MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  php2OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem php2OLD 9282
Description: Obsolete version of php2 9270 as of 20-Nov-2024. (Contributed by NM, 31-May-1998.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
php2OLD ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem php2OLD
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2826 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
2 psseq2 4108 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵𝑥𝐵𝐴))
31, 2anbi12d 631 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴)))
4 breq2 5173 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵𝑥𝐵𝐴))
53, 4imbi12d 344 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → 𝐵𝑥) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)))
6 vex 3486 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
7 pssss 4115 . . . . . 6 (𝐵𝑥𝐵𝑥)
8 ssdomg 9056 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (𝐵𝑥𝐵𝑥))
96, 7, 8mpsyl 68 . . . . 5 (𝐵𝑥𝐵𝑥)
109adantl 481 . . . 4 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → 𝐵𝑥)
11 php 9269 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → ¬ 𝑥𝐵)
12 ensym 9059 . . . . 5 (𝐵𝑥𝑥𝐵)
1311, 12nsyl 140 . . . 4 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → ¬ 𝐵𝑥)
14 brsdom 9031 . . . 4 (𝐵𝑥 ↔ (𝐵𝑥 ∧ ¬ 𝐵𝑥))
1510, 13, 14sylanbrc 582 . . 3 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → 𝐵𝑥)
165, 15vtoclg 3561 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴))
1716anabsi5 668 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  Vcvv 3482  wss 3970  wpss 3971   class class class wbr 5169  ωcom 7899  cen 8996  cdom 8997  csdm 8998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-om 7900  df-1o 8518  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator