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Theorem dfon2lem8 35791
Description: Lemma for dfon2 35793. The intersection of a nonempty class 𝐴 of new ordinals is itself a new ordinal and is contained within 𝐴 (Contributed by Scott Fenton, 26-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2lem8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) ∧ 𝐴𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dfon2lem8
Dummy variables 𝑤 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3484 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
2 dfon2lem3 35786 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (Tr 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧𝑧)))
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (Tr 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧𝑧))
43simpld 494 . . . . 5 (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → Tr 𝑥)
54ralimi 3083 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑥𝐴 Tr 𝑥)
6 trint 5277 . . . 4 (∀𝑥𝐴 Tr 𝑥 → Tr 𝐴)
75, 6syl 17 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → Tr 𝐴)
87adantl 481 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → Tr 𝐴)
91dfon2lem7 35790 . . . . . . 7 (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
109alrimiv 1927 . . . . . 6 (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
1110ralimi 3083 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑥𝐴𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
12 df-ral 3062 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∀𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
13 19.21v 1939 . . . . . . . 8 (∀𝑤(𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))) ↔ (𝑥𝐴 → ∀𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
1413albii 1819 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑤(𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∀𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
1512, 14bitr4i 278 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑥𝑤(𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
16 impexp 450 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
17162albii 1820 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑤((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑥𝑤(𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))))
18 eluni2 4911 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥)
1918biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑤 𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥)
2019imim1i 63 . . . . . . . . 9 ((∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → (𝑤 𝐴 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
2120alimi 1811 . . . . . . . 8 (∀𝑤(∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → ∀𝑤(𝑤 𝐴 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
22 alcom 2159 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑤((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑤𝑥((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
23 19.23v 1942 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
24 df-rex 3071 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑤𝑥))
2524imbi1i 349 . . . . . . . . . . 11 ((∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
2623, 25bitr4i 278 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
2726albii 1819 . . . . . . . . 9 (∀𝑤𝑥((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑤(∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
2822, 27bitri 275 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑤((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) ↔ ∀𝑤(∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
29 df-ral 3062 . . . . . . . 8 (∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤) ↔ ∀𝑤(𝑤 𝐴 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
3021, 28, 293imtr4i 292 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑤((𝑥𝐴𝑤𝑥) → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
3117, 30sylbir 235 . . . . . 6 (∀𝑥𝑤(𝑥𝐴 → (𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
3215, 31sylbi 217 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑤(𝑤𝑥 → ∀𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
3311, 32syl 17 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
3433adantl 481 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
35 intssuni 4970 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 𝐴)
36 ssralv 4052 . . . . 5 ( 𝐴 𝐴 → (∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
3735, 36syl 17 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
3837adantr 480 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)))
3934, 38mpd 15 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤))
40 dfon2lem6 35789 . . 3 ((Tr 𝐴 ∧ ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴))
41 intex 5344 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
42 dfon2lem3 35786 . . . . . . . . . . 11 ( 𝐴 ∈ V → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) → (Tr 𝐴 ∧ ∀𝑡 𝐴 ¬ 𝑡𝑡)))
4341, 42sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) → (Tr 𝐴 ∧ ∀𝑡 𝐴 ¬ 𝑡𝑡)))
4443imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (Tr 𝐴 ∧ ∀𝑡 𝐴 ¬ 𝑡𝑡))
4544simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → ∀𝑡 𝐴 ¬ 𝑡𝑡)
46 untelirr 35708 . . . . . . . 8 (∀𝑡 𝐴 ¬ 𝑡𝑡 → ¬ 𝐴 𝐴)
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → ¬ 𝐴 𝐴)
4847adantlr 715 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → ¬ 𝐴 𝐴)
49 risset 3233 . . . . . . . . . 10 ( 𝐴𝐴 ↔ ∃𝑡𝐴 𝑡 = 𝐴)
5049notbii 320 . . . . . . . . 9 𝐴𝐴 ↔ ¬ ∃𝑡𝐴 𝑡 = 𝐴)
