Theorem ssmxidl 33766

Description: Let 𝑅 be a ring, and let 𝐼 be a proper ideal of 𝑅. Then there is a maximal ideal of 𝑅 containing 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssmxidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ssmxidl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑚,𝐼   𝑅,𝑚

Proof of Theorem ssmxidl

Dummy variables 𝑗 𝑝 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 3019	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝑝 ≠ 𝐵 ↔ 𝐼 ≠ 𝐵))
2		sseq2 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝐼 ⊆ 𝑝 ↔ 𝐼 ⊆ 𝐼))
3	1, 2	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → ((𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝) ↔ (𝐼 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐼)))
4		simp2 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5		simp3 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → 𝐼 ≠ 𝐵)
6		ssidd 3959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝐼)
7	5, 6	jca 520	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝐼 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐼))
8	3, 4, 7	elrabd 3651	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → 𝐼 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
9	8	ne0d 4294	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ≠ ∅)
10		ssmxidl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} = {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}
12		simpl1 1209	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simpl2 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
14		simpl3 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝐼 ≠ 𝐵)
15		simpr1 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
16		simpr2 1213	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑧 ≠ ∅)
17		simpr3 1214	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → [⊊] Or 𝑧)
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	ssmxidllem 33765	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → ∪ 𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
19	18	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ((𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}))
20	19	alrimiv 1956	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∀𝑧((𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}))
21		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) ∈ V
22	21	rabex 5308	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∈ V
23	22	zornn0 10498	. . 3 ⊢ (({𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})) → ∃𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗)
24	9, 20, 23	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗)
25		neeq1 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (𝑝 ≠ 𝐵 ↔ 𝑚 ≠ 𝐵))
26		sseq2 3962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (𝐼 ⊆ 𝑝 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑚))
27	25, 26	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → ((𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝) ↔ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
28	27	elrab 3649	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
29	28	anbi2i 634	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))))
30		simpll1 1230	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
31		simplrl 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅))
32		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
33	32	simprld 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝑚 ≠ 𝐵)
34		psseq2 4044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑚 ⊊ 𝑗 ↔ 𝑚 ⊊ 𝑘))
35	34	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (¬ 𝑚 ⊊ 𝑗 ↔ ¬ 𝑚 ⊊ 𝑘))
36		simp-4r 795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗)
37		neeq1 3019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (𝑝 ≠ 𝐵 ↔ 𝑘 ≠ 𝐵))
38		sseq2 3962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (𝐼 ⊆ 𝑝 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑘))
39	37, 38	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → ((𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝) ↔ (𝑘 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑘)))
40		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))
41		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → ¬ 𝑘 = 𝐵)
42	41	neqned 2964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 ≠ 𝐵)
43		simp-5r 797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
44	43	simprrd 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝑚)
45		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑚 ⊆ 𝑘)
46	44, 45	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝑘)
47	42, 46	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → (𝑘 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑘))
48	39, 40, 47	elrabd 3651	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
49	35, 36, 48	rspcdva 3581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → ¬ 𝑚 ⊊ 𝑘)
50		npss 4067	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑚 ⊊ 𝑘 ↔ (𝑚 ⊆ 𝑘 → 𝑚 = 𝑘))
51	50	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑚 ⊊ 𝑘 → (𝑚 ⊆ 𝑘 → 𝑚 = 𝑘))
52	49, 45, 51	sylc 66	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑚 = 𝑘)
53	52	equcomd 2048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 = 𝑚)
54	53	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) → (¬ 𝑘 = 𝐵 → 𝑘 = 𝑚))
55	54	orrd 876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) → (𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝑚))
56	55	orcomd 884	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵))
57	56	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑚 ⊆ 𝑘 → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵)))
58	57	ralrimiva 3156	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → ∀𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑘 → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵)))
59	10	ismxidl 33754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑘 → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵)))))
60	59	biimpar 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑘 → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵)))) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
61	30, 31, 33, 58, 60	syl13anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
62	32	simprrd 785	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝐼 ⊆ 𝑚)
63	61, 62	jca 520	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))
64	29, 63	sylanb 592	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))
65	64	expl 462	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ((𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
66	65	reximdv2 3174	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (∃𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚))
67	24, 66	mpd 16	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1102  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3415   ⊆ wss 3904   ⊊ wpss 3905  ∅c0 4285  ∪ cuni 4871   Or wor 5567  ‘cfv 6536   [⊊] crpss 7721  Basecbs 17275  Ringcrg 20321  LIdealclidl 21341  MaxIdealcmxidl 33751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-ac2 10453  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-rpss 7722  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-ac 10107  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343  df-mxidl 33752

This theorem is used by:  drngmxidlr  33769  krull  33770  dflringlem  33793  zarcls1  34268  zarclssn  34272