Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntpbnd1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntpbnd1a 26268
 Description: Lemma for pntpbnd 26271. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1a.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pntpbnd1a.2 (𝜑 → (𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
pntpbnd1a.3 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1a (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ 𝐸)
Distinct variable group:   𝑁,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐸(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd1a
StepHypRef Expression
1 pntpbnd1a.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnrpd 12470 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3 pntpbnd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
43pntrf 26246 . . . . . . 7 𝑅:ℝ+⟶ℝ
54ffvelrni 6841 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
76, 2rerpdivcld 12503 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
87recnd 10707 . . 3 (𝜑 → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
98abscld 14844 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
102relogcld 25313 . . 3 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
1110, 2rerpdivcld 12503 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
12 ioossre 12840 . . 3 (0(,)1) ⊆ ℝ
13 pntpbnd1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
1412, 13sseldi 3890 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
156recnd 10707 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝑁) ∈ ℂ)
161nnred 11689 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1716recnd 10707 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
181nnne0d 11724 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1915, 17, 18absdivd 14863 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / (abs‘𝑁)))
201nnnn0d 11994 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2120nn0ge0d 11997 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
2216, 21absidd 14830 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
2322oveq2d 7166 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝑁)) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁))
2419, 23eqtrd 2793 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁))
2515abscld 14844 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ∈ ℝ)
261peano2nnd 11691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
27 vmacl 25802 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29 peano2rem 10991 . . . . . . . 8 ((Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
3130recnd 10707 . . . . . 6 (𝜑 → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
3231abscld 14844 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
33 pntpbnd1a.3 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))))
3426nnrpd 12470 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
353pntrval 26245 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)))
373pntrval 26245 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
382, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
3936, 38oveq12d 7168 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁)) = (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)))
40 peano2re 10851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4116, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42 chpcl 25808 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4443recnd 10707 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
4541recnd 10707 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
46 chpcl 25808 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
4716, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
4847recnd 10707 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ψ‘𝑁) ∈ ℂ)
4944, 45, 48, 17sub4d 11084 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)) = (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) − ((𝑁 + 1) − 𝑁)))
5028recnd 10707 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
51 chpp1 25839 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ψ‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘𝑁) + (Λ‘(𝑁 + 1))))
5220, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘𝑁) + (Λ‘(𝑁 + 1))))
5348, 50, 52mvrladdd 11091 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) = (Λ‘(𝑁 + 1)))
54 ax-1cn 10633 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
55 pncan2 10931 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
5617, 54, 55sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
5753, 56oveq12d 7168 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) − ((𝑁 + 1) − 𝑁)) = ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1))
5839, 49, 573eqtrd 2797 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁)) = ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1))
5958fveq2d 6662 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))) = (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)))
6033, 59breqtrd 5058 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)))
61 1red 10680 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6261, 10resubcld 11106 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
63 0red 10682 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
64 2re 11748 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
65 eliooord 12838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
6613, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
6766simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐸)
6814, 67elrpd 12469 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
69 rerpdivcl 12460 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7064, 68, 69sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7164a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
72 1lt2 11845 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
7372a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < 2)
74 2cn 11749 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
7574div1i 11406 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
7666simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 < 1)
77 0lt1 11200 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 1)
79 2pos 11777 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 2)
