Theorem lsatcv0 39662

Description: An atom covers the zero subspace. (atcv0 32599 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcv0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcv0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcv0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcv0	⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)

Proof of Theorem lsatcv0

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcv0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21193	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lsatcv0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6		lsatcv0.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
7	4, 5, 3, 6	lsatlssel 39628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
8		lsatcv0.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
9	8, 4	lss0ss 21036	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ 𝑄)
10	3, 7, 9	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑄)
11	8, 5, 3, 6	lsatn0 39630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ { 0 })
12	11	necomd 3015	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ≠ 𝑄)
13		df-pss 3927	. . 3 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑄 ∧ { 0 } ≠ 𝑄))
14	10, 12, 13	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊊ 𝑄)
15		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
16		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
17	15, 16, 8, 5	islsat 39622	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
18	3, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
19	6, 18	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
20	1	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
21		eldifi 4087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
22	21	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
23	15, 8, 4, 16, 20, 22	lspsncv0 21236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
24	23	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
25		psseq2 4047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 ⊊ 𝑄 ↔ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
26	25	anbi2d 641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
27	26	rexbidv 3189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
28	27	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
29	28	biimprcd 253	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄)))
30	24, 29	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))))
31	30	rexlimdv 3164	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄)))
32	19, 31	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))
33		lsatcv0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
34	8, 4	lsssn0 21035	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
35	3, 34	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
36	4, 33, 1, 35, 7	lcvbr 39652	. 2 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑄 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))))
37	14, 32, 36	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907   ⊊ wpss 3908  {csn 4585   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  Basecbs 17257  0_gc0g 17480  LModclmod 20947  LSubSpclss 21018  LSpanclspn 21058  LVecclvec 21189  LSAtomsclsa 39605   ⋖_L clcv 39649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-drng 20803  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-lvec 21190  df-lsatoms 39607  df-lcv 39650

This theorem is referenced by:  lsatcveq0  39663  lsat0cv  39664  lsatcv0eq  39678  mapdcnvatN  42297  mapdat  42298