Theorem reldmpsr 19867

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 19862	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑𝑚 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpo 7099	1 ⊢ Rel dom mPwSer

Syntax hints:   ∈ wcel 2051  {crab 3085  Vcvv 3408  ⦋csb 3779   ∪ cun 3820  {csn 4435  {ctp 4439  ⟨cop 4441   class class class wbr 4925   ↦ cmpt 5004   × cxp 5401  ^◡ccnv 5402  dom cdm 5403   ↾ cres 5405   “ cima 5406  Rel wrel 5408  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974   ∈ cmpo 6976   ∘_𝑓 cof 7223   ∘_𝑟 cofr 7224   ↑_𝑚 cmap 8204  Fincfn 8304   ≤ cle 10473   − cmin 10668  ℕcn 11437  ℕ₀cn0 11705  ndxcnx 16334  Basecbs 16337  +_gcplusg 16419  ._rcmulr 16420  Scalarcsca 16422   ·_𝑠 cvsca 16423  TopSetcts 16425  TopOpenctopn 16549  ∏_tcpt 16566   Σ_g cgsu 16568   mPwSer cmps 19857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pr 5182

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-rab 3090  df-v 3410  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-br 4926  df-opab 4988  df-xp 5409  df-rel 5410  df-dm 5413  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-psr 19862

This theorem is referenced by:  psrbas  19884  psrelbas  19885  psrplusg  19887  psraddcl  19889  psrmulr  19890  psrmulcllem  19893  psrvscafval  19896  psrvscacl  19899  resspsrbas  19921  resspsradd  19922  resspsrmul  19923  mplval  19934  opsrle  19981  opsrbaslem  19983  psrbaspropd  20121  psropprmul  20124