Theorem prprelb 44856

Description: An element of the set of all proper unordered pairs over a given set 𝑉 is a subset of 𝑉 of size two. (Contributed by AV, 29-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
prprelb	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))

Proof of Theorem prprelb

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprvalpw 44855	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
2	1	eleq2d 2824	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ↔ 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})}))
3		eqeq1 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
4	3	anbi2d 628	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
5	4	2rexbidv 3228	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
6	5	elrab 3617	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})} ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
7	2, 6	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
8		hash2exprb 14113	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
9		eleq1 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
10		prelpw 5356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
11	10	el2v 3430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
12	11	biimpri 227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
13	9, 12	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
14	13	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
15	14	adantld 490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
16	15	pm4.71rd 562	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
17	16	2exbidv 1928	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
18		r2ex 3231	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
19	17, 18	bitr4di 288	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
20	8, 19	bitr2d 279	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (♯‘𝑃) = 2))
21	20	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
22	7, 21	bitrdi 286	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422  𝒫 cpw 4530  {cpr 4560  ‘cfv 6418  2c2 11958  ♯chash 13972  Pairs_propercprpr 44852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-prpr 44853

This theorem is referenced by:  prprreueq  44860