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Theorem lbsextlem4 20920
Description: Lemma for lbsext 20922. lbsextlem3 20919 satisfies the conditions for the application of Zorn's lemma zorn 10506 (thus invoking AC), and so there is a maximal linearly independent set extending 𝐢. Here we prove that such a set is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lbsext.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
lbsext.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lbsext.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lbsext.c (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝑉)
lbsext.x (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐢 βˆ– {π‘₯})))
lbsext.s 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})))}
lbsext.k (πœ‘ β†’ 𝒫 𝑉 ∈ dom card)
Assertion
Ref Expression
lbsextlem4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐽 𝐢 βŠ† 𝑠)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽   πœ‘,π‘₯,𝑠   𝑆,𝑠,π‘₯   π‘₯,𝑧,𝐢   π‘₯,𝑁,𝑧   π‘₯,𝑉,𝑧   π‘₯,π‘Š   𝑧,𝑠   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐢(𝑠)   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧,𝑠)   𝑁(𝑠)   𝑉(𝑠)   π‘Š(𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lbsextlem4
Dummy variables 𝑒 𝑀 𝑦 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsext.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝑉 ∈ dom card)
2 lbsext.s . . . . 5 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})))}
32ssrab3 4080 . . . 4 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑉
4 ssnum 10038 . . . 4 ((𝒫 𝑉 ∈ dom card ∧ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ dom card)
51, 3, 4sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ dom card)
6 lbsext.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
7 lbsext.j . . . 4 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
8 lbsext.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
9 lbsext.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
10 lbsext.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝑉)
11 lbsext.x . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐢 βˆ– {π‘₯})))
126, 7, 8, 9, 10, 11, 2lbsextlem1 20917 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
139adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ [⊊] Or 𝑦)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
1410adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ [⊊] Or 𝑦)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝑉)
1511adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ [⊊] Or 𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐢 βˆ– {π‘₯})))
16 eqid 2731 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
17 simpr1 1193 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ [⊊] Or 𝑦)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑆)
18 simpr2 1194 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ [⊊] Or 𝑦)) β†’ 𝑦 β‰  βˆ…)
19 simpr3 1195 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ [⊊] Or 𝑦)) β†’ [⊊] Or 𝑦)
20 eqid 2731 . . . . . 6 βˆͺ 𝑒 ∈ 𝑦 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯})) = βˆͺ 𝑒 ∈ 𝑦 (π‘β€˜(𝑒 βˆ– {π‘₯}))
216, 7, 8, 13, 14, 15, 2, 16, 17, 18, 19, 20lbsextlem3 20919 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ [⊊] Or 𝑦)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑆)
2221ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ [⊊] Or 𝑦) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑆))
2322alrimiv 1929 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦((𝑦 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ [⊊] Or 𝑦) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑆))
24 zornn0g 10504 . . 3 ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘¦((𝑦 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ [⊊] Or 𝑦) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)
255, 12, 23, 24syl3anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)
26 simprl 768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
27 sseq2 4008 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠 β†’ (𝐢 βŠ† 𝑧 ↔ 𝐢 βŠ† 𝑠))
28 difeq1 4115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑠 β†’ (𝑧 βˆ– {π‘₯}) = (𝑠 βˆ– {π‘₯}))
2928fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑠 β†’ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) = (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯})))
3029eleq2d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑠 β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯}))))
3130notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑠 β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯}))))
3231raleqbi1dv 3332 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯}))))
3327, 32anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑠 β†’ ((𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯}))) ↔ (𝐢 βŠ† 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯})))))
3433, 2elrab2 3686 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝑆 ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐢 βŠ† 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯})))))
3526, 34sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐢 βŠ† 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯})))))
3635simpld 494 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉)
3736elpwid 4611 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑉)
38 lveclmod 20862 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
399, 38syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4039adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
416, 8lspssv 20739 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ ) βŠ† 𝑉)
4240, 37, 41syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ (π‘β€˜π‘ ) βŠ† 𝑉)
43 ssun1 4172 . . . . . . . . 9 𝑠 βŠ† (𝑠 βˆͺ {𝑀})
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ 𝑠 βŠ† (𝑠 βˆͺ {𝑀}))
45 ssun2 4173 . . . . . . . . . . 11 {𝑀} βŠ† (𝑠 βˆͺ {𝑀})
