Theorem prdsbasex 17520

Description: Lemma for structure products. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
prdsbasex.b	⊢ 𝐵 = X𝑥 ∈ dom 𝑅(Base‘(𝑅‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
prdsbasex	⊢ 𝐵 ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem prdsbasex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasex.b	. 2 ⊢ 𝐵 = X𝑥 ∈ dom 𝑅(Base‘(𝑅‘𝑥))
2		ixpexg 8922	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝑅(Base‘(𝑅‘𝑥)) ∈ V → X𝑥 ∈ dom 𝑅(Base‘(𝑅‘𝑥)) ∈ V)
3		fvexd 6900	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 → (Base‘(𝑅‘𝑥)) ∈ V)
4	2, 3	mprg 3087	. 2 ⊢ X𝑥 ∈ dom 𝑅(Base‘(𝑅‘𝑥)) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2861	1 ⊢ 𝐵 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  Xcixp 8897  Basecbs 17286

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ixp 8898

This theorem is used by: (None)