Theorem prprelb 44968

Description: An element of the set of all proper unordered pairs over a given set 𝑉 is a subset of 𝑉 of size two. (Contributed by AV, 29-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
prprelb	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))

Proof of Theorem prprelb

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprvalpw 44967	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
2	1	eleq2d 2824	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ↔ 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})}))
3		eqeq1 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
4	3	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
5	4	2rexbidv 3229	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
6	5	elrab 3624	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})} ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
7	2, 6	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
8		hash2exprb 14185	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
9		eleq1 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
10		prelpw 5362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
11	10	el2v 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
12	11	biimpri 227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
13	9, 12	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
14	13	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
15	14	adantld 491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
16	15	pm4.71rd 563	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
17	16	2exbidv 1927	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
18		r2ex 3232	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
19	17, 18	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
20	8, 19	bitr2d 279	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (♯‘𝑃) = 2))
21	20	pm5.32i 575	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
22	7, 21	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432  𝒫 cpw 4533  {cpr 4563  ‘cfv 6433  2c2 12028  ♯chash 14044  Pairs_propercprpr 44964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-prpr 44965

This theorem is referenced by:  prprreueq  44972