Theorem lcvbr 39467

Description: The covers relation for a left vector space (or a left module). (cvbr 32353 analog.) (Contributed by NM, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvfbr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvfbr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvfbr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
lcvfbr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvfbr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcvbr	⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑊,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐶(𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem lcvbr

Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvfbr.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
2		lcvfbr.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		eleq1 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ∈ 𝑆 ↔ 𝑇 ∈ 𝑆))
4	3	anbi1d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ↔ (𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)))
5		psseq1 4030	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ⊊ 𝑢 ↔ 𝑇 ⊊ 𝑢))
6		psseq1 4030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ⊊ 𝑠 ↔ 𝑇 ⊊ 𝑠))
7	6	anbi1d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))
8	7	rexbidv 3161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))
9	8	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))
10	5, 9	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢))))
11	4, 10	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢))) ↔ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))))
12		eleq1 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↔ 𝑈 ∈ 𝑆))
13	12	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ↔ (𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)))
14		psseq2 4031	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑇 ⊊ 𝑢 ↔ 𝑇 ⊊ 𝑈))
15		psseq2 4031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑠 ⊊ 𝑢 ↔ 𝑠 ⊊ 𝑈))
16	15	anbi2d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
17	16	rexbidv 3161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
18	17	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))
19	14, 18	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑇 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))
20	13, 19	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢))) ↔ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))))
21		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))} = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))}
22	11, 20, 21	brabg 5494	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇{⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))}𝑈 ↔ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))))
23	1, 2, 22	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇{⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))}𝑈 ↔ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))))
24		lcvfbr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
25		lcvfbr.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
26		lcvfbr.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
27	24, 25, 26	lcvfbr 39466	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))})
28	27	breqd 5096	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ 𝑇{⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ ((𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ (𝑡 ⊊ 𝑢 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑢)))}𝑈))
29	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆))
30	29	biantrurd 532	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)) ↔ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈)))))
31	23, 28, 30	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝐶𝑈 ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑇 ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑈))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ⊊ wpss 3890   class class class wbr 5085  {copab 5147  ‘cfv 6498  LSubSpclss 20926   ⋖_L clcv 39464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-lcv 39465

This theorem is referenced by:  lcvbr2  39468  lcvbr3  39469  lcvpss  39470  lcvnbtwn  39471  lsatcv0  39477  mapdcv  42106