Theorem lcvbr 39220

Description: The covers relation for a left vector space (or a left module). (cvbr 32306 analog.) (Contributed by NM, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvfbr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvfbr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvfbr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
lcvfbr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvfbr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcvbr	⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑊,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐶(𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem lcvbr

Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvfbr.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
2		lcvfbr.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		eleq1 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ∈ 𝑆 ↔ 𝑇 ∈ 𝑆))
4	3	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ↔ (𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)))
5		psseq1 4040	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ⊊ 𝑢 ↔ 𝑇 ⊊ 𝑢))
6		psseq1 4040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ⊊ 𝑠 ↔ 𝑇 ⊊ 𝑠))
7	6	anbi1d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))
8	7	rexbidv 3158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))
9	8	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))
10	5, 9	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢))))
11	4, 10	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢))) ↔ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))))
12		eleq1 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↔ 𝑈 ∈ 𝑆))
13	12	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ↔ (𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)))
14		psseq2 4041	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑇 ⊊ 𝑢 ↔ 𝑇 ⊊ 𝑈))
15		psseq2 4041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑠 ⊊ 𝑢 ↔ 𝑠 ⊊ 𝑈))
16	15	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
17	16	rexbidv 3158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
18	17	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
19	14, 18	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑇 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))
20	13, 19	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢))) ↔ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))))
21		eqid 2734	. . . 4 ⊢ {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))} = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))}
22	11, 20, 21	brabg 5485	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇{⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))}𝑈 ↔ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))))
23	1, 2, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇{⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))}𝑈 ↔ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))))
24		lcvfbr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
25		lcvfbr.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
26		lcvfbr.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
27	24, 25, 26	lcvfbr 39219	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))})
28	27	breqd 5107	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ 𝑇{⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))}𝑈))
29	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆))
30	29	biantrurd 532	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))))
31	23, 28, 30	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058   ⊊ wpss 3900   class class class wbr 5096  {copab 5158  ‘cfv 6490  LSubSpclss 20880   ⋖_L clcv 39217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-lcv 39218

This theorem is referenced by:  lcvbr2  39221  lcvbr3  39222  lcvpss  39223  lcvnbtwn  39224  lsatcv0  39230  mapdcv  41859