Theorem lsatcv0 38535

Description: An atom covers the zero subspace. (atcv0 32172 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcv0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcv0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcv0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcv0	⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)

Proof of Theorem lsatcv0

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcv0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20998	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lsatcv0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6		lsatcv0.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
7	4, 5, 3, 6	lsatlssel 38501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
8		lsatcv0.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
9	8, 4	lss0ss 20840	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ 𝑄)
10	3, 7, 9	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑄)
11	8, 5, 3, 6	lsatn0 38503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ { 0 })
12	11	necomd 2993	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ≠ 𝑄)
13		df-pss 3968	. . 3 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑄 ∧ { 0 } ≠ 𝑄))
14	10, 12, 13	sylanbrc 581	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊊ 𝑄)
15		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
16		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
17	15, 16, 8, 5	islsat 38495	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
18	3, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
19	6, 18	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
20	1	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
21		eldifi 4127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
22	21	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
23	15, 8, 4, 16, 20, 22	lspsncv0 21041	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
24	23	ex 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
25		psseq2 4088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 ⊊ 𝑄 ↔ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
26	25	anbi2d 628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
27	26	rexbidv 3176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
28	27	notbid 317	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
29	28	biimprcd 249	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄)))
30	24, 29	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))))
31	30	rexlimdv 3150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄)))
32	19, 31	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))
33		lsatcv0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
34	8, 4	lsssn0 20839	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
35	3, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
36	4, 33, 1, 35, 7	lcvbr 38525	. 2 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑄 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))))
37	14, 32, 36	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949   ⊊ wpss 3950  {csn 4632   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  Basecbs 17187  0_gc0g 17428  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862  LVecclvec 20994  LSAtomsclsa 38478   ⋖_L clcv 38522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995  df-lsatoms 38480  df-lcv 38523

This theorem is referenced by:  lsatcveq0  38536  lsat0cv  38537  lsatcv0eq  38551  mapdcnvatN  41171  mapdat  41172