MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnp 11025
Description: Membership in positive reals. (Contributed by NM, 16-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elnp (𝐴P ↔ ((∅ ⊊ 𝐴𝐴Q) ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem elnp
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3499 . 2 (𝐴P𝐴 ∈ V)
2 pssss 4108 . . . 4 (𝐴Q𝐴Q)
3 nqex 10961 . . . . 5 Q ∈ V
43ssex 5327 . . . 4 (𝐴Q𝐴 ∈ V)
52, 4syl 17 . . 3 (𝐴Q𝐴 ∈ V)
65ad2antlr 727 . 2 (((∅ ⊊ 𝐴𝐴Q) ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 <Q 𝑦)) → 𝐴 ∈ V)
7 psseq2 4101 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (∅ ⊊ 𝑧 ↔ ∅ ⊊ 𝐴))
8 psseq1 4100 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧Q𝐴Q))
97, 8anbi12d 632 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((∅ ⊊ 𝑧𝑧Q) ↔ (∅ ⊊ 𝐴𝐴Q)))
10 eleq2 2828 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → (𝑦𝑧𝑦𝐴))
1110imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑧) ↔ (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴)))
1211albidv 1918 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑧) ↔ ∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴)))
13 rexeq 3320 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥 <Q 𝑦))
1412, 13anbi12d 632 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → ((∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑧) ∧ ∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦) ↔ (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))
1514raleqbi1dv 3336 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥𝑧 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑧) ∧ ∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))
169, 15anbi12d 632 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → (((∅ ⊊ 𝑧𝑧Q) ∧ ∀𝑥𝑧 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑧) ∧ ∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦)) ↔ ((∅ ⊊ 𝐴𝐴Q) ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 <Q 𝑦))))
17 df-np 11019 . . 3 P = {𝑧 ∣ ((∅ ⊊ 𝑧𝑧Q) ∧ ∀𝑥𝑧 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑧) ∧ ∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦))}
1816, 17elab2g 3683 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐴P ↔ ((∅ ⊊ 𝐴𝐴Q) ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 <Q 𝑦))))
191, 6, 18pm5.21nii 378 1 (𝐴P ↔ ((∅ ⊊ 𝐴𝐴Q) ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦𝐴) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  wpss 3964  c0 4339   class class class wbr 5148  Qcnq 10890   <Q cltq 10896  Pcnp 10897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-om 7888  df-ni 10910  df-nq 10950  df-np 11019
This theorem is referenced by:  genpcl  11046  nqpr  11052  ltexprlem5  11078  reclem2pr  11086  suplem1pr  11090
  Copyright terms: Public domain W3C validator