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Theorem dfon2lem8 33143
Description: Lemma for dfon2 33145. The intersection of a nonempty class 𝐴 of new ordinals is itself a new ordinal and is contained within 𝐴 (Contributed by Scott Fenton, 26-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2lem8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) ∧ 𝐴𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dfon2lem8
Dummy variables 𝑤 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3447 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
2 dfon2lem3 33138 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (Tr 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧𝑧)))
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (Tr 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧𝑧))
43simpld 498 . . . . 5 (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → Tr 𝑥)
54ralimi 3131 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑥𝐴 Tr 𝑥)
6 trint 5155 . . . 4 (∀𝑥𝐴 Tr 𝑥 → Tr 𝐴)
75, 6syl 17 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → Tr 𝐴)
87adantl 485 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → Tr 𝐴)
91dfon2lem7 33142 . . . . . . 7 (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
109alrimiv 1928 . . . . . 6 (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
1110ralimi 3131 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑥𝐴𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
12 df-ral 3114 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∀𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
13 19.21v 1940 . . . . . . . 8 (∀𝑤(𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))) ↔ (𝑥𝐴 → ∀𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
1413albii 1821 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑤(𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∀𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
1512, 14bitr4i 281 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑥𝑤(𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
16 impexp 454 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
17162albii 1822 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑤((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑥𝑤(𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
18 eluni2 4807 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥)
1918biimpi 219 . . . . . . . . . 10 (𝑤 𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥)
2019imim1i 63 . . . . . . . . 9 ((∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → (𝑤 𝐴 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
2120alimi 1813 . . . . . . . 8 (∀𝑤(∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → ∀𝑤(𝑤 𝐴 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
22 alcom 2161 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑤((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑤𝑥((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
23 19.23v 1943 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
24 df-rex 3115 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑤𝑥))
2524imbi1i 353 . . . . . . . . . . 11 ((∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
2623, 25bitr4i 281 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
2726albii 1821 . . . . . . . . 9 (∀𝑤𝑥((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑤(∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
2822, 27bitri 278 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑤((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑤(∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
29 df-ral 3114 . . . . . . . 8 (∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤) ↔ ∀𝑤(𝑤 𝐴 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
3021, 28, 293imtr4i 295 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑤((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
3117, 30sylbir 238 . . . . . 6 (∀𝑥𝑤(𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
3215, 31sylbi 220 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
3311, 32syl 17 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
3433adantl 485 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
35 intssuni 4863 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 𝐴)
36 ssralv 3984 . . . . 5 ( 𝐴 𝐴 → (∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
3735, 36syl 17 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
3837adantr 484 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
3934, 38mpd 15 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
40 dfon2lem6 33141 . . 3 ((Tr 𝐴 ∧ ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴))
41 intex 5207 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
42 dfon2lem3 33138 . . . . . . . . . . 11 ( 𝐴 ∈ V → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) → (Tr 𝐴 ∧ ∀𝑡 𝐴 ¬ 𝑡𝑡)))
4341, 42sylbi 220 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) → (Tr 𝐴 ∧ ∀𝑡 𝐴 ¬ 𝑡𝑡)))
4443imp 410 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (Tr 𝐴 ∧ ∀𝑡 𝐴 ¬ 𝑡𝑡))
4544simprd 499 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → ∀𝑡 𝐴 ¬ 𝑡𝑡)
46 untelirr 33042 . . . . . . . 8 (∀𝑡 𝐴 ¬ 𝑡𝑡 → ¬ 𝐴 𝐴)
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → ¬ 𝐴 𝐴)
4847adantlr 714 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → ¬ 𝐴 𝐴)
49 risset 3229 . . . . . . . . . 10 ( 𝐴𝐴 ↔ ∃𝑡𝐴 𝑡 = 𝐴)
5049notbii 323 . . . . . . . . 9 𝐴𝐴 ↔ ¬ ∃𝑡𝐴 𝑡 = 𝐴)
