Theorem ssmxidl 33489

Description: Let 𝑅 be a ring, and let 𝐼 be a proper ideal of 𝑅. Then there is a maximal ideal of 𝑅 containing 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssmxidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ssmxidl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑚,𝐼   𝑅,𝑚

Proof of Theorem ssmxidl

Dummy variables 𝑗 𝑝 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 2994	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝑝 ≠ 𝐵 ↔ 𝐼 ≠ 𝐵))
2		sseq2 3985	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝐼 ⊆ 𝑝 ↔ 𝐼 ⊆ 𝐼))
3	1, 2	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → ((𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝) ↔ (𝐼 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐼)))
4		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → 𝐼 ≠ 𝐵)
6		ssidd 3982	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝐼)
7	5, 6	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝐼 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐼))
8	3, 4, 7	elrabd 3673	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → 𝐼 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
9	8	ne0d 4317	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ≠ ∅)
10		ssmxidl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} = {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}
12		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
14		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝐼 ≠ 𝐵)
15		simpr1 1195	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
16		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑧 ≠ ∅)
17		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → [⊊] Or 𝑧)
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	ssmxidllem 33488	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → ∪ 𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
19	18	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ((𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}))
20	19	alrimiv 1927	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∀𝑧((𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}))
21		fvex 6889	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) ∈ V
22	21	rabex 5309	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∈ V
23	22	zornn0 10522	. . 3 ⊢ (({𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})) → ∃𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗)
24	9, 20, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗)
25		neeq1 2994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (𝑝 ≠ 𝐵 ↔ 𝑚 ≠ 𝐵))
26		sseq2 3985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (𝐼 ⊆ 𝑝 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑚))
27	25, 26	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → ((𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝) ↔ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
28	27	elrab 3671	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
29	28	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))))
30		simpll1 1213	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
31		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅))
32		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
33	32	simprld 771	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝑚 ≠ 𝐵)
34		psseq2 4066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑚 ⊊ 𝑗 ↔ 𝑚 ⊊ 𝑘))
35	34	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (¬ 𝑚 ⊊ 𝑗 ↔ ¬ 𝑚 ⊊ 𝑘))
36		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗)
37		neeq1 2994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (𝑝 ≠ 𝐵 ↔ 𝑘 ≠ 𝐵))
38		sseq2 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → (𝐼 ⊆ 𝑝 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑘))
39	37, 38	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑘 → ((𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝) ↔ (𝑘 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑘)))
40		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))
41		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → ¬ 𝑘 = 𝐵)
42	41	neqned 2939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 ≠ 𝐵)
43		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
44	43	simprrd 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝑚)
45		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑚 ⊆ 𝑘)
46	44, 45	sstrd 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝐼 ⊆ 𝑘)
47	42, 46	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → (𝑘 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑘))
48	39, 40, 47	elrabd 3673	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
49	35, 36, 48	rspcdva 3602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → ¬ 𝑚 ⊊ 𝑘)
50		npss 4088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑚 ⊊ 𝑘 ↔ (𝑚 ⊆ 𝑘 → 𝑚 = 𝑘))
51	50	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑚 ⊊ 𝑘 → (𝑚 ⊆ 𝑘 → 𝑚 = 𝑘))
52	49, 45, 51	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑚 = 𝑘)
53	52	equcomd 2018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 = 𝑚)
54	53	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) → (¬ 𝑘 = 𝐵 → 𝑘 = 𝑚))
55	54	orrd 863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) → (𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝑚))
56	55	orcomd 871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑘) → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵))
57	56	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑚 ⊆ 𝑘 → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵)))
58	57	ralrimiva 3132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → ∀𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑘 → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵)))
59	10	ismxidl 33477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑘 → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵)))))
60	59	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑘 → (𝑘 = 𝑚 ∨ 𝑘 = 𝐵)))) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
61	30, 31, 33, 58, 60	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
62	32	simprrd 773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → 𝐼 ⊆ 𝑚)
63	61, 62	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑚 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))
64	29, 63	sylanb 581	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}) ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚))
65	64	expl 457	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ((𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗) → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚)))
66	65	reximdv2 3150	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (∃𝑚 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}∀𝑗 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ (𝑝 ≠ 𝐵 ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑗 → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚))
67	24, 66	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415   ⊆ wss 3926   ⊊ wpss 3927  ∅c0 4308  ∪ cuni 4883   Or wor 5560  ‘cfv 6531   [⊊] crpss 7716  Basecbs 17228  Ringcrg 20193  LIdealclidl 21167  MaxIdealcmxidl 33474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-ac2 10477  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-rpss 7717  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-ac 10130  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169  df-mxidl 33475

This theorem is referenced by:  drngmxidlr  33493  krull  33494  zarcls1  33900  zarclssn  33904