| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | pssss 4097 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 ⊊ 𝑆 → 𝑦 ⊆ 𝑆) | 
| 2 |  | ssralv 4051 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 ⊆ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥))) | 
| 3 | 1, 2 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 ⊊ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥))) | 
| 4 | 3 | impcom 407 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((∀𝑥 ∈
𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦 ⊊ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) | 
| 5 | 4 | adantrr 717 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((∀𝑥 ∈
𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ (𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) | 
| 6 | 5 | ad2ant2lr 748 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) → ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) | 
| 7 |  | psseq2 4090 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑧 ⊊ 𝑥 ↔ 𝑧 ⊊ 𝑤)) | 
| 8 | 7 | anbi1d 631 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) ↔ (𝑧 ⊊ 𝑤 ∧ Tr 𝑧))) | 
| 9 |  | elequ2 2122 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤)) | 
| 10 | 8, 9 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ((𝑧 ⊊ 𝑤 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑤))) | 
| 11 | 10 | albidv 1919 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑤 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑤))) | 
| 12 | 11 | rspccv 3618 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(∀𝑥 ∈
𝑦 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑤 ∈ 𝑦 → ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑤 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑤))) | 
| 13 | 6, 12 | syl 17 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) → (𝑤 ∈ 𝑦 → ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑤 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑤))) | 
| 14 | 13 | imp 406 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑤 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑤)) | 
| 15 |  | eldifi 4130 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → 𝑠 ∈ 𝑆) | 
| 16 |  | psseq2 4090 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑧 ⊊ 𝑥 ↔ 𝑧 ⊊ 𝑠)) | 
| 17 | 16 | anbi1d 631 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) ↔ (𝑧 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑧))) | 
| 18 |  | elequ2 2122 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑠)) | 
| 19 | 17, 18 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑠 → (((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ((𝑧 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑠))) | 
| 20 | 19 | albidv 1919 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑠 → (∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑠))) | 
| 21 | 20 | rspcv 3617 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥) → ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑠))) | 
| 22 | 15, 21 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥) → ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑠))) | 
| 23 |  | psseq1 4089 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 = 𝑡 → (𝑧 ⊊ 𝑠 ↔ 𝑡 ⊊ 𝑠)) | 
| 24 |  | treq 5266 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 = 𝑡 → (Tr 𝑧 ↔ Tr 𝑡)) | 
| 25 | 23, 24 | anbi12d 632 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 = 𝑡 → ((𝑧 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑧) ↔ (𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑡))) | 
| 26 |  | elequ1 2114 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 = 𝑡 → (𝑧 ∈ 𝑠 ↔ 𝑡 ∈ 𝑠)) | 
| 27 | 25, 26 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑧 = 𝑡 → (((𝑧 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑠) ↔ ((𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝑠))) | 
| 28 | 27 | cbvalvw 2034 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑡((𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝑠)) | 
| 29 | 22, 28 | imbitrdi 251 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥) → ∀𝑡((𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝑠))) | 
| 30 | 29 | impcom 407 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((∀𝑥 ∈
𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦)) → ∀𝑡((𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝑠)) | 
| 31 | 30 | ad2ant2l 746 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) → ∀𝑡((𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝑠)) | 
| 32 | 31 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → ∀𝑡((𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝑠)) | 
| 33 |  | vex 3483 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑤 ∈ V | 
| 34 |  | vex 3483 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑠 ∈ V | 
