Theorem prprelb 48248

Description: An element of the set of all proper unordered pairs over a given set 𝑉 is a subset of 𝑉 of size two. (Contributed by AV, 29-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
prprelb	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))

Proof of Theorem prprelb

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprvalpw 48247	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
2	1	eleq2d 2849	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ↔ 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})}))
3		eqeq1 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
4	3	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
5	4	2rexbidv 3230	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
6	5	elrab 3651	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})} ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
7	2, 6	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
8		hash2exprb 14510	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
9		eleq1 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
10		prelpw 5429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
11	10	el2v 3462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
12	11	biimpri 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
13	9, 12	biimtrdi 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
14	13	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
15	14	adantld 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
16	15	pm4.71rd 571	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
17	16	2exbidv 1954	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))))
18		r2ex 3202	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
19	17, 18	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
20	8, 19	bitr2d 283	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (♯‘𝑃) = 2))
21	20	pm5.32i 584	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2))
22	7, 21	bitrdi 290	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑃 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455  𝒫 cpw 4563  {cpr 4592  ‘cfv 6538  2c2 12296  ♯chash 14368  Pairs_propercprpr 48244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-hash 14369  df-prpr 48245

This theorem is referenced by:  prprreueq  48252