MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntpbnd1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntpbnd1a 27088
Description: Lemma for pntpbnd 27091. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
pntpbnd1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (expβ€˜(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1a.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
pntpbnd1a.2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ < 𝑁 ∧ 𝑁 ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)))
pntpbnd1a.3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘))))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1a (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) ≀ 𝐸)
Distinct variable group:   𝑁,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž)   𝑅(π‘Ž)   𝐸(π‘Ž)   𝐾(π‘Ž)   𝑋(π‘Ž)   π‘Œ(π‘Ž)

Proof of Theorem pntpbnd1a
StepHypRef Expression
1 pntpbnd1a.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
21nnrpd 13014 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
3 pntpbnd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
43pntrf 27066 . . . . . . 7 𝑅:ℝ+βŸΆβ„
54ffvelcdmi 7086 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ ℝ)
62, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ ℝ)
76, 2rerpdivcld 13047 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜π‘) / 𝑁) ∈ ℝ)
87recnd 11242 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜π‘) / 𝑁) ∈ β„‚)
98abscld 15383 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) ∈ ℝ)
102relogcld 26131 . . 3 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1110, 2rerpdivcld 13047 . 2 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) ∈ ℝ)
12 ioossre 13385 . . 3 (0(,)1) βŠ† ℝ
13 pntpbnd1.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0(,)1))
1412, 13sselid 3981 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
156recnd 11242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ β„‚)
161nnred 12227 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1716recnd 11242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
181nnne0d 12262 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
1915, 17, 18absdivd 15402 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) = ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / (absβ€˜π‘)))
201nnnn0d 12532 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2120nn0ge0d 12535 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑁)
2216, 21absidd 15369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘) = 𝑁)
2322oveq2d 7425 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / (absβ€˜π‘)) = ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / 𝑁))
2419, 23eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) = ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / 𝑁))
2515abscld 15383 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ∈ ℝ)
261peano2nnd 12229 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
27 vmacl 26622 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29 peano2rem 11527 . . . . . . . 8 ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ β†’ ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
3130recnd 11242 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
3231abscld 15383 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
33 pntpbnd1a.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘))))
3426nnrpd 13014 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
353pntrval 27065 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜(𝑁 + 1)) = ((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝑁 + 1)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜(𝑁 + 1)) = ((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝑁 + 1)))
373pntrval 27065 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜π‘) = ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ 𝑁))
382, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π‘) = ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ 𝑁))
3936, 38oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘)) = (((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝑁 + 1)) βˆ’ ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ 𝑁)))
40 peano2re 11387 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4116, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42 chpcl 26628 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4443recnd 11242 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
4541recnd 11242 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
46 chpcl 26628 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π‘) ∈ ℝ)
4716, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜π‘) ∈ ℝ)
4847recnd 11242 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜π‘) ∈ β„‚)
4944, 45, 48, 17sub4d 11620 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝑁 + 1)) βˆ’ ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ 𝑁)) = (((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (Οˆβ€˜π‘)) βˆ’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 𝑁)))
5028recnd 11242 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
51 chpp1 26659 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) = ((Οˆβ€˜π‘) + (Ξ›β€˜(𝑁 + 1))))
5220, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) = ((Οˆβ€˜π‘) + (Ξ›β€˜(𝑁 + 1))))
5348, 50, 52mvrladdd 11627 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (Οˆβ€˜π‘)) = (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)))
54 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
55 pncan2 11467 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 𝑁) = 1)
5617, 54, 55sylancl 587 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 𝑁) = 1)
5753, 56oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (Οˆβ€˜π‘)) βˆ’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 𝑁)) = ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1))
5839, 49, 573eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘)) = ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1))
5958fveq2d 6896 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘))) = (absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)))
6033, 59breqtrd 5175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ≀ (absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)))
61 1red 11215 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
6261, 10resubcld 11642 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
63 0red 11217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
64 2re 12286 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
65 eliooord 13383 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) β†’ (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
