Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prprvalpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prprvalpw 44923
Description: The set of all proper unordered pairs over a given set 𝑉, expressed by a restricted class abstraction. (Contributed by AV, 29-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
prprvalpw (𝑉𝑊 → (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝   𝑊,𝑎,𝑏,𝑝

Proof of Theorem prprvalpw
StepHypRef Expression
1 prprval 44922 . 2 (𝑉𝑊 → (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
2 prssi 4755 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → {𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉)
3 eleq1 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
43adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
5 prex 5354 . . . . . . . . . 10 {𝑎, 𝑏} ∈ V
65elpw 4538 . . . . . . . . 9 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉)
74, 6bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉))
82, 7syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
98rexlimivv 3219 . . . . . 6 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
109pm4.71ri 561 . . . . 5 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
1110a1i 11 . . . 4 (𝑉𝑊 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}))))
1211abbidv 2807 . . 3 (𝑉𝑊 → {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}))})
13 df-rab 3073 . . 3 {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}))}
1412, 13eqtr4di 2796 . 2 (𝑉𝑊 → {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})} = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
151, 14eqtrd 2778 1 (𝑉𝑊 → (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {cab 2715  wne 2943  wrex 3065  {crab 3068  wss 3887  𝒫 cpw 4534  {cpr 4564  cfv 6427  Pairspropercprpr 44920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pr 5351  ax-un 7579
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5485  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-prpr 44921
This theorem is referenced by:  prprelb  44924  prprelprb  44925
  Copyright terms: Public domain W3C validator