MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntpbnd1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntpbnd1a 25730
Description: Lemma for pntpbnd 25733. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1a.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pntpbnd1a.2 (𝜑 → (𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
pntpbnd1a.3 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1a (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ 𝐸)
Distinct variable group:   𝑁,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐸(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd1a
StepHypRef Expression
1 pntpbnd1a.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnrpd 12183 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3 pntpbnd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
43pntrf 25708 . . . . . . 7 𝑅:ℝ+⟶ℝ
54ffvelrni 6624 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
76, 2rerpdivcld 12216 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
87recnd 10407 . . 3 (𝜑 → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
98abscld 14587 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
102relogcld 24810 . . 3 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
1110, 2rerpdivcld 12216 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
12 ioossre 12551 . . 3 (0(,)1) ⊆ ℝ
13 pntpbnd1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
1412, 13sseldi 3819 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
156recnd 10407 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝑁) ∈ ℂ)
161nnred 11395 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1716recnd 10407 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
181nnne0d 11429 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1915, 17, 18absdivd 14606 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / (abs‘𝑁)))
201nnnn0d 11706 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2120nn0ge0d 11709 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
2216, 21absidd 14573 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
2322oveq2d 6940 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝑁)) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁))
2419, 23eqtrd 2814 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁))
2515abscld 14587 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ∈ ℝ)
261peano2nnd 11397 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
27 vmacl 25300 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29 peano2rem 10692 . . . . . . . 8 ((Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
3130recnd 10407 . . . . . 6 (𝜑 → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
3231abscld 14587 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
33 pntpbnd1a.3 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))))
3426nnrpd 12183 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
353pntrval 25707 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)))
373pntrval 25707 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
382, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
3936, 38oveq12d 6942 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁)) = (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)))
40 peano2re 10551 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4116, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42 chpcl 25306 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4443recnd 10407 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
4541recnd 10407 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
46 chpcl 25306 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
4716, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
4847recnd 10407 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ψ‘𝑁) ∈ ℂ)
4944, 45, 48, 17sub4d 10785 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)) = (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) − ((𝑁 + 1) − 𝑁)))
5028recnd 10407 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
51 chpp1 25337 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ψ‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘𝑁) + (Λ‘(𝑁 + 1))))
5220, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘𝑁) + (Λ‘(𝑁 + 1))))
5348, 50, 52mvrladdd 10790 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) = (Λ‘(𝑁 + 1)))
54 ax-1cn 10332 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
55 pncan2 10631 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
5617, 54, 55sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
5753, 56oveq12d 6942 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) − ((𝑁 + 1) − 𝑁)) = ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1))
5839, 49, 573eqtrd 2818 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁)) = ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1))
5958fveq2d 6452 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))) = (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)))
6033, 59breqtrd 4914 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)))
61 1red 10379 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6261, 10resubcld 10805 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
63 0red 10382 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
64 2re 11453 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
65 eliooord 12549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
6613, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
6766simpld 490 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐸)
6814, 67elrpd 12182 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
69 rerpdivcl 12173 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7064, 68, 69sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7164a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
72 1lt2 11557 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
7372a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < 2)
74 2cn 11454 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
7574div1i 11105 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
7666simprd 491 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 < 1)
77 0lt1 10899 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 1)
79 2pos 11489 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 2)