46 vsnid 4665 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ {𝑀}
4745, 46sselii 3979 . . . . . . . . . 10 𝑀 ∈ (𝑠 βˆͺ {𝑀})
486, 8lspssid 20741 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑠 βŠ† (π‘β€˜π‘ ))
4940, 37, 48syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ 𝑠 βŠ† (π‘β€˜π‘ ))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ 𝑠 βŠ† (π‘β€˜π‘ ))
51 eldifn 4127 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜π‘ ))
5251adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜π‘ ))
5350, 52ssneldd 3985 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ 𝑠)
54 nelne1 3038 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ 𝑠) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) β‰  𝑠)
5547, 53, 54sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) β‰  𝑠)
5655necomd 2995 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ 𝑠 β‰  (𝑠 βˆͺ {𝑀}))
57 df-pss 3967 . . . . . . . 8 (𝑠 ⊊ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) ↔ (𝑠 βŠ† (𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∧ 𝑠 β‰  (𝑠 βˆͺ {𝑀})))
5844, 56, 57sylanbrc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ 𝑠 ⊊ (𝑠 βˆͺ {𝑀}))
59 psseq2 4088 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝑠 βˆͺ {𝑀}) β†’ (𝑠 ⊊ 𝑑 ↔ 𝑠 ⊊ (𝑠 βˆͺ {𝑀})))
6059notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝑠 βˆͺ {𝑀}) β†’ (Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑 ↔ Β¬ 𝑠 ⊊ (𝑠 βˆͺ {𝑀})))
61 simplrr 775 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)
6237adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑉)
63 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
6564snssd 4812 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ {𝑀} βŠ† 𝑉)
6662, 65unssd 4186 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) βŠ† 𝑉)
676fvexi 6905 . . . . . . . . . . 11 𝑉 ∈ V
6867elpw2 5345 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ 𝒫 𝑉 ↔ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) βŠ† 𝑉)
6966, 68sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ 𝒫 𝑉)
7035simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ (𝐢 βŠ† 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯}))))
7170simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝑠)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ 𝐢 βŠ† 𝑠)
7372, 43sstrdi 3994 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ 𝐢 βŠ† (𝑠 βˆͺ {𝑀}))
749ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
7537adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑉)
7675ssdifssd 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ (𝑠 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉)
7764adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
78 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯})))
79 difundir 4280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}) = ((𝑠 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ ({𝑀} βˆ– {π‘₯}))
80 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)
8153adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ 𝑠)
82 nelne2 3039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ 𝑠) β†’ π‘₯ β‰  𝑀)
8380, 81, 82syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ π‘₯ β‰  𝑀)
84 nelsn 4668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ β‰  𝑀 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ {𝑀})
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ {𝑀})
86 disjsn 4715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (({𝑀} ∩ {π‘₯}) = βˆ… ↔ Β¬ π‘₯ ∈ {𝑀})
8785, 86sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ ({𝑀} ∩ {π‘₯}) = βˆ…)
88 disj3 4453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (({𝑀} ∩ {π‘₯}) = βˆ… ↔ {𝑀} = ({𝑀} βˆ– {π‘₯}))
8987, 88sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ {𝑀} = ({𝑀} βˆ– {π‘₯}))
9089uneq2d 4163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ ((𝑠 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑀}) = ((𝑠 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ ({𝑀} βˆ– {π‘₯})))
9179, 90eqtr4id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ ((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}) = ((𝑠 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑀}))
9291fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯})) = (π‘β€˜((𝑠 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑀})))
9378, 92eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑀})))
9470simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯})))
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯})))
96 rsp 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑠 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯}))))
9795, 80, 96sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯})))
9893, 97eldifd 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜((𝑠 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑀})) βˆ– (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯}))))
996, 16, 8lspsolv 20902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ LVec ∧ ((𝑠 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜((𝑠 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {𝑀})) βˆ– (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯}))))) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})))
10074, 76, 77, 98, 99syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})))
101 undif1 4475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = (𝑠 βˆͺ {π‘₯})
10280snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ {π‘₯} βŠ† 𝑠)
103 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({π‘₯} βŠ† 𝑠 ↔ (𝑠 βˆͺ {π‘₯}) = 𝑠)
104102, 103sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ (𝑠 βˆͺ {π‘₯}) = 𝑠)
105101, 104eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ ((𝑠 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = 𝑠)
106105fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ (π‘β€˜((𝑠 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})) = (π‘β€˜π‘ ))
