MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntpbnd1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntpbnd1a 27536
Description: Lemma for pntpbnd 27539. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
pntpbnd1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (expβ€˜(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1a.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
pntpbnd1a.2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ < 𝑁 ∧ 𝑁 ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)))
pntpbnd1a.3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘))))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1a (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) ≀ 𝐸)
Distinct variable group:   𝑁,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž)   𝑅(π‘Ž)   𝐸(π‘Ž)   𝐾(π‘Ž)   𝑋(π‘Ž)   π‘Œ(π‘Ž)

Proof of Theorem pntpbnd1a
StepHypRef Expression
1 pntpbnd1a.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
21nnrpd 13046 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
3 pntpbnd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
43pntrf 27514 . . . . . . 7 𝑅:ℝ+βŸΆβ„
54ffvelcdmi 7088 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ ℝ)
62, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ ℝ)
76, 2rerpdivcld 13079 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜π‘) / 𝑁) ∈ ℝ)
87recnd 11272 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜π‘) / 𝑁) ∈ β„‚)
98abscld 15415 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) ∈ ℝ)
102relogcld 26575 . . 3 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
1110, 2rerpdivcld 13079 . 2 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) ∈ ℝ)
12 ioossre 13417 . . 3 (0(,)1) βŠ† ℝ
13 pntpbnd1.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0(,)1))
1412, 13sselid 3970 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
156recnd 11272 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π‘) ∈ β„‚)
161nnred 12257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1716recnd 11272 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
181nnne0d 12292 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
1915, 17, 18absdivd 15434 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) = ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / (absβ€˜π‘)))
201nnnn0d 12562 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2120nn0ge0d 12565 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑁)
2216, 21absidd 15401 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘) = 𝑁)
2322oveq2d 7432 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / (absβ€˜π‘)) = ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / 𝑁))
2419, 23eqtrd 2765 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) = ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / 𝑁))
2515abscld 15415 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ∈ ℝ)
261peano2nnd 12259 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
27 vmacl 27068 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29 peano2rem 11557 . . . . . . . 8 ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ β†’ ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
3130recnd 11272 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
3231abscld 15415 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
33 pntpbnd1a.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘))))
3426nnrpd 13046 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
353pntrval 27513 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜(𝑁 + 1)) = ((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝑁 + 1)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜(𝑁 + 1)) = ((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝑁 + 1)))
373pntrval 27513 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜π‘) = ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ 𝑁))
382, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π‘) = ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ 𝑁))
3936, 38oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘)) = (((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝑁 + 1)) βˆ’ ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ 𝑁)))
40 peano2re 11417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4116, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42 chpcl 27074 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4443recnd 11272 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
4541recnd 11272 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
46 chpcl 27074 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π‘) ∈ ℝ)
4716, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜π‘) ∈ ℝ)
4847recnd 11272 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜π‘) ∈ β„‚)
4944, 45, 48, 17sub4d 11650 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝑁 + 1)) βˆ’ ((Οˆβ€˜π‘) βˆ’ 𝑁)) = (((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (Οˆβ€˜π‘)) βˆ’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 𝑁)))
5028recnd 11272 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
51 chpp1 27105 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) = ((Οˆβ€˜π‘) + (Ξ›β€˜(𝑁 + 1))))
5220, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) = ((Οˆβ€˜π‘) + (Ξ›β€˜(𝑁 + 1))))
5348, 50, 52mvrladdd 11657 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (Οˆβ€˜π‘)) = (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)))
54 ax-1cn 11196 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
55 pncan2 11497 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 𝑁) = 1)
5617, 54, 55sylancl 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 𝑁) = 1)
5753, 56oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((Οˆβ€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (Οˆβ€˜π‘)) βˆ’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 𝑁)) = ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1))
5839, 49, 573eqtrd 2769 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘)) = ((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1))
5958fveq2d 6896 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘))) = (absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)))
6033, 59breqtrd 5169 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ≀ (absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)))
61 1red 11245 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
6261, 10resubcld 11672 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
63 0red 11247 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
64 2re 12316 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
65 eliooord 13415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) β†’ (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
6613, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