81 ltdiv2 11265 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8214, 67, 61, 78, 71, 80, 81syl222anc 1454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8376, 82mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 / 1) < (2 / 𝐸))
8475, 83syl5eqbrr 4924 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 < (2 / 𝐸))
8561, 71, 70, 73, 84lttrd 10539 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (2 / 𝐸))
86 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
8770rpefcld 15241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
8886, 87syl5eqel 2863 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
8988rpred 12185 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
90 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
9188rpxrd 12186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
92 elioopnf 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℝ* → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
9490, 93mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌))
9594simpld 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
9694simprd 491 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 < 𝑌)
97 pntpbnd1a.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
9897simpld 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 < 𝑁)
9989, 95, 16, 96, 98lttrd 10539 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 < 𝑁)
10086, 99syl5eqbrr 4924 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) < 𝑁)
1012reeflogd 24811 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(log‘𝑁)) = 𝑁)
102100, 101breqtrrd 4916 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁)))
103 eflt 15253 . . . . . . . . . . . 12 (((2 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((2 / 𝐸) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁))))
10470, 10, 103syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 / 𝐸) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁))))
105102, 104mpbird 249 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / 𝐸) < (log‘𝑁))
10661, 70, 10, 85, 105lttrd 10539 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (log‘𝑁))
10761, 10, 106ltled 10526 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ (log‘𝑁))
108 1re 10378 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
109 suble0 10891 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((1 − (log‘𝑁)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (log‘𝑁)))
110108, 10, 109sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − (log‘𝑁)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (log‘𝑁)))
111107, 110mpbird 249 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ≤ 0)
112 vmage0 25303 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11326, 112syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11462, 63, 28, 111, 113letrd 10535 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11534relogcld 24810 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
116 readdcl 10357 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 + (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
117108, 10, 116sylancr 581 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
118 vmalelog 25386 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(𝑁 + 1)))
11926, 118syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(𝑁 + 1)))
12071, 16remulcld 10409 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
121 epr 15344 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
122 rpmulcl 12166 . . . . . . . . . . . 12 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (e · 𝑁) ∈ ℝ+)
123121, 2, 122sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (e · 𝑁) ∈ ℝ+)
124123rpred 12185 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (e · 𝑁) ∈ ℝ)
1251nnge1d 11427 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
12661, 16, 16, 125leadd2dd 10992 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑁))
127172timesd 11629 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
128126, 127breqtrrd 4916 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁))
129 ere 15225 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
130 egt2lt3 15342 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < e ∧ e < 3)
131130simpli 478 . . . . . . . . . . . . 13 2 < e
13264, 129, 131ltleii 10501 . . . . . . . . . . . 12 2 ≤ e
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ e)
134129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → e ∈ ℝ)
1351nngt0d 11428 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑁)
136 lemul1 11231 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁)))
13771, 134, 16, 135, 136syl112anc 1442 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁)))
138133, 137mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁))
13941, 120, 124, 128, 138letrd 10535 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (e · 𝑁))
14034, 123logled 24814 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) ≤ (e · 𝑁) ↔ (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑁))))
141139, 140mpbid 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑁)))
142 relogmul 24779 . . . . . . . . . 10 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (log‘(e · 𝑁)) = ((log‘e) + (log‘𝑁)))
143121, 2, 142sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(e · 𝑁)) = ((log‘e) + (log‘𝑁)))
144 loge 24774 . . . . . . . . . 10 (log‘e) = 1
145144oveq1i 6934 . . . . . . . . 9 ((log‘e) + (log‘𝑁)) = (1 + (log‘𝑁))
146143, 145syl6eq 2830 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(e · 𝑁)) = (1 + (log‘𝑁)))
147141, 146breqtrd 4914 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))
14828, 115, 117, 119, 147letrd 10535 . . . . . 6 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))
14928, 61, 10absdifled 14585 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (log‘𝑁) ↔ ((1 − (log‘𝑁)) ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)) ∧ (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))))
150114, 148, 149mpbir2and 703 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (log‘𝑁))
15125, 32, 10, 60, 150letrd 10535 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (log‘𝑁))
15225, 10, 2, 151lediv1dd 12243 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁) ≤ ((log‘𝑁) / 𝑁))
15324, 152eqbrtrd 4910 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) / 𝑁))
15488relogcld 24810 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
