Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdcv 38327
Description: Covering property of the converse of the map defined by df-mapd 38292. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdcv.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdcv.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdcv.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdcv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdcv.c 𝐶 = ( ⋖L𝑈)
mapdcv.d 𝐷 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdcv.e 𝐸 = ( ⋖L𝐷)
mapdcv.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdcv.x (𝜑𝑋𝑆)
mapdcv.y (𝜑𝑌𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdcv (𝜑 → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑀𝑋)𝐸(𝑀𝑌)))

Proof of Theorem mapdcv
Dummy variables 𝑣 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdcv.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdcv.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdcv.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdcv.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdcv.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 mapdcv.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
7 mapdcv.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑆)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mapdsord 38322 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
9 mapdcv.d . . . . . . 7 𝐷 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2795 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
115adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → 𝑣𝑆)
131, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12mapdcl2 38323 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑆) → (𝑀𝑣) ∈ (LSubSp‘𝐷))
145adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
151, 2, 9, 10, 5mapdrn2 38318 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐷))
1615eleq2d 2868 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑓 ∈ ran 𝑀𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)))
1716biimpar 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → 𝑓 ∈ ran 𝑀)
181, 2, 3, 4, 14, 17mapdcnvcl 38319 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → (𝑀𝑓) ∈ 𝑆)
191, 2, 14, 17mapdcnvid2 38324 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → (𝑀‘(𝑀𝑓)) = 𝑓)
2019eqcomd 2801 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → 𝑓 = (𝑀‘(𝑀𝑓)))
21 fveq2 6538 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑀𝑓) → (𝑀𝑣) = (𝑀‘(𝑀𝑓)))
2221rspceeqv 3577 . . . . . . 7 (((𝑀𝑓) ∈ 𝑆𝑓 = (𝑀‘(𝑀𝑓))) → ∃𝑣𝑆 𝑓 = (𝑀𝑣))
2318, 20, 22syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → ∃𝑣𝑆 𝑓 = (𝑀𝑣))
24 psseq2 3986 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑀𝑣) → ((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓 ↔ (𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣)))
25 psseq1 3985 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑀𝑣) → (𝑓 ⊊ (𝑀𝑌) ↔ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌)))
2624, 25anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑀𝑣) → (((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌))))
2726adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 = (𝑀𝑣)) → (((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌))))
2813, 23, 27rexxfrd 5201 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ∃𝑣𝑆 ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌))))
296adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑆) → 𝑋𝑆)
301, 2, 3, 4, 11, 29, 12mapdsord 38322 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ↔ 𝑋𝑣))
317adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑆) → 𝑌𝑆)
321, 2, 3, 4, 11, 12, 31mapdsord 38322 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → ((𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌) ↔ 𝑣𝑌))
3330, 32anbi12d 630 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑆) → (((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
3433rexbidva 3259 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣𝑆 ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
3528, 34bitrd 280 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
3635notbid 319 . . 3 (𝜑 → (¬ ∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ¬ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
378, 36anbi12d 630 . 2 (𝜑 → (((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ∧ ¬ ∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌))) ↔ (𝑋𝑌 ∧ ¬ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌))))
38 mapdcv.e . . 3 𝐸 = ( ⋖L𝐷)
391, 9, 5lcdlmod 38259 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
401, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 6mapdcl2 38323 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (LSubSp‘𝐷))
411, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 7mapdcl2 38323 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ (LSubSp‘𝐷))
4210, 38, 39, 40, 41lcvbr 35688 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋)𝐸(𝑀𝑌) ↔ ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ∧ ¬ ∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)))))
43 mapdcv.c . . 3 𝐶 = ( ⋖L𝑈)
441, 3, 5dvhlmod 37777 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
454, 43, 44, 6, 7lcvbr 35688 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋𝑌 ∧ ¬ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌))))
4637, 42, 453bitr4rd 313 1 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑀𝑋)𝐸(𝑀𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wrex 3106  wpss 3860   class class class wbr 4962  ccnv 5442  ran crn 5444  cfv 6225  LModclmod 19324  LSubSpclss 19393  L clcv 35685  HLchlt 36017  LHypclh 36651  DVecHcdvh 37745  LCDualclcd 38253  mapdcmpd 38291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-riotaBAD 35620
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-tpos 7743  df-undef 7790  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-0g 16544  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-p1 17479  df-lat 17485  df-clat 17547  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-subg 18030  df-cntz 18188  df-oppg 18215  df-lsm 18491  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-dvr 19123  df-drng 19194  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lsp 19434  df-lvec 19565  df-lsatoms 35643  df-lshyp 35644  df-lcv 35686  df-lfl 35725  df-lkr 35753  df-ldual 35791  df-oposet 35843  df-ol 35845  df-oml 35846  df-covers 35933  df-ats 35934  df-atl 35965  df-cvlat 35989  df-hlat 36018  df-llines 36165  df-lplanes 36166  df-lvols 36167  df-lines 36168  df-psubsp 36170  df-pmap 36171  df-padd 36463  df-lhyp 36655  df-laut 36656  df-ldil 36771  df-ltrn 36772  df-trl 36826  df-tgrp 37410  df-tendo 37422  df-edring 37424  df-dveca 37670  df-disoa 37696  df-dvech 37746  df-dib 37806  df-dic 37840  df-dih 37896  df-doch 38015  df-djh 38062  df-lcdual 38254  df-mapd 38292
This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  38333  mapdat  38334
  Copyright terms: Public domain W3C validator