6766simpld 493 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐸)
6814, 67elrpd 13045 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
69 rerpdivcl 13036 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7064, 68, 69sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7164a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
72 1lt2 12413 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
7372a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 < 2)
74 2cn 12317 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„‚
7574div1i 11972 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
7666simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 < 1)
77 0lt1 11766 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
79 2pos 12345 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
81 ltdiv2 12130 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8214, 67, 61, 78, 71, 80, 81syl222anc 1383 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8376, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 / 1) < (2 / 𝐸))
8475, 83eqbrtrrid 5179 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 < (2 / 𝐸))
8561, 71, 70, 73, 84lttrd 11405 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 < (2 / 𝐸))
86 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (expβ€˜(2 / 𝐸))
8770rpefcld 16081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
8886, 87eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
8988rpred 13048 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
90 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞))
9188rpxrd 13049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
92 elioopnf 13452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℝ* β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝑋 < π‘Œ)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝑋 < π‘Œ)))
9490, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝑋 < π‘Œ))
9594simpld 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
9694simprd 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
97 pntpbnd1a.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ < 𝑁 ∧ 𝑁 ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)))
9897simpld 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Œ < 𝑁)
9989, 95, 16, 96, 98lttrd 11405 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 < 𝑁)
10086, 99eqbrtrrid 5179 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(2 / 𝐸)) < 𝑁)
1012reeflogd 26576 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘)) = 𝑁)
102100, 101breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(2 / 𝐸)) < (expβ€˜(logβ€˜π‘)))
103 eflt 16093 . . . . . . . . . . . 12 (((2 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ ((2 / 𝐸) < (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(2 / 𝐸)) < (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
10470, 10, 103syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) < (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(2 / 𝐸)) < (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
105102, 104mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) < (logβ€˜π‘))
10661, 70, 10, 85, 105lttrd 11405 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 < (logβ€˜π‘))
10761, 10, 106ltled 11392 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (logβ€˜π‘))
108 1re 11244 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
109 suble0 11758 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ ((1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ 0 ↔ 1 ≀ (logβ€˜π‘)))
110108, 10, 109sylancr 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ 0 ↔ 1 ≀ (logβ€˜π‘)))
111107, 110mpbird 256 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ 0)
112 vmage0 27071 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)))
11326, 112syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)))
11462, 63, 28, 111, 113letrd 11401 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)))
11534relogcld 26575 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
116 readdcl 11221 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ (1 + (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
117108, 10, 116sylancr 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 + (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
118 vmalelog 27156 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ≀ (logβ€˜(𝑁 + 1)))
11926, 118syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ≀ (logβ€˜(𝑁 + 1)))
12071, 16remulcld 11274 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
121 epr 16184 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
122 rpmulcl 13029 . . . . . . . . . . . 12 ((e ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (e Β· 𝑁) ∈ ℝ+)
123121, 2, 122sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (e Β· 𝑁) ∈ ℝ+)
124123rpred 13048 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (e Β· 𝑁) ∈ ℝ)
1251nnge1d 12290 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑁)
12661, 16, 16, 125leadd2dd 11859 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ (𝑁 + 𝑁))
127172timesd 12485 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
128126, 127breqtrrd 5171 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ (2 Β· 𝑁))
129 ere 16065 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
130 egt2lt3 16182 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < e ∧ e < 3)
131130simpli 482 . . . . . . . . . . . . 13 2 < e
13264, 129, 131ltleii 11367 . . . . . . . . . . . 12 2 ≀ e
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ≀ e)
134129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ e ∈ ℝ)
1351nngt0d 12291 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑁)
136 lemul1 12096 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ (2 ≀ e ↔ (2 Β· 𝑁) ≀ (e Β· 𝑁)))
13771, 134, 16, 135, 136syl112anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 ≀ e ↔ (2 Β· 𝑁) ≀ (e Β· 𝑁)))
138133, 137mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ≀ (e Β· 𝑁))
13941, 120, 124, 128, 138letrd 11401 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ (e Β· 𝑁))
14034, 123logled 26579 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) ≀ (e Β· 𝑁) ↔ (logβ€˜(𝑁 + 1)) ≀ (logβ€˜(e Β· 𝑁))))
141139, 140mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(𝑁 + 1)) ≀ (logβ€˜(e Β· 𝑁)))
142 relogmul 26544 . . . . . . . . . 10 ((e ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜(e Β· 𝑁)) = ((logβ€˜e) + (logβ€˜π‘)))
143121, 2, 142sylancr 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(e Β· 𝑁)) = ((logβ€˜e) + (logβ€˜π‘)))
144 loge 26538 . . . . . . . . . 10 (logβ€˜e) = 1
145144oveq1i 7426 . . . . . . . . 9 ((logβ€˜e) + (logβ€˜π‘)) = (1 + (logβ€˜π‘))
146143, 145eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(e Β· 𝑁)) = (1 + (logβ€˜π‘)))
147141, 146breqtrd 5169 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(𝑁 + 1)) ≀ (1 + (logβ€˜π‘)))
