Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prprelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prprelb 45954
Description: An element of the set of all proper unordered pairs over a given set 𝑉 is a subset of 𝑉 of size two. (Contributed by AV, 29-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
prprelb (𝑉𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))

Proof of Theorem prprelb
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prprvalpw 45953 . . . 4 (𝑉𝑊 → (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
21eleq2d 2818 . . 3 (𝑉𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})}))
3 eqeq1 2735 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
43anbi2d 629 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
542rexbidv 3218 . . . 4 (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
65elrab 3679 . . 3 (𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})} ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
72, 6bitrdi 286 . 2 (𝑉𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
8 hash2exprb 14414 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
9 eleq1 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
10 prelpw 5439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
1110el2v 3481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
1211biimpri 227 . . . . . . . . . 10 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
139, 12syl6bi 252 . . . . . . . . 9 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1413com12 32 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1514adantld 491 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1615pm4.71rd 563 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
17162exbidv 1927 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
18 r2ex 3194 . . . . 5 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
1917, 18bitr4di 288 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
208, 19bitr2d 279 . . 3 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (♯‘𝑃) = 2))
2120pm5.32i 575 . 2 ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
227, 21bitrdi 286 1 (𝑉𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2939  wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473  𝒫 cpw 4596  {cpr 4624  cfv 6532  2c2 12249  chash 14272  Pairspropercprpr 45950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-dju 9878  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-hash 14273  df-prpr 45951
This theorem is referenced by:  prprreueq  45958
  Copyright terms: Public domain W3C validator