81 ltdiv2 11564 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8214, 67, 61, 78, 71, 80, 81syl222anc 1383 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8376, 82mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 / 1) < (2 / 𝐸))
8475, 83eqbrtrrid 5068 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 < (2 / 𝐸))
8561, 71, 70, 73, 84lttrd 10839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (2 / 𝐸))
86 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
8770rpefcld 15506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
8886, 87eqeltrid 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
8988rpred 12472 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
90 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
9188rpxrd 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
92 elioopnf 12875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℝ* → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
9490, 93mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌))
9594simpld 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
9694simprd 499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 < 𝑌)
97 pntpbnd1a.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
9897simpld 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 < 𝑁)
9989, 95, 16, 96, 98lttrd 10839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 < 𝑁)
10086, 99eqbrtrrid 5068 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) < 𝑁)
1012reeflogd 25314 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(log‘𝑁)) = 𝑁)
102100, 101breqtrrd 5060 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁)))
103 eflt 15518 . . . . . . . . . . . 12 (((2 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((2 / 𝐸) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁))))
10470, 10, 103syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 / 𝐸) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁))))
105102, 104mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / 𝐸) < (log‘𝑁))
10661, 70, 10, 85, 105lttrd 10839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (log‘𝑁))
10761, 10, 106ltled 10826 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ (log‘𝑁))
108 1re 10679 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
109 suble0 11192 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((1 − (log‘𝑁)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (log‘𝑁)))
110108, 10, 109sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − (log‘𝑁)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (log‘𝑁)))
111107, 110mpbird 260 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ≤ 0)
112 vmage0 25805 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11326, 112syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11462, 63, 28, 111, 113letrd 10835 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11534relogcld 25313 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
116 readdcl 10658 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 + (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
117108, 10, 116sylancr 590 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
118 vmalelog 25888 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(𝑁 + 1)))
11926, 118syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(𝑁 + 1)))
12071, 16remulcld 10709 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
121 epr 15609 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
122 rpmulcl 12453 . . . . . . . . . . . 12 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (e · 𝑁) ∈ ℝ+)
123121, 2, 122sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (e · 𝑁) ∈ ℝ+)
124123rpred 12472 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (e · 𝑁) ∈ ℝ)
1251nnge1d 11722 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
12661, 16, 16, 125leadd2dd 11293 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑁))
127172timesd 11917 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
128126, 127breqtrrd 5060 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁))
129 ere 15490 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
130 egt2lt3 15607 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < e ∧ e < 3)
131130simpli 487 . . . . . . . . . . . . 13 2 < e
13264, 129, 131ltleii 10801 . . . . . . . . . . . 12 2 ≤ e
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ e)
134129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → e ∈ ℝ)
1351nngt0d 11723 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑁)
136 lemul1 11530 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁)))
13771, 134, 16, 135, 136syl112anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁)))
138133, 137mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁))
13941, 120, 124, 128, 138letrd 10835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (e · 𝑁))
14034, 123logled 25317 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) ≤ (e · 𝑁) ↔ (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑁))))
141139, 140mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑁)))
142 relogmul 25282 . . . . . . . . . 10 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (log‘(e · 𝑁)) = ((log‘e) + (log‘𝑁)))
143121, 2, 142sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(e · 𝑁)) = ((log‘e) + (log‘𝑁)))
144 loge 25277 . . . . . . . . . 10 (log‘e) = 1
145144oveq1i 7160 . . . . . . . . 9 ((log‘e) + (log‘𝑁)) = (1 + (log‘𝑁))
146143, 145eqtrdi 2809 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(e · 𝑁)) = (1 + (log‘𝑁)))
147141, 146breqtrd 5058 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))
14828, 115, 117, 119, 147letrd 10835 . . . . . 6 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))
14928, 61, 10absdifled 14842 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (log‘𝑁) ↔ ((1 − (log‘𝑁)) ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)) ∧ (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))))
150114, 148, 149mpbir2and 712 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (log‘𝑁))
15125, 32, 10, 60, 150letrd 10835 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (log‘𝑁))
15225, 10, 2, 151lediv1dd 12530 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁) ≤ ((log‘𝑁) / 𝑁))
15324, 152eqbrtrd 5054 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) / 𝑁))
15488relogcld 25313 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
