Theorem islshpcv 39054

Description: Hyperplane properties expressed with covers relation. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islshpcv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpcv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpcv.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpcv.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
islshpcv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
islshpcv	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))

Proof of Theorem islshpcv

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islshpcv.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		islshpcv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4		islshpcv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑊) = (LSAtoms‘𝑊)
6		islshpcv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 21105	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	islshpat 39018	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)))
10		simp12 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑆)
11	1, 2	lssss 20934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
13		simp13 1206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ≠ 𝑉)
14		df-pss 3971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ⊊ 𝑉 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉))
15	12, 13, 14	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ 𝑉)
16		psseq2 4091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈 ⊊ 𝑉))
17	16	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈 ⊊ 𝑉))
18	15, 17	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞))
19		islshpcv.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
20	6	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
21	20	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
22		simp2 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊))
23	2, 3, 5, 19, 21, 10, 22	lcv2 39043	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈𝐶(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞)))
24	18, 23	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝐶(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞))
25		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)
26	24, 25	breqtrd 5169	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝐶𝑉)
27	10, 26	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉))
28	27	rexlimdv3a 3159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
29	28	3exp 1120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝑈 ≠ 𝑉 → (∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))))
30	29	3impd 1349	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
31		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
32	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LVec)
33	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
34	1, 2	lss1 20936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝑆)
36		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈𝐶𝑉)
37	2, 19, 32, 31, 35, 36	lcvpss 39025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈 ⊊ 𝑉)
38	37	pssned 4101	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
39	2, 3, 5, 19, 33, 31, 35, 36	lcvat 39031	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)
40	31, 38, 39	3jca 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉))
41	40	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉) → (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)))
42	30, 41	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
43	9, 42	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   ⊊ wpss 3952   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  LSSumclsm 19652  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LVecclvec 21101  LSAtomsclsa 38975  LSHypclsh 38976   ⋖_L clcv 39019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lshyp 38978  df-lcv 39020

This theorem is referenced by:  l1cvpat  39055  lshpat  39057