Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfon2lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfon2lem8 32024
Description: Lemma for dfon2 32026. The intersection of a nonempty class 𝐴 of new ordinals is itself a new ordinal and is contained within 𝐴 (Contributed by Scott Fenton, 26-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2lem8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) ∧ 𝐴𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dfon2lem8
Dummy variables 𝑤 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3405 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
2 dfon2lem3 32019 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (Tr 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧𝑧)))
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (Tr 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧𝑧))
43simpld 484 . . . . 5 (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → Tr 𝑥)
54ralimi 3151 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑥𝐴 Tr 𝑥)
6 trint 4972 . . . 4 (∀𝑥𝐴 Tr 𝑥 → Tr 𝐴)
75, 6syl 17 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → Tr 𝐴)
87adantl 469 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → Tr 𝐴)
91dfon2lem7 32023 . . . . . . 7 (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
109alrimiv 2018 . . . . . 6 (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
1110ralimi 3151 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑥𝐴𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
12 df-ral 3112 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∀𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
13 19.21v 2031 . . . . . . . 8 (∀𝑤(𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))) ↔ (𝑥𝐴 → ∀𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
1413albii 1904 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑤(𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∀𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
1512, 14bitr4i 269 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑥𝑤(𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
16 impexp 439 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
17162albii 1905 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑤((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑥𝑤(𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
18 eluni2 4645 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥)
1918biimpi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑤 𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥)
2019imim1i 63 . . . . . . . . 9 ((∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → (𝑤 𝐴 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
2120alimi 1896 . . . . . . . 8 (∀𝑤(∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → ∀𝑤(𝑤 𝐴 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
22 alcom 2205 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑤((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑤𝑥((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
23 19.23v 2034 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
24 df-rex 3113 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑤𝑥))
2524imbi1i 340 . . . . . . . . . . 11 ((∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
2623, 25bitr4i 269 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
2726albii 1904 . . . . . . . . 9 (∀𝑤𝑥((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑤(∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
2822, 27bitri 266 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑤((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑤(∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
29 df-ral 3112 . . . . . . . 8 (∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤) ↔ ∀𝑤(𝑤 𝐴 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
3021, 28, 293imtr4i 283 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑤((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
3117, 30sylbir 226 . . . . . 6 (∀𝑥𝑤(𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
3215, 31sylbi 208 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
3311, 32syl 17 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
3433adantl 469 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
35 intssuni 4702 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 𝐴)
36 ssralv 3874 . . . . 5 ( 𝐴 𝐴 → (∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
3735, 36syl 17 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
3837adantr 468 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
3934, 38mpd 15 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
40 dfon2lem6 32022 . . 3 ((Tr 𝐴 ∧ ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴))
41 intex 5023 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
42 dfon2lem3 32019 . . . . . . . . . . 11 ( 𝐴 ∈ V → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) → (Tr 𝐴 ∧ ∀𝑡 𝐴 ¬ 𝑡𝑡)))
4341, 42sylbi 208 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) → (Tr 𝐴 ∧ ∀𝑡 𝐴 ¬ 𝑡𝑡)))
4443imp 395 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (Tr 𝐴 ∧ ∀𝑡 𝐴 ¬ 𝑡𝑡))
4544simprd 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → ∀𝑡 𝐴 ¬ 𝑡𝑡)
46 untelirr 31916 . . . . . . . 8 (∀𝑡 𝐴 ¬ 𝑡𝑡 → ¬ 𝐴 𝐴)
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → ¬ 𝐴 𝐴)
4847adantlr 697 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → ¬ 𝐴 𝐴)
49 risset 3261 . . . . . . . . . 10 ( 𝐴𝐴 ↔ ∃𝑡𝐴 𝑡 = 𝐴)
5049notbii 311 . . . . . . . . 9 𝐴𝐴 ↔ ¬ ∃𝑡𝐴 𝑡 = 𝐴)
51 ralnex 3191 . . . . . . . . 9 (∀𝑡𝐴 ¬ 𝑡 = 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑡𝐴 𝑡 = 𝐴)
