Theorem lsat0cv 39031

Description: A subspace is an atom iff it covers the zero subspace. This could serve as an alternate definition of an atom. TODO: this is a quick-and-dirty proof that could probably be more efficient. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsat0cv.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsat0cv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsat0cv.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsat0cv.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsat0cv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsat0cv.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lsat0cv	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ { 0 }𝐶𝑈))

Proof of Theorem lsat0cv

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsat0cv.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsat0cv.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		lsat0cv.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
4		lsat0cv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LVec)
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝐴)
7	1, 2, 3, 5, 6	lsatcv0 39029	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → { 0 }𝐶𝑈)
8		lsat0cv.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9		lveclmod 21029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
10	4, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
12	1, 8	lsssn0 20870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ 𝑆)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 } ∈ 𝑆)
15		lsat0cv.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
17		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 }𝐶𝑈)
18	8, 3, 11, 14, 16, 17	lcvpss 39022	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 } ⊊ 𝑈)
19		pssnel 4424	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑈 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
21	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑈 ∈ 𝑆)
22		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝑈)
23		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
24	23, 8	lssel 20859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
25	21, 22, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
26		velsn 4595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
27	26	biimpri 228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ { 0 })
28	27	necon3bi 2951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥 ≠ 0 )
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
31		eldifsn 4740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
32	25, 30, 31	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }))
33	32, 22	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
34	33	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
35	34	eximdv 1917	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
36		df-rex 3054	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
37	35, 36	imbitrrdi 252	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈))
38	20, 37	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈)
39		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → { 0 }𝐶𝑈)
40	8, 3, 4, 13, 15	lcvbr2 39020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
42	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
43	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
44	43	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
45		eldifi 4084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
47	46	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
48		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
49	23, 8, 48	lspsncl 20899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆)
50	44, 47, 49	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆)
51	1, 8	lss0ss 20871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
52	44, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
53		eldifsni 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
55	54	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ≠ 0 )
56	23, 1, 48	lspsneq0 20934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = { 0 } ↔ 𝑥 = 0 ))
57	44, 47, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = { 0 } ↔ 𝑥 = 0 ))
58	57	necon3bid 2969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ≠ { 0 } ↔ 𝑥 ≠ 0 ))
59	55, 58	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
60	59	necomd 2980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ≠ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
61		df-pss 3925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ↔ ({ 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ { 0 } ≠ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
62	52, 60, 61	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
63	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑈 ∈ 𝑆)
64	63	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
65		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
66	8, 48, 44, 64, 65	ellspsn5 20918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
67	62, 66	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
68		psseq2 4044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ({ 0 } ⊊ 𝑠 ↔ { 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
69		sseq1 3963	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
70	68, 69	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ↔ ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)))
71		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 = 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
72	70, 71	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ((({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) ↔ (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
73	72	rspcv 3575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆 → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
74	50, 73	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
75	67, 74	mpid 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
76	75	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
77	42, 76	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
78	39, 77	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)
79	78	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
80	79	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
81	80	reximdva 3142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
82	38, 81	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
83	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
84	23, 48, 1, 2	islsat 38989	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
85	83, 84	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
86	82, 85	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
87	7, 86	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ { 0 }𝐶𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905   ⊊ wpss 3906  {csn 4579   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  Basecbs 17139  0_gc0g 17362  LModclmod 20782  LSubSpclss 20853  LSpanclspn 20893  LVecclvec 21025  LSAtomsclsa 38972   ⋖_L clcv 39016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-invr 20292  df-drng 20635  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lsp 20894  df-lvec 21026  df-lsatoms 38974  df-lcv 39017

This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  41665  mapdat  41666