Theorem lsatcv0 36972

Description: An atom covers the zero subspace. (atcv0 30605 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatcv0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatcv0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv0.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lsatcv0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatcv0.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatcv0	⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)

Proof of Theorem lsatcv0

Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatcv0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20283	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lsatcv0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6		lsatcv0.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
7	4, 5, 3, 6	lsatlssel 36938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
8		lsatcv0.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
9	8, 4	lss0ss 20125	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ 𝑄)
10	3, 7, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑄)
11	8, 5, 3, 6	lsatn0 36940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ { 0 })
12	11	necomd 2998	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ≠ 𝑄)
13		df-pss 3902	. . 3 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑄 ∧ { 0 } ≠ 𝑄))
14	10, 12, 13	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊊ 𝑄)
15		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
16		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
17	15, 16, 8, 5	islsat 36932	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
18	3, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
19	6, 18	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))
20	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
21		eldifi 4057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
23	15, 8, 4, 16, 20, 22	lspsncv0 20323	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
24	23	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
25		psseq2 4019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑠 ⊊ 𝑄 ↔ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})))
26	25	anbi2d 628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
27	26	rexbidv 3225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
28	27	notbid 317	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄) ↔ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}))))
29	28	biimprcd 249	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥})) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄)))
30	24, 29	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))))
31	30	rexlimdv 3211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄)))
32	19, 31	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))
33		lsatcv0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
34	8, 4	lsssn0 20124	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
35	3, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑊))
36	4, 33, 1, 35, 7	lcvbr 36962	. 2 ⊢ (𝜑 → ({ 0 }𝐶𝑄 ↔ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ∧ ¬ ∃𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊)({ 0 } ⊊ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊊ 𝑄))))
37	14, 32, 36	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝜑 → { 0 }𝐶𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LVecclvec 20279  LSAtomsclsa 36915   ⋖_L clcv 36959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lcv 36960

This theorem is referenced by:  lsatcveq0  36973  lsat0cv  36974  lsatcv0eq  36988  mapdcnvatN  39607  mapdat  39608