5250, 51bitr4i 269 . . . . . . . 8 𝐴𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 ¬ 𝑡 = 𝐴)
53 eqcom 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝐴 𝐴 = 𝑡)
5453notbii 311 . . . . . . . . . . 11 𝑡 = 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 𝑡)
5544simpld 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → Tr 𝐴)
5655adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → Tr 𝐴)
57 psseq2 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑡 → (𝑦𝑥𝑦𝑡))
5857anbi1d 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑡 → ((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) ↔ (𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦)))
59 elequ2 2171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑡 → (𝑦𝑥𝑦𝑡))
6058, 59imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑡 → (((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) ↔ ((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)))
6160albidv 2011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑡 → (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)))
6261rspccv 3510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (𝑡𝐴 → ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)))
6362adantl 469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (𝑡𝐴 → ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)))
64 intss1 4695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝐴 𝐴𝑡)
65 dfpss2 3901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( 𝐴𝑡 ↔ ( 𝐴𝑡 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑡))
66 psseq1 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑡 𝐴𝑡))
67 treq 4963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝐴 → (Tr 𝑦 ↔ Tr 𝐴))
6866, 67anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) ↔ ( 𝐴𝑡 ∧ Tr 𝐴)))
69 eleq1 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑡 𝐴𝑡))
7068, 69imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) ↔ (( 𝐴𝑡 ∧ Tr 𝐴) → 𝐴𝑡)))
7170spcgv 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( 𝐴 ∈ V → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → (( 𝐴𝑡 ∧ Tr 𝐴) → 𝐴𝑡)))
7241, 71sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → (( 𝐴𝑡 ∧ Tr 𝐴) → 𝐴𝑡)))
7372imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)) → (( 𝐴𝑡 ∧ Tr 𝐴) → 𝐴𝑡))
7473expd 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)) → ( 𝐴𝑡 → (Tr 𝐴 𝐴𝑡)))
7565, 74syl5bir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)) → (( 𝐴𝑡 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑡) → (Tr 𝐴 𝐴𝑡)))
7675exp4b 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → ( 𝐴𝑡 → (¬ 𝐴 = 𝑡 → (Tr 𝐴 𝐴𝑡)))))
7776com45 97 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → ( 𝐴𝑡 → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡)))))
7877com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ≠ ∅ → ( 𝐴𝑡 → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡)))))
7964, 78syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑡𝐴 → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡)))))
8079adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (𝑡𝐴 → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡)))))
8163, 80mpdd 43 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (𝑡𝐴 → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡))))
8281adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (𝑡𝐴 → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡))))
8356, 82mpid 44 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (𝑡𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡)))
8454, 83syl7bi 246 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (𝑡𝐴 → (¬ 𝑡 = 𝐴 𝐴𝑡)))
8584ralrimiv 3164 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → ∀𝑡𝐴𝑡 = 𝐴 𝐴𝑡))
86 ralim 3147 . . . . . . . . 9 (∀𝑡𝐴𝑡 = 𝐴 𝐴𝑡) → (∀𝑡𝐴 ¬ 𝑡 = 𝐴 → ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
8785, 86syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (∀𝑡𝐴 ¬ 𝑡 = 𝐴 → ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
8852, 87syl5bi 233 . . . . . . 7 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (¬ 𝐴𝐴 → ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
89 elintg 4688 . . . . . . . . 9 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
9041, 89sylbi 208 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ( 𝐴 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
9190ad2antrr 708 . . . . . . 7 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → ( 𝐴 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
9288, 91sylibrd 250 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (¬ 𝐴𝐴 𝐴 𝐴))
9348, 92mt3d 142 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → 𝐴𝐴)
9493ex 399 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) → 𝐴𝐴))
9594ancld 542 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) ∧ 𝐴𝐴)))
9640, 95syl5 34 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ((Tr 𝐴 ∧ ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) ∧ 𝐴𝐴)))
978, 39, 96mp2and 682 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) ∧ 𝐴𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wal 1635   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2157  wne 2989  wral 3107  wrex 3108  Vcvv 3402  wss 3780  wpss 3781  c0 4127   cuni 4641   cint 4680  Tr wtr 4957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pr 5107  ax-un 7186
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-v 3404  df-sbc 3645  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-tr 4958  df-suc 5953
This theorem is referenced by:  dfon2lem9  32025
  Copyright terms: Public domain W3C validator