155154, 88rerpdivcld 12503 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) ∈ ℝ)
15661, 70, 85ltled 10826 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ (2 / 𝐸))
157 efle 15519 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ) → (1 ≤ (2 / 𝐸) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸))))
158108, 70, 157sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 ≤ (2 / 𝐸) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸))))
159156, 158mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸)))
160 df-e 15470 . . . . . . 7 e = (exp‘1)
161159, 160, 863brtr4g 5066 . . . . . 6 (𝜑 → e ≤ 𝑋)
162144, 107eqbrtrid 5067 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘e) ≤ (log‘𝑁))
163 logleb 25293 . . . . . . . 8 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (e ≤ 𝑁 ↔ (log‘e) ≤ (log‘𝑁)))
164121, 2, 163sylancr 590 . . . . . . 7 (𝜑 → (e ≤ 𝑁 ↔ (log‘e) ≤ (log‘𝑁)))
165162, 164mpbird 260 . . . . . 6 (𝜑 → e ≤ 𝑁)
166 logdivlt 25311 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑁)) → (𝑋 < 𝑁 ↔ ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋)))
16789, 161, 16, 165, 166syl22anc 837 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 < 𝑁 ↔ ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋)))
16899, 167mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋))
16986fveq2i 6661 . . . . . . 7 (log‘𝑋) = (log‘(exp‘(2 / 𝐸)))
17070relogefd 25318 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(exp‘(2 / 𝐸))) = (2 / 𝐸))
171169, 170syl5eq 2805 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑋) = (2 / 𝐸))
172171oveq1d 7165 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) = ((2 / 𝐸) / 𝑋))
173 2rp 12435 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
174 rpdivcl 12455 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
175173, 68, 174sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
176175rpcnd 12474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℂ)
177176sqvald 13557 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) = ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)))
178 2cnd 11752 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
17968rpcnne0d 12481 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
180 div12 11358 . . . . . . . . . . 11 (((2 / 𝐸) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0)) → ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
181176, 178, 179, 180syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
182177, 181eqtrd 2793 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
183182oveq1d 7165 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2))
184175, 68rpdivcld 12489 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ ℝ+)
185184rpcnd 12474 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ ℂ)
186 2ne0 11778 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
187186a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≠ 0)
188185, 178, 187divcan3d 11459 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
189183, 188eqtrd 2793 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
19070resqcld 13661 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) ∈ ℝ)
191190rehalfcld 11921 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) ∈ ℝ)
192 1rp 12434 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
193 rpaddcl 12452 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+) → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
194192, 175, 193sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
195194rpred 12472 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
196195, 191readdcld 10708 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) ∈ ℝ)
197191, 194ltaddrp2d 12506 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)))
198 efgt1p2 15515 . . . . . . . . . 10 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ+ → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (exp‘(2 / 𝐸)))
199175, 198syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (exp‘(2 / 𝐸)))
200199, 86breqtrrdi 5074 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < 𝑋)
201191, 196, 89, 197, 200lttrd 10839 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < 𝑋)
202189, 201eqbrtrrd 5056 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) < 𝑋)
20370, 68, 88, 202ltdiv23d 12539 . . . . 5 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝑋) < 𝐸)
204172, 203eqbrtrd 5054 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) < 𝐸)
20511, 155, 14, 168, 204lttrd 10839 . . 3 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) < 𝐸)
20611, 14, 205ltled 10826 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) ≤ 𝐸)
2079, 11, 14, 153, 206letrd 10835 1 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580  +∞cpnf 10710  ℝ*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714   − cmin 10908   / cdiv 11335  ℕcn 11674  2c2 11729  3c3 11730  ℕ0cn0 11934  ℝ+crp 12430  (,)cioo 12779  ↑cexp 13479  abscabs 14641  expce 15463  eceu 15464  logclog 25245  Λcvma 25776  ψcchp 25777 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-oadd 8116  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-dju 9363  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ioo 12783  df-ioc 12784  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-mod 13287  df-seq 13419  df-exp 13480  df-fac 13684  df-bc 13713  df-hash 13741  df-shft 14474  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-limsup 14876  df-clim 14893  df-rlim 14894  df-sum 15091  df-ef 15469  df-e 15470  df-sin 15471  df-cos 15472  df-pi 15474  df-dvds 15656  df-gcd 15894  df-prm 16068  df-pc 16229  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-pt 16776  df-prds 16779  df-xrs 16833  df-qtop 16838  df-imas 16839  df-xps 16841  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-mulg 18292  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-fbas 20163  df-fg 20164  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cld 21719  df-ntr 21720  df-cls 21721  df-nei 21798  df-lp 21836  df-perf 21837  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-haus 22015  df-tx 22262  df-hmeo 22455  df-fil 22546  df-fm 22638  df-flim 22639  df-flf 22640  df-xms 23022  df-ms 23023  df-tms 23024  df-cncf 23579  df-limc 24565  df-dv 24566  df-log 25247  df-vma 25782  df-chp 25783 This theorem is referenced by:  pntpbnd1  26269
 Copyright terms: Public domain W3C validator