107100, 106eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜π‘ ))
108107expr 456 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜π‘ )))
10952, 108mtod 197 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))
110 imnan 399 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝑠 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))) ↔ Β¬ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))
111109, 110sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑠 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))
112111ralrimiv 3144 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯})))
113 difssd 4132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ (𝑠 βˆ– {𝑀}) βŠ† 𝑠)
1146, 8lspss 20740 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑠 βŠ† 𝑉 ∧ (𝑠 βˆ– {𝑀}) βŠ† 𝑠) β†’ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {𝑀})) βŠ† (π‘β€˜π‘ ))
11540, 37, 113, 114syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {𝑀})) βŠ† (π‘β€˜π‘ ))
116115adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {𝑀})) βŠ† (π‘β€˜π‘ ))
117116, 52ssneldd 3985 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {𝑀})))
118 vex 3477 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 ∈ V
119 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑀 β†’ π‘₯ = 𝑀)
120 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑀 β†’ {π‘₯} = {𝑀})
121120difeq2d 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}) = ((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {𝑀}))
122 difun2 4480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {𝑀}) = (𝑠 βˆ– {𝑀})
123121, 122eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}) = (𝑠 βˆ– {𝑀}))
124123fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯})) = (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {𝑀})))
125119, 124eleq12d 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯})) ↔ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {𝑀}))))
126125notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {𝑀}))))
127118, 126ralsn 4685 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑀} Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {𝑀})))
128117, 127sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑀} Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯})))
129 ralun 4192 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯})) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑀} Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯})))
130112, 128, 129syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯})))
13173, 130jca 511 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ (𝐢 βŠ† (𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))
132 sseq2 4008 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑠 βˆͺ {𝑀}) β†’ (𝐢 βŠ† 𝑧 ↔ 𝐢 βŠ† (𝑠 βˆͺ {𝑀})))
133 difeq1 4115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑠 βˆͺ {𝑀}) β†’ (𝑧 βˆ– {π‘₯}) = ((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))
134133fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑠 βˆͺ {𝑀}) β†’ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) = (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯})))
135134eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑠 βˆͺ {𝑀}) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))
136135notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑠 βˆͺ {𝑀}) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))
137136raleqbi1dv 3332 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑠 βˆͺ {𝑀}) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯}))))
138132, 137anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑠 βˆͺ {𝑀}) β†’ ((𝐢 βŠ† 𝑧 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑧 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑧 βˆ– {π‘₯}))) ↔ (𝐢 βŠ† (𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯})))))
139138, 2elrab2 3686 . . . . . . . . 9 ((𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐢 βŠ† (𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜((𝑠 βˆͺ {𝑀}) βˆ– {π‘₯})))))
14069, 131, 139sylanbrc 582 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ 𝑆)
14160, 61, 140rspcdva 3613 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ ))) β†’ Β¬ 𝑠 ⊊ (𝑠 βˆͺ {𝑀}))
14258, 141pm2.65da 814 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )))
143142eq0rdv 4404 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) = βˆ…)
144 ssdif0 4363 . . . . 5 (𝑉 βŠ† (π‘β€˜π‘ ) ↔ (𝑉 βˆ– (π‘β€˜π‘ )) = βˆ…)
145143, 144sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ 𝑉 βŠ† (π‘β€˜π‘ ))
14642, 145eqssd 3999 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ (π‘β€˜π‘ ) = 𝑉)
1479adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
1486, 7, 8islbs2 20913 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝑠 ∈ 𝐽 ↔ (𝑠 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π‘ ) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯})))))
149147, 148syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ (𝑠 ∈ 𝐽 ↔ (𝑠 βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π‘ ) = 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆ– {π‘₯})))))
15037, 146, 94, 149mpbir3and 1341 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑠 ⊊ 𝑑)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐽)
15125, 150, 71reximssdv 3171 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐽 𝐢 βŠ† 𝑠)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  βˆ€wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   Or wor 5587  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543   [⊊] crpss 7716  cardccrd 9934  Basecbs 17149  LModclmod 20615  LSubSpclss 20687  LSpanclspn 20727  LBasisclbs 20830  LVecclvec 20858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-rpss 7717  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lbs 20831  df-lvec 20859
This theorem is referenced by:  lbsextg  20921
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