Theorem reldmpsr 20143

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 20138	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑m 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpo 7287	1 ⊢ Rel dom mPwSer

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  {crab 3144  Vcvv 3496  ⦋csb 3885   ∪ cun 3936  {csn 4569  {ctp 4573  ⟨cop 4575   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555  ^◡ccnv 5556  dom cdm 5557   ↾ cres 5559   “ cima 5560  Rel wrel 5562  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∈ cmpo 7160   ∘_f cof 7409   ∘_r cofr 7410   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511   ≤ cle 10678   − cmin 10872  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  ndxcnx 16482  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  ._rcmulr 16568  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  TopSetcts 16573  TopOpenctopn 16697  ∏_tcpt 16714   Σ_g cgsu 16716   mPwSer cmps 20133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-br 5069  df-opab 5131  df-xp 5563  df-rel 5564  df-dm 5567  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-psr 20138

This theorem is referenced by:  psrbas  20160  psrelbas  20161  psrplusg  20163  psraddcl  20165  psrmulr  20166  psrmulcllem  20169  psrvscafval  20172  psrvscacl  20175  resspsrbas  20197  resspsradd  20198  resspsrmul  20199  mplval  20210  opsrle  20258  opsrbaslem  20260  psrbaspropd  20405  psropprmul  20408