Theorem islshpcv 39545

Description: Hyperplane properties expressed with covers relation. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islshpcv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpcv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpcv.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpcv.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
islshpcv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
islshpcv	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))

Proof of Theorem islshpcv

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islshpcv.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		islshpcv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		eqid 2739	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4		islshpcv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5		eqid 2739	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑊) = (LSAtoms‘𝑊)
6		islshpcv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 21096	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	islshpat 39509	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)))
10		simp12 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑆)
11	1, 2	lssss 20926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
13		simp13 1212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ≠ 𝑉)
14		df-pss 3903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ⊊ 𝑉 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉))
15	12, 13, 14	sylanbrc 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ 𝑉)
16		psseq2 4022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈 ⊊ 𝑉))
17	16	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈 ⊊ 𝑉))
18	15, 17	mpbird 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞))
19		islshpcv.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
20	6	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
21	20	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
22		simp2 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊))
23	2, 3, 5, 19, 21, 10, 22	lcv2 39534	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈𝐶(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞)))
24	18, 23	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝐶(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞))
25		simp3 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)
26	24, 25	breqtrd 5098	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝐶𝑉)
27	10, 26	jca 516	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉))
28	27	rexlimdv3a 3144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
29	28	3exp 1125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝑈 ≠ 𝑉 → (∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))))
30	29	3impd 1355	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
31		simprl 776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
32	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LVec)
33	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
34	1, 2	lss1 20928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝑆)
36		simprr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈𝐶𝑉)
37	2, 19, 32, 31, 35, 36	lcvpss 39516	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈 ⊊ 𝑉)
38	37	pssned 4032	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
39	2, 3, 5, 19, 33, 31, 35, 36	lcvat 39522	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)
40	31, 38, 39	3jca 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉))
41	40	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)))
42	30, 41	impbid 213	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
43	9, 42	bitrd 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  LSSumclsm 19600  LModclmod 20850  LSubSpclss 20921  LVecclvec 21092  LSAtomsclsa 39466  LSHypclsh 39467   ⋖_L clcv 39510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21093  df-lsatoms 39468  df-lshyp 39469  df-lcv 39511

This theorem is referenced by:  l1cvpat  39546  lshpat  39548