6613, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
6766simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐸)
6814, 67elrpd 13013 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
69 rerpdivcl 13004 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7064, 68, 69sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7164a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
72 1lt2 12383 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
7372a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 < 2)
74 2cn 12287 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„‚
7574div1i 11942 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
7666simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 < 1)
77 0lt1 11736 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
79 2pos 12315 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
81 ltdiv2 12100 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8214, 67, 61, 78, 71, 80, 81syl222anc 1387 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8376, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 / 1) < (2 / 𝐸))
8475, 83eqbrtrrid 5185 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 < (2 / 𝐸))
8561, 71, 70, 73, 84lttrd 11375 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 < (2 / 𝐸))
86 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (expβ€˜(2 / 𝐸))
8770rpefcld 16048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
8886, 87eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
8988rpred 13016 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
90 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞))
9188rpxrd 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
92 elioopnf 13420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℝ* β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝑋 < π‘Œ)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝑋 < π‘Œ)))
9490, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝑋 < π‘Œ))
9594simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
9694simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
97 pntpbnd1a.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ < 𝑁 ∧ 𝑁 ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)))
9897simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Œ < 𝑁)
9989, 95, 16, 96, 98lttrd 11375 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 < 𝑁)
10086, 99eqbrtrrid 5185 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(2 / 𝐸)) < 𝑁)
1012reeflogd 26132 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘)) = 𝑁)
102100, 101breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(2 / 𝐸)) < (expβ€˜(logβ€˜π‘)))
103 eflt 16060 . . . . . . . . . . . 12 (((2 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ ((2 / 𝐸) < (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(2 / 𝐸)) < (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
10470, 10, 103syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) < (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(2 / 𝐸)) < (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
105102, 104mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) < (logβ€˜π‘))
10661, 70, 10, 85, 105lttrd 11375 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 < (logβ€˜π‘))
10761, 10, 106ltled 11362 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (logβ€˜π‘))
108 1re 11214 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
109 suble0 11728 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ ((1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ 0 ↔ 1 ≀ (logβ€˜π‘)))
110108, 10, 109sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ 0 ↔ 1 ≀ (logβ€˜π‘)))
111107, 110mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ 0)
112 vmage0 26625 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)))
11326, 112syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)))
11462, 63, 28, 111, 113letrd 11371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)))
11534relogcld 26131 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
116 readdcl 11193 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ (1 + (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
117108, 10, 116sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 + (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
118 vmalelog 26708 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ≀ (logβ€˜(𝑁 + 1)))
11926, 118syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ≀ (logβ€˜(𝑁 + 1)))
12071, 16remulcld 11244 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
121 epr 16151 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
122 rpmulcl 12997 . . . . . . . . . . . 12 ((e ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (e Β· 𝑁) ∈ ℝ+)
123121, 2, 122sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (e Β· 𝑁) ∈ ℝ+)
124123rpred 13016 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (e Β· 𝑁) ∈ ℝ)
1251nnge1d 12260 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑁)
12661, 16, 16, 125leadd2dd 11829 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑁))
127172timesd 12455 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
128126, 127breqtrrd 5177 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ (2 Β· 𝑁))
129 ere 16032 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
130 egt2lt3 16149 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < e ∧ e < 3)
131130simpli 485 . . . . . . . . . . . . 13 2 < e
13264, 129, 131ltleii 11337 . . . . . . . . . . . 12 2 ≀ e
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ≀ e)
134129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ e ∈ ℝ)
1351nngt0d 12261 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑁)
136 lemul1 12066 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ (2 ≀ e ↔ (2 Β· 𝑁) ≀ (e Β· 𝑁)))
13771, 134, 16, 135, 136syl112anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 ≀ e ↔ (2 Β· 𝑁) ≀ (e Β· 𝑁)))
138133, 137mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ≀ (e Β· 𝑁))
13941, 120, 124, 128, 138letrd 11371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ (e Β· 𝑁))
14034, 123logled 26135 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (e Β· 𝑁) ↔ (logβ€˜(𝑁 + 1)) ≀ (logβ€˜(e Β· 𝑁))))
141139, 140mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(𝑁 + 1)) ≀ (logβ€˜(e Β· 𝑁)))
142 relogmul 26100 . . . . . . . . . 10 ((e ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜(e Β· 𝑁)) = ((logβ€˜e) + (logβ€˜π‘)))
143121, 2, 142sylancr 588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(e Β· 𝑁)) = ((logβ€˜e) + (logβ€˜π‘)))
144 loge 26095 . . . . . . . . . 10 (logβ€˜e) = 1
