Theorem ssmxidl 31621

Description: Let 𝑅 be a ring, and let 𝐼 be a proper ideal of 𝑅. Then there is a maximal ideal of 𝑅 containing 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssmxidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ssmxidl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑚,𝐼   𝑅,𝑚

Proof of Theorem ssmxidl

Dummy variables 𝑗 𝑝 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 3007	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝑝 ≠ 𝐵 ↔ 𝐼 ≠ 𝐵))
2		sseq2 3951	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝐼 ⊆ 𝑝 ↔ 𝐼 ⊆ 𝐼))
3	1, 2	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → ((𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝) ↔ (𝐼 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐼)))
4		simp2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5		simp3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → 𝐼 ≠ 𝐵)
6		ssidd 3948	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝐼)
7	5, 6	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝐼 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐼))
8	3, 4, 7	elrabd 3627	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → 𝐼 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
9	8	ne0d 4274	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ≠ ∅)
10		ssmxidl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} = {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}
12		simpl1 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simpl2 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
14		simpl3 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝐼 ≠ 𝐵)
15		simpr1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
16		simpr2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑧 ≠ ∅)
17		simpr3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → [⊊] Or 𝑧)
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	ssmxidllem 31620	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → ∪ 𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
19	18	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ((𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}))
20	19	alrimiv 1933	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∀𝑧((𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}))
21		fvex 6781	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) ∈ V
22	21	rabex 5259	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∈ V
23	22	zornn0 10248	. . 3 ⊢ (({𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})) → ∃𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗)
24	9, 20, 23	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗)
25		neeq1 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (𝑝 ≠ 𝐵 ↔ 𝑚 ≠ 𝐵))
26		sseq2 3951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (𝐼 ⊆ 𝑝 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑚))
27	25, 26	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → ((𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝) ↔ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
28	27	elrab 3625	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
29	28	anbi2i 622	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))))
30		simpll1 1210	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
31		simplrl 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅))
32		simplr 765	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
33	32	simprld 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝑚 ≠ 𝐵)
34		psseq2 4027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑚 ⊊ 𝑗 ↔ 𝑚 ⊊ 𝑘))
35	34	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (¬ 𝑚 ⊊ 𝑗 ↔ ¬ 𝑚 ⊊ 𝑘))
36		simp-4r 780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗)
37		neeq1 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (𝑝 ≠ 𝐵 ↔ 𝑘 ≠ 𝐵))
38		sseq2 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (𝐼 ⊆ 𝑝 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑘))
39	37, 38	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → ((𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝) ↔ (𝑘 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑘)))
40		simpllr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))
41		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → ¬ 𝑘 = 𝐵)
42	41	neqned 2951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 ≠ 𝐵)
43		simp-5r 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
44	43	simprrd 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝑚)
45		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑚 ⊆ 𝑘)
46	44, 45	sstrd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝑘)
47	42, 46	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → (𝑘 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑘))
48	39, 40, 47	elrabd 3627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
49	35, 36, 48	rspcdva 3562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → ¬ 𝑚 ⊊ 𝑘)
50		npss 4049	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑚 ⊊ 𝑘 ↔ (𝑚 ⊆ 𝑘 → 𝑚 = 𝑘))
51	50	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑚 ⊊ 𝑘 → (𝑚 ⊆ 𝑘 → 𝑚 = 𝑘))
52	49, 45, 51	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑚 = 𝑘)
53	52	equcomd 2025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 = 𝑚)
54	53	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) → (¬ 𝑘 = 𝐵 → 𝑘 = 𝑚))
55	54	orrd 859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) → (𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝑚))
56	55	orcomd 867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵))
57	56	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑚 ⊆ 𝑘 → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵)))
58	57	ralrimiva 3109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → ∀𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑘 → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵)))
59	10	ismxidl 31613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑘 → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵)))))
60	59	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑘 → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵)))) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
61	30, 31, 33, 58, 60	syl13anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
62	32	simprrd 770	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝐼 ⊆ 𝑚)
63	61, 62	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))
64	29, 63	sylanb 580	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))
65	64	expl 457	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ((𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
66	65	reximdv2 3200	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (∃𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚))
67	24, 66	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  ∀wral 3065  ∃wrex 3066  {crab 3069   ⊆ wss 3891   ⊊ wpss 3892  ∅c0 4261  ∪ cuni 4844   Or wor 5501  ‘cfv 6430   [⊊] crpss 7566  Basecbs 16893  Ringcrg 19764  LIdealclidl 20413  MaxIdealcmxidl 31610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-ac2 10203  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-rpss 7567  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-oadd 8285  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-dju 9643  df-card 9681  df-ac 9856  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-subg 18733  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-subrg 20003  df-lmod 20106  df-lss 20175  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-lidl 20417  df-mxidl 31611

This theorem is referenced by:  krull  31622  zarcls1  31798  zarclssn  31802