𝐸) ↔ (expβ€˜1) ≀ (expβ€˜(2 / 𝐸))))
159156, 158mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (expβ€˜1) ≀ (expβ€˜(2 / 𝐸)))
160 df-e 16018 . . . . . . 7 e = (expβ€˜1)
161159, 160, 863brtr4g 5175 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ e ≀ 𝑋)
162144, 107eqbrtrid 5176 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜e) ≀ (logβ€˜π‘))
163 logleb 26492 . . . . . . . 8 ((e ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (e ≀ 𝑁 ↔ (logβ€˜e) ≀ (logβ€˜π‘)))
164121, 2, 163sylancr 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (e ≀ 𝑁 ↔ (logβ€˜e) ≀ (logβ€˜π‘)))
165162, 164mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ e ≀ 𝑁)
166 logdivlt 26510 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ e ≀ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ e ≀ 𝑁)) β†’ (𝑋 < 𝑁 ↔ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) < ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋)))
16789, 161, 16, 165, 166syl22anc 836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 < 𝑁 ↔ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) < ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋)))
16899, 167mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) < ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋))
16986fveq2i 6888 . . . . . . 7 (logβ€˜π‘‹) = (logβ€˜(expβ€˜(2 / 𝐸)))
17070relogefd 26517 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(expβ€˜(2 / 𝐸))) = (2 / 𝐸))
171169, 170eqtrid 2778 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘‹) = (2 / 𝐸))
172171oveq1d 7420 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋) = ((2 / 𝐸) / 𝑋))
173 2rp 12985 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
174 rpdivcl 13005 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
175173, 68, 174sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
176175rpcnd 13024 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) ∈ β„‚)
177176sqvald 14113 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸)↑2) = ((2 / 𝐸) Β· (2 / 𝐸)))
178 2cnd 12294 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
17968rpcnne0d 13031 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 β‰  0))
180 div12 11898 . . . . . . . . . . 11 (((2 / 𝐸) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 β‰  0)) β†’ ((2 / 𝐸) Β· (2 / 𝐸)) = (2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
181176, 178, 179, 180syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) Β· (2 / 𝐸)) = (2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
182177, 181eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸)↑2) = (2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
183182oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2))
184175, 68rpdivcld 13039 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ ℝ+)
185184rpcnd 13024 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ β„‚)
186 2ne0 12320 . . . . . . . . . 10 2 β‰  0
187186a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
188185, 178, 187divcan3d 11999 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
189183, 188eqtrd 2766 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
19070resqcld 14095 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸)↑2) ∈ ℝ)
191190rehalfcld 12463 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) ∈ ℝ)
192 1rp 12984 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
193 rpaddcl 13002 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+) β†’ (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
194192, 175, 193sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
195194rpred 13022 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
196195, 191readdcld 11247 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) ∈ ℝ)
197191, 194ltaddrp2d 13056 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)))
198 efgt1p2 16064 . . . . . . . . . 10 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ+ β†’ ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (expβ€˜(2 / 𝐸)))
199175, 198syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (expβ€˜(2 / 𝐸)))
200199, 86breqtrrdi 5183 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < 𝑋)
201191, 196, 89, 197, 200lttrd 11379 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < 𝑋)
202189, 201eqbrtrrd 5165 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) / 𝐸) < 𝑋)
20370, 68, 88, 202ltdiv23d 13089 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) / 𝑋) < 𝐸)
204172, 203eqbrtrd 5163 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋) < 𝐸)
20511, 155, 14, 168, 204lttrd 11379 . . 3 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) < 𝐸)
20611, 14, 205ltled 11366 . 2 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) ≀ 𝐸)
2079, 11, 14, 153, 206letrd 11375 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) ≀ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  β„•0cn0 12476  β„+crp 12980  (,)cioo 13330  β†‘cexp 14032  abscabs 15187  expce 16011  eceu 16012  logclog 26443  Ξ›cvma 26979  Οˆcchp 26980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-e 16018  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-vma 26985  df-chp 26986
This theorem is referenced by:  pntpbnd1  27474
  Copyright terms: Public domain W3C validator