Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prprelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prprelb 47440
Description: An element of the set of all proper unordered pairs over a given set 𝑉 is a subset of 𝑉 of size two. (Contributed by AV, 29-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
prprelb (𝑉𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))

Proof of Theorem prprelb
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prprvalpw 47439 . . . 4 (𝑉𝑊 → (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
21eleq2d 2824 . . 3 (𝑉𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})}))
3 eqeq1 2738 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
43anbi2d 630 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
542rexbidv 3219 . . . 4 (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
65elrab 3694 . . 3 (𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})} ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
72, 6bitrdi 287 . 2 (𝑉𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
8 hash2exprb 14506 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
9 eleq1 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
10 prelpw 5456 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
1110el2v 3484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
1211biimpri 228 . . . . . . . . . 10 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
139, 12biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1413com12 32 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1514adantld 490 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1615pm4.71rd 562 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
17162exbidv 1921 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
18 r2ex 3193 . . . . 5 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
1917, 18bitr4di 289 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
208, 19bitr2d 280 . . 3 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (♯‘𝑃) = 2))
2120pm5.32i 574 . 2 ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
227, 21bitrdi 287 1 (𝑉𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  𝒫 cpw 4604  {cpr 4632  cfv 6562  2c2 12318  chash 14365  Pairspropercprpr 47436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366  df-prpr 47437
This theorem is referenced by:  prprreueq  47444
  Copyright terms: Public domain W3C validator