Theorem lsat0cv 38537

Description: A subspace is an atom iff it covers the zero subspace. This could serve as an alternate definition of an atom. TODO: this is a quick-and-dirty proof that could probably be more efficient. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsat0cv.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsat0cv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsat0cv.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsat0cv.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsat0cv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsat0cv.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lsat0cv	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ { 0 }𝐶𝑈))

Proof of Theorem lsat0cv

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsat0cv.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsat0cv.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		lsat0cv.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
4		lsat0cv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LVec)
6		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝐴)
7	1, 2, 3, 5, 6	lsatcv0 38535	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → { 0 }𝐶𝑈)
8		lsat0cv.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9		lveclmod 20998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
10	4, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11	10	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
12	1, 8	lsssn0 20839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ 𝑆)
14	13	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 } ∈ 𝑆)
15		lsat0cv.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
16	15	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
17		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 }𝐶𝑈)
18	8, 3, 11, 14, 16, 17	lcvpss 38528	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 } ⊊ 𝑈)
19		pssnel 4474	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑈 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
21	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑈 ∈ 𝑆)
22		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝑈)
23		eqid 2728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
24	23, 8	lssel 20828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
25	21, 22, 24	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
26		velsn 4648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
27	26	biimpri 227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ { 0 })
28	27	necon3bi 2964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥 ≠ 0 )
29	28	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
30	29	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
31		eldifsn 4795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
32	25, 30, 31	sylanbrc 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }))
33	32, 22	jca 510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
34	33	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
35	34	eximdv 1912	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
36		df-rex 3068	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
37	35, 36	imbitrrdi 251	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈))
38	20, 37	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈)
39		simpllr 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → { 0 }𝐶𝑈)
40	8, 3, 4, 13, 15	lcvbr2 38526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
41	40	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
42	41	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
43	10	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
44	43	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
45		eldifi 4127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
46	45	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
47	46	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
48		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
49	23, 8, 48	lspsncl 20868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆)
50	44, 47, 49	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆)
51	1, 8	lss0ss 20840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
52	44, 50, 51	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
53		eldifsni 4798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
54	53	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
55	54	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ≠ 0 )
56	23, 1, 48	lspsneq0 20903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = { 0 } ↔ 𝑥 = 0 ))
57	44, 47, 56	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = { 0 } ↔ 𝑥 = 0 ))
58	57	necon3bid 2982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ≠ { 0 } ↔ 𝑥 ≠ 0 ))
59	55, 58	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
60	59	necomd 2993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ≠ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
61		df-pss 3968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ↔ ({ 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ { 0 } ≠ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
62	52, 60, 61	sylanbrc 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
63	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑈 ∈ 𝑆)
64	63	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
65		simplr 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
66	8, 48, 44, 64, 65	lspsnel5a 20887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
67	62, 66	jca 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
68		psseq2 4088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ({ 0 } ⊊ 𝑠 ↔ { 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
69		sseq1 4007	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
70	68, 69	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ↔ ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)))
71		eqeq1 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 = 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
72	70, 71	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ((({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) ↔ (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
73	72	rspcv 3607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆 → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
74	50, 73	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
75	67, 74	mpid 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
76	75	expimpd 452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
77	42, 76	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
78	39, 77	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)
79	78	eqcomd 2734	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
80	79	ex 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
81	80	reximdva 3165	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
82	38, 81	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
83	4	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
84	23, 48, 1, 2	islsat 38495	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
85	83, 84	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
86	82, 85	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
87	7, 86	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ { 0 }𝐶𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949   ⊊ wpss 3950  {csn 4632   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  Basecbs 17187  0_gc0g 17428  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862  LVecclvec 20994  LSAtomsclsa 38478   ⋖_L clcv 38522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995  df-lsatoms 38480  df-lcv 38523

This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  41171  mapdat  41172