MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntpbnd1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntpbnd1a 27015
Description: Lemma for pntpbnd 27018. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1a.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pntpbnd1a.2 (𝜑 → (𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
pntpbnd1a.3 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1a (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ 𝐸)
Distinct variable group:   𝑁,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐸(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd1a
StepHypRef Expression
1 pntpbnd1a.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnrpd 12996 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3 pntpbnd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
43pntrf 26993 . . . . . . 7 𝑅:ℝ+⟶ℝ
54ffvelcdmi 7070 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
76, 2rerpdivcld 13029 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
87recnd 11224 . . 3 (𝜑 → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
98abscld 15365 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
102relogcld 26060 . . 3 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
1110, 2rerpdivcld 13029 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
12 ioossre 13367 . . 3 (0(,)1) ⊆ ℝ
13 pntpbnd1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
1412, 13sselid 3976 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
156recnd 11224 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝑁) ∈ ℂ)
161nnred 12209 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1716recnd 11224 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
181nnne0d 12244 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1915, 17, 18absdivd 15384 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / (abs‘𝑁)))
201nnnn0d 12514 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2120nn0ge0d 12517 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
2216, 21absidd 15351 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
2322oveq2d 7409 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝑁)) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁))
2419, 23eqtrd 2771 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁))
2515abscld 15365 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ∈ ℝ)
261peano2nnd 12211 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
27 vmacl 26549 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29 peano2rem 11509 . . . . . . . 8 ((Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
3130recnd 11224 . . . . . 6 (𝜑 → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
3231abscld 15365 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
33 pntpbnd1a.3 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))))
3426nnrpd 12996 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
353pntrval 26992 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)))
373pntrval 26992 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
382, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
3936, 38oveq12d 7411 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁)) = (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)))
40 peano2re 11369 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4116, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42 chpcl 26555 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4443recnd 11224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
4541recnd 11224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
46 chpcl 26555 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
4716, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
4847recnd 11224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ψ‘𝑁) ∈ ℂ)
4944, 45, 48, 17sub4d 11602 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)) = (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) − ((𝑁 + 1) − 𝑁)))
5028recnd 11224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
51 chpp1 26586 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ψ‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘𝑁) + (Λ‘(𝑁 + 1))))
5220, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘𝑁) + (Λ‘(𝑁 + 1))))
5348, 50, 52mvrladdd 11609 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) = (Λ‘(𝑁 + 1)))
54 ax-1cn 11150 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
55 pncan2 11449 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
5617, 54, 55sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
5753, 56oveq12d 7411 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) − ((𝑁 + 1) − 𝑁)) = ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1))
5839, 49, 573eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁)) = ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1))
5958fveq2d 6882 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))) = (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)))
6033, 59breqtrd 5167 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)))
61 1red 11197 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6261, 10resubcld 11624 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
63 0red 11199 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
64 2re 12268 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
65 eliooord 13365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
6613, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
6766simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐸)
6814, 67elrpd 12995 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
69 rerpdivcl 12986 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7064, 68, 69sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7164a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
72 1lt2 12365 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
7372a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < 2)
74 2cn 12269 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
7574div1i 11924 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
7666simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 < 1)
77 0lt1 11718 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 1)
