Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpcv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islshpcv 38226
Description: Hyperplane properties expressed with covers relation. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islshpcv.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islshpcv.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
islshpcv.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
islshpcv.c 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
islshpcv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
Assertion
Ref Expression
islshpcv (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)))
Proof of Theorem islshpcv
Dummy variable π‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islshpcv.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 islshpcv.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 eqid 2732 . . 3 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
4 islshpcv.h . . 3 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
5 eqid 2732 . . 3 (LSAtomsβ€˜π‘Š) = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
6 islshpcv.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lveclmod 20861 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
91, 2, 3, 4, 5, 8islshpat 38190 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š)(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉)))
10 simp12 1204 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ π‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
111, 2lssss 20691 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ π‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
13 simp13 1205 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ π‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉) β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
14 df-pss 3967 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ⊊ 𝑉 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉))
1512, 13, 14sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ π‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉) β†’ π‘ˆ ⊊ 𝑉)
16 psseq2 4088 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉 β†’ (π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) ↔ π‘ˆ ⊊ 𝑉))
17163ad2ant3 1135 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ π‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) ↔ π‘ˆ ⊊ 𝑉))
1815, 17mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ π‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉) β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž))
19 islshpcv.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
2063ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
21203ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ π‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
22 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ π‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉) β†’ π‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š))
232, 3, 5, 19, 21, 10, 22lcv2 38215 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ π‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) ↔ π‘ˆπΆ(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž)))
2418, 23mpbid 231 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ π‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉) β†’ π‘ˆπΆ(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž))
25 simp3 1138 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ π‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉)
2624, 25breqtrd 5174 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ π‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉) β†’ π‘ˆπΆπ‘‰)
2710, 26jca 512 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ π‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰))
2827rexlimdv3a 3159 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š)(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)))
29283exp 1119 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (π‘ˆ β‰  𝑉 β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š)(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)))))
30293impd 1348 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š)(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)))
31 simprl 769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
326adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
338adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
341, 2lss1 20693 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑉 ∈ 𝑆)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)) β†’ 𝑉 ∈ 𝑆)
36 simprr 771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)) β†’ π‘ˆπΆπ‘‰)
372, 19, 32, 31, 35, 36lcvpss 38197 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)) β†’ π‘ˆ ⊊ 𝑉)
3837pssned 4098 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)) β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
392, 3, 5, 19, 33, 31, 35, 36lcvat 38203 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š)(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉)
4031, 38, 393jca 1128 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š)(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉))
4140ex 413 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š)(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉)))
4230, 41impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (LSAtomsβ€˜π‘Š)(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)π‘ž) = 𝑉) ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)))
439, 42bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆπΆπ‘‰)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  LSSumclsm 19543  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686  LVecclvec 20857  LSAtomsclsa 38147  LSHypclsh 38148   β‹–L clcv 38191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-lshyp 38150  df-lcv 38192
This theorem is referenced by:  l1cvpat  38227  lshpat  38229
  Copyright terms: Public domain W3C validator