14828, 115, 117, 119, 147letrd 11401 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ≀ (1 + (logβ€˜π‘)))
14928, 61, 10absdifled 15413 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)) ≀ (logβ€˜π‘) ↔ ((1 βˆ’ (logβ€˜π‘)) ≀ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ∧ (Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) ≀ (1 + (logβ€˜π‘)))))
150114, 148, 149mpbir2and 711 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((Ξ›β€˜(𝑁 + 1)) βˆ’ 1)) ≀ (logβ€˜π‘))
15125, 32, 10, 60, 150letrd 11401 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘))
15225, 10, 2, 151lediv1dd 13106 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(π‘…β€˜π‘)) / 𝑁) ≀ ((logβ€˜π‘) / 𝑁))
15324, 152eqbrtrd 5165 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) ≀ ((logβ€˜π‘) / 𝑁))
15488relogcld 26575 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
155154, 88rerpdivcld 13079 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋) ∈ ℝ)
15661, 70, 85ltled 11392 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (2 / 𝐸))
157 efle 16094 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ) β†’ (1 ≀ (2 / 𝐸) ↔ (expβ€˜1) ≀ (expβ€˜(2 / 𝐸))))
158108, 70, 157sylancr 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 ≀ (2 / 𝐸) ↔ (expβ€˜1) ≀ (expβ€˜(2 / 𝐸))))
159156, 158mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (expβ€˜1) ≀ (expβ€˜(2 / 𝐸)))
160 df-e 16044 . . . . . . 7 e = (expβ€˜1)
161159, 160, 863brtr4g 5177 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ e ≀ 𝑋)
162144, 107eqbrtrid 5178 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜e) ≀ (logβ€˜π‘))
163 logleb 26555 . . . . . . . 8 ((e ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (e ≀ 𝑁 ↔ (logβ€˜e) ≀ (logβ€˜π‘)))
164121, 2, 163sylancr 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (e ≀ 𝑁 ↔ (logβ€˜e) ≀ (logβ€˜π‘)))
165162, 164mpbird 256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ e ≀ 𝑁)
166 logdivlt 26573 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ e ≀ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ e ≀ 𝑁)) β†’ (𝑋 < 𝑁 ↔ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) < ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋)))
16789, 161, 16, 165, 166syl22anc 837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 < 𝑁 ↔ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) < ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋)))
16899, 167mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) < ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋))
16986fveq2i 6895 . . . . . . 7 (logβ€˜π‘‹) = (logβ€˜(expβ€˜(2 / 𝐸)))
17070relogefd 26580 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(expβ€˜(2 / 𝐸))) = (2 / 𝐸))
171169, 170eqtrid 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘‹) = (2 / 𝐸))
172171oveq1d 7431 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋) = ((2 / 𝐸) / 𝑋))
173 2rp 13011 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
174 rpdivcl 13031 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
175173, 68, 174sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
176175rpcnd 13050 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) ∈ β„‚)
177176sqvald 14139 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸)↑2) = ((2 / 𝐸) Β· (2 / 𝐸)))
178 2cnd 12320 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
17968rpcnne0d 13057 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 β‰  0))
180 div12 11924 . . . . . . . . . . 11 (((2 / 𝐸) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ (𝐸 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 β‰  0)) β†’ ((2 / 𝐸) Β· (2 / 𝐸)) = (2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
181176, 178, 179, 180syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) Β· (2 / 𝐸)) = (2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
182177, 181eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸)↑2) = (2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
183182oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2))
184175, 68rpdivcld 13065 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ ℝ+)
185184rpcnd 13050 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ β„‚)
186 2ne0 12346 . . . . . . . . . 10 2 β‰  0
187186a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
188185, 178, 187divcan3d 12025 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2 Β· ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
189183, 188eqtrd 2765 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
19070resqcld 14121 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸)↑2) ∈ ℝ)
191190rehalfcld 12489 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) ∈ ℝ)
192 1rp 13010 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
193 rpaddcl 13028 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+) β†’ (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
194192, 175, 193sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
195194rpred 13048 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
196195, 191readdcld 11273 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) ∈ ℝ)
197191, 194ltaddrp2d 13082 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)))
198 efgt1p2 16090 . . . . . . . . . 10 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ+ β†’ ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (expβ€˜(2 / 𝐸)))
199175, 198syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (expβ€˜(2 / 𝐸)))
200199, 86breqtrrdi 5185 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < 𝑋)
201191, 196, 89, 197, 200lttrd 11405 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < 𝑋)
202189, 201eqbrtrrd 5167 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) / 𝐸) < 𝑋)
20370, 68, 88, 202ltdiv23d 13115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((2 / 𝐸) / 𝑋) < 𝐸)
204172, 203eqbrtrd 5165 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘‹) / 𝑋) < 𝐸)
20511, 155, 14, 168, 204lttrd 11405 . . 3 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) < 𝐸)
20611, 14, 205ltled 11392 . 2 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / 𝑁) ≀ 𝐸)
2079, 11, 14, 153, 206letrd 11401 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘) / 𝑁)) ≀ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143  +∞cpnf 11275  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  β„•cn 12242  2c2 12297  3c3 12298  β„•0cn0 12502  β„+crp 13006  (,)cioo 13356  β†‘cexp 14058  abscabs 15213  expce 16037  eceu 16038  logclog 26506  Ξ›cvma 27042  Οˆcchp 27043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-e 16044  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-pc 16805  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-vma 27048  df-chp 27049
This theorem is referenced by:  pntpbnd1  27537
  Copyright terms: Public domain W3C validator