Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prprelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prprelb 47503
Description: An element of the set of all proper unordered pairs over a given set 𝑉 is a subset of 𝑉 of size two. (Contributed by AV, 29-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
prprelb (𝑉𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))

Proof of Theorem prprelb
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prprvalpw 47502 . . . 4 (𝑉𝑊 → (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
21eleq2d 2827 . . 3 (𝑉𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})}))
3 eqeq1 2741 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
43anbi2d 630 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
542rexbidv 3222 . . . 4 (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
65elrab 3692 . . 3 (𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})} ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
72, 6bitrdi 287 . 2 (𝑉𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
8 hash2exprb 14510 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
9 eleq1 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
10 prelpw 5451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
1110el2v 3487 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
1211biimpri 228 . . . . . . . . . 10 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
139, 12biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1413com12 32 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1514adantld 490 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1615pm4.71rd 562 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
17162exbidv 1924 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
18 r2ex 3196 . . . . 5 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
1917, 18bitr4di 289 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
208, 19bitr2d 280 . . 3 (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (♯‘𝑃) = 2))
2120pm5.32i 574 . 2 ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑃 = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
227, 21bitrdi 287 1 (𝑉𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  𝒫 cpw 4600  {cpr 4628  cfv 6561  2c2 12321  chash 14369  Pairspropercprpr 47499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-prpr 47500
This theorem is referenced by:  prprreueq  47507
  Copyright terms: Public domain W3C validator