Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islshpcv 36231
Description: Hyperplane properties expressed with covers relation. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islshpcv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpcv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpcv.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpcv.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
islshpcv.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
Assertion
Ref Expression
islshpcv (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)))

Proof of Theorem islshpcv
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islshpcv.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 islshpcv.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 eqid 2821 . . 3 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4 islshpcv.h . . 3 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5 eqid 2821 . . 3 (LSAtoms‘𝑊) = (LSAtoms‘𝑊)
6 islshpcv.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lveclmod 19854 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
91, 2, 3, 4, 5, 8islshpat 36195 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)))
10 simp12 1201 . . . . . . 7 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝑆)
111, 2lssss 19684 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝑉)
13 simp13 1202 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝑉)
14 df-pss 3929 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝑉 ↔ (𝑈𝑉𝑈𝑉))
1512, 13, 14sylanbrc 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝑉)
16 psseq2 4041 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈𝑉))
17163ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈𝑉))
1815, 17mpbird 260 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞))
19 islshpcv.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
2063ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
21203ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
22 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊))
232, 3, 5, 19, 21, 10, 22lcv2 36220 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈 ⊊ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) ↔ 𝑈𝐶(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞)))
2418, 23mpbid 235 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝐶(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞))
25 simp3 1135 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)
2624, 25breqtrd 5065 . . . . . . 7 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → 𝑈𝐶𝑉)
2710, 26jca 515 . . . . . 6 (((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ 𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉))
2827rexlimdv3a 3272 . . . . 5 ((𝜑𝑈𝑆𝑈𝑉) → (∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)))
29283exp 1116 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝑆 → (𝑈𝑉 → (∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉 → (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)))))
30293impd 1345 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) → (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)))
31 simprl 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈𝑆)
326adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LVec)
338adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
341, 2lss1 19686 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑆)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → 𝑉𝑆)
36 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈𝐶𝑉)
372, 19, 32, 31, 35, 36lcvpss 36202 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈𝑉)
3837pssned 4051 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → 𝑈𝑉)
392, 3, 5, 19, 33, 31, 35, 36lcvat 36208 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)
4031, 38, 393jca 1125 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)) → (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉))
4140ex 416 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉) → (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉)))
4230, 41impbid 215 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ (LSAtoms‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)𝑞) = 𝑉) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)))
439, 42bitrd 282 1 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  wrex 3127  wss 3910  wpss 3911   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16462  LSSumclsm 18738  LModclmod 19610  LSubSpclss 19679  LVecclvec 19850  LSAtomsclsa 36152  LSHypclsh 36153  L clcv 36196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cntz 18426  df-lsm 18740  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lvec 19851  df-lsatoms 36154  df-lshyp 36155  df-lcv 36197
This theorem is referenced by:  l1cvpat  36232  lshpat  36234
  Copyright terms: Public domain W3C validator