Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsat0cv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsat0cv 38416
Description: A subspace is an atom iff it covers the zero subspace. This could serve as an alternate definition of an atom. TODO: this is a quick-and-dirty proof that could probably be more efficient. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsat0cv.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsat0cv.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsat0cv.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsat0cv.c 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
lsat0cv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsat0cv.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lsat0cv (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ { 0 }πΆπ‘ˆ))

Proof of Theorem lsat0cv
Dummy variables π‘₯ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsat0cv.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2 lsat0cv.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
3 lsat0cv.c . . 3 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
4 lsat0cv.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
54adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
71, 2, 3, 5, 6lsatcv0 38414 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ { 0 }πΆπ‘ˆ)
8 lsat0cv.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
9 lveclmod 20954 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
104, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
121, 8lsssn0 20795 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } ∈ 𝑆)
1310, 12syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ { 0 } ∈ 𝑆)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ { 0 } ∈ 𝑆)
15 lsat0cv.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
17 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ { 0 }πΆπ‘ˆ)
188, 3, 11, 14, 16, 17lcvpss 38407 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ { 0 } ⊊ π‘ˆ)
19 pssnel 4465 . . . . . 6 ({ 0 } ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }))
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }))
2115ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
22 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
23 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2423, 8lssel 20784 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2521, 22, 24syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
26 velsn 4639 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ { 0 } ↔ π‘₯ = 0 )
2726biimpri 227 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ ∈ { 0 })
2827necon3bi 2961 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ { 0 } β†’ π‘₯ β‰  0 )
2928adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }) β†’ π‘₯ β‰  0 )
3029adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })) β†’ π‘₯ β‰  0 )
31 eldifsn 4785 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ β‰  0 ))
3225, 30, 31sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }))
3332, 22jca 511 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })) β†’ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
3433ex 412 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }) β†’ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ)))
3534eximdv 1912 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ)))
36 df-rex 3065 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘₯ ∈ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
3735, 36imbitrrdi 251 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 }) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘₯ ∈ π‘ˆ))
3820, 37mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘₯ ∈ π‘ˆ)
39 simpllr 773 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ { 0 }πΆπ‘ˆ)
408, 3, 4, 13, 15lcvbr2 38405 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ({ 0 }πΆπ‘ˆ ↔ ({ 0 } ⊊ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑠 = π‘ˆ))))
4140adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ ({ 0 }πΆπ‘ˆ ↔ ({ 0 } ⊊ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑠 = π‘ˆ))))
4241ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ({ 0 }πΆπ‘ˆ ↔ ({ 0 } ⊊ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑠 = π‘ˆ))))
4310ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4443ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
45 eldifi 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
4746ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
48 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
4923, 8, 48lspsncl 20824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∈ 𝑆)
5044, 47, 49syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∈ 𝑆)
511, 8lss0ss 20796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∈ 𝑆) β†’ { 0 } βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
5244, 50, 51syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ { 0 } βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
53 eldifsni 4788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ β‰  0 )
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ β‰  0 )
5554ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ π‘₯ β‰  0 )
5623, 1, 48lspsneq0 20859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = { 0 } ↔ π‘₯ = 0 ))
5744, 47, 56syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = { 0 } ↔ π‘₯ = 0 ))
5857necon3bid 2979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β‰  { 0 } ↔ π‘₯ β‰  0 ))
5955, 58mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β‰  { 0 })
6059necomd 2990 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ { 0 } β‰  ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
61 df-pss 3962 . . . . . . . . . . . . 13 ({ 0 } ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ↔ ({ 0 } βŠ† ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∧ { 0 } β‰  ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
6252, 60, 61sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ { 0 } ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
6315ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
6463ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
65 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
668, 48, 44, 64, 65lspsnel5a 20843 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ)
6762, 66jca 511 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ ({ 0 } ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∧ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ))
68 psseq2 4083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ ({ 0 } ⊊ 𝑠 ↔ { 0 } ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
69 sseq1 4002 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ (𝑠 βŠ† π‘ˆ ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ))
7068, 69anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) ↔ ({ 0 } ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∧ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ)))
71 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ (𝑠 = π‘ˆ ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = π‘ˆ))
7270, 71imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ ((({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑠 = π‘ˆ) ↔ (({ 0 } ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∧ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = π‘ˆ)))
7372rspcv 3602 . . . . . . . . . . . 12 (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑠 = π‘ˆ) β†’ (({ 0 } ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∧ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = π‘ˆ)))
7450, 73syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑠 = π‘ˆ) β†’ (({ 0 } ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) ∧ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = π‘ˆ)))
7567, 74mpid 44 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ { 0 } ⊊ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑠 = π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = π‘ˆ))
7675expimpd 453 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (({ 0 } ⊊ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑠 = π‘ˆ)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = π‘ˆ))
7742, 76sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ({ 0 }πΆπ‘ˆ β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = π‘ˆ))
7839, 77mpd 15 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) = π‘ˆ)
7978eqcomd 2732 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
8079ex 412 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
8180reximdva 3162 . . . 4 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
8238, 81mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
834adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
8423, 48, 1, 2islsat 38374 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
8583, 84syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })π‘ˆ = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
8682, 85mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ { 0 }πΆπ‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
877, 86impbida 798 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ↔ { 0 }πΆπ‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943   ⊊ wpss 3944  {csn 4623   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  0gc0g 17394  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950  LSAtomsclsa 38357   β‹–L clcv 38401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-lcv 38402
This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  41050  mapdat  41051
  Copyright terms: Public domain W3C validator