Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdcv 40123
Description: Covering property of the converse of the map defined by df-mapd 40088. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdcv.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdcv.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdcv.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdcv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdcv.c 𝐶 = ( ⋖L𝑈)
mapdcv.d 𝐷 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdcv.e 𝐸 = ( ⋖L𝐷)
mapdcv.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdcv.x (𝜑𝑋𝑆)
mapdcv.y (𝜑𝑌𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdcv (𝜑 → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑀𝑋)𝐸(𝑀𝑌)))

Proof of Theorem mapdcv
Dummy variables 𝑣 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdcv.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdcv.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdcv.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdcv.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdcv.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 mapdcv.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
7 mapdcv.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑆)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mapdsord 40118 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
9 mapdcv.d . . . . . . 7 𝐷 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2736 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
115adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → 𝑣𝑆)
131, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12mapdcl2 40119 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑆) → (𝑀𝑣) ∈ (LSubSp‘𝐷))
145adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
151, 2, 9, 10, 5mapdrn2 40114 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐷))
1615eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑓 ∈ ran 𝑀𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)))
1716biimpar 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → 𝑓 ∈ ran 𝑀)
181, 2, 3, 4, 14, 17mapdcnvcl 40115 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → (𝑀𝑓) ∈ 𝑆)
191, 2, 14, 17mapdcnvid2 40120 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → (𝑀‘(𝑀𝑓)) = 𝑓)
2019eqcomd 2742 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → 𝑓 = (𝑀‘(𝑀𝑓)))
21 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑀𝑓) → (𝑀𝑣) = (𝑀‘(𝑀𝑓)))
2221rspceeqv 3595 . . . . . . 7 (((𝑀𝑓) ∈ 𝑆𝑓 = (𝑀‘(𝑀𝑓))) → ∃𝑣𝑆 𝑓 = (𝑀𝑣))
2318, 20, 22syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → ∃𝑣𝑆 𝑓 = (𝑀𝑣))
24 psseq2 4048 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑀𝑣) → ((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓 ↔ (𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣)))
25 psseq1 4047 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑀𝑣) → (𝑓 ⊊ (𝑀𝑌) ↔ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌)))
2624, 25anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑀𝑣) → (((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌))))
2726adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 = (𝑀𝑣)) → (((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌))))
2813, 23, 27rexxfrd 5364 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ∃𝑣𝑆 ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌))))
296adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑆) → 𝑋𝑆)
301, 2, 3, 4, 11, 29, 12mapdsord 40118 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ↔ 𝑋𝑣))
317adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑆) → 𝑌𝑆)
321, 2, 3, 4, 11, 12, 31mapdsord 40118 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → ((𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌) ↔ 𝑣𝑌))
3330, 32anbi12d 631 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑆) → (((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
3433rexbidva 3173 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣𝑆 ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
3528, 34bitrd 278 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
3635notbid 317 . . 3 (𝜑 → (¬ ∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ¬ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
378, 36anbi12d 631 . 2 (𝜑 → (((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ∧ ¬ ∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌))) ↔ (𝑋𝑌 ∧ ¬ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌))))
38 mapdcv.e . . 3 𝐸 = ( ⋖L𝐷)
391, 9, 5lcdlmod 40055 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
401, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 6mapdcl2 40119 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (LSubSp‘𝐷))
411, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 7mapdcl2 40119 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ (LSubSp‘𝐷))
4210, 38, 39, 40, 41lcvbr 37483 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋)𝐸(𝑀𝑌) ↔ ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ∧ ¬ ∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)))))
43 mapdcv.c . . 3 𝐶 = ( ⋖L𝑈)
441, 3, 5dvhlmod 39573 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
454, 43, 44, 6, 7lcvbr 37483 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋𝑌 ∧ ¬ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌))))
4637, 42, 453bitr4rd 311 1 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑀𝑋)𝐸(𝑀𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  wpss 3911   class class class wbr 5105  ccnv 5632  ran crn 5634  cfv 6496  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  L clcv 37480  HLchlt 37812  LHypclh 38447  DVecHcdvh 39541  LCDualclcd 40049  mapdcmpd 40087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-riotaBAD 37415
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-undef 8204  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lsatoms 37438  df-lshyp 37439  df-lcv 37481  df-lfl 37520  df-lkr 37548  df-ldual 37586  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-tgrp 39206  df-tendo 39218  df-edring 39220  df-dveca 39466  df-disoa 39492  df-dvech 39542  df-dib 39602  df-dic 39636  df-dih 39692  df-doch 39811  df-djh 39858  df-lcdual 40050  df-mapd 40088
This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  40129  mapdat  40130
  Copyright terms: Public domain W3C validator