Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv0 36161
Description: An atom covers the zero subspace. (atcv0 30113 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv0.o 0 = (0g𝑊)
lsatcv0.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsatcv0.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0.q (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatcv0 (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)

Proof of Theorem lsatcv0
Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcv0.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19872 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 eqid 2821 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5 lsatcv0.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6 lsatcv0.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝐴)
74, 5, 3, 6lsatlssel 36127 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
8 lsatcv0.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
98, 4lss0ss 19714 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ 𝑄)
103, 7, 9syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑄)
118, 5, 3, 6lsatn0 36129 . . . 4 (𝜑𝑄 ≠ { 0 })
1211necomd 3071 . . 3 (𝜑 → { 0 } ≠ 𝑄)
13 df-pss 3953 . . 3 ({ 0 } ⊊ 𝑄 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑄 ∧ { 0 } ≠ 𝑄))
1410, 12, 13sylanbrc 585 . 2 (𝜑 → { 0 } ⊊ 𝑄)
15 eqid 2821 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
16 eqid 2821 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
1715, 16, 8, 5islsat 36121 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
183, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
196, 18mpbid 234 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
201adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
21 eldifi 4102 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
2221adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
2315, 8, 4, 16, 20, 22lspsncv0 19912 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
2423ex 415 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
25 psseq2 4064 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠𝑄𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
2625anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄) ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
2726rexbidv 3297 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄) ↔ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
2827notbid 320 . . . . . 6 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
2928biimprcd 252 . . . . 5 (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄)))
3024, 29syl6 35 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄))))
3130rexlimdv 3283 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄)))
3219, 31mpd 15 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄))
33 lsatcv0.c . . 3 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
348, 4lsssn0 19713 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
353, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
364, 33, 1, 35, 7lcvbr 36151 . 2 (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑄 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠𝑠𝑄))))
3714, 32, 36mpbir2and 711 1 (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wrex 3139  cdif 3932  wss 3935  wpss 3936  {csn 4560   class class class wbr 5058  cfv 6349  Basecbs 16477  0gc0g 16707  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697  LSpanclspn 19737  LVecclvec 19868  LSAtomsclsa 36104  L clcv 36148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-drng 19498  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-lvec 19869  df-lsatoms 36106  df-lcv 36149
This theorem is referenced by:  lsatcveq0  36162  lsat0cv  36163  lsatcv0eq  36177  mapdcnvatN  38796  mapdat  38797
  Copyright terms: Public domain W3C validator