Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdcv 40090
Description: Covering property of the converse of the map defined by df-mapd 40055. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdcv.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdcv.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdcv.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdcv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdcv.c 𝐶 = ( ⋖L𝑈)
mapdcv.d 𝐷 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdcv.e 𝐸 = ( ⋖L𝐷)
mapdcv.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdcv.x (𝜑𝑋𝑆)
mapdcv.y (𝜑𝑌𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdcv (𝜑 → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑀𝑋)𝐸(𝑀𝑌)))

Proof of Theorem mapdcv
Dummy variables 𝑣 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdcv.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdcv.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdcv.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdcv.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdcv.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 mapdcv.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
7 mapdcv.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑆)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mapdsord 40085 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
9 mapdcv.d . . . . . . 7 𝐷 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2736 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
115adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → 𝑣𝑆)
131, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12mapdcl2 40086 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑆) → (𝑀𝑣) ∈ (LSubSp‘𝐷))
145adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
151, 2, 9, 10, 5mapdrn2 40081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐷))
1615eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑓 ∈ ran 𝑀𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)))
1716biimpar 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → 𝑓 ∈ ran 𝑀)
181, 2, 3, 4, 14, 17mapdcnvcl 40082 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → (𝑀𝑓) ∈ 𝑆)
191, 2, 14, 17mapdcnvid2 40087 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → (𝑀‘(𝑀𝑓)) = 𝑓)
2019eqcomd 2742 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → 𝑓 = (𝑀‘(𝑀𝑓)))
21 fveq2 6839 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑀𝑓) → (𝑀𝑣) = (𝑀‘(𝑀𝑓)))
2221rspceeqv 3593 . . . . . . 7 (((𝑀𝑓) ∈ 𝑆𝑓 = (𝑀‘(𝑀𝑓))) → ∃𝑣𝑆 𝑓 = (𝑀𝑣))
2318, 20, 22syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → ∃𝑣𝑆 𝑓 = (𝑀𝑣))
24 psseq2 4046 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑀𝑣) → ((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓 ↔ (𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣)))
25 psseq1 4045 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑀𝑣) → (𝑓 ⊊ (𝑀𝑌) ↔ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌)))
2624, 25anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑀𝑣) → (((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌))))
2726adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 = (𝑀𝑣)) → (((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌))))
2813, 23, 27rexxfrd 5362 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ∃𝑣𝑆 ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌))))
296adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑆) → 𝑋𝑆)
301, 2, 3, 4, 11, 29, 12mapdsord 40085 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ↔ 𝑋𝑣))
317adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑆) → 𝑌𝑆)
321, 2, 3, 4, 11, 12, 31mapdsord 40085 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → ((𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌) ↔ 𝑣𝑌))
3330, 32anbi12d 631 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑆) → (((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
3433rexbidva 3171 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣𝑆 ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
3528, 34bitrd 278 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
3635notbid 317 . . 3 (𝜑 → (¬ ∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ¬ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
378, 36anbi12d 631 . 2 (𝜑 → (((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ∧ ¬ ∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌))) ↔ (𝑋𝑌 ∧ ¬ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌))))
38 mapdcv.e . . 3 𝐸 = ( ⋖L𝐷)
391, 9, 5lcdlmod 40022 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
401, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 6mapdcl2 40086 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (LSubSp‘𝐷))
411, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 7mapdcl2 40086 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ (LSubSp‘𝐷))
4210, 38, 39, 40, 41lcvbr 37450 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋)𝐸(𝑀𝑌) ↔ ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ∧ ¬ ∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)))))
43 mapdcv.c . . 3 𝐶 = ( ⋖L𝑈)
441, 3, 5dvhlmod 39540 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
454, 43, 44, 6, 7lcvbr 37450 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋𝑌 ∧ ¬ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌))))
4637, 42, 453bitr4rd 311 1 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑀𝑋)𝐸(𝑀𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  wpss 3909   class class class wbr 5103  ccnv 5630  ran crn 5632  cfv 6493  LModclmod 20307  LSubSpclss 20377  L clcv 37447  HLchlt 37779  LHypclh 38414  DVecHcdvh 39508  LCDualclcd 40016  mapdcmpd 40054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-riotaBAD 37382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-tpos 8153  df-undef 8200  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-0g 17315  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-proset 18176  df-poset 18194  df-plt 18211  df-lub 18227  df-glb 18228  df-join 18229  df-meet 18230  df-p0 18306  df-p1 18307  df-lat 18313  df-clat 18380  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-sbg 18745  df-subg 18916  df-cntz 19088  df-oppg 19115  df-lsm 19409  df-cmn 19555  df-abl 19556  df-mgp 19888  df-ur 19905  df-ring 19952  df-oppr 20034  df-dvdsr 20055  df-unit 20056  df-invr 20086  df-dvr 20097  df-drng 20172  df-lmod 20309  df-lss 20378  df-lsp 20418  df-lvec 20549  df-lsatoms 37405  df-lshyp 37406  df-lcv 37448  df-lfl 37487  df-lkr 37515  df-ldual 37553  df-oposet 37605  df-ol 37607  df-oml 37608  df-covers 37695  df-ats 37696  df-atl 37727  df-cvlat 37751  df-hlat 37780  df-llines 37928  df-lplanes 37929  df-lvols 37930  df-lines 37931  df-psubsp 37933  df-pmap 37934  df-padd 38226  df-lhyp 38418  df-laut 38419  df-ldil 38534  df-ltrn 38535  df-trl 38589  df-tgrp 39173  df-tendo 39185  df-edring 39187  df-dveca 39433  df-disoa 39459  df-dvech 39509  df-dib 39569  df-dic 39603  df-dih 39659  df-doch 39778  df-djh 39825  df-lcdual 40017  df-mapd 40055
This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  40096  mapdat  40097
  Copyright terms: Public domain W3C validator