79 2pos 12297 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 2)
81 ltdiv2 12082 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8214, 67, 61, 78, 71, 80, 81syl222anc 1386 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8376, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 / 1) < (2 / 𝐸))
8475, 83eqbrtrrid 5177 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 < (2 / 𝐸))
8561, 71, 70, 73, 84lttrd 11357 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (2 / 𝐸))
86 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
8770rpefcld 16030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
8886, 87eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
8988rpred 12998 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
90 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
9188rpxrd 12999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
92 elioopnf 13402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℝ* → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
9490, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌))
9594simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
9694simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 < 𝑌)
97 pntpbnd1a.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
9897simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 < 𝑁)
9989, 95, 16, 96, 98lttrd 11357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 < 𝑁)
10086, 99eqbrtrrid 5177 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) < 𝑁)
1012reeflogd 26061 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(log‘𝑁)) = 𝑁)
102100, 101breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁)))
103 eflt 16042 . . . . . . . . . . . 12 (((2 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((2 / 𝐸) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁))))
10470, 10, 103syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 / 𝐸) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁))))
105102, 104mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / 𝐸) < (log‘𝑁))
10661, 70, 10, 85, 105lttrd 11357 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (log‘𝑁))
10761, 10, 106ltled 11344 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ (log‘𝑁))
108 1re 11196 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
109 suble0 11710 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((1 − (log‘𝑁)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (log‘𝑁)))
110108, 10, 109sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − (log‘𝑁)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (log‘𝑁)))
111107, 110mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ≤ 0)
112 vmage0 26552 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11326, 112syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11462, 63, 28, 111, 113letrd 11353 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11534relogcld 26060 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
116 readdcl 11175 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 + (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
117108, 10, 116sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
118 vmalelog 26635 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(𝑁 + 1)))
11926, 118syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(𝑁 + 1)))
12071, 16remulcld 11226 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
121 epr 16133 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
122 rpmulcl 12979 . . . . . . . . . . . 12 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (e · 𝑁) ∈ ℝ+)
123121, 2, 122sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (e · 𝑁) ∈ ℝ+)
124123rpred 12998 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (e · 𝑁) ∈ ℝ)
1251nnge1d 12242 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
12661, 16, 16, 125leadd2dd 11811 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑁))
127172timesd 12437 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
128126, 127breqtrrd 5169 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁))
129 ere 16014 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
130 egt2lt3 16131 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < e ∧ e < 3)
131130simpli 484 . . . . . . . . . . . . 13 2 < e
13264, 129, 131ltleii 11319 . . . . . . . . . . . 12 2 ≤ e
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ e)
134129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → e ∈ ℝ)
1351nngt0d 12243 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑁)
136 lemul1 12048 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁)))
13771, 134, 16, 135, 136syl112anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁)))
138133, 137mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁))
13941, 120, 124, 128, 138letrd 11353 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (e · 𝑁))
14034, 123logled 26064 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) ≤ (e · 𝑁) ↔ (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑁))))
141139, 140mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑁)))
142 relogmul 26029 . . . . . . . . . 10 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (log‘(e · 𝑁)) = ((log‘e) + (log‘𝑁)))
143121, 2, 142sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(e · 𝑁)) = ((log‘e) + (log‘𝑁)))
144 loge 26024 . . . . . . . . . 10 (log‘e) = 1
145144oveq1i 7403 . . . . . . . . 9 ((log‘e) + (log‘𝑁)) = (1 + (log‘𝑁))
146143, 145eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(e · 𝑁)) = (1 + (log‘𝑁)))
147141, 146breqtrd 5167 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))
14828, 115, 117, 119, 147letrd 11353 . . . . . 6 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))
14928, 61, 10absdifled 15363 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (log‘𝑁) ↔ ((1 − (log‘𝑁)) ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)) ∧ (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))))
150114, 148, 149mpbir2and 711 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (log‘𝑁))
15125, 32, 10, 60, 150letrd 11353 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (log‘𝑁))
15225, 10, 2, 151lediv1dd 13056 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁) ≤ ((log‘𝑁) / 𝑁))
