Theorem islshpcv 36994

Description: Hyperplane properties expressed with covers relation. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islshpcv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpcv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpcv.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpcv.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
islshpcv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
islshpcv	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))

Proof of Theorem islshpcv

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islshpcv.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		islshpcv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4		islshpcv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑊) = (LSAtoms‘𝑊)
6		islshpcv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 20283	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	islshpat 36958	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)))
10		simp12 1202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑆)
11	1, 2	lssss 20113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
13		simp13 1203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ≠ 𝑉)
14		df-pss 3902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ⊊ 𝑉 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉))
15	12, 13, 14	sylanbrc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ 𝑉)
16		psseq2 4019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈 ⊊ 𝑉))
17	16	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈 ⊊ 𝑉))
18	15, 17	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞))
19		islshpcv.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
20	6	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
21	20	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
22		simp2 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊))
23	2, 3, 5, 19, 21, 10, 22	lcv2 36983	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈𝐶(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞)))
24	18, 23	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝐶(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞))
25		simp3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)
26	24, 25	breqtrd 5096	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝐶𝑉)
27	10, 26	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉))
28	27	rexlimdv3a 3214	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
29	28	3exp 1117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝑈 ≠ 𝑉 → (∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))))
30	29	3impd 1346	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
31		simprl 767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
32	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LVec)
33	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
34	1, 2	lss1 20115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝑆)
36		simprr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈𝐶𝑉)
37	2, 19, 32, 31, 35, 36	lcvpss 36965	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈 ⊊ 𝑉)
38	37	pssned 4029	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
39	2, 3, 5, 19, 33, 31, 35, 36	lcvat 36971	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)
40	31, 38, 39	3jca 1126	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉))
41	40	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)))
42	30, 41	impbid 211	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
43	9, 42	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  LSSumclsm 19154  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LVecclvec 20279  LSAtomsclsa 36915  LSHypclsh 36916   ⋖_L clcv 36959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-lcv 36960

This theorem is referenced by:  l1cvpat  36995  lshpat  36997