Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsat0cv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsat0cv 37524
Description: A subspace is an atom iff it covers the zero subspace. This could serve as an alternate definition of an atom. TODO: this is a quick-and-dirty proof that could probably be more efficient. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsat0cv.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsat0cv.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsat0cv.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsat0cv.c 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
lsat0cv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsat0cv.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lsat0cv (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ { 0 }πΆπ‘ˆ))

Proof of Theorem lsat0cv
Dummy variables π‘₯ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsat0cv.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2 lsat0cv.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
3 lsat0cv.c . . 3 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
4 lsat0cv.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
54adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
71, 2, 3, 5, 6lsatcv0 37522 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ { 0 }πΆπ‘ˆ)
8 lsat0cv.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
9 lveclmod 20583 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
104, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
1110adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
121, 8lsssn0 20424 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } ∈ 𝑆)
1310, 12syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ { 0 } ∈ 𝑆)
1413adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ { 0 } ∈ 𝑆)
15 lsat0cv.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
17 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ { 0 }πΆπ‘ˆ)
188, 3, 11, 14, 16, 17lcvpss 37515 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ { 0 } ⊊ π‘ˆ)
19 pssnel 4435 . . . . . 6 ({ 0 } ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }))
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }))
2115ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
22 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
23 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2423, 8lssel 20414 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2521, 22, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
26 velsn 4607 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ { 0 } ↔ π‘₯ = 0 )
2726biimpri 227 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ ∈ { 0 })
2827necon3bi 2971 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ { 0 } β†’ π‘₯ β‰  0 )
2928adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }) β†’ π‘₯ β‰  0 )
3029adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })) β†’ π‘₯ β‰  0 )
31 eldifsn 4752 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ β‰  0 ))
3225, 30, 31sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }))
3332, 22jca 513 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })) β†’ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
3433ex 414 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }) β†’ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ)))
3534eximdv 1921 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ)))
36 df-rex 3075 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘₯ ∈ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
3735, 36syl6ibr 252 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘₯ ∈ π‘ˆ))
3820, 37mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘₯ ∈ π‘ˆ)
39 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ { 0 }πΆπ‘ˆ)
408, 3, 4, 13, 15lcvbr2 37513 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ({ 0 }πΆπ‘ˆ ↔ ({ 0 } ⊊ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑠 = π‘ˆ))))
4140adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ ({ 0 }πΆπ‘ˆ ↔ ({ 0 } ⊊ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑠 = π‘ˆ))))
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ({ 0 }πΆπ‘ˆ ↔ ({ 0 } ⊊ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑠 = π‘ˆ))))
4310ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
45 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
4645adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
48 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
4923, 8, 48lspsncl 20454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∈ 𝑆)
5044, 47, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∈ 𝑆)
511, 8lss0ss 20425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∈ 𝑆) β†’ { 0 } βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
5244, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ { 0 } βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
53 eldifsni 4755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ β‰  0 )
5453adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ β‰  0 )
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ π‘₯ β‰  0 )
5623, 1, 48lspsneq0 20489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = { 0 } ↔ π‘₯ = 0 ))
5744, 47, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = { 0 } ↔ π‘₯ = 0 ))
5857necon3bid 2989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β‰  { 0 } ↔ π‘₯ β‰  0 ))
5955, 58mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β‰  { 0 })
6059necomd 3000 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ { 0 } β‰  ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
61 df-pss 3934 . . . . . . . . . . . . 13 ({ 0 } ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ↔ ({ 0 } βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∧ { 0 } β‰  ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
6252, 60, 61sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ { 0 } ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
6315ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
6463ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
65 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
668, 48, 44, 64, 65lspsnel5a 20473 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ)
6762, 66jca 513 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ ({ 0 } ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∧ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ))
68 psseq2 4053 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ ({ 0 } ⊊ 𝑠 ↔ { 0 } ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
69 sseq1 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ))
7068, 69anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) ↔ ({ 0 } ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∧ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ)))
71 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ (𝑠 = π‘ˆ ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = π‘ˆ))
7270, 71imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ ((({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑠 = π‘ˆ) ↔ (({ 0 } ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∧ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = π‘ˆ)))
7372rspcv 3580 . . . . . . . . . . . 12 (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑠 = π‘ˆ) β†’ (({ 0 } ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∧ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = π‘ˆ)))
7450, 73syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑠 = π‘ˆ) β†’ (({ 0 } ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∧ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = π‘ˆ)))
7567, 74mpid 44 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑠 = π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = π‘ˆ))
7675expimpd 455 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (({ 0 } ⊊ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑠 = π‘ˆ)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = π‘ˆ))
7742, 76sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ({ 0 }πΆπ‘ˆ β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = π‘ˆ))
7839, 77mpd 15 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = π‘ˆ)
7978eqcomd 2743 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
8079ex 414 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
8180reximdva 3166 . . . 4 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
8238, 81mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
834adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
8423, 48, 1, 2islsat 37482 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
8583, 84syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
8682, 85mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
877, 86impbida 800 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ { 0 }πΆπ‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915   ⊊ wpss 3916  {csn 4591   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  0gc0g 17328  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LSpanclspn 20448  LVecclvec 20579  LSAtomsclsa 37465   β‹–L clcv 37509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580  df-lsatoms 37467  df-lcv 37510
This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  40158  mapdat  40159
  Copyright terms: Public domain W3C validator