Theorem lbsextlem4 21439

Description: Lemma for lbsext 21441. lbsextlem3 21438 satisfies the conditions for the application of Zorn's lemma zorn 10585 (thus invoking AC), and so there is a maximal linearly independent set extending 𝐶. Here we prove that such a set is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsext.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsext.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsext.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsext.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lbsext.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑉)
lbsext.x	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
lbsext.s	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
lbsext.k	⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑉 ∈ dom card)

Assertion

Ref	Expression
lbsextlem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐽 𝐶 ⊆ 𝑠)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥,𝑠   𝑆,𝑠,𝑥   𝑥,𝑧,𝐶   𝑥,𝑁,𝑧   𝑥,𝑉,𝑧   𝑥,𝑊   𝑧,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑠)   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧, 𝑠)   𝑁(𝑠)   𝑉(𝑠)   𝑊(𝑧, 𝑠)

Proof of Theorem lbsextlem4

Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsext.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑉 ∈ dom card)
2		lbsext.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
3	2	ssrab3 4007	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑉
4		ssnum 10118	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝑉 ∈ dom card ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑉) → 𝑆 ∈ dom card)
5	1, 3, 4	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom card)
6		lbsext.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		lbsext.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
8		lbsext.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		lbsext.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
10		lbsext.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑉)
11		lbsext.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
12	6, 7, 8, 9, 10, 11, 2	lbsextlem1 21436	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
13	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦)) → 𝑊 ∈ LVec)
14	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦)) → 𝐶 ⊆ 𝑉)
15	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
16		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
17		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝑆)
18		simpr2 1214	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦)) → 𝑦 ≠ ∅)
19		simpr3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦)) → [⊊] Or 𝑦)
20		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑢 ∈ 𝑦 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) = ∪ 𝑢 ∈ 𝑦 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))
21	6, 7, 8, 13, 14, 15, 2, 16, 17, 18, 19, 20	lbsextlem3 21438	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦)) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
22	21	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
23	22	alrimiv 1959	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦((𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
24		zornn0g 10583	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦((𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)
25	5, 12, 23, 24	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)
26		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝑠 ∈ 𝑆)
27		sseq2 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝐶 ⊆ 𝑧 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑠))
28		difeq1 4056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝑧 ∖ {𝑥}) = (𝑠 ∖ {𝑥}))
29	28	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
30	29	eleq2d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
31	30	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
32	31	raleqbi1dv 3329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
33	27, 32	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
34	33, 2	elrab2 3648	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
35	26, 34	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
36	35	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉)
37	36	elpwid 4565	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝑠 ⊆ 𝑉)
38		lveclmod 21381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
39	9, 38	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
40	39	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝑊 ∈ LMod)
41	6, 8	lspssv 21258	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉)
42	40, 37, 41	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → (𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉)
43		ssun1 4176	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑠 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤})
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑠 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}))
45		ssun2 4177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑤} ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤})
46		vsnid 4623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑤 ∈ {𝑤}
47	45, 46	sselii 3905	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑤 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤})
48	6, 8	lspssid 21260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ⊆ 𝑉) → 𝑠 ⊆ (𝑁‘𝑠))
49	40, 37, 48	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝑠 ⊆ (𝑁‘𝑠))
50	49	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑠 ⊆ (𝑁‘𝑠))
51		eldifn 4068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘𝑠))
52	51	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘𝑠))
53	50, 52	ssneldd 3911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑠)
54		nelne1 3052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑠) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ≠ 𝑠)
55	47, 53, 54	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ≠ 𝑠)
56	55	necomd 3010	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑠 ≠ (𝑠 ∪ {𝑤}))
57		df-pss 4014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤}) ↔ (𝑠 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑠 ≠ (𝑠 ∪ {𝑤})))
58	44, 56, 57	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤}))
59		psseq2 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝑠 ⊊ 𝑡 ↔ 𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤})))
60	59	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (¬ 𝑠 ⊊ 𝑡 ↔ ¬ 𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤})))
61		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)
62	37	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑠 ⊆ 𝑉)
63		eldifi 4067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) → 𝑤 ∈ 𝑉)
64	63	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑤 ∈ 𝑉)
65	64	snssd 4746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → {𝑤} ⊆ 𝑉)
66	62, 65	unssd 4190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝑉)
67	6	fvexi 6899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 ∈ V
68	67	elpw2 5295	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝒫 𝑉 ↔ (𝑠 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝑉)
69	66, 68	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝒫 𝑉)
70	35	simprd 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → (𝐶 ⊆ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
71	70	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝐶 ⊆ 𝑠)
72	71	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝐶 ⊆ 𝑠)
73	72, 43	sstrdi 3920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}))
74	9	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑊 ∈ LVec)
75	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑠 ⊆ 𝑉)
76	75	ssdifssd 4083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → (𝑠 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
77	64	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑤 ∈ 𝑉)
78		simprrr 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
