Theorem prdsbasex 17627

Description: Lemma for structure products. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
prdsbasex.b	⊢ 𝐵 = X𝑥 ∈ dom 𝑅(Base‘(𝑅‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
prdsbasex	⊢ 𝐵 ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem prdsbasex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasex.b	. 2 ⊢ 𝐵 = X𝑥 ∈ dom 𝑅(Base‘(𝑅‘𝑥))
2		ixpexg 8954	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝑅(Base‘(𝑅‘𝑥)) ∈ V → X𝑥 ∈ dom 𝑅(Base‘(𝑅‘𝑥)) ∈ V)
3		fvexd 6901	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 → (Base‘(𝑅‘𝑥)) ∈ V)
4	2, 3	mprg 3082	. 2 ⊢ X𝑥 ∈ dom 𝑅(Base‘(𝑅‘𝑥)) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2856	1 ⊢ 𝐵 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  dom cdm 5650  ‘cfv 6539  Xcixp 8929  Basecbs 17393

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-ixp 8930

This theorem is used by: (None)