Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv0 38633
Description: An atom covers the zero subspace. (atcv0 32224 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv0.o 0 = (0g𝑊)
lsatcv0.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsatcv0.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0.q (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcv0 (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)

Proof of Theorem lsatcv0
Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcv0.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 21003 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 eqid 2725 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5 lsatcv0.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6 lsatcv0.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝐴)
74, 5, 3, 6lsatlssel 38599 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
8 lsatcv0.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
98, 4lss0ss 20845 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ 𝑄)
103, 7, 9syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑄)
118, 5, 3, 6lsatn0 38601 . . . 4 (𝜑𝑄 ≠ { 0 })
1211necomd 2985 . . 3 (𝜑 → { 0 } ≠ 𝑄)
13 df-pss 3964 . . 3 ({ 0 } ⊊ 𝑄 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑄 ∧ { 0 } ≠ 𝑄))
1410, 12, 13sylanbrc 581 . 2 (𝜑 → { 0 } ⊊ 𝑄)
15 eqid 2725 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
16 eqid 2725 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
1715, 16, 8, 5islsat 38593 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
183, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
196, 18mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
201adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
21 eldifi 4123 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
2221adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
2315, 8, 4, 16, 20, 22lspsncv0 21046 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
2423ex 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
25 psseq2 4084 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠𝑄𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
2625anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄) ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
2726rexbidv 3168 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄) ↔ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
2827notbid 317 . . . . . 6 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
2928biimprcd 249 . . . . 5 (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄)))
3024, 29syl6 35 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄))))
3130rexlimdv 3142 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄)))
3219, 31mpd 15 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄))
33 lsatcv0.c . . 3 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
348, 4lsssn0 20844 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
353, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
364, 33, 1, 35, 7lcvbr 38623 . 2 (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑄 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄))))
3714, 32, 36mpbir2and 711 1 (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059  cdif 3941  wss 3944  wpss 3945  {csn 4630   class class class wbr 5149  cfv 6549  Basecbs 17183  0gc0g 17424  LModclmod 20755  LSubSpclss 20827  LSpanclspn 20867  LVecclvec 20999  LSAtomsclsa 38576  L clcv 38620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-drng 20638  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lvec 21000  df-lsatoms 38578  df-lcv 38621
This theorem is referenced by:  lsatcveq0  38634  lsat0cv  38635  lsatcv0eq  38649  mapdcnvatN  41269  mapdat  41270
  Copyright terms: Public domain W3C validator