Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsat0cv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsat0cv 39034
Description: A subspace is an atom iff it covers the zero subspace. This could serve as an alternate definition of an atom. TODO: this is a quick-and-dirty proof that could probably be more efficient. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsat0cv.o 0 = (0g𝑊)
lsat0cv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsat0cv.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsat0cv.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsat0cv.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsat0cv.u (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lsat0cv (𝜑 → (𝑈𝐴 ↔ { 0 }𝐶𝑈))

Proof of Theorem lsat0cv
Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsat0cv.o . . 3 0 = (0g𝑊)
2 lsat0cv.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3 lsat0cv.c . . 3 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
4 lsat0cv.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
54adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑈𝐴) → 𝑊 ∈ LVec)
6 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑈𝐴) → 𝑈𝐴)
71, 2, 3, 5, 6lsatcv0 39032 . 2 ((𝜑𝑈𝐴) → { 0 }𝐶𝑈)
8 lsat0cv.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9 lveclmod 21105 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
104, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
121, 8lsssn0 20946 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)
1310, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → { 0 } ∈ 𝑆)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 } ∈ 𝑆)
15 lsat0cv.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑆)
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑈𝑆)
17 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 }𝐶𝑈)
188, 3, 11, 14, 16, 17lcvpss 39025 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → { 0 } ⊊ 𝑈)
19 pssnel 4471 . . . . . 6 ({ 0 } ⊊ 𝑈 → ∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
2115ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑈𝑆)
22 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥𝑈)
23 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2423, 8lssel 20935 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈𝑆𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
2521, 22, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
26 velsn 4642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
2726biimpri 228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0𝑥 ∈ { 0 })
2827necon3bi 2967 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥0 )
2928adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → 𝑥0 )
3029adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥0 )
31 eldifsn 4786 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥0 ))
3225, 30, 31sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }))
3332, 22jca 511 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥𝑈))
3433ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ((𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥𝑈)))
3534eximdv 1917 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥𝑈)))
36 df-rex 3071 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥𝑈 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ∧ 𝑥𝑈))
3735, 36imbitrrdi 252 . . . . 5 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥𝑈))
3820, 37mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥𝑈)
39 simpllr 776 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) → { 0 }𝐶𝑈)
408, 3, 4, 13, 15lcvbr2 39023 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
4140adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
4241ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈))))
4310ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
45 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
4746ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
48 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4923, 8, 48lspsncl 20975 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆)
5044, 47, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆)
511, 8lss0ss 20947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
5244, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
53 eldifsni 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥0 )
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥0 )
5554ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥0 )
5623, 1, 48lspsneq0 21010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = { 0 } ↔ 𝑥 = 0 ))
5744, 47, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = { 0 } ↔ 𝑥 = 0 ))
5857necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ≠ { 0 } ↔ 𝑥0 ))
5955, 58mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ≠ { 0 })
6059necomd 2996 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ≠ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
61 df-pss 3971 . . . . . . . . . . . . 13 ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ↔ ({ 0 } ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ { 0 } ≠ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
6252, 60, 61sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → { 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
6315ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑈𝑆)
6463ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑈𝑆)
65 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → 𝑥𝑈)
668, 48, 44, 64, 65ellspsn5 20994 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
6762, 66jca 511 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
68 psseq2 4091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ({ 0 } ⊊ 𝑠 ↔ { 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
69 sseq1 4009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
7068, 69anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) ↔ ({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)))
71 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 = 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
7270, 71imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ((({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈) ↔ (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
7372rspcv 3618 . . . . . . . . . . . 12 (((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝑆 → (∀𝑠𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
7450, 73syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (∀𝑠𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → (({ 0 } ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)))
7567, 74mpid 44 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) ∧ { 0 } ⊊ 𝑈) → (∀𝑠𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
7675expimpd 453 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) → (({ 0 } ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠𝑆 (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑈) → 𝑠 = 𝑈)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
7742, 76sylbid 240 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) → ({ 0 }𝐶𝑈 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈))
7839, 77mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) = 𝑈)
7978eqcomd 2743 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
8079ex 412 . . . . 5 (((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → (𝑥𝑈𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
8180reximdva 3168 . . . 4 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑥𝑈 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
8238, 81mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
834adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
8423, 48, 1, 2islsat 38992 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
8583, 84syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
8682, 85mpbird 257 . 2 ((𝜑 ∧ { 0 }𝐶𝑈) → 𝑈𝐴)
877, 86impbida 801 1 (𝜑 → (𝑈𝐴 ↔ { 0 }𝐶𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cdif 3948  wss 3951  wpss 3952  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  Basecbs 17247  0gc0g 17484  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101  LSAtomsclsa 38975  L clcv 39019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lcv 39020
This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  41668  mapdat  41669
  Copyright terms: Public domain W3C validator