Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv0 38414
Description: An atom covers the zero subspace. (atcv0 32104 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv0.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcv0.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcv0.c 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
lsatcv0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcv0.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcv0 (πœ‘ β†’ { 0 }𝐢𝑄)

Proof of Theorem lsatcv0
Dummy variables π‘₯ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcv0.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20954 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 eqid 2726 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
5 lsatcv0.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
6 lsatcv0.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
74, 5, 3, 6lsatlssel 38380 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
8 lsatcv0.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
98, 4lss0ss 20796 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ { 0 } βŠ† 𝑄)
103, 7, 9syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† 𝑄)
118, 5, 3, 6lsatn0 38382 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  { 0 })
1211necomd 2990 . . 3 (πœ‘ β†’ { 0 } β‰  𝑄)
13 df-pss 3962 . . 3 ({ 0 } ⊊ 𝑄 ↔ ({ 0 } βŠ† 𝑄 ∧ { 0 } β‰  𝑄))
1410, 12, 13sylanbrc 582 . 2 (πœ‘ β†’ { 0 } ⊊ 𝑄)
15 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
16 eqid 2726 . . . . . 6 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
1715, 16, 8, 5islsat 38374 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
183, 17syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
196, 18mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))
201adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ π‘Š ∈ LVec)
21 eldifi 4121 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2221adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2315, 8, 4, 16, 20, 22lspsncv0 20997 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })) β†’ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
2423ex 412 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) β†’ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))))
25 psseq2 4083 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ (𝑠 ⊊ 𝑄 ↔ 𝑠 ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})))
2625anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))))
2726rexbidv 3172 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ βˆƒπ‘  ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))))
2827notbid 318 . . . . . 6 (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘  ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}))))
2928biimprcd 249 . . . . 5 (Β¬ βˆƒπ‘  ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯})) β†’ (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄)))
3024, 29syl6 35 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 }) β†’ (𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))))
3130rexlimdv 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘Š) βˆ– { 0 })𝑄 = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{π‘₯}) β†’ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄)))
3219, 31mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))
33 lsatcv0.c . . 3 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
348, 4lsssn0 20795 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
353, 34syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
364, 33, 1, 35, 7lcvbr 38404 . 2 (πœ‘ β†’ ({ 0 }𝐢𝑄 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ∧ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))))
3714, 32, 36mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ { 0 }𝐢𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943   ⊊ wpss 3944  {csn 4623   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  0gc0g 17394  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950  LSAtomsclsa 38357   β‹–L clcv 38401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-lcv 38402
This theorem is referenced by:  lsatcveq0  38415  lsat0cv  38416  lsatcv0eq  38430  mapdcnvatN  41050  mapdat  41051
  Copyright terms: Public domain W3C validator