Theorem prprvalpw 46918

Description: The set of all proper unordered pairs over a given set 𝑉, expressed by a restricted class abstraction. (Contributed by AV, 29-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
prprvalpw	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝   𝑊,𝑎,𝑏,𝑝

Proof of Theorem prprvalpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprval 46917	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
2		prssi 4820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → {𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉)
3		eleq1 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
4	3	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
5		prex 5428	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑎, 𝑏} ∈ V
6	5	elpw 4602	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉)
7	4, 6	bitrdi 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉))
8	2, 7	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
9	8	rexlimivv 3190	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
10	9	pm4.71ri 559	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))))
12	11	abbidv 2794	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))})
13		df-rab 3420	. . 3 ⊢ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))}
14	12, 13	eqtr4di 2783	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})} = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
15	1, 14	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060  {crab 3419   ⊆ wss 3939  𝒫 cpw 4598  {cpr 4626  ‘cfv 6543  Pairs_propercprpr 46915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-prpr 46916

This theorem is referenced by:  prprelb  46919  prprelprb  46920