51 ralnex 3202 . . . . . . . . 9 (∀𝑡𝐴 ¬ 𝑡 = 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑡𝐴 𝑡 = 𝐴)
5250, 51bitr4i 281 . . . . . . . 8 𝐴𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 ¬ 𝑡 = 𝐴)
53 eqcom 2808 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝐴 𝐴 = 𝑡)
5453notbii 323 . . . . . . . . . . 11 𝑡 = 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 𝑡)
5544simpld 498 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → Tr 𝐴)
5655adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → Tr 𝐴)
57 psseq2 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑡 → (𝑦𝑥𝑦𝑡))
5857anbi1d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑡 → ((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) ↔ (𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦)))
59 elequ2 2127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑡 → (𝑦𝑥𝑦𝑡))
6058, 59imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑡 → (((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) ↔ ((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)))
6160albidv 1921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑡 → (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)))
6261rspccv 3571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (𝑡𝐴 → ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)))
6362adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (𝑡𝐴 → ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)))
64 intss1 4856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝐴 𝐴𝑡)
65 dfpss2 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( 𝐴𝑡 ↔ ( 𝐴𝑡 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑡))
66 psseq1 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑡 𝐴𝑡))
67 treq 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝐴 → (Tr 𝑦 ↔ Tr 𝐴))
6866, 67anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) ↔ ( 𝐴𝑡 ∧ Tr 𝐴)))
69 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑡 𝐴𝑡))
7068, 69imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) ↔ (( 𝐴𝑡 ∧ Tr 𝐴) → 𝐴𝑡)))
7170spcgv 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( 𝐴 ∈ V → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → (( 𝐴𝑡 ∧ Tr 𝐴) → 𝐴𝑡)))
7241, 71sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → (( 𝐴𝑡 ∧ Tr 𝐴) → 𝐴𝑡)))
7372imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)) → (( 𝐴𝑡 ∧ Tr 𝐴) → 𝐴𝑡))
7473expd 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)) → ( 𝐴𝑡 → (Tr 𝐴 𝐴𝑡)))
7565, 74syl5bir 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)) → (( 𝐴𝑡 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑡) → (Tr 𝐴 𝐴𝑡)))
7675exp4b 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → ( 𝐴𝑡 → (¬ 𝐴 = 𝑡 → (Tr 𝐴 𝐴𝑡)))))
7776com45 97 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → ( 𝐴𝑡 → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡)))))
7877com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ≠ ∅ → ( 𝐴𝑡 → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡)))))
7964, 78syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑡𝐴 → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡)))))
8079adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (𝑡𝐴 → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡)))))
8163, 80mpdd 43 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (𝑡𝐴 → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡))))
8281adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (𝑡𝐴 → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡))))
8356, 82mpid 44 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (𝑡𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡)))
8454, 83syl7bi 258 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (𝑡𝐴 → (¬ 𝑡 = 𝐴 𝐴𝑡)))
8584ralrimiv 3151 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → ∀𝑡𝐴𝑡 = 𝐴 𝐴𝑡))
86 ralim 3133 . . . . . . . . 9 (∀𝑡𝐴𝑡 = 𝐴 𝐴𝑡) → (∀𝑡𝐴 ¬ 𝑡 = 𝐴 → ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
8785, 86syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (∀𝑡𝐴 ¬ 𝑡 = 𝐴 → ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
8852, 87syl5bi 245 . . . . . . 7 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (¬ 𝐴𝐴 → ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
89 elintg 4849 . . . . . . . . 9 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
9041, 89sylbi 220 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ( 𝐴 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
9190ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → ( 𝐴 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
9288, 91sylibrd 262 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (¬ 𝐴𝐴 𝐴 𝐴))
9348, 92mt3d 150 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → 𝐴𝐴)
9493ex 416 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) → 𝐴𝐴))
9594ancld 554 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) ∧ 𝐴𝐴)))
9640, 95syl5 34 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ((Tr 𝐴 ∧ ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) ∧ 𝐴𝐴)))
978, 39, 96mp2and 698 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) ∧ 𝐴𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wal 1536   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  Vcvv 3444  wss 3884  wpss 3885  c0 4246   cuni 4803   cint 4841  Tr wtr 5139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-tr 5140  df-suc 6169
This theorem is referenced by:  dfon2lem9  33144
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