145144oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 ((logβ€˜e) + (logβ€˜π‘)) = (1 + (logβ€˜π‘))
146143, 145eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(e Β· 𝑁)) = (1 + (logβ€˜π‘)))
147141, 146breqtrd 5175 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(𝑁 + 1)) ≀ (1 + (logβ€˜π‘)))
14828, 115, 117, 119, 147letrd 11371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ≀ (1 + (logβ€˜π‘)))
14928, 61, 10absdifled 15381 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)) ≀ (logβ€˜π‘) ↔ ((1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∧ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ≀ (1 + (logβ€˜π‘)))))
150114, 148, 149mpbir2and 712 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)) ≀ (logβ€˜π‘))
15125, 32, 10, 60, 150letrd 11371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘))
15225, 10, 2, 151lediv1dd 13074 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / 𝑁) ≀ ((logβ€˜π‘) / 𝑁))
15324, 152eqbrtrd 5171 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) ≀ ((logβ€˜π‘) / 𝑁))
15488relogcld 26131 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
155154, 88rerpdivcld 13047 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋) ∈ ℝ)
15661, 70, 85ltled 11362 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (2 / 𝐸))
157 efle 16061 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ) β†’ (1 ≀ (2 / 𝐸) ↔ (expβ€˜1) ≀ (expβ€˜(2 / 𝐸))))
158108, 70, 157sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 ≀ (2 / 𝐸) ↔ (expβ€˜1) ≀ (expβ€˜(2 / 𝐸))))
159156, 158mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (expβ€˜1) ≀ (expβ€˜(2 / 𝐸)))
160 df-e 16012 . . . . . . 7 e = (expβ€˜1)
161159, 160, 863brtr4g 5183 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ e ≀ 𝑋)
162144, 107eqbrtrid 5184 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜e) ≀ (logβ€˜π‘))
163 logleb 26111 . . . . . . . 8 ((e ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (e ≀ 𝑁 ↔ (logβ€˜e) ≀ (logβ€˜π‘)))
164121, 2, 163sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (e ≀ 𝑁 ↔ (logβ€˜e) ≀ (logβ€˜π‘)))
165162, 164mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ e ≀ 𝑁)
166 logdivlt 26129 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ e ≀ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ e ≀ 𝑁)) β†’ (𝑋 < 𝑁 ↔ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) < ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋)))
16789, 161, 16, 165, 166syl22anc 838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 < 𝑁 ↔ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) < ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋)))
16899, 167mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) < ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋))
16986fveq2i 6895 . . . . . . 7 (logβ€˜π‘‹) = (logβ€˜(expβ€˜(2 / 𝐸)))
17070relogefd 26136 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(expβ€˜(2 / 𝐸))) = (2 / 𝐸))
171169, 170eqtrid 2785 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘‹) = (2 / 𝐸))
172171oveq1d 7424 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋) = ((2 / 𝐸) / 𝑋))
173 2rp 12979 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
174 rpdivcl 12999 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
175173, 68, 174sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
176175rpcnd 13018 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) ∈ β„‚)
177176sqvald 14108 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸)↑2) = ((2 / 𝐸) Β· (2 / 𝐸)))
178 2cnd 12290 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
17968rpcnne0d 13025 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 β‰  0))
180 div12 11894 . . . . . . . . . . 11 (((2 / 𝐸) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 β‰  0)) β†’ ((2 / 𝐸) Β· (2 / 𝐸)) = (2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
181176, 178, 179, 180syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) Β· (2 / 𝐸)) = (2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
182177, 181eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸)↑2) = (2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
183182oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2))
184175, 68rpdivcld 13033 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ ℝ+)
185184rpcnd 13018 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ β„‚)
186 2ne0 12316 . . . . . . . . . 10 2 β‰  0
187186a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
188185, 178, 187divcan3d 11995 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
189183, 188eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
19070resqcld 14090 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸)↑2) ∈ ℝ)
191190rehalfcld 12459 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) ∈ ℝ)
192 1rp 12978 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
193 rpaddcl 12996 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+) β†’ (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
194192, 175, 193sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
195194rpred 13016 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
196195, 191readdcld 11243 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) ∈ ℝ)
197191, 194ltaddrp2d 13050 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)))
198 efgt1p2 16057 . . . . . . . . . 10 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ+ β†’ ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (expβ€˜(2 / 𝐸)))
199175, 198syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (expβ€˜(2 / 𝐸)))
200199, 86breqtrrdi 5191 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < 𝑋)
201191, 196, 89, 197, 200lttrd 11375 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < 𝑋)
202189, 201eqbrtrrd 5173 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) / 𝐸) < 𝑋)
20370, 68, 88, 202ltdiv23d 13083 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) / 𝑋) < 𝐸)
204172, 203eqbrtrd 5171 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋) < 𝐸)
20511, 155, 14, 168, 204lttrd 11375 . . 3 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) < 𝐸)
20611, 14, 205ltled 11362 . 2 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) ≀ 𝐸)
2079, 11, 14, 153, 206letrd 11371 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) ≀ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  β„•0cn0 12472  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  β†‘cexp 14027  abscabs 15181  expce 16005  eceu 16006  logclog 26063  Ξ›cvma 26596  Οˆcchp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-vma 26602  df-chp 26603
This theorem is referenced by:  pntpbnd1  27089
  Copyright terms: Public domain W3C validator