Theorem lbsextlem4 21068

Description: Lemma for lbsext 21070. lbsextlem3 21067 satisfies the conditions for the application of Zorn's lemma zorn 10401 (thus invoking AC), and so there is a maximal linearly independent set extending 𝐶. Here we prove that such a set is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsext.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsext.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsext.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsext.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lbsext.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑉)
lbsext.x	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
lbsext.s	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
lbsext.k	⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑉 ∈ dom card)

Assertion

Ref	Expression
lbsextlem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐽 𝐶 ⊆ 𝑠)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥,𝑠   𝑆,𝑠,𝑥   𝑥,𝑧,𝐶   𝑥,𝑁,𝑧   𝑥,𝑉,𝑧   𝑥,𝑊   𝑧,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑠)   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧,𝑠)   𝑁(𝑠)   𝑉(𝑠)   𝑊(𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lbsextlem4

Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsext.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑉 ∈ dom card)
2		lbsext.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
3	2	ssrab3 4033	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑉
4		ssnum 9933	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝑉 ∈ dom card ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑉) → 𝑆 ∈ dom card)
5	1, 3, 4	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom card)
6		lbsext.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		lbsext.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
8		lbsext.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		lbsext.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
10		lbsext.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑉)
11		lbsext.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
12	6, 7, 8, 9, 10, 11, 2	lbsextlem1 21065	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
13	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦)) → 𝑊 ∈ LVec)
14	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦)) → 𝐶 ⊆ 𝑉)
15	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
16		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
17		simpr1 1195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝑆)
18		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦)) → 𝑦 ≠ ∅)
19		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦)) → [⊊] Or 𝑦)
20		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑢 ∈ 𝑦 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) = ∪ 𝑢 ∈ 𝑦 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))
21	6, 7, 8, 13, 14, 15, 2, 16, 17, 18, 19, 20	lbsextlem3 21067	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦)) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
22	21	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
23	22	alrimiv 1927	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦((𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
24		zornn0g 10399	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦((𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)
25	5, 12, 23, 24	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)
26		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝑠 ∈ 𝑆)
27		sseq2 3962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝐶 ⊆ 𝑧 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑠))
28		difeq1 4070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝑧 ∖ {𝑥}) = (𝑠 ∖ {𝑥}))
29	28	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
30	29	eleq2d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
31	30	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
32	31	raleqbi1dv 3301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
33	27, 32	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
34	33, 2	elrab2 3651	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
35	26, 34	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
36	35	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉)
37	36	elpwid 4560	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝑠 ⊆ 𝑉)
38		lveclmod 21010	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
39	9, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝑊 ∈ LMod)
41	6, 8	lspssv 20886	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉)
42	40, 37, 41	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → (𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉)
43		ssun1 4129	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑠 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤})
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑠 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}))
45		ssun2 4130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑤} ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤})
46		vsnid 4615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑤 ∈ {𝑤}
47	45, 46	sselii 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑤 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤})
48	6, 8	lspssid 20888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ⊆ 𝑉) → 𝑠 ⊆ (𝑁‘𝑠))
49	40, 37, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝑠 ⊆ (𝑁‘𝑠))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑠 ⊆ (𝑁‘𝑠))
51		eldifn 4083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘𝑠))
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘𝑠))
53	50, 52	ssneldd 3938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑠)
54		nelne1 3022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑠) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ≠ 𝑠)
55	47, 53, 54	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ≠ 𝑠)
56	55	necomd 2980	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑠 ≠ (𝑠 ∪ {𝑤}))
57		df-pss 3923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤}) ↔ (𝑠 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑠 ≠ (𝑠 ∪ {𝑤})))
58	44, 56, 57	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤}))
59		psseq2 4042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝑠 ⊊ 𝑡 ↔ 𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤})))
60	59	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (¬ 𝑠 ⊊ 𝑡 ↔ ¬ 𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤})))
61		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)
62	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑠 ⊆ 𝑉)
63		eldifi 4082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) → 𝑤 ∈ 𝑉)
64	63	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑤 ∈ 𝑉)
65	64	snssd 4760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → {𝑤} ⊆ 𝑉)
66	62, 65	unssd 4143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝑉)
67	6	fvexi 6836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 ∈ V
68	67	elpw2 5273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝒫 𝑉 ↔ (𝑠 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝑉)
69	66, 68	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝒫 𝑉)
70	35	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → (𝐶 ⊆ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
71	70	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝐶 ⊆ 𝑠)
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝐶 ⊆ 𝑠)
73	72, 43	sstrdi 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}))
74	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑊 ∈ LVec)
75	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑠 ⊆ 𝑉)
76	75	ssdifssd 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → (𝑠 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
77	64	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑤 ∈ 𝑉)
78		simprrr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
