MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntpbnd1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntpbnd1a 26949
Description: Lemma for pntpbnd 26952. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
pntpbnd1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (expβ€˜(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1a.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
pntpbnd1a.2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ < 𝑁 ∧ 𝑁 ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)))
pntpbnd1a.3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘))))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1a (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) ≀ 𝐸)
Distinct variable group:   𝑁,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž)   𝑅(π‘Ž)   𝐸(π‘Ž)   𝐾(π‘Ž)   𝑋(π‘Ž)   π‘Œ(π‘Ž)

Proof of Theorem pntpbnd1a
StepHypRef Expression
1 pntpbnd1a.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
21nnrpd 12960 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
3 pntpbnd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
43pntrf 26927 . . . . . . 7 𝑅:ℝ+βŸΆβ„
54ffvelcdmi 7035 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ ℝ)
62, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ ℝ)
76, 2rerpdivcld 12993 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜π‘) / 𝑁) ∈ ℝ)
87recnd 11188 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜π‘) / 𝑁) ∈ β„‚)
98abscld 15327 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) ∈ ℝ)
102relogcld 25994 . . 3 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1110, 2rerpdivcld 12993 . 2 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) ∈ ℝ)
12 ioossre 13331 . . 3 (0(,)1) βŠ† ℝ
13 pntpbnd1.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0(,)1))
1412, 13sselid 3943 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
156recnd 11188 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ β„‚)
161nnred 12173 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1716recnd 11188 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
181nnne0d 12208 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
1915, 17, 18absdivd 15346 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) = ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / (absβ€˜π‘)))
201nnnn0d 12478 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2120nn0ge0d 12481 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑁)
2216, 21absidd 15313 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘) = 𝑁)
2322oveq2d 7374 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / (absβ€˜π‘)) = ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / 𝑁))
2419, 23eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) = ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / 𝑁))
2515abscld 15327 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ∈ ℝ)
261peano2nnd 12175 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
27 vmacl 26483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29 peano2rem 11473 . . . . . . . 8 ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ β†’ ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
3130recnd 11188 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
3231abscld 15327 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
33 pntpbnd1a.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘))))
3426nnrpd 12960 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
353pntrval 26926 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜(𝑁 + 1)) = ((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝑁 + 1)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜(𝑁 + 1)) = ((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝑁 + 1)))
373pntrval 26926 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜π‘) = ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ 𝑁))
382, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π‘) = ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ 𝑁))
3936, 38oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘)) = (((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝑁 + 1)) βˆ’ ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ 𝑁)))
40 peano2re 11333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4116, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42 chpcl 26489 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4443recnd 11188 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
4541recnd 11188 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
46 chpcl 26489 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π‘) ∈ ℝ)
4716, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜π‘) ∈ ℝ)
4847recnd 11188 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜π‘) ∈ β„‚)
4944, 45, 48, 17sub4d 11566 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝑁 + 1)) βˆ’ ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ 𝑁)) = (((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (Οˆβ€˜π‘)) βˆ’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 𝑁)))
5028recnd 11188 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
51 chpp1 26520 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) = ((Οˆβ€˜π‘) + (Ξ›β€˜(𝑁 + 1))))
5220, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) = ((Οˆβ€˜π‘) + (Ξ›β€˜(𝑁 + 1))))
5348, 50, 52mvrladdd 11573 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (Οˆβ€˜π‘)) = (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)))
54 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
55 pncan2 11413 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 𝑁) = 1)
5617, 54, 55sylancl 587 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 𝑁) = 1)
5753, 56oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (Οˆβ€˜π‘)) βˆ’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 𝑁)) = ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1))
5839, 49, 573eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘)) = ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1))
5958fveq2d 6847 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘))) = (absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)))
6033, 59breqtrd 5132 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ≀ (absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)))
61 1red 11161 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
6261, 10resubcld 11588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
63 0red 11163 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
64 2re 12232 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
65 eliooord 13329 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) β†’ (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
