Theorem lsat0cv 36329

Description: A subspace is an atom iff it covers the zero subspace. This could serve as an alternate definition of an atom. TODO: this is a quick-and-dirty proof that could probably be more efficient. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsat0cv.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsat0cv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsat0cv.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsat0cv.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsat0cv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsat0cv.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lsat0cv	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ { 0 }𝐶𝑈))

Proof of Theorem lsat0cv

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsat0cv.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsat0cv.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		lsat0cv.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
4		lsat0cv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LVec)
6		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝐴)
7	1, 2, 3, 5, 6	lsatcv0 36327	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → { 0 }𝐶𝑈)
8		lsat0cv.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9		lveclmod 19871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
10	4, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11	10	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
12	1, 8	lsssn0 19712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ 𝑆)
14	13	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 } ∈ 𝑆)
15		lsat0cv.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
16	15	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
17		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 }𝐶𝑈)
18	8, 3, 11, 14, 16, 17	lcvpss 36320	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 } ⊊ 𝑈)
19		pssnel 4378	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑈 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
21	15	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑈 ∈ 𝑆)
22		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝑈)
23		eqid 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
24	23, 8	lssel 19702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
25	21, 22, 24	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
26		velsn 4541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
27	26	biimpri 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ { 0 })
28	27	necon3bi 3013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥 ≠ 0 )
29	28	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
30	29	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
31		eldifsn 4680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
32	25, 30, 31	sylanbrc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }))
33	32, 22	jca 515	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
34	33	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
35	34	eximdv 1918	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
36		df-rex 3112	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
37	35, 36	syl6ibr 255	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈))
38	20, 37	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈)
39		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → { 0 }𝐶𝑈)
40	8, 3, 4, 13, 15	lcvbr2 36318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
41	40	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
42	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
43	10	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
44	43	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
45		eldifi 4054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
46	45	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
47	46	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
48		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
49	23, 8, 48	lspsncl 19742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆)
50	44, 47, 49	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆)
51	1, 8	lss0ss 19713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
52	44, 50, 51	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
53		eldifsni 4683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
54	53	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
55	54	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ≠ 0 )
56	23, 1, 48	lspsneq0 19777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = { 0 } ↔ 𝑥 = 0 ))
57	44, 47, 56	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = { 0 } ↔ 𝑥 = 0 ))
58	57	necon3bid 3031	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ≠ { 0 } ↔ 𝑥 ≠ 0 ))
59	55, 58	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
60	59	necomd 3042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ≠ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
61		df-pss 3900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ↔ ({ 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ { 0 } ≠ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
62	52, 60, 61	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
63	15	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑈 ∈ 𝑆)
64	63	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
65		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
66	8, 48, 44, 64, 65	lspsnel5a 19761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
67	62, 66	jca 515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
68		psseq2 4016	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ({ 0 } ⊊ 𝑠 ↔ { 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
69		sseq1 3940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
70	68, 69	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ↔ ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)))
71		eqeq1 2802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 = 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
72	70, 71	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ((({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) ↔ (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
73	72	rspcv 3566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆 → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
74	50, 73	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
75	67, 74	mpid 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
76	75	expimpd 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
77	42, 76	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
78	39, 77	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)
79	78	eqcomd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
80	79	ex 416	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
81	80	reximdva 3233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
82	38, 81	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
83	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
84	23, 48, 1, 2	islsat 36287	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
85	83, 84	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
86	82, 85	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
87	7, 86	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ { 0 }𝐶𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881   ⊊ wpss 3882  {csn 4525   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  0_gc0g 16705  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736  LVecclvec 19867  LSAtomsclsa 36270   ⋖_L clcv 36314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-lsatoms 36272  df-lcv 36315

This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  38962  mapdat  38963