Theorem islshpcv 39860

Description: Hyperplane properties expressed with covers relation. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islshpcv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpcv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpcv.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpcv.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
islshpcv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
islshpcv	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))

Proof of Theorem islshpcv

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islshpcv.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		islshpcv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4		islshpcv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5		eqid 2765	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑊) = (LSAtoms‘𝑊)
6		islshpcv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 21256	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	islshpat 39824	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)))
10		simp12 1223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑆)
11	1, 2	lssss 21086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
13		simp13 1224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ≠ 𝑉)
14		df-pss 3926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ⊊ 𝑉 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉))
15	12, 13, 14	sylanbrc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ 𝑉)
16		psseq2 4046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈 ⊊ 𝑉))
17	16	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈 ⊊ 𝑉))
18	15, 17	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞))
19		islshpcv.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
20	6	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
21	20	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
22		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊))
23	2, 3, 5, 19, 21, 10, 22	lcv2 39849	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈𝐶(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞)))
24	18, 23	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝐶(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞))
25		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)
26	24, 25	breqtrd 5139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝐶𝑉)
27	10, 26	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉))
28	27	rexlimdv3a 3172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
29	28	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝑈 ≠ 𝑉 → (∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))))
30	29	3impd 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
31		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
32	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LVec)
33	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
34	1, 2	lss1 21088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
35	33, 34	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝑆)
36		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈𝐶𝑉)
37	2, 19, 32, 31, 35, 36	lcvpss 39831	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈 ⊊ 𝑉)
38	37	pssned 4056	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
39	2, 3, 5, 19, 33, 31, 35, 36	lcvat 39837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)
40	31, 38, 39	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉))
41	40	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)))
42	30, 41	impbid 215	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
43	9, 42	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906   ⊊ wpss 3907   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17286  LSSumclsm 19727  LModclmod 21010  LSubSpclss 21081  LVecclvec 21252  LSAtomsclsa 39781  LSHypclsh 39782   ⋖_L clcv 39825

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-subg 19212  df-cntz 19410  df-lsm 19729  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-unit 20465  df-invr 20495  df-drng 20858  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-lsp 21122  df-lvec 21253  df-lsatoms 39783  df-lshyp 39784  df-lcv 39826

This theorem is used by:  l1cvpat  39861  lshpat  39863