Theorem lsat0cv 39865

Description: A subspace is an atom iff it covers the zero subspace. This could serve as an alternate definition of an atom. TODO: this is a quick-and-dirty proof that could probably be more efficient. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsat0cv.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsat0cv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsat0cv.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsat0cv.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsat0cv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsat0cv.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lsat0cv	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ { 0 }𝐶𝑈))

Proof of Theorem lsat0cv

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsat0cv.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsat0cv.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		lsat0cv.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
4		lsat0cv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LVec)
6		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝐴)
7	1, 2, 3, 5, 6	lsatcv0 39863	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → { 0 }𝐶𝑈)
8		lsat0cv.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9		lveclmod 21277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
10	4, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
12	1, 8	lsssn0 21119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)
13	10, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ 𝑆)
14	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 } ∈ 𝑆)
15		lsat0cv.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
17		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 }𝐶𝑈)
18	8, 3, 11, 14, 16, 17	lcvpss 39856	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 } ⊊ 𝑈)
19		pssnel 4431	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑈 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
20	18, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
21	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑈 ∈ 𝑆)
22		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝑈)
23		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
24	23, 8	lssel 21108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
25	21, 22, 24	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
26		velsn 4607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
27	26	biimpri 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ { 0 })
28	27	necon3bi 2986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥 ≠ 0 )
29	28	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
30	29	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
31		eldifsn 4755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
32	25, 30, 31	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }))
33	32, 22	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
34	33	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
35	34	eximdv 1950	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
36		df-rex 3092	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
37	35, 36	imbitrrdi 255	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈))
38	20, 37	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈)
39		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → { 0 }𝐶𝑈)
40	8, 3, 4, 13, 15	lcvbr2 39854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
41	40	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
43	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
45		eldifi 4085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
46	45	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
47	46	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
48		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
49	23, 8, 48	lspsncl 21148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆)
50	44, 47, 49	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆)
51	1, 8	lss0ss 21120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
52	44, 50, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
53		eldifsni 4760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
54	53	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
55	54	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ≠ 0 )
56	23, 1, 48	lspsneq0 21183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = { 0 } ↔ 𝑥 = 0 ))
57	44, 47, 56	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = { 0 } ↔ 𝑥 = 0 ))
58	57	necon3bid 3004	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ≠ { 0 } ↔ 𝑥 ≠ 0 ))
59	55, 58	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
60	59	necomd 3015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ≠ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
61		df-pss 3926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ↔ ({ 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ { 0 } ≠ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
62	52, 60, 61	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
63	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑈 ∈ 𝑆)
64	63	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
65		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
66	8, 48, 44, 64, 65	ellspsn5 21167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
67	62, 66	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
68		psseq2 4046	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ({ 0 } ⊊ 𝑠 ↔ { 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
69		sseq1 3963	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
70	68, 69	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ↔ ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)))
71		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 = 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
72	70, 71	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ((({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) ↔ (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
73	72	rspcv 3579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆 → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
74	50, 73	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
75	67, 74	mpid 45	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
76	75	expimpd 459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
77	42, 76	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
78	39, 77	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)
79	78	eqcomd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
80	79	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
81	80	reximdva 3180	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
82	38, 81	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
83	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
84	23, 48, 1, 2	islsat 39823	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
85	83, 84	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
86	82, 85	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
87	7, 86	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ { 0 }𝐶𝑈))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906   ⊊ wpss 3907  {csn 4591   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  0_gc0g 17514  LModclmod 21031  LSubSpclss 21102  LSpanclspn 21142  LVecclvec 21273  LSAtomsclsa 39806   ⋖_L clcv 39850

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-drng 20879  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143  df-lvec 21274  df-lsatoms 39808  df-lcv 39851

This theorem is used by:  mapdcnvatN  42498  mapdat  42499