Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv0 37493
Description: An atom covers the zero subspace. (atcv0 31284 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv0.o 0 = (0g𝑊)
lsatcv0.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsatcv0.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0.q (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcv0 (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)

Proof of Theorem lsatcv0
Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcv0.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 20567 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 eqid 2736 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5 lsatcv0.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6 lsatcv0.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝐴)
74, 5, 3, 6lsatlssel 37459 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
8 lsatcv0.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
98, 4lss0ss 20409 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ 𝑄)
103, 7, 9syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑄)
118, 5, 3, 6lsatn0 37461 . . . 4 (𝜑𝑄 ≠ { 0 })
1211necomd 2999 . . 3 (𝜑 → { 0 } ≠ 𝑄)
13 df-pss 3929 . . 3 ({ 0 } ⊊ 𝑄 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑄 ∧ { 0 } ≠ 𝑄))
1410, 12, 13sylanbrc 583 . 2 (𝜑 → { 0 } ⊊ 𝑄)
15 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
16 eqid 2736 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
1715, 16, 8, 5islsat 37453 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
183, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
196, 18mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
201adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
21 eldifi 4086 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
2221adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
2315, 8, 4, 16, 20, 22lspsncv0 20607 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
2423ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
25 psseq2 4048 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠𝑄𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
2625anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄) ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
2726rexbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄) ↔ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
2827notbid 317 . . . . . 6 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
2928biimprcd 249 . . . . 5 (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄)))
3024, 29syl6 35 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄))))
3130rexlimdv 3150 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄)))
3219, 31mpd 15 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄))
33 lsatcv0.c . . 3 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
348, 4lsssn0 20408 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
353, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
364, 33, 1, 35, 7lcvbr 37483 . 2 (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑄 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄))))
3714, 32, 36mpbir2and 711 1 (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  cdif 3907  wss 3910  wpss 3911  {csn 4586   class class class wbr 5105  cfv 6496  Basecbs 17083  0gc0g 17321  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LVecclvec 20563  LSAtomsclsa 37436  L clcv 37480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lsatoms 37438  df-lcv 37481
This theorem is referenced by:  lsatcveq0  37494  lsat0cv  37495  lsatcv0eq  37509  mapdcnvatN  40129  mapdat  40130
  Copyright terms: Public domain W3C validator