Theorem lcvbr 39823

Description: The covers relation for a left vector space (or a left module). (cvbr 32643 analog.) (Contributed by NM, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvfbr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvfbr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvfbr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
lcvfbr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvfbr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcvbr	⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑊,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐶(𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem lcvbr

Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvfbr.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
2		lcvfbr.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		eleq1 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ∈ 𝑆 ↔ 𝑇 ∈ 𝑆))
4	3	anbi1d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ↔ (𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)))
5		psseq1 4044	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ⊊ 𝑢 ↔ 𝑇 ⊊ 𝑢))
6		psseq1 4044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ⊊ 𝑠 ↔ 𝑇 ⊊ 𝑠))
7	6	anbi1d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))
8	7	rexbidv 3189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))
9	8	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))
10	5, 9	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢))))
11	4, 10	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢))) ↔ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))))
12		eleq1 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↔ 𝑈 ∈ 𝑆))
13	12	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ↔ (𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)))
14		psseq2 4045	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑇 ⊊ 𝑢 ↔ 𝑇 ⊊ 𝑈))
15		psseq2 4045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑠 ⊊ 𝑢 ↔ 𝑠 ⊊ 𝑈))
16	15	anbi2d 641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
17	16	rexbidv 3189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
18	17	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
19	14, 18	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑇 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))
20	13, 19	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢))) ↔ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))))
21		eqid 2763	. . . 4 ⊢ {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))} = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))}
22	11, 20, 21	brabg 5524	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇{⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))}𝑈 ↔ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))))
23	1, 2, 22	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇{⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))}𝑈 ↔ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))))
24		lcvfbr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
25		lcvfbr.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
26		lcvfbr.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
27	24, 25, 26	lcvfbr 39822	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))})
28	27	breqd 5120	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ 𝑇{⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))}𝑈))
29	1, 2	jca 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆))
30	29	biantrurd 541	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))))
31	23, 28, 30	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ⊊ wpss 3906   class class class wbr 5109  {copab 5173  ‘cfv 6536  LSubSpclss 21061   ⋖_L clcv 39820

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-lcv 39821

This theorem is used by:  lcvbr2  39824  lcvbr3  39825  lcvpss  39826  lcvnbtwn  39827  lsatcv0  39833  mapdcv  42462