79		difundir 4236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}) = ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ ({𝑤} ∖ {𝑥}))
80		simprrl 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥 ∈ 𝑠)
81	53	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑠)
82		nelne2 3053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑠) → 𝑥 ≠ 𝑤)
83	80, 81, 82	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥 ≠ 𝑤)
84		nelsn 4626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑤 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
85	83, 84	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
86		disjsn 4671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (({𝑤} ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
87	85, 86	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ({𝑤} ∩ {𝑥}) = ∅)
88		disj3 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (({𝑤} ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ {𝑤} = ({𝑤} ∖ {𝑥}))
89	87, 88	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → {𝑤} = ({𝑤} ∖ {𝑥}))
90	89	uneq2d 4167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤}) = ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ ({𝑤} ∖ {𝑥})))
91	79, 90	eqtr4id 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}) = ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤}))
92	91	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) = (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤})))
93	78, 92	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤})))
94	70	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
95	94	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
96		rsp 3250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})) → (𝑥 ∈ 𝑠 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
97	95, 80, 96	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
98	93, 97	eldifd 4050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤})) ∖ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
99	6, 16, 8	lspsolv 21421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ((𝑠 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤})) ∖ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))) → 𝑤 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
100	74, 76, 77, 98, 99	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑤 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
101		undif1 4429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝑠 ∪ {𝑥})
102	80	snssd 4746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → {𝑥} ⊆ 𝑠)
103		ssequn2 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝑠 ↔ (𝑠 ∪ {𝑥}) = 𝑠)
104	102, 103	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → (𝑠 ∪ {𝑥}) = 𝑠)
105	101, 104	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝑠)
106	105	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝑁‘𝑠))
107	100, 106	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑤 ∈ (𝑁‘𝑠))
108	107	expr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ((𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))) → 𝑤 ∈ (𝑁‘𝑠)))
109	52, 108	mtod 201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ¬ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
110		imnan 405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑠 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
111	109, 110	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → (𝑥 ∈ 𝑠 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
112	111	ralrimiv 3153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
113		difssd 4073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → (𝑠 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑠)
114	6, 8	lspss 21259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑠 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑠) → (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})) ⊆ (𝑁‘𝑠))
115	40, 37, 113, 114	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})) ⊆ (𝑁‘𝑠))
116	115	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})) ⊆ (𝑁‘𝑠))
117	116, 52	ssneldd 3911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})))
118		vex 3454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑤 ∈ V
119		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝑥 = 𝑤)
120		sneq 4593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → {𝑥} = {𝑤})
121	120	difeq2d 4063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}) = ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑤}))
122		difun2 4436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑤}) = (𝑠 ∖ {𝑤})
123	121, 122	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}) = (𝑠 ∖ {𝑤}))
124	123	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})))
125	119, 124	eleq12d 2854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤}))))
126	125	notbid 321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤}))))
127	118, 126	ralsn 4641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑤} ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})))
128	117, 127	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ∀𝑥 ∈ {𝑤} ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
129		ralun 4196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑤} ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))) → ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
130	112, 128, 129	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
131	73, 130	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → (𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
132		sseq2 3934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝐶 ⊆ 𝑧 ↔ 𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤})))
133		difeq1 4056	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝑧 ∖ {𝑥}) = ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))
134	133	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
135	134	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
136	135	notbid 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
137	136	raleqbi1dv 3329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
138	132, 137	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))))
139	138, 2	elrab2 3648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))))
140	69, 131, 139	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝑆)
141	60, 61, 140	rspcdva 3577	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ¬ 𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤}))
142	58, 141	pm2.65da 829	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)))
143	142	eq0rdv 4364	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) = ∅)
144		ssdif0 4313	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ⊆ (𝑁‘𝑠) ↔ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) = ∅)
145	143, 144	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘𝑠))
146	42, 145	eqssd 3925	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → (𝑁‘𝑠) = 𝑉)
147	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝑊 ∈ LVec)
148	6, 7, 8	islbs2 21432	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐽 ↔ (𝑠 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑠) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
149	147, 148	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → (𝑠 ∈ 𝐽 ↔ (𝑠 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑠) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
150	37, 146, 94, 149	mpbir3and 1361	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝑠 ∈ 𝐽)
151	25, 150, 71	reximssdv 3180	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐽 𝐶 ⊆ 𝑠)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ⊊ wpss 4013   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4583  ∪ cuni 4866  ∪ ciun 4950   Or wor 5557  dom cdm 5650  ‘cfv 6538   [⊊] crpss 7738  cardccrd 10016  Basecbs 17387  LModclmod 21135  LSubSpclss 21206  LSpanclspn 21246  LBasisclbs 21349  LVecclvec 21377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-rpss 7739  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lbs 21350  df-lvec 21378

This theorem is used by:  lbsextg  21440