Theorem elnp 10947

Description: Membership in positive reals. (Contributed by NM, 16-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elnp	⊢ (𝐴 ∈ P ↔ ((∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem elnp

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3477	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ∈ V)
2		pssss 4053	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊊ Q → 𝐴 ⊆ Q)
3		nqex 10883	. . . . 5 ⊢ Q ∈ V
4	3	ssex 5279	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ Q → 𝐴 ∈ V)
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊊ Q → 𝐴 ∈ V)
6	5	ad2antlr 737	. 2 ⊢ (((∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦)) → 𝐴 ∈ V)
7		psseq2 4046	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∅ ⊊ 𝑧 ↔ ∅ ⊊ 𝐴))
8		psseq1 4045	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 ⊊ Q ↔ 𝐴 ⊊ Q))
9	7, 8	anbi12d 641	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((∅ ⊊ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊊ Q) ↔ (∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q)))
10		eleq2 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
11	10	imbi2d 342	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ↔ (𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
12	11	albidv 1942	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
13		rexeq 3318	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦))
14	12, 13	anbi12d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦) ↔ (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))
15	14	raleqbi1dv 3332	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))
16	9, 15	anbi12d 641	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((∅ ⊊ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦)) ↔ ((∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦))))
17		df-np 10941	. . 3 ⊢ P = {𝑧 ∣ ((∅ ⊊ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦))}
18	16, 17	elab2g 3641	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ P ↔ ((∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦))))
19	1, 6, 18	pm5.21nii 380	1 ⊢ (𝐴 ∈ P ↔ ((∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399  ∀wal 1560   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3456   ⊆ wss 3906   ⊊ wpss 3907  ∅c0 4287   class class class wbr 5102  Qcnq 10812   <_Q cltq 10818  Pcnp 10819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-sb 2093  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-om 7849  df-ni 10832  df-nq 10872  df-np 10941

This theorem is referenced by:  genpcl  10968  nqpr  10974  ltexprlem5  11000  reclem2pr  11008  suplem1pr  11012