Theorem islshpcv 39053

Description: Hyperplane properties expressed with covers relation. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islshpcv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpcv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpcv.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpcv.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
islshpcv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
islshpcv	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))

Proof of Theorem islshpcv

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islshpcv.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		islshpcv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4		islshpcv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑊) = (LSAtoms‘𝑊)
6		islshpcv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 21020	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	islshpat 39017	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)))
10		simp12 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑆)
11	1, 2	lssss 20849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
13		simp13 1206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ≠ 𝑉)
14		df-pss 3937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ⊊ 𝑉 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉))
15	12, 13, 14	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ 𝑉)
16		psseq2 4057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈 ⊊ 𝑉))
17	16	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈 ⊊ 𝑉))
18	15, 17	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞))
19		islshpcv.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
20	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
21	20	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
22		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊))
23	2, 3, 5, 19, 21, 10, 22	lcv2 39042	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈𝐶(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞)))
24	18, 23	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝐶(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞))
25		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)
26	24, 25	breqtrd 5136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝐶𝑉)
27	10, 26	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉))
28	27	rexlimdv3a 3139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
29	28	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝑈 ≠ 𝑉 → (∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))))
30	29	3impd 1349	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
31		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
32	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LVec)
33	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
34	1, 2	lss1 20851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝑆)
36		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈𝐶𝑉)
37	2, 19, 32, 31, 35, 36	lcvpss 39024	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈 ⊊ 𝑉)
38	37	pssned 4067	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
39	2, 3, 5, 19, 33, 31, 35, 36	lcvat 39030	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)
40	31, 38, 39	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉))
41	40	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)))
42	30, 41	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
43	9, 42	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917   ⊊ wpss 3918   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  LSSumclsm 19571  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844  LVecclvec 21016  LSAtomsclsa 38974  LSHypclsh 38975   ⋖_L clcv 39018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cntz 19256  df-lsm 19573  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lvec 21017  df-lsatoms 38976  df-lshyp 38977  df-lcv 39019

This theorem is referenced by:  l1cvpat  39054  lshpat  39056