Theorem php2OLD 9258

Description: Obsolete version of php2 9246 as of 20-Nov-2024. (Contributed by NM, 31-May-1998.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
php2OLD	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem php2OLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
2		psseq2 4101	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ⊊ 𝑥 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
3	1, 2	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴)))
4		breq2 5152	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ≺ 𝑥 ↔ 𝐵 ≺ 𝐴))
5	3, 4	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) → 𝐵 ≺ 𝑥) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)))
6		vex 3482	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7		pssss 4108	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝑥 → 𝐵 ⊆ 𝑥)
8		ssdomg 9039	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝐵 ⊆ 𝑥 → 𝐵 ≼ 𝑥))
9	6, 7, 8	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝑥 → 𝐵 ≼ 𝑥)
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) → 𝐵 ≼ 𝑥)
11		php 9245	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) → ¬ 𝑥 ≈ 𝐵)
12		ensym 9042	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ 𝐵)
13	11, 12	nsyl 140	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) → ¬ 𝐵 ≈ 𝑥)
14		brsdom 9014	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝑥 ↔ (𝐵 ≼ 𝑥 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝑥))
15	10, 13, 14	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) → 𝐵 ≺ 𝑥)
16	5, 15	vtoclg 3554	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴))
17	16	anabsi5 669	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963   ⊊ wpss 3964   class class class wbr 5148  ωcom 7887   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988

This theorem is referenced by: (None)