Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdcv 41359
Description: Covering property of the converse of the map defined by df-mapd 41324. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdcv.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdcv.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdcv.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdcv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdcv.c 𝐶 = ( ⋖L𝑈)
mapdcv.d 𝐷 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdcv.e 𝐸 = ( ⋖L𝐷)
mapdcv.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdcv.x (𝜑𝑋𝑆)
mapdcv.y (𝜑𝑌𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdcv (𝜑 → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑀𝑋)𝐸(𝑀𝑌)))

Proof of Theorem mapdcv
Dummy variables 𝑣 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdcv.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdcv.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdcv.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdcv.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdcv.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 mapdcv.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
7 mapdcv.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑆)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mapdsord 41354 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
9 mapdcv.d . . . . . . 7 𝐷 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2726 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
115adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → 𝑣𝑆)
131, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12mapdcl2 41355 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑆) → (𝑀𝑣) ∈ (LSubSp‘𝐷))
145adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
151, 2, 9, 10, 5mapdrn2 41350 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐷))
1615eleq2d 2812 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑓 ∈ ran 𝑀𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)))
1716biimpar 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → 𝑓 ∈ ran 𝑀)
181, 2, 3, 4, 14, 17mapdcnvcl 41351 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → (𝑀𝑓) ∈ 𝑆)
191, 2, 14, 17mapdcnvid2 41356 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → (𝑀‘(𝑀𝑓)) = 𝑓)
2019eqcomd 2732 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → 𝑓 = (𝑀‘(𝑀𝑓)))
21 fveq2 6901 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑀𝑓) → (𝑀𝑣) = (𝑀‘(𝑀𝑓)))
2221rspceeqv 3630 . . . . . . 7 (((𝑀𝑓) ∈ 𝑆𝑓 = (𝑀‘(𝑀𝑓))) → ∃𝑣𝑆 𝑓 = (𝑀𝑣))
2318, 20, 22syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)) → ∃𝑣𝑆 𝑓 = (𝑀𝑣))
24 psseq2 4087 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑀𝑣) → ((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓 ↔ (𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣)))
25 psseq1 4086 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑀𝑣) → (𝑓 ⊊ (𝑀𝑌) ↔ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌)))
2624, 25anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑀𝑣) → (((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌))))
2726adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 = (𝑀𝑣)) → (((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌))))
2813, 23, 27rexxfrd 5413 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ∃𝑣𝑆 ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌))))
296adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑆) → 𝑋𝑆)
301, 2, 3, 4, 11, 29, 12mapdsord 41354 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ↔ 𝑋𝑣))
317adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑆) → 𝑌𝑆)
321, 2, 3, 4, 11, 12, 31mapdsord 41354 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑆) → ((𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌) ↔ 𝑣𝑌))
3330, 32anbi12d 630 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑆) → (((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
3433rexbidva 3167 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣𝑆 ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑣) ∧ (𝑀𝑣) ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
3528, 34bitrd 278 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
3635notbid 317 . . 3 (𝜑 → (¬ ∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)) ↔ ¬ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌)))
378, 36anbi12d 630 . 2 (𝜑 → (((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ∧ ¬ ∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌))) ↔ (𝑋𝑌 ∧ ¬ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌))))
38 mapdcv.e . . 3 𝐸 = ( ⋖L𝐷)
391, 9, 5lcdlmod 41291 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
401, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 6mapdcl2 41355 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (LSubSp‘𝐷))
411, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 7mapdcl2 41355 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ (LSubSp‘𝐷))
4210, 38, 39, 40, 41lcvbr 38719 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋)𝐸(𝑀𝑌) ↔ ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ∧ ¬ ∃𝑓 ∈ (LSubSp‘𝐷)((𝑀𝑋) ⊊ 𝑓𝑓 ⊊ (𝑀𝑌)))))
43 mapdcv.c . . 3 𝐶 = ( ⋖L𝑈)
441, 3, 5dvhlmod 40809 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
454, 43, 44, 6, 7lcvbr 38719 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋𝑌 ∧ ¬ ∃𝑣𝑆 (𝑋𝑣𝑣𝑌))))
4637, 42, 453bitr4rd 311 1 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑀𝑋)𝐸(𝑀𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060  wpss 3948   class class class wbr 5153  ccnv 5681  ran crn 5683  cfv 6554  LModclmod 20836  LSubSpclss 20908  L clcv 38716  HLchlt 39048  LHypclh 39683  DVecHcdvh 40777  LCDualclcd 41285  mapdcmpd 41323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-riotaBAD 38651
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-undef 8288  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-0g 17456  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p0 18450  df-p1 18451  df-lat 18457  df-clat 18524  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-cntz 19311  df-oppg 19340  df-lsm 19634  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-nzr 20495  df-rlreg 20672  df-domn 20673  df-drng 20709  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-lvec 21081  df-lsatoms 38674  df-lshyp 38675  df-lcv 38717  df-lfl 38756  df-lkr 38784  df-ldual 38822  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-llines 39197  df-lplanes 39198  df-lvols 39199  df-lines 39200  df-psubsp 39202  df-pmap 39203  df-padd 39495  df-lhyp 39687  df-laut 39688  df-ldil 39803  df-ltrn 39804  df-trl 39858  df-tgrp 40442  df-tendo 40454  df-edring 40456  df-dveca 40702  df-disoa 40728  df-dvech 40778  df-dib 40838  df-dic 40872  df-dih 40928  df-doch 41047  df-djh 41094  df-lcdual 41286  df-mapd 41324
This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  41365  mapdat  41366
  Copyright terms: Public domain W3C validator