Theorem lsatcv0 40182

Description: An atom covers the zero subspace. (atcv0 32950 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcv0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcv0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcv0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcv0	⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)

Proof of Theorem lsatcv0

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcv0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21387	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lsatcv0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6		lsatcv0.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
7	4, 5, 3, 6	lsatlssel 40148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
8		lsatcv0.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
9	8, 4	lss0ss 21230	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ 𝑄)
10	3, 7, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑄)
11	8, 5, 3, 6	lsatn0 40150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ { 0 })
12	11	necomd 3010	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ≠ 𝑄)
13		df-pss 4014	. . 3 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑄 ∧ { 0 } ≠ 𝑄))
14	10, 12, 13	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊊ 𝑄)
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
16		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
17	15, 16, 8, 5	islsat 40142	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
18	3, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
19	6, 18	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
20	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
21		eldifi 4067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
22	21	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
23	15, 8, 4, 16, 20, 22	lspsncv0 21430	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
24	23	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
25		psseq2 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 ⊊ 𝑄 ↔ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
26	25	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
27	26	rexbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
28	27	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
29	28	biimprcd 253	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄)))
30	24, 29	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))))
31	30	rexlimdv 3161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄)))
32	19, 31	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))
33		lsatcv0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
34	8, 4	lsssn0 21229	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
35	3, 34	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
36	4, 33, 1, 35, 7	lcvbr 40172	. 2 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑄 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))))
37	14, 32, 36	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ⊊ wpss 4013   ∖ cdif 4045  {csn 4584   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  0_gc0g 17616  LModclmod 21141  LSubSpclss 21212  LSpanclspn 21252  LVecclvec 21383  LSAtomsclsa 40125   ⋖_L clcv 40169

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624  df-drng 20988  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-lvec 21384  df-lsatoms 40127  df-lcv 40170

This theorem is used by:  lsatcveq0  40183  lsat0cv  40184  lsatcv0eq  40198  mapdcnvatN  42817  mapdat  42818