Theorem elnp 10878

Description: Membership in positive reals. (Contributed by NM, 16-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elnp	⊢ (𝐴 ∈ P ↔ ((∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem elnp

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3457	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ∈ V)
2		pssss 4045	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊊ Q → 𝐴 ⊆ Q)
3		nqex 10814	. . . . 5 ⊢ Q ∈ V
4	3	ssex 5257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ Q → 𝐴 ∈ V)
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊊ Q → 𝐴 ∈ V)
6	5	ad2antlr 727	. 2 ⊢ (((∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦)) → 𝐴 ∈ V)
7		psseq2 4038	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∅ ⊊ 𝑧 ↔ ∅ ⊊ 𝐴))
8		psseq1 4037	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 ⊊ Q ↔ 𝐴 ⊊ Q))
9	7, 8	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((∅ ⊊ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊊ Q) ↔ (∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q)))
10		eleq2 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
11	10	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ↔ (𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
12	11	albidv 1921	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
13		rexeq 3288	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦))
14	12, 13	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦) ↔ (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))
15	14	raleqbi1dv 3304	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))
16	9, 15	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((∅ ⊊ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦)) ↔ ((∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦))))
17		df-np 10872	. . 3 ⊢ P = {𝑧 ∣ ((∅ ⊊ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦))}
18	16, 17	elab2g 3631	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ P ↔ ((∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦))))
19	1, 6, 18	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝐴 ∈ P ↔ ((∅ ⊊ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 <Q 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   ⊊ wpss 3898  ∅c0 4280   class class class wbr 5089  Qcnq 10743   <_Q cltq 10749  Pcnp 10750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5197  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-om 7797  df-ni 10763  df-nq 10803  df-np 10872

This theorem is referenced by:  genpcl  10899  nqpr  10905  ltexprlem5  10931  reclem2pr  10939  suplem1pr  10943