MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsextlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsextlem4 21164
Description: Lemma for lbsext 21166. lbsextlem3 21163 satisfies the conditions for the application of Zorn's lemma zorn 10548 (thus invoking AC), and so there is a maximal linearly independent set extending 𝐶. Here we prove that such a set is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsext.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsext.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsext.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lbsext.c (𝜑𝐶𝑉)
lbsext.x (𝜑 → ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
lbsext.s 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
lbsext.k (𝜑 → 𝒫 𝑉 ∈ dom card)
Assertion
Ref Expression
lbsextlem4 (𝜑 → ∃𝑠𝐽 𝐶𝑠)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥,𝑠   𝑆,𝑠,𝑥   𝑥,𝑧,𝐶   𝑥,𝑁,𝑧   𝑥,𝑉,𝑧   𝑥,𝑊   𝑧,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑠)   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧,𝑠)   𝑁(𝑠)   𝑉(𝑠)   𝑊(𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lbsextlem4
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsext.k . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝑉 ∈ dom card)
2 lbsext.s . . . . 5 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
32ssrab3 4081 . . . 4 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑉
4 ssnum 10080 . . . 4 ((𝒫 𝑉 ∈ dom card ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑉) → 𝑆 ∈ dom card)
51, 3, 4sylancl 586 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ dom card)
6 lbsext.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 lbsext.j . . . 4 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
8 lbsext.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9 lbsext.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
10 lbsext.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
11 lbsext.x . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
126, 7, 8, 9, 10, 11, 2lbsextlem1 21161 . . 3 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
139adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦)) → 𝑊 ∈ LVec)
1410adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦)) → 𝐶𝑉)
1511adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦)) → ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
16 eqid 2736 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
17 simpr1 1194 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦)) → 𝑦𝑆)
18 simpr2 1195 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦)) → 𝑦 ≠ ∅)
19 simpr3 1196 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦)) → [] Or 𝑦)
20 eqid 2736 . . . . . 6 𝑢𝑦 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) = 𝑢𝑦 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))
216, 7, 8, 13, 14, 15, 2, 16, 17, 18, 19, 20lbsextlem3 21163 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦)) → 𝑦𝑆)
2221ex 412 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦) → 𝑦𝑆))
2322alrimiv 1926 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦((𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦) → 𝑦𝑆))
24 zornn0g 10546 . . 3 ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦((𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦) → 𝑦𝑆)) → ∃𝑠𝑆𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)
255, 12, 23, 24syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → ∃𝑠𝑆𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)
26 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝑠𝑆)
27 sseq2 4009 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠 → (𝐶𝑧𝐶𝑠))
28 difeq1 4118 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑠 → (𝑧 ∖ {𝑥}) = (𝑠 ∖ {𝑥}))
2928fveq2d 6909 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑠 → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
3029eleq2d 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑠 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
3130notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑠 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
3231raleqbi1dv 3337 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
3327, 32anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑠 → ((𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
3433, 2elrab2 3694 . . . . . 6 (𝑠𝑆 ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
3526, 34sylib 218 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
3635simpld 494 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉)
3736elpwid 4608 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝑠𝑉)
38 lveclmod 21106 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
399, 38syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4039adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝑊 ∈ LMod)
416, 8lspssv 20982 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑉) → (𝑁𝑠) ⊆ 𝑉)
4240, 37, 41syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝑁𝑠) ⊆ 𝑉)
43 ssun1 4177 . . . . . . . . 9 𝑠 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤})
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑠 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}))
45 ssun2 4178 . . . . . . . . . . 11 {𝑤} ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤})
46 vsnid 4662 . . . . . . . . . . 11 𝑤 ∈ {𝑤}
4745, 46sselii 3979 . . . . . . . . . 10 𝑤 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤})
486, 8lspssid 20984 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑉) → 𝑠 ⊆ (𝑁𝑠))
4940, 37, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝑠 ⊆ (𝑁𝑠))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑠 ⊆ (𝑁𝑠))
51 eldifn 4131 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁𝑠))
5251adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁𝑠))
5350, 52ssneldd 3985 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ¬ 𝑤𝑠)
54 nelne1 3038 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ ¬ 𝑤𝑠) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ≠ 𝑠)
5547, 53, 54sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ≠ 𝑠)
5655necomd 2995 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑠 ≠ (𝑠 ∪ {𝑤}))
57 df-pss 3970 . . . . . . . 8 (𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤}) ↔ (𝑠 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑠 ≠ (𝑠 ∪ {𝑤})))
5844, 56, 57sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤}))
59 psseq2 4090 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝑠𝑡𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤})))
6059notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (¬ 𝑠𝑡 ↔ ¬ 𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤})))
61 simplrr 777 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)
6237adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑠𝑉)
63 eldifi 4130 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) → 𝑤𝑉)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑤𝑉)
6564snssd 4808 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → {𝑤} ⊆ 𝑉)
6662, 65unssd 4191 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝑉)
676fvexi 6919 . . . . . . . . . . 11 𝑉 ∈ V
6867elpw2 5333 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝒫 𝑉 ↔ (𝑠 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝑉)
6966, 68sylibr 234 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝒫 𝑉)
7035simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝐶𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
7170simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝐶𝑠)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → 𝐶𝑠)
7372, 43sstrdi 3995 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → 𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}))
749ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑊 ∈ LVec)
7537adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑠𝑉)
7675ssdifssd 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → (𝑠 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
7764adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑤𝑉)