6613, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
6766simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐸)
6814, 67elrpd 12959 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
69 rerpdivcl 12950 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7064, 68, 69sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7164a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
72 1lt2 12329 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
7372a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 < 2)
74 2cn 12233 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„‚
7574div1i 11888 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
7666simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 < 1)
77 0lt1 11682 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
79 2pos 12261 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
81 ltdiv2 12046 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8214, 67, 61, 78, 71, 80, 81syl222anc 1387 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8376, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 / 1) < (2 / 𝐸))
8475, 83eqbrtrrid 5142 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 < (2 / 𝐸))
8561, 71, 70, 73, 84lttrd 11321 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 < (2 / 𝐸))
86 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (expβ€˜(2 / 𝐸))
8770rpefcld 15992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
8886, 87eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
8988rpred 12962 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
90 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞))
9188rpxrd 12963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
92 elioopnf 13366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℝ* β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝑋 < π‘Œ)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝑋 < π‘Œ)))
9490, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝑋 < π‘Œ))
9594simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
9694simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
97 pntpbnd1a.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ < 𝑁 ∧ 𝑁 ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)))
9897simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Œ < 𝑁)
9989, 95, 16, 96, 98lttrd 11321 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 < 𝑁)
10086, 99eqbrtrrid 5142 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(2 / 𝐸)) < 𝑁)
1012reeflogd 25995 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘)) = 𝑁)
102100, 101breqtrrd 5134 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(2 / 𝐸)) < (expβ€˜(logβ€˜π‘)))
103 eflt 16004 . . . . . . . . . . . 12 (((2 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ ((2 / 𝐸) < (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(2 / 𝐸)) < (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
10470, 10, 103syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) < (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(2 / 𝐸)) < (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
105102, 104mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) < (logβ€˜π‘))
10661, 70, 10, 85, 105lttrd 11321 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 < (logβ€˜π‘))
10761, 10, 106ltled 11308 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (logβ€˜π‘))
108 1re 11160 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
109 suble0 11674 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ ((1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ 0 ↔ 1 ≀ (logβ€˜π‘)))
110108, 10, 109sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ 0 ↔ 1 ≀ (logβ€˜π‘)))
111107, 110mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ 0)
112 vmage0 26486 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)))
11326, 112syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)))
11462, 63, 28, 111, 113letrd 11317 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)))
11534relogcld 25994 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
116 readdcl 11139 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ (1 + (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
117108, 10, 116sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 + (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
118 vmalelog 26569 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ≀ (logβ€˜(𝑁 + 1)))
11926, 118syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ≀ (logβ€˜(𝑁 + 1)))
12071, 16remulcld 11190 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
121 epr 16095 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
122 rpmulcl 12943 . . . . . . . . . . . 12 ((e ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (e Β· 𝑁) ∈ ℝ+)
123121, 2, 122sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (e Β· 𝑁) ∈ ℝ+)
124123rpred 12962 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (e Β· 𝑁) ∈ ℝ)
1251nnge1d 12206 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑁)
12661, 16, 16, 125leadd2dd 11775 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑁))
127172timesd 12401 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
128126, 127breqtrrd 5134 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ (2 Β· 𝑁))
129 ere 15976 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
130 egt2lt3 16093 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < e ∧ e < 3)
131130simpli 485 . . . . . . . . . . . . 13 2 < e
13264, 129, 131ltleii 11283 . . . . . . . . . . . 12 2 ≀ e
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ≀ e)
134129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ e ∈ ℝ)
1351nngt0d 12207 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑁)
136 lemul1 12012 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ (2 ≀ e ↔ (2 Β· 𝑁) ≀ (e Β· 𝑁)))
13771, 134, 16, 135, 136syl112anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 ≀ e ↔ (2 Β· 𝑁) ≀ (e Β· 𝑁)))
138133, 137mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ≀ (e Β· 𝑁))
13941, 120, 124, 128, 138letrd 11317 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ (e Β· 𝑁))
14034, 123logled 25998 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (e Β· 𝑁) ↔ (logβ€˜(𝑁 + 1)) ≀ (logβ€˜(e Β· 𝑁))))
141139, 140mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(𝑁 + 1)) ≀ (logβ€˜(e Β· 𝑁)))
142 relogmul 25963 . . . . . . . . . 10 ((e ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜(e Β· 𝑁)) = ((logβ€˜e) + (logβ€˜π‘)))
143121, 2, 142sylancr 588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(e Β· 𝑁)) = ((logβ€˜e) + (logβ€˜π‘)))
144 loge 25958 . . . . . . . . . 10 (logβ€˜e) = 1
145144oveq1i 7368 . . . . . . . . 9 ((logβ€˜e) + (logβ€˜π‘)) = (1 + (logβ€˜π‘))
