Theorem prprvalpw 48705

Description: The set of all proper unordered pairs over a given set 𝑉, expressed by a restricted class abstraction. (Contributed by AV, 29-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
prprvalpw	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝   𝑊,𝑎,𝑏,𝑝

Proof of Theorem prprvalpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprval 48704	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
2		prssi 4776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → {𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉)
3		eleq1 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
4	3	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
5		prex 5396	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑎, 𝑏} ∈ V
6	5	elpw 4560	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉)
7	4, 6	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉))
8	2, 7	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
9	8	rexlimivv 3204	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
10	9	pm4.71ri 570	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))))
12	11	abbidv 2826	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))})
13		df-rab 3413	. . 3 ⊢ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))}
14	12, 13	eqtr4di 2813	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})} = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
15	1, 14	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3896  𝒫 cpw 4556  {cpr 4586  ‘cfv 6543  Pairs_propercprpr 48702

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-prpr 48703

This theorem is used by:  prprelb  48706  prprelprb  48707