51 ralnex 3072 . . . . . . . . 9 (∀𝑡𝐴 ¬ 𝑡 = 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑡𝐴 𝑡 = 𝐴)
5250, 51bitr4i 278 . . . . . . . 8 𝐴𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 ¬ 𝑡 = 𝐴)
53 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝐴 𝐴 = 𝑡)
5453notbii 320 . . . . . . . . . . 11 𝑡 = 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 𝑡)
5544simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → Tr 𝐴)
5655adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → Tr 𝐴)
57 psseq2 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑡 → (𝑦𝑥𝑦𝑡))
5857anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑡 → ((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) ↔ (𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦)))
59 elequ2 2123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑡 → (𝑦𝑥𝑦𝑡))
6058, 59imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑡 → (((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) ↔ ((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)))
6160albidv 1920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑡 → (∀𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)))
6261rspccv 3619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (𝑡𝐴 → ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)))
6362adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (𝑡𝐴 → ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)))
64 intss1 4963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝐴 𝐴𝑡)
65 dfpss2 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( 𝐴𝑡 ↔ ( 𝐴𝑡 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑡))
66 psseq1 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑡 𝐴𝑡))
67 treq 5267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝐴 → (Tr 𝑦 ↔ Tr 𝐴))
6866, 67anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) ↔ ( 𝐴𝑡 ∧ Tr 𝐴)))
69 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑡 𝐴𝑡))
7068, 69imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) ↔ (( 𝐴𝑡 ∧ Tr 𝐴) → 𝐴𝑡)))
7170spcgv 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( 𝐴 ∈ V → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → (( 𝐴𝑡 ∧ Tr 𝐴) → 𝐴𝑡)))
7241, 71sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → (( 𝐴𝑡 ∧ Tr 𝐴) → 𝐴𝑡)))
7372imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)) → (( 𝐴𝑡 ∧ Tr 𝐴) → 𝐴𝑡))
7473expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)) → ( 𝐴𝑡 → (Tr 𝐴 𝐴𝑡)))
7565, 74biimtrrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡)) → (( 𝐴𝑡 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑡) → (Tr 𝐴 𝐴𝑡)))
7675exp4b 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → ( 𝐴𝑡 → (¬ 𝐴 = 𝑡 → (Tr 𝐴 𝐴𝑡)))))
7776com45 97 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → ( 𝐴𝑡 → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡)))))
7877com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ≠ ∅ → ( 𝐴𝑡 → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡)))))
7964, 78syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑡𝐴 → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡)))))
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (𝑡𝐴 → (∀𝑦((𝑦𝑡 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑡) → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡)))))
8163, 80mpdd 43 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (𝑡𝐴 → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡))))
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (𝑡𝐴 → (Tr 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡))))
8356, 82mpid 44 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (𝑡𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝑡 𝐴𝑡)))
8454, 83syl7bi 255 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (𝑡𝐴 → (¬ 𝑡 = 𝐴 𝐴𝑡)))
8584ralrimiv 3145 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → ∀𝑡𝐴𝑡 = 𝐴 𝐴𝑡))
86 ralim 3086 . . . . . . . . 9 (∀𝑡𝐴𝑡 = 𝐴 𝐴𝑡) → (∀𝑡𝐴 ¬ 𝑡 = 𝐴 → ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
8785, 86syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (∀𝑡𝐴 ¬ 𝑡 = 𝐴 → ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
8852, 87biimtrid 242 . . . . . . 7 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (¬ 𝐴𝐴 → ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
89 elintg 4954 . . . . . . . . 9 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
9041, 89sylbi 217 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ( 𝐴 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
9190ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → ( 𝐴 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝐴𝑡))
9288, 91sylibrd 259 . . . . . 6 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → (¬ 𝐴𝐴 𝐴 𝐴))
9348, 92mt3d 148 . . . . 5 (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) ∧ ∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴)) → 𝐴𝐴)
9493ex 412 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) → 𝐴𝐴))
9594ancld 550 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) ∧ 𝐴𝐴)))
9640, 95syl5 34 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ((Tr 𝐴 ∧ ∀𝑤 𝐴𝑡((𝑡𝑤 ∧ Tr 𝑡) → 𝑡𝑤)) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) ∧ 𝐴𝐴)))
978, 39, 96mp2and 699 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑧((𝑧 𝐴 ∧ Tr 𝑧) → 𝑧 𝐴) ∧ 𝐴𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1538   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  wpss 3952  c0 4333   cuni 4907   cint 4946  Tr wtr 5259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-tr 5260  df-suc 6390
This theorem is referenced by:  dfon2lem9  35792
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