155154, 88rerpdivcld 12216 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) ∈ ℝ)
15661, 70, 85ltled 10526 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ (2 / 𝐸))
157 efle 15254 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ) → (1 ≤ (2 / 𝐸) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸))))
158108, 70, 157sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 ≤ (2 / 𝐸) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸))))
159156, 158mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸)))
160 df-e 15205 . . . . . . 7 e = (exp‘1)
161159, 160, 863brtr4g 4922 . . . . . 6 (𝜑 → e ≤ 𝑋)
162144, 107syl5eqbr 4923 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘e) ≤ (log‘𝑁))
163 logleb 24790 . . . . . . . 8 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (e ≤ 𝑁 ↔ (log‘e) ≤ (log‘𝑁)))
164121, 2, 163sylancr 581 . . . . . . 7 (𝜑 → (e ≤ 𝑁 ↔ (log‘e) ≤ (log‘𝑁)))
165162, 164mpbird 249 . . . . . 6 (𝜑 → e ≤ 𝑁)
166 logdivlt 24808 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑁)) → (𝑋 < 𝑁 ↔ ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋)))
16789, 161, 16, 165, 166syl22anc 829 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 < 𝑁 ↔ ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋)))
16899, 167mpbid 224 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋))
16986fveq2i 6451 . . . . . . 7 (log‘𝑋) = (log‘(exp‘(2 / 𝐸)))
17070relogefd 24815 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(exp‘(2 / 𝐸))) = (2 / 𝐸))
171169, 170syl5eq 2826 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑋) = (2 / 𝐸))
172171oveq1d 6939 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) = ((2 / 𝐸) / 𝑋))
173 2rp 12146 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
174 rpdivcl 12168 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
175173, 68, 174sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
176175rpcnd 12187 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℂ)
177176sqvald 13328 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) = ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)))
178 2cnd 11457 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
17968rpcnne0d 12194 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
180 div12 11057 . . . . . . . . . . 11 (((2 / 𝐸) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0)) → ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
181176, 178, 179, 180syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
182177, 181eqtrd 2814 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
183182oveq1d 6939 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2))
184175, 68rpdivcld 12202 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ ℝ+)
185184rpcnd 12187 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ ℂ)
186 2ne0 11490 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
187186a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≠ 0)
188185, 178, 187divcan3d 11158 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
189183, 188eqtrd 2814 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
19070resqcld 13360 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) ∈ ℝ)
191190rehalfcld 11633 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) ∈ ℝ)
192 1rp 12145 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
193 rpaddcl 12165 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+) → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
194192, 175, 193sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
195194rpred 12185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
196195, 191readdcld 10408 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) ∈ ℝ)
197191, 194ltaddrp2d 12219 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)))
198 efgt1p2 15250 . . . . . . . . . 10 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ+ → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (exp‘(2 / 𝐸)))
199175, 198syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (exp‘(2 / 𝐸)))
200199, 86syl6breqr 4930 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < 𝑋)
201191, 196, 89, 197, 200lttrd 10539 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < 𝑋)
202189, 201eqbrtrrd 4912 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) < 𝑋)
20370, 68, 88, 202ltdiv23d 12252 . . . . 5 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝑋) < 𝐸)
204172, 203eqbrtrd 4910 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) < 𝐸)
20511, 155, 14, 168, 204lttrd 10539 . . 3 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) < 𝐸)
20611, 14, 205ltled 10526 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) ≤ 𝐸)
2079, 11, 14, 153, 206letrd 10535 1 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969   class class class wbr 4888  cmpt 4967  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279  +∞cpnf 10410  *cxr 10412   < clt 10413  cle 10414  cmin 10608   / cdiv 11034  cn 11378  2c2 11434  3c3 11435  0cn0 11646  +crp 12141  (,)cioo 12491  cexp 13182  abscabs 14385  expce 15198  eceu 15199  logclog 24742  Λcvma 25274  ψcchp 25275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-ioo 12495  df-ioc 12496  df-ico 12497  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-mod 12992  df-seq 13124  df-exp 13183  df-fac 13383  df-bc 13412  df-hash 13440  df-shft 14218  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-limsup 14614  df-clim 14631  df-rlim 14632  df-sum 14829  df-ef 15204  df-e 15205  df-sin 15206  df-cos 15207  df-pi 15209  df-dvds 15392  df-gcd 15627  df-prm 15795  df-pc 15950  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-hom 16366  df-cco 16367  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-pt 16495  df-prds 16498  df-xrs 16552  df-qtop 16557  df-imas 16558  df-xps 16560  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-mulg 17932  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-fbas 20143  df-fg 20144  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-nei 21314  df-lp 21352  df-perf 21353  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-haus 21531  df-tx 21778  df-hmeo 21971  df-fil 22062  df-fm 22154  df-flim 22155  df-flf 22156  df-xms 22537  df-ms 22538  df-tms 22539  df-cncf 23093  df-limc 24071  df-dv 24072  df-log 24744  df-vma 25280  df-chp 25281
This theorem is referenced by:  pntpbnd1  25731
  Copyright terms: Public domain W3C validator