Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsat0cv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsat0cv 36797
Description: A subspace is an atom iff it covers the zero subspace. This could serve as an alternate definition of an atom. TODO: this is a quick-and-dirty proof that could probably be more efficient. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsat0cv.o 0 = (0g𝑊)
lsat0cv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsat0cv.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsat0cv.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsat0cv.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsat0cv.u (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lsat0cv (𝜑 → (𝑈𝐴 ↔ { 0 }𝐶𝑈))

Proof of Theorem lsat0cv
Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsat0cv.o . . 3 0 = (0g𝑊)
2 lsat0cv.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3 lsat0cv.c . . 3 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
4 lsat0cv.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
54adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑈𝐴) → 𝑊 ∈ LVec)
6 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑈𝐴) → 𝑈𝐴)
71, 2, 3, 5, 6lsatcv0 36795 . 2 ((𝜑𝑈𝐴) → { 0 }𝐶𝑈)
8 lsat0cv.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9 lveclmod 20156 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
104, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
1110adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
121, 8lsssn0 19997 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)
1310, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → { 0 } ∈ 𝑆)
1413adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 } ∈ 𝑆)
15 lsat0cv.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑆)
1615adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑈𝑆)
17 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 }𝐶𝑈)
188, 3, 11, 14, 16, 17lcvpss 36788 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 } ⊊ 𝑈)
19 pssnel 4394 . . . . . 6 ({ 0 } ⊊ 𝑈 → ∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
2115ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑈𝑆)
22 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥𝑈)
23 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2423, 8lssel 19987 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈𝑆𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
2521, 22, 24syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
26 velsn 4566 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
2726biimpri 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0𝑥 ∈ { 0 })
2827necon3bi 2968 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥0 )
2928adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → 𝑥0 )
3029adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥0 )
31 eldifsn 4709 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥0 ))
3225, 30, 31sylanbrc 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }))
3332, 22jca 515 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥𝑈))
3433ex 416 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ((𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥𝑈)))
3534eximdv 1925 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥𝑈)))
36 df-rex 3068 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥𝑈 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥𝑈))
3735, 36syl6ibr 255 . . . . 5 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥𝑈))
3820, 37mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥𝑈)
39 simpllr 776 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) → { 0 }𝐶𝑈)
408, 3, 4, 13, 15lcvbr2 36786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
4140adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
4241ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
4310ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
45 eldifi 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
4645adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
4746ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
48 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4923, 8, 48lspsncl 20027 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆)
5044, 47, 49syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆)
511, 8lss0ss 19998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
5244, 50, 51syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
53 eldifsni 4712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥0 )
5453adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥0 )
5554ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥0 )
5623, 1, 48lspsneq0 20062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = { 0 } ↔ 𝑥 = 0 ))
5744, 47, 56syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = { 0 } ↔ 𝑥 = 0 ))
5857necon3bid 2986 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ≠ { 0 } ↔ 𝑥0 ))
5955, 58mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
6059necomd 2997 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ≠ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
61 df-pss 3894 . . . . . . . . . . . . 13 ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ↔ ({ 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ { 0 } ≠ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
6252, 60, 61sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
6315ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑈𝑆)
6463ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑈𝑆)
65 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥𝑈)
668, 48, 44, 64, 65lspsnel5a 20046 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
6762, 66jca 515 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
68 psseq2 4012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ({ 0 } ⊊ 𝑠 ↔ { 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
69 sseq1 3935 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
7068, 69anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) ↔ ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)))
71 eqeq1 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 = 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
7270, 71imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ((({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈) ↔ (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
7372rspcv 3539 . . . . . . . . . . . 12 (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆 → (∀𝑠𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
7450, 73syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (∀𝑠𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
7567, 74mpid 44 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (∀𝑠𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
7675expimpd 457 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) → (({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
7742, 76sylbid 243 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
7839, 77mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)
7978eqcomd 2744 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
8079ex 416 . . . . 5 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → (𝑥𝑈𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
8180reximdva 3200 . . . 4 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥𝑈 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
8238, 81mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
834adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
8423, 48, 1, 2islsat 36755 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
8583, 84syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
8682, 85mpbird 260 . 2 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑈𝐴)
877, 86impbida 801 1 (𝜑 → (𝑈𝐴 ↔ { 0 }𝐶𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2111  wne 2941  wral 3062  wrex 3063  cdif 3872  wss 3875  wpss 3876  {csn 4550   class class class wbr 5062  cfv 6389  Basecbs 16773  0gc0g 16957  LModclmod 19912  LSubSpclss 19981  LSpanclspn 20021  LVecclvec 20152  LSAtomsclsa 36738  L clcv 36782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5188  ax-sep 5201  ax-nul 5208  ax-pow 5267  ax-pr 5331  ax-un 7532  ax-cnex 10798  ax-resscn 10799  ax-1cn 10800  ax-icn 10801  ax-addcl 10802  ax-addrcl 10803  ax-mulcl 10804  ax-mulrcl 10805  ax-mulcom 10806  ax-addass 10807  ax-mulass 10808  ax-distr 10809  ax-i2m1 10810  ax-1ne0 10811  ax-1rid 10812  ax-rnegex 10813  ax-rrecex 10814  ax-cnre 10815  ax-pre-lttri 10816  ax-pre-lttrn 10817  ax-pre-ltadd 10818  ax-pre-mulgt0 10819
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3417  df-sbc 3704  df-csb 3821  df-dif 3878  df-un 3880  df-in 3882  df-ss 3892  df-pss 3894  df-nul 4247  df-if 4449  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4829  df-int 4869  df-iun 4915  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5145  df-tr 5171  df-id 5464  df-eprel 5469  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5518  df-we 5520  df-xp 5566  df-rel 5567  df-cnv 5568  df-co 5569  df-dm 5570  df-rn 5571  df-res 5572  df-ima 5573  df-pred 6169  df-ord 6225  df-on 6226  df-lim 6227  df-suc 6228  df-iota 6347  df-fun 6391  df-fn 6392  df-f 6393  df-f1 6394  df-fo 6395  df-f1o 6396  df-fv 6397  df-riota 7179  df-ov 7225  df-oprab 7226  df-mpo 7227  df-om 7654  df-1st 7770  df-2nd 7771  df-tpos 7977  df-wrecs 8056  df-recs 8117  df-rdg 8155  df-er 8400  df-en 8636  df-dom 8637  df-sdom 8638  df-pnf 10882  df-mnf 10883  df-xr 10884  df-ltxr 10885  df-le 10886  df-sub 11077  df-neg 11078  df-nn 11844  df-2 11906  df-3 11907  df-sets 16730  df-slot 16748  df-ndx 16758  df-base 16774  df-ress 16798  df-plusg 16828  df-mulr 16829  df-0g 16959  df-mgm 18127  df-sgrp 18176  df-mnd 18187  df-grp 18381  df-minusg 18382  df-sbg 18383  df-cmn 19185  df-abl 19186  df-mgp 19518  df-ur 19530  df-ring 19577  df-oppr 19654  df-dvdsr 19672  df-unit 19673  df-invr 19703  df-drng 19782  df-lmod 19914  df-lss 19982  df-lsp 20022  df-lvec 20153  df-lsatoms 36740  df-lcv 36783
This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  39430  mapdat  39431
  Copyright terms: Public domain W3C validator