Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prprelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prprelb 44020
 Description: An element of the set of all proper unordered pairs over a given set 𝑉 is a subset of 𝑉 of size two. (Contributed by AV, 29-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
prprelb (𝑉𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))

Proof of Theorem prprelb
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prprvalpw 44019 . . . 4 (𝑉𝑊 → (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
21eleq2d 2878 . . 3 (𝑉𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})}))
3 eqeq1 2805 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
43anbi2d 631 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
542rexbidv 3262 . . . 4 (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
65elrab 3631 . . 3 (𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})} ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
72, 6syl6bb 290 . 2 (𝑉𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
8 hash2exprb 13829 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
9 eleq1 2880 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
10 prelpw 5307 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
1110el2v 3451 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
1211biimpri 231 . . . . . . . . . 10 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
139, 12syl6bi 256 . . . . . . . . 9 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1413com12 32 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1514adantld 494 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1615pm4.71rd 566 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
17162exbidv 1925 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
18 r2ex 3265 . . . . 5 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
1917, 18syl6bbr 292 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
208, 19bitr2d 283 . . 3 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (♯‘𝑃) = 2))
2120pm5.32i 578 . 2 ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
227, 21syl6bb 290 1 (𝑉𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∃wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444  𝒫 cpw 4500  {cpr 4530  ‘cfv 6328  2c2 11684  ♯chash 13690  Pairspropercprpr 44016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-hash 13691  df-prpr 44017 This theorem is referenced by:  prprreueq  44024
 Copyright terms: Public domain W3C validator