| 35 | 33, 34 | dfon2lem5 35789 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑤 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ∀𝑡((𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝑠)) → (𝑤 ∈ 𝑠 ∨ 𝑤 = 𝑠 ∨ 𝑠 ∈ 𝑤)) | 
| 36 |  | 3orrot 1091 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑤 ∈ 𝑠 ∨ 𝑤 = 𝑠 ∨ 𝑠 ∈ 𝑤) ↔ (𝑤 = 𝑠 ∨ 𝑠 ∈ 𝑤 ∨ 𝑤 ∈ 𝑠)) | 
| 37 |  | 3orass 1089 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑤 = 𝑠 ∨ 𝑠 ∈ 𝑤 ∨ 𝑤 ∈ 𝑠) ↔ (𝑤 = 𝑠 ∨ (𝑠 ∈ 𝑤 ∨ 𝑤 ∈ 𝑠))) | 
| 38 | 36, 37 | bitri 275 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑤 ∈ 𝑠 ∨ 𝑤 = 𝑠 ∨ 𝑠 ∈ 𝑤) ↔ (𝑤 = 𝑠 ∨ (𝑠 ∈ 𝑤 ∨ 𝑤 ∈ 𝑠))) | 
| 39 |  | eleq1a 2835 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → (𝑤 = 𝑠 → 𝑤 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) | 
| 40 |  | elndif 4132 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑤 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦)) | 
| 41 | 39, 40 | nsyli 157 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → (𝑤 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑤 = 𝑠)) | 
| 42 | 41 | imp 406 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑤 = 𝑠) | 
| 43 | 42 | adantll 714 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑤 = 𝑠) | 
| 44 | 43 | adantll 714 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑤 = 𝑠) | 
| 45 |  | orel1 888 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (¬
𝑤 = 𝑠 → ((𝑤 = 𝑠 ∨ (𝑠 ∈ 𝑤 ∨ 𝑤 ∈ 𝑠)) → (𝑠 ∈ 𝑤 ∨ 𝑤 ∈ 𝑠))) | 
| 46 |  | trss 5269 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (Tr 𝑦 → (𝑤 ∈ 𝑦 → 𝑤 ⊆ 𝑦)) | 
| 47 |  | eldifn 4131 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → ¬ 𝑠 ∈ 𝑦) | 
| 48 |  | ssel 3976 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑤 ⊆ 𝑦 → (𝑠 ∈ 𝑤 → 𝑠 ∈ 𝑦)) | 
| 49 | 48 | con3d 152 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑤 ⊆ 𝑦 → (¬ 𝑠 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑠 ∈ 𝑤)) | 
| 50 | 47, 49 | syl5com 31 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → (𝑤 ⊆ 𝑦 → ¬ 𝑠 ∈ 𝑤)) | 
| 51 | 46, 50 | syl9 77 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (Tr 𝑦 → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → (𝑤 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑠 ∈ 𝑤))) | 
| 52 | 51 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → (𝑤 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑠 ∈ 𝑤))) | 
| 53 | 52 | imp31 417 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑠 ∈ 𝑤) | 
| 54 | 53 | adantll 714 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑠 ∈ 𝑤) | 
| 55 |  | orel1 888 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (¬
𝑠 ∈ 𝑤 → ((𝑠 ∈ 𝑤 ∨ 𝑤 ∈ 𝑠) → 𝑤 ∈ 𝑠)) | 
| 56 | 54, 55 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → ((𝑠 ∈ 𝑤 ∨ 𝑤 ∈ 𝑠) → 𝑤 ∈ 𝑠)) | 
| 57 | 45, 56 | syl9r 78 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → (¬ 𝑤 = 𝑠 → ((𝑤 = 𝑠 ∨ (𝑠 ∈ 𝑤 ∨ 𝑤 ∈ 𝑠)) → 𝑤 ∈ 𝑠))) | 
| 58 | 44, 57 | mpd 15 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → ((𝑤 = 𝑠 ∨ (𝑠 ∈ 𝑤 ∨ 𝑤 ∈ 𝑠)) → 𝑤 ∈ 𝑠)) | 
| 59 | 38, 58 | biimtrid 242 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → ((𝑤 ∈ 𝑠 ∨ 𝑤 = 𝑠 ∨ 𝑠 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ 𝑠)) | 
| 60 | 35, 59 | syl5 34 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → ((∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑤 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑤) ∧ ∀𝑡((𝑡 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝑠)) → 𝑤 ∈ 𝑠)) | 
| 61 | 14, 32, 60 | mp2and 699 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑠) | 
| 62 | 61 | ex 412 | . . . . . . . . 9
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) → (𝑤 ∈ 𝑦 → 𝑤 ∈ 𝑠)) | 
| 63 | 62 | ssrdv 3988 | . . . . . . . 8
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝑠) | 
| 64 |  | dfpss2 4087 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ⊊ 𝑠 ↔ (𝑦 ⊆ 𝑠 ∧ ¬ 𝑦 = 𝑠)) | 
| 65 |  | psseq1 4089 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ⊊ 𝑠 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑠)) | 
| 66 |  | treq 5266 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (Tr 𝑧 ↔ Tr 𝑦)) | 
| 67 | 65, 66 | anbi12d 632 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑧) ↔ (𝑦 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑦))) | 
| 68 |  | elequ1 2114 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑠 ↔ 𝑦 ∈ 𝑠)) | 
| 69 | 67, 68 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((𝑧 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑠) ↔ ((𝑦 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑠))) | 
| 70 | 69 | spvv 1995 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑠) → ((𝑦 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑠)) | 
| 71 | 70 | expd 415 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑠) → (𝑦 ⊊ 𝑠 → (Tr 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑠))) | 
