Theorem imasvalstr 17496

Description: An image structure value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
imasvalstr.u	⊢ 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})

Assertion

Ref	Expression
imasvalstr	⊢ 𝑈 Struct ⟨1, ;12⟩

Proof of Theorem imasvalstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvalstr.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})
3	2	ipsstr 17380	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) Struct ⟨1, 8⟩
4		9nn 12364	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
5		tsetndx 17396	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
6		9lt10 12864	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
7		10nn 12749	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
8		plendx 17410	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		1nn0 12542	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		0nn0 12541	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		2nn 12339	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		2pos 12369	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
13	9, 10, 11, 12	declt 12761	. . . 4 ⊢ ;10 < ;12
14	9, 11	decnncl 12753	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ
15		dsndx 17429	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
16	4, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15	strle3 17197	. . 3 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
17		8lt9 12465	. . 3 ⊢ 8 < 9
18	3, 16, 17	strleun 17194	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩
19	1, 18	eqbrtri 5164	1 ⊢ 𝑈 Struct ⟨1, ;12⟩

Syntax hints:   = wceq 1540   ∪ cun 3949  {ctp 4630  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156  2c2 12321  8c8 12327  9c9 12328  ;cdc 12733   Struct cstr 17183  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  ·_𝑖cip 17302  TopSetcts 17303  lecple 17304  distcds 17306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319

This theorem is referenced by:  prdsvalstr  17497  imasbas  17557  imasds  17558  imasplusg  17562  imasmulr  17563  imassca  17564  imasvsca  17565  imasip  17566  imastset  17567  imasle  17568  rlocbas  33271  rlocaddval  33272  rlocmulval  33273