79		difundir 4242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}) = ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ ({𝑤} ∖ {𝑥}))
80		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥 ∈ 𝑠)
81	53	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑠)
82		nelne2 3023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑠) → 𝑥 ≠ 𝑤)
83	80, 81, 82	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥 ≠ 𝑤)
84		nelsn 4618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑤 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
86		disjsn 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (({𝑤} ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
87	85, 86	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ({𝑤} ∩ {𝑥}) = ∅)
88		disj3 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (({𝑤} ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ {𝑤} = ({𝑤} ∖ {𝑥}))
89	87, 88	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → {𝑤} = ({𝑤} ∖ {𝑥}))
90	89	uneq2d 4119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤}) = ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ ({𝑤} ∖ {𝑥})))
91	79, 90	eqtr4id 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}) = ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤}))
92	91	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) = (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤})))
93	78, 92	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤})))
94	70	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
95	94	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
96		rsp 3217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})) → (𝑥 ∈ 𝑠 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
97	95, 80, 96	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
98	93, 97	eldifd 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤})) ∖ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
99	6, 16, 8	lspsolv 21050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ((𝑠 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤})) ∖ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))) → 𝑤 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
100	74, 76, 77, 98, 99	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑤 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
101		undif1 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝑠 ∪ {𝑥})
102	80	snssd 4760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → {𝑥} ⊆ 𝑠)
103		ssequn2 4140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝑠 ↔ (𝑠 ∪ {𝑥}) = 𝑠)
104	102, 103	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → (𝑠 ∪ {𝑥}) = 𝑠)
105	101, 104	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝑠)
106	105	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝑁‘𝑠))
107	100, 106	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑤 ∈ (𝑁‘𝑠))
108	107	expr 456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ((𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))) → 𝑤 ∈ (𝑁‘𝑠)))
109	52, 108	mtod 198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ¬ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
110		imnan 399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑠 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
111	109, 110	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → (𝑥 ∈ 𝑠 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
112	111	ralrimiv 3120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
113		difssd 4088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → (𝑠 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑠)
114	6, 8	lspss 20887	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑠 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑠) → (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})) ⊆ (𝑁‘𝑠))
115	40, 37, 113, 114	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})) ⊆ (𝑁‘𝑠))
116	115	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})) ⊆ (𝑁‘𝑠))
117	116, 52	ssneldd 3938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})))
118		vex 3440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑤 ∈ V
119		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝑥 = 𝑤)
120		sneq 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → {𝑥} = {𝑤})
121	120	difeq2d 4077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}) = ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑤}))
122		difun2 4432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑤}) = (𝑠 ∖ {𝑤})
123	121, 122	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}) = (𝑠 ∖ {𝑤}))
124	123	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})))
125	119, 124	eleq12d 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤}))))
126	125	notbid 318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤}))))
127	118, 126	ralsn 4633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑤} ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})))
128	117, 127	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ∀𝑥 ∈ {𝑤} ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
129		ralun 4149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑤} ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))) → ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
130	112, 128, 129	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
131	73, 130	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → (𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
132		sseq2 3962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝐶 ⊆ 𝑧 ↔ 𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤})))
133		difeq1 4070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝑧 ∖ {𝑥}) = ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))
134	133	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
135	134	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
136	135	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
137	136	raleqbi1dv 3301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
138	132, 137	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))))
139	138, 2	elrab2 3651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))))
140	69, 131, 139	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝑆)
141	60, 61, 140	rspcdva 3578	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠))) → ¬ 𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤}))
142	58, 141	pm2.65da 816	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)))
143	142	eq0rdv 4358	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) = ∅)
144		ssdif0 4317	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ⊆ (𝑁‘𝑠) ↔ (𝑉 ∖ (𝑁‘𝑠)) = ∅)
145	143, 144	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘𝑠))
146	42, 145	eqssd 3953	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → (𝑁‘𝑠) = 𝑉)
147	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝑊 ∈ LVec)
148	6, 7, 8	islbs2 21061	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐽 ↔ (𝑠 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑠) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
149	147, 148	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → (𝑠 ∈ 𝐽 ↔ (𝑠 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑠) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
150	37, 146, 94, 149	mpbir3and 1343	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ¬ 𝑠 ⊊ 𝑡)) → 𝑠 ∈ 𝐽)
151	25, 150, 71	reximssdv 3147	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐽 𝐶 ⊆ 𝑠)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3394   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  {csn 4577  ∪ cuni 4858  ∪ ciun 4941   Or wor 5526  dom cdm 5619  ‘cfv 6482   [⊊] crpss 7658  cardccrd 9831  Basecbs 17120  LModclmod 20763  LSubSpclss 20834  LSpanclspn 20874  LBasisclbs 20978  LVecclvec 21006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-rpss 7659  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-lbs 20979  df-lvec 21007

This theorem is referenced by:  lbsextg  21069