Theorem ssmxidl 33445

Description: Let 𝑅 be a ring, and let 𝐼 be a proper ideal of 𝑅. Then there is a maximal ideal of 𝑅 containing 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssmxidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ssmxidl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑚,𝐼   𝑅,𝑚

Proof of Theorem ssmxidl

Dummy variables 𝑗 𝑝 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 2987	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝑝 ≠ 𝐵 ↔ 𝐼 ≠ 𝐵))
2		sseq2 3973	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝐼 ⊆ 𝑝 ↔ 𝐼 ⊆ 𝐼))
3	1, 2	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → ((𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝) ↔ (𝐼 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐼)))
4		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → 𝐼 ≠ 𝐵)
6		ssidd 3970	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝐼)
7	5, 6	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝐼 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐼))
8	3, 4, 7	elrabd 3661	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → 𝐼 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
9	8	ne0d 4305	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ≠ ∅)
10		ssmxidl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} = {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}
12		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
14		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝐼 ≠ 𝐵)
15		simpr1 1195	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
16		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑧 ≠ ∅)
17		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → [⊊] Or 𝑧)
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	ssmxidllem 33444	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → ∪ 𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
19	18	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ((𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}))
20	19	alrimiv 1927	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∀𝑧((𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}))
21		fvex 6871	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) ∈ V
22	21	rabex 5294	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∈ V
23	22	zornn0 10461	. . 3 ⊢ (({𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})) → ∃𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗)
24	9, 20, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗)
25		neeq1 2987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (𝑝 ≠ 𝐵 ↔ 𝑚 ≠ 𝐵))
26		sseq2 3973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (𝐼 ⊆ 𝑝 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑚))
27	25, 26	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → ((𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝) ↔ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
28	27	elrab 3659	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
29	28	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))))
30		simpll1 1213	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
31		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅))
32		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
33	32	simprld 771	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝑚 ≠ 𝐵)
34		psseq2 4054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑚 ⊊ 𝑗 ↔ 𝑚 ⊊ 𝑘))
35	34	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (¬ 𝑚 ⊊ 𝑗 ↔ ¬ 𝑚 ⊊ 𝑘))
36		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗)
37		neeq1 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (𝑝 ≠ 𝐵 ↔ 𝑘 ≠ 𝐵))
38		sseq2 3973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (𝐼 ⊆ 𝑝 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑘))
39	37, 38	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → ((𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝) ↔ (𝑘 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑘)))
40		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))
41		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → ¬ 𝑘 = 𝐵)
42	41	neqned 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 ≠ 𝐵)
43		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
44	43	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝑚)
45		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑚 ⊆ 𝑘)
46	44, 45	sstrd 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝑘)
47	42, 46	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → (𝑘 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑘))
48	39, 40, 47	elrabd 3661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
49	35, 36, 48	rspcdva 3589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → ¬ 𝑚 ⊊ 𝑘)
50		npss 4076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑚 ⊊ 𝑘 ↔ (𝑚 ⊆ 𝑘 → 𝑚 = 𝑘))
51	50	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑚 ⊊ 𝑘 → (𝑚 ⊆ 𝑘 → 𝑚 = 𝑘))
52	49, 45, 51	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑚 = 𝑘)
53	52	equcomd 2019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 = 𝑚)
54	53	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) → (¬ 𝑘 = 𝐵 → 𝑘 = 𝑚))
55	54	orrd 863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) → (𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝑚))
56	55	orcomd 871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵))
57	56	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑚 ⊆ 𝑘 → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵)))
58	57	ralrimiva 3125	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → ∀𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑘 → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵)))
59	10	ismxidl 33433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑘 → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵)))))
60	59	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑘 → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵)))) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
61	30, 31, 33, 58, 60	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
62	32	simprrd 773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝐼 ⊆ 𝑚)
63	61, 62	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))
64	29, 63	sylanb 581	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))
65	64	expl 457	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ((𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
66	65	reximdv2 3143	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (∃𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚))
67	24, 66	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3405   ⊆ wss 3914   ⊊ wpss 3915  ∅c0 4296  ∪ cuni 4871   Or wor 5545  ‘cfv 6511   [⊊] crpss 7698  Basecbs 17179  Ringcrg 20142  LIdealclidl 21116  MaxIdealcmxidl 33430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-ac2 10416  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-rpss 7699  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-ac 10069  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118  df-mxidl 33431

This theorem is referenced by:  drngmxidlr  33449  krull  33450  zarcls1  33859  zarclssn  33863