Theorem lsat0cv 39033

Description: A subspace is an atom iff it covers the zero subspace. This could serve as an alternate definition of an atom. TODO: this is a quick-and-dirty proof that could probably be more efficient. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsat0cv.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsat0cv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsat0cv.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsat0cv.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsat0cv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsat0cv.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lsat0cv	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ { 0 }𝐶𝑈))

Proof of Theorem lsat0cv

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsat0cv.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsat0cv.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		lsat0cv.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
4		lsat0cv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LVec)
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝐴)
7	1, 2, 3, 5, 6	lsatcv0 39031	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → { 0 }𝐶𝑈)
8		lsat0cv.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9		lveclmod 21020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
10	4, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
12	1, 8	lsssn0 20861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ 𝑆)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 } ∈ 𝑆)
15		lsat0cv.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
17		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 }𝐶𝑈)
18	8, 3, 11, 14, 16, 17	lcvpss 39024	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 } ⊊ 𝑈)
19		pssnel 4437	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑈 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
21	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑈 ∈ 𝑆)
22		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝑈)
23		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
24	23, 8	lssel 20850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
25	21, 22, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
26		velsn 4608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
27	26	biimpri 228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ { 0 })
28	27	necon3bi 2952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥 ≠ 0 )
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
31		eldifsn 4753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
32	25, 30, 31	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }))
33	32, 22	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
34	33	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
35	34	eximdv 1917	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)))
36		df-rex 3055	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
37	35, 36	imbitrrdi 252	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈))
38	20, 37	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈)
39		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → { 0 }𝐶𝑈)
40	8, 3, 4, 13, 15	lcvbr2 39022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
42	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
43	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
44	43	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
45		eldifi 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
47	46	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
48		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
49	23, 8, 48	lspsncl 20890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆)
50	44, 47, 49	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆)
51	1, 8	lss0ss 20862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
52	44, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
53		eldifsni 4757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
55	54	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ≠ 0 )
56	23, 1, 48	lspsneq0 20925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = { 0 } ↔ 𝑥 = 0 ))
57	44, 47, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = { 0 } ↔ 𝑥 = 0 ))
58	57	necon3bid 2970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ≠ { 0 } ↔ 𝑥 ≠ 0 ))
59	55, 58	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
60	59	necomd 2981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ≠ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
61		df-pss 3937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ↔ ({ 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ { 0 } ≠ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
62	52, 60, 61	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
63	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑈 ∈ 𝑆)
64	63	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
65		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
66	8, 48, 44, 64, 65	ellspsn5 20909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
67	62, 66	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
68		psseq2 4057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ({ 0 } ⊊ 𝑠 ↔ { 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
69		sseq1 3975	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
70	68, 69	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) ↔ ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)))
71		eqeq1 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 = 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
72	70, 71	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ((({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) ↔ (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
73	72	rspcv 3587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆 → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
74	50, 73	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
75	67, 74	mpid 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
76	75	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑈) → 𝑠 = 𝑈)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
77	42, 76	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
78	39, 77	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)
79	78	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
80	79	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
81	80	reximdva 3147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
82	38, 81	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
83	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
84	23, 48, 1, 2	islsat 38991	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
85	83, 84	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
86	82, 85	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
87	7, 86	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ↔ { 0 }𝐶𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917   ⊊ wpss 3918  {csn 4592   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  0_gc0g 17409  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844  LSpanclspn 20884  LVecclvec 21016  LSAtomsclsa 38974   ⋖_L clcv 39018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lvec 21017  df-lsatoms 38976  df-lcv 39019

This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  41667  mapdat  41668