78 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
79 difundir 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}) = ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ ({𝑤} ∖ {𝑥}))
80 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥𝑠)
8153adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ¬ 𝑤𝑠)
82 nelne2 3039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥𝑠 ∧ ¬ 𝑤𝑠) → 𝑥𝑤)
8380, 81, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥𝑤)
84 nelsn 4665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥𝑤 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
86 disjsn 4710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (({𝑤} ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
8785, 86sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ({𝑤} ∩ {𝑥}) = ∅)
88 disj3 4453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (({𝑤} ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ {𝑤} = ({𝑤} ∖ {𝑥}))
8987, 88sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → {𝑤} = ({𝑤} ∖ {𝑥}))
9089uneq2d 4167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤}) = ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ ({𝑤} ∖ {𝑥})))
9179, 90eqtr4id 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}) = ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤}))
9291fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) = (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤})))
9378, 92eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤})))
9470simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
96 rsp 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})) → (𝑥𝑠 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
9795, 80, 96sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
9893, 97eldifd 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤})) ∖ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
996, 16, 8lspsolv 21146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ((𝑠 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉𝑤𝑉𝑥 ∈ ((𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤})) ∖ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))) → 𝑤 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
10074, 76, 77, 98, 99syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑤 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
101 undif1 4475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝑠 ∪ {𝑥})
10280snssd 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → {𝑥} ⊆ 𝑠)
103 ssequn2 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝑥} ⊆ 𝑠 ↔ (𝑠 ∪ {𝑥}) = 𝑠)
104102, 103sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → (𝑠 ∪ {𝑥}) = 𝑠)
105101, 104eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝑠)
106105fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝑁𝑠))
107100, 106eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑤 ∈ (𝑁𝑠))
108107expr 456 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ((𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))) → 𝑤 ∈ (𝑁𝑠)))
10952, 108mtod 198 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ¬ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
110 imnan 399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑠 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))) ↔ ¬ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
111109, 110sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → (𝑥𝑠 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
112111ralrimiv 3144 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
113 difssd 4136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝑠 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑠)
1146, 8lspss 20983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑉 ∧ (𝑠 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑠) → (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})) ⊆ (𝑁𝑠))
11540, 37, 113, 114syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})) ⊆ (𝑁𝑠))
116115adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})) ⊆ (𝑁𝑠))
117116, 52ssneldd 3985 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})))
118 vex 3483 . . . . . . . . . . . . 13 𝑤 ∈ V
119 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
120 sneq 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑤 → {𝑥} = {𝑤})
121120difeq2d 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}) = ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑤}))
122 difun2 4480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑤}) = (𝑠 ∖ {𝑤})
123121, 122eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}) = (𝑠 ∖ {𝑤}))
124123fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})))
125119, 124eleq12d 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤}))))
126125notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤}))))
127118, 126ralsn 4680 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ {𝑤} ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})))
128117, 127sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ∀𝑥 ∈ {𝑤} ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
129 ralun 4197 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑤} ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))) → ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
130112, 128, 129syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
13173, 130jca 511 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → (𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
132 sseq2 4009 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝐶𝑧𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤})))
133 difeq1 4118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝑧 ∖ {𝑥}) = ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))
134133fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
135134eleq2d 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
136135notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
137136raleqbi1dv 3337 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
138132, 137anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → ((𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))))
139138, 2elrab2 3694 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))))
14069, 131, 139sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝑆)
14160, 61, 140rspcdva 3622 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ¬ 𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤}))
14258, 141pm2.65da 816 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)))
143142eq0rdv 4406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) = ∅)
144 ssdif0 4365 . . . . 5 (𝑉 ⊆ (𝑁𝑠) ↔ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) = ∅)
145143, 144sylibr 234 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝑉 ⊆ (𝑁𝑠))
14642, 145eqssd 4000 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝑁𝑠) = 𝑉)
1479adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝑊 ∈ LVec)
1486, 7, 8islbs2 21157 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑠𝐽 ↔ (𝑠𝑉 ∧ (𝑁𝑠) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
149147, 148syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝑠𝐽 ↔ (𝑠𝑉 ∧ (𝑁𝑠) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
15037, 146, 94, 149mpbir3and 1342 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝑠𝐽)
15125, 150, 71reximssdv 3172 1 (𝜑 → ∃𝑠𝐽 𝐶𝑠)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wal 1537   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  cdif 3947  cun 3948  cin 3949  wss 3950  wpss 3951  c0 4332  𝒫 cpw 4599  {csn 4625   cuni 4906   ciun 4990   Or wor 5590  dom cdm 5684  cfv 6560   [] crpss 7743  cardccrd 9976  Basecbs 17248  LModclmod 20859  LSubSpclss 20930  LSpanclspn 20970  LBasisclbs 21074  LVecclvec 21102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-rpss 7744  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-drng 20732  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lbs 21075  df-lvec 21103
This theorem is referenced by:  lbsextg  21165
  Copyright terms: Public domain W3C validator