| 72 | 71 | com23 86 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑠 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑠) → (Tr 𝑦 → (𝑦 ⊊ 𝑠 → 𝑦 ∈ 𝑠))) | 
| 73 | 22, 72 | syl6 35 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥) → (Tr 𝑦 → (𝑦 ⊊ 𝑠 → 𝑦 ∈ 𝑠)))) | 
| 74 | 73 | com3l 89 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(∀𝑥 ∈
𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥) → (Tr 𝑦 → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → (𝑦 ⊊ 𝑠 → 𝑦 ∈ 𝑠)))) | 
| 75 | 74 | adantld 490 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(∀𝑥 ∈
𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥) → ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → (𝑦 ⊊ 𝑠 → 𝑦 ∈ 𝑠)))) | 
| 76 | 75 | adantl 481 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → (𝑦 ⊊ 𝑠 → 𝑦 ∈ 𝑠)))) | 
| 77 | 76 | imp32 418 | . . . . . . . . 9
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ⊊ 𝑠 → 𝑦 ∈ 𝑠)) | 
| 78 | 64, 77 | biimtrrid 243 | . . . . . . . 8
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) → ((𝑦 ⊆ 𝑠 ∧ ¬ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 ∈ 𝑠)) | 
| 79 | 63, 78 | mpand 695 | . . . . . . 7
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) → (¬ 𝑦 = 𝑠 → 𝑦 ∈ 𝑠)) | 
| 80 | 79 | orrd 863 | . . . . . 6
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦))) → (𝑦 = 𝑠 ∨ 𝑦 ∈ 𝑠)) | 
| 81 | 80 | anassrs 467 | . . . . 5
⊢ ((((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦)) → (𝑦 = 𝑠 ∨ 𝑦 ∈ 𝑠)) | 
| 82 | 81 | ralrimiva 3145 | . . . 4
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → ∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦)(𝑦 = 𝑠 ∨ 𝑦 ∈ 𝑠)) | 
| 83 |  | pssdif 4368 | . . . . . . 7
⊢ (𝑦 ⊊ 𝑆 → (𝑆 ∖ 𝑦) ≠ ∅) | 
| 84 |  | r19.2z 4494 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑆 ∖ 𝑦) ≠ ∅ ∧ ∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦)(𝑦 = 𝑠 ∨ 𝑦 ∈ 𝑠)) → ∃𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦)(𝑦 = 𝑠 ∨ 𝑦 ∈ 𝑠)) | 
| 85 | 84 | ex 412 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑆 ∖ 𝑦) ≠ ∅ → (∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦)(𝑦 = 𝑠 ∨ 𝑦 ∈ 𝑠) → ∃𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦)(𝑦 = 𝑠 ∨ 𝑦 ∈ 𝑠))) | 
| 86 | 83, 85 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (𝑦 ⊊ 𝑆 → (∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦)(𝑦 = 𝑠 ∨ 𝑦 ∈ 𝑠) → ∃𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦)(𝑦 = 𝑠 ∨ 𝑦 ∈ 𝑠))) | 
| 87 | 86 | ad2antrl 728 | . . . . 5
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → (∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦)(𝑦 = 𝑠 ∨ 𝑦 ∈ 𝑠) → ∃𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦)(𝑦 = 𝑠 ∨ 𝑦 ∈ 𝑠))) | 
| 88 |  | eleq1w 2823 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑠 ∈ 𝑆)) | 
| 89 | 15, 88 | imbitrrid 246 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑆)) | 
| 90 | 89 | a1i 11 | . . . . . . . 8
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → (𝑦 = 𝑠 → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑆))) | 
| 91 |  | trel 5267 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (Tr 𝑆 → ((𝑦 ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)) | 
| 92 | 91 | expd 415 | . . . . . . . . . 10
⊢ (Tr 𝑆 → (𝑦 ∈ 𝑠 → (𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑆))) | 
| 93 | 15, 92 | syl7 74 | . . . . . . . . 9
⊢ (Tr 𝑆 → (𝑦 ∈ 𝑠 → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑆))) | 
| 94 | 93 | ad2antrr 726 | . . . . . . . 8
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → (𝑦 ∈ 𝑠 → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑆))) | 
| 95 | 90, 94 | jaod 859 | . . . . . . 7
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → ((𝑦 = 𝑠 ∨ 𝑦 ∈ 𝑠) → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑆))) | 
| 96 | 95 | com23 86 | . . . . . 6
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦) → ((𝑦 = 𝑠 ∨ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑦 ∈ 𝑆))) | 
| 97 | 96 | rexlimdv 3152 | . . . . 5
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → (∃𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦)(𝑦 = 𝑠 ∨ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑦 ∈ 𝑆)) | 
| 98 | 87, 97 | syld 47 | . . . 4
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → (∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ 𝑦)(𝑦 = 𝑠 ∨ 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑦 ∈ 𝑆)) | 
| 99 | 82, 98 | mpd 15 | . . 3
⊢ (((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑆) | 
| 100 | 99 | ex 412 | . 2
⊢ ((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑆)) | 
| 101 | 100 | alrimiv 1926 | 1
⊢ ((Tr
𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧((𝑧 ⊊ 𝑥 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ∀𝑦((𝑦 ⊊ 𝑆 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑆)) |