Theorem lsatcv0 39013

Description: An atom covers the zero subspace. (atcv0 32371 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcv0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcv0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcv0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcv0	⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)

Proof of Theorem lsatcv0

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcv0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21123	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lsatcv0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6		lsatcv0.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
7	4, 5, 3, 6	lsatlssel 38979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
8		lsatcv0.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
9	8, 4	lss0ss 20965	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ 𝑄)
10	3, 7, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑄)
11	8, 5, 3, 6	lsatn0 38981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ { 0 })
12	11	necomd 2994	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ≠ 𝑄)
13		df-pss 3983	. . 3 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑄 ∧ { 0 } ≠ 𝑄))
14	10, 12, 13	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊊ 𝑄)
15		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
16		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
17	15, 16, 8, 5	islsat 38973	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
18	3, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
19	6, 18	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
20	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
21		eldifi 4141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
23	15, 8, 4, 16, 20, 22	lspsncv0 21166	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
24	23	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
25		psseq2 4101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 ⊊ 𝑄 ↔ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
26	25	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
27	26	rexbidv 3177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
28	27	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
29	28	biimprcd 250	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄)))
30	24, 29	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))))
31	30	rexlimdv 3151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄)))
32	19, 31	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))
33		lsatcv0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
34	8, 4	lsssn0 20964	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
35	3, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
36	4, 33, 1, 35, 7	lcvbr 39003	. 2 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑄 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))))
37	14, 32, 36	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963   ⊊ wpss 3964  {csn 4631   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119  LSAtomsclsa 38956   ⋖_L clcv 39000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lcv 39001

This theorem is referenced by:  lsatcveq0  39014  lsat0cv  39015  lsatcv0eq  39029  mapdcnvatN  41649  mapdat  41650