146143, 145eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(e Β· 𝑁)) = (1 + (logβ€˜π‘)))
147141, 146breqtrd 5132 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(𝑁 + 1)) ≀ (1 + (logβ€˜π‘)))
14828, 115, 117, 119, 147letrd 11317 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ≀ (1 + (logβ€˜π‘)))
14928, 61, 10absdifled 15325 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)) ≀ (logβ€˜π‘) ↔ ((1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∧ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ≀ (1 + (logβ€˜π‘)))))
150114, 148, 149mpbir2and 712 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)) ≀ (logβ€˜π‘))
15125, 32, 10, 60, 150letrd 11317 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘))
15225, 10, 2, 151lediv1dd 13020 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / 𝑁) ≀ ((logβ€˜π‘) / 𝑁))
15324, 152eqbrtrd 5128 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) ≀ ((logβ€˜π‘) / 𝑁))
15488relogcld 25994 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
155154, 88rerpdivcld 12993 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋) ∈ ℝ)
15661, 70, 85ltled 11308 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (2 / 𝐸))
157 efle 16005 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ) β†’ (1 ≀ (2 / 𝐸) ↔ (expβ€˜1) ≀ (expβ€˜(2 / 𝐸))))
158108, 70, 157sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 ≀ (2 / 𝐸) ↔ (expβ€˜1) ≀ (expβ€˜(2 / 𝐸))))
159156, 158mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (expβ€˜1) ≀ (expβ€˜(2 / 𝐸)))
160 df-e 15956 . . . . . . 7 e = (expβ€˜1)
161159, 160, 863brtr4g 5140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ e ≀ 𝑋)
162144, 107eqbrtrid 5141 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜e) ≀ (logβ€˜π‘))
163 logleb 25974 . . . . . . . 8 ((e ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (e ≀ 𝑁 ↔ (logβ€˜e) ≀ (logβ€˜π‘)))
164121, 2, 163sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (e ≀ 𝑁 ↔ (logβ€˜e) ≀ (logβ€˜π‘)))
165162, 164mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ e ≀ 𝑁)
166 logdivlt 25992 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ e ≀ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ e ≀ 𝑁)) β†’ (𝑋 < 𝑁 ↔ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) < ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋)))
16789, 161, 16, 165, 166syl22anc 838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 < 𝑁 ↔ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) < ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋)))
16899, 167mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) < ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋))
16986fveq2i 6846 . . . . . . 7 (logβ€˜π‘‹) = (logβ€˜(expβ€˜(2 / 𝐸)))
17070relogefd 25999 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(expβ€˜(2 / 𝐸))) = (2 / 𝐸))
171169, 170eqtrid 2785 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘‹) = (2 / 𝐸))
172171oveq1d 7373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋) = ((2 / 𝐸) / 𝑋))
173 2rp 12925 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
174 rpdivcl 12945 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
175173, 68, 174sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
176175rpcnd 12964 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) ∈ β„‚)
177176sqvald 14054 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸)↑2) = ((2 / 𝐸) Β· (2 / 𝐸)))
178 2cnd 12236 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
17968rpcnne0d 12971 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 β‰  0))
180 div12 11840 . . . . . . . . . . 11 (((2 / 𝐸) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 β‰  0)) β†’ ((2 / 𝐸) Β· (2 / 𝐸)) = (2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
181176, 178, 179, 180syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) Β· (2 / 𝐸)) = (2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
182177, 181eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸)↑2) = (2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
183182oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2))
184175, 68rpdivcld 12979 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ ℝ+)
185184rpcnd 12964 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ β„‚)
186 2ne0 12262 . . . . . . . . . 10 2 β‰  0
187186a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
188185, 178, 187divcan3d 11941 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
189183, 188eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
19070resqcld 14036 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸)↑2) ∈ ℝ)
191190rehalfcld 12405 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) ∈ ℝ)
192 1rp 12924 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
193 rpaddcl 12942 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+) β†’ (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
194192, 175, 193sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
195194rpred 12962 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
196195, 191readdcld 11189 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) ∈ ℝ)
197191, 194ltaddrp2d 12996 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)))
198 efgt1p2 16001 . . . . . . . . . 10 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ+ β†’ ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (expβ€˜(2 / 𝐸)))
199175, 198syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (expβ€˜(2 / 𝐸)))
200199, 86breqtrrdi 5148 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < 𝑋)
201191, 196, 89, 197, 200lttrd 11321 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < 𝑋)
202189, 201eqbrtrrd 5130 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) / 𝐸) < 𝑋)
20370, 68, 88, 202ltdiv23d 13029 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) / 𝑋) < 𝐸)
204172, 203eqbrtrd 5128 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋) < 𝐸)
20511, 155, 14, 168, 204lttrd 11321 . . 3 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) < 𝐸)
20611, 14, 205ltled 11308 . 2 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) ≀ 𝐸)
2079, 11, 14, 153, 206letrd 11317 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) ≀ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  β„•0cn0 12418  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  β†‘cexp 13973  abscabs 15125  expce 15949  eceu 15950  logclog 25926  Ξ›cvma 26457  Οˆcchp 26458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-e 15956  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553  df-pc 16714  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-vma 26463  df-chp 26464
This theorem is referenced by:  pntpbnd1  26950
  Copyright terms: Public domain W3C validator