MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pgpfac1lem1 19939
Description: Lemma for pgpfac1 19945. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.s 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
pgpfac1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
pgpfac1.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
pgpfac1.e 𝐸 = (gExβ€˜πΊ)
pgpfac1.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
pgpfac1.l βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
pgpfac1.p (πœ‘ β†’ 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π΄) = 𝐸)
pgpfac1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.au (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
pgpfac1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
pgpfac1.i (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ π‘Š) = { 0 })
pgpfac1.ss (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
pgpfac1.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem1 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) = π‘ˆ)
Distinct variable groups:   𝑀,𝐴   𝑀, βŠ•   𝑀,𝑃   𝑀,𝐺   𝑀,π‘ˆ   𝑀,𝐢   𝑀,𝑆   𝑀,π‘Š   πœ‘,𝑀   𝑀,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑀)   𝐸(𝑀)   𝑂(𝑀)   0 (𝑀)
Proof of Theorem pgpfac1lem1
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.ss . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
21adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ)
3 pgpfac1.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
4 ablgrp 19648 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
5 pgpfac1.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
65subgacs 19036 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
7 acsmre 17593 . . . . . 6 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
83, 4, 6, 74syl 19 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
98adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
10 eldifi 4126 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
1110adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
1211snssd 4812 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ {𝐢} βŠ† π‘ˆ)
13 pgpfac1.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
1413adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
15 pgpfac1.k . . . . 5 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
1615mrcsscl 17561 . . . 4 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ {𝐢} βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (πΎβ€˜{𝐢}) βŠ† π‘ˆ)
179, 12, 14, 16syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜{𝐢}) βŠ† π‘ˆ)
18 pgpfac1.s . . . . . . 7 𝑆 = (πΎβ€˜{𝐴})
195subgss 19002 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
2013, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐡)
21 pgpfac1.au . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
2220, 21sseldd 3983 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
2315mrcsncl 17553 . . . . . . . 8 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
248, 22, 23syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
2518, 24eqeltrid 2838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
26 pgpfac1.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
27 pgpfac1.l . . . . . . 7 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
2827lsmsubg2 19722 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
293, 25, 26, 28syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
3029adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
3120sselda 3982 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
3210, 31sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
3315mrcsncl 17553 . . . . 5 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝐢}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
349, 32, 33syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜{𝐢}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
3527lsmlub 19527 . . . 4 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝐢}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ ∧ (πΎβ€˜{𝐢}) βŠ† π‘ˆ) ↔ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) βŠ† π‘ˆ))
3630, 34, 14, 35syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ (((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† π‘ˆ ∧ (πΎβ€˜{𝐢}) βŠ† π‘ˆ) ↔ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) βŠ† π‘ˆ))
372, 17, 36mpbi2and 711 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) βŠ† π‘ˆ)
3827lsmub1 19520 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝐢}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})))
3930, 34, 38syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ† ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})))
4027lsmub2 19521 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝐢}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (πΎβ€˜{𝐢}) βŠ† ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})))
4130, 34, 40syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ (πΎβ€˜{𝐢}) βŠ† ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})))
4232snssd 4812 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ {𝐢} βŠ† 𝐡)
439, 15, 42mrcssidd 17566 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ {𝐢} βŠ† (πΎβ€˜{𝐢}))
44 snssg 4787 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ 𝐡 β†’ (𝐢 ∈ (πΎβ€˜{𝐢}) ↔ {𝐢} βŠ† (πΎβ€˜{𝐢})))
4532, 44syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ (𝐢 ∈ (πΎβ€˜{𝐢}) ↔ {𝐢} βŠ† (πΎβ€˜{𝐢})))
4643, 45mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ 𝐢 ∈ (πΎβ€˜{𝐢}))
4741, 46sseldd 3983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ 𝐢 ∈ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})))
48 eldifn 4127 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š)) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
4948adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
5039, 47, 49ssnelpssd 4112 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})))
5127lsmub1 19520 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Š ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝑆 βŠ† (𝑆 βŠ• π‘Š))
5225, 26, 51syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (𝑆 βŠ• π‘Š))
5322snssd 4812 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† 𝐡)
548, 15, 53mrcssidd 17566 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† (πΎβ€˜{𝐴}))
5554, 18sseqtrrdi 4033 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† 𝑆)
56 snssg 4787 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} βŠ† 𝑆))
5721, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} βŠ† 𝑆))
5855, 57mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
5952, 58sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
6059adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ 𝐴 ∈ (𝑆 βŠ• π‘Š))
6139, 60sseldd 3983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ 𝐴 ∈ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})))
62 psseq1 4087 . . . . . . . 8 (𝑀 = ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) β†’ (𝑀 ⊊ π‘ˆ ↔ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) ⊊ π‘ˆ))
63 eleq2 2823 . . . . . . . 8 (𝑀 = ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) β†’ (𝐴 ∈ 𝑀 ↔ 𝐴 ∈ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢}))))
6462, 63anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑀 = ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) β†’ ((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ↔ (((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})))))
65 psseq2 4088 . . . . . . . 8 (𝑀 = ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀 ↔ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢}))))
6665notbid 318 . . . . . . 7 (𝑀 = ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) β†’ (Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀 ↔ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢}))))
6764, 66imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑀 = ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) β†’ (((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀) ↔ ((((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢}))) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})))))
68 pgpfac1.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
6968adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)((𝑀 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ 𝑀))
703adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
7127lsmsubg2 19722 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑆 βŠ• π‘Š) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΎβ€˜{𝐢}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
7270, 30, 34, 71syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
7367, 69, 72rspcdva 3614 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ ((((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) ⊊ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢}))) β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢}))))
7461, 73mpan2d 693 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ (((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) ⊊ π‘ˆ β†’ Β¬ (𝑆 βŠ• π‘Š) ⊊ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢}))))
7550, 74mt2d 136 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ Β¬ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) ⊊ π‘ˆ)
76 npss 4110 . . 3 (Β¬ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) ⊊ π‘ˆ ↔ (((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) βŠ† π‘ˆ β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) = π‘ˆ))
7775, 76sylib 217 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ (((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) βŠ† π‘ˆ β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) = π‘ˆ))
7837, 77mpd 15 1 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (π‘ˆ βˆ– (𝑆 βŠ• π‘Š))) β†’ ((𝑆 βŠ• π‘Š) βŠ• (πΎβ€˜{𝐢})) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  {csn 4628   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  Basecbs 17141  0gc0g 17382  Moorecmre 17523  mrClscmrc 17524  ACScacs 17526  Grpcgrp 18816  SubGrpcsubg 18995  odcod 19387  gExcgex 19388   pGrp cpgp 19389  LSSumclsm 19497  Abelcabl 19644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-0g 17384  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-subg 18998  df-cntz 19176  df-lsm 19499  df-cmn 19645  df-abl 19646
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem2  19940  pgpfac1lem3  19942
  Copyright terms: Public domain W3C validator