15324, 152eqbrtrd 5163 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) / 𝑁))
15488relogcld 26060 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
155154, 88rerpdivcld 13029 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) ∈ ℝ)
15661, 70, 85ltled 11344 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ (2 / 𝐸))
157 efle 16043 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ) → (1 ≤ (2 / 𝐸) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸))))
158108, 70, 157sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 ≤ (2 / 𝐸) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸))))
159156, 158mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸)))
160 df-e 15994 . . . . . . 7 e = (exp‘1)
161159, 160, 863brtr4g 5175 . . . . . 6 (𝜑 → e ≤ 𝑋)
162144, 107eqbrtrid 5176 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘e) ≤ (log‘𝑁))
163 logleb 26040 . . . . . . . 8 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (e ≤ 𝑁 ↔ (log‘e) ≤ (log‘𝑁)))
164121, 2, 163sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (e ≤ 𝑁 ↔ (log‘e) ≤ (log‘𝑁)))
165162, 164mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑 → e ≤ 𝑁)
166 logdivlt 26058 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑁)) → (𝑋 < 𝑁 ↔ ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋)))
16789, 161, 16, 165, 166syl22anc 837 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 < 𝑁 ↔ ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋)))
16899, 167mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋))
16986fveq2i 6881 . . . . . . 7 (log‘𝑋) = (log‘(exp‘(2 / 𝐸)))
17070relogefd 26065 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(exp‘(2 / 𝐸))) = (2 / 𝐸))
171169, 170eqtrid 2783 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑋) = (2 / 𝐸))
172171oveq1d 7408 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) = ((2 / 𝐸) / 𝑋))
173 2rp 12961 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
174 rpdivcl 12981 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
175173, 68, 174sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
176175rpcnd 13000 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℂ)
177176sqvald 14090 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) = ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)))
178 2cnd 12272 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
17968rpcnne0d 13007 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
180 div12 11876 . . . . . . . . . . 11 (((2 / 𝐸) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0)) → ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
181176, 178, 179, 180syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
182177, 181eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
183182oveq1d 7408 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2))
184175, 68rpdivcld 13015 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ ℝ+)
185184rpcnd 13000 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ ℂ)
186 2ne0 12298 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
187186a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≠ 0)
188185, 178, 187divcan3d 11977 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
189183, 188eqtrd 2771 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
19070resqcld 14072 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) ∈ ℝ)
191190rehalfcld 12441 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) ∈ ℝ)
192 1rp 12960 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
193 rpaddcl 12978 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+) → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
194192, 175, 193sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
195194rpred 12998 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
196195, 191readdcld 11225 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) ∈ ℝ)
197191, 194ltaddrp2d 13032 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)))
198 efgt1p2 16039 . . . . . . . . . 10 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ+ → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (exp‘(2 / 𝐸)))
199175, 198syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (exp‘(2 / 𝐸)))
200199, 86breqtrrdi 5183 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < 𝑋)
201191, 196, 89, 197, 200lttrd 11357 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < 𝑋)
202189, 201eqbrtrrd 5165 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) < 𝑋)
20370, 68, 88, 202ltdiv23d 13065 . . . . 5 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝑋) < 𝐸)
204172, 203eqbrtrd 5163 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) < 𝐸)
20511, 155, 14, 168, 204lttrd 11357 . . 3 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) < 𝐸)
20611, 14, 205ltled 11344 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) ≤ 𝐸)
2079, 11, 14, 153, 206letrd 11353 1 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097  +∞cpnf 11227  *cxr 11229   < clt 11230  cle 11231  cmin 11426   / cdiv 11853  cn 12194  2c2 12249  3c3 12250  0cn0 12454  +crp 12956  (,)cioo 13306  cexp 14009  abscabs 15163  expce 15987  eceu 15988  logclog 25992  Λcvma 26523  ψcchp 26524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-dju 9878  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-fac 14216  df-bc 14245  df-hash 14273  df-shft 14996  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-ef 15993  df-e 15994  df-sin 15995  df-cos 15996  df-pi 15998  df-dvds 16180  df-gcd 16418  df-prm 16591  df-pc 16752  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-pt 17372  df-prds 17375  df-xrs 17430  df-qtop 17435  df-imas 17436  df-xps 17438  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-mulg 18923  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-nei 22531  df-lp 22569  df-perf 22570  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-haus 22748  df-tx 22995  df-hmeo 23188  df-fil 23279  df-fm 23371  df-flim 23372  df-flf 23373  df-xms 23755  df-ms 23756  df-tms 23757  df-cncf 24323  df-limc 25312  df-dv 25313  df-log 25994  df-vma 26529  df-chp 26530
This theorem is referenced by:  pntpbnd1  27016
  Copyright terms: Public domain W3C validator