Theorem prdsbasex 17535

Description: Lemma for structure products. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
prdsbasex.b	⊢ 𝐵 = X𝑥 ∈ dom 𝑅(Base‘(𝑅‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
prdsbasex	⊢ 𝐵 ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem prdsbasex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasex.b	. 2 ⊢ 𝐵 = X𝑥 ∈ dom 𝑅(Base‘(𝑅‘𝑥))
2		ixpexg 8929	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝑅(Base‘(𝑅‘𝑥)) ∈ V → X𝑥 ∈ dom 𝑅(Base‘(𝑅‘𝑥)) ∈ V)
3		fvexd 6893	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 → (Base‘(𝑅‘𝑥)) ∈ V)
4	2, 3	mprg 3082	. 2 ⊢ X𝑥 ∈ dom 𝑅(Base‘(𝑅‘𝑥)) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2856	1 ⊢ 𝐵 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  Xcixp 8904  Basecbs 17301

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ixp 8905

This theorem is used by: (None)