Theorem reldmpsr 21269

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 21264	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑m 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpo 7484	1 ⊢ Rel dom mPwSer

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  {crab 3405  Vcvv 3443  ⦋csb 3853   ∪ cun 3906  {csn 4584  {ctp 4588  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   ↾ cres 5633   “ cima 5634  Rel wrel 5636  ‘cfv 6493  (class class class)co 7351   ∈ cmpo 7353   ∘_f cof 7607   ∘_r cofr 7608   ↑_m cmap 8723  Fincfn 8841   ≤ cle 11148   − cmin 11343  ℕcn 12111  ℕ₀cn0 12371  ndxcnx 17025  Basecbs 17043  +_gcplusg 17093  ._rcmulr 17094  Scalarcsca 17096   ·_𝑠 cvsca 17097  TopSetcts 17099  TopOpenctopn 17263  ∏_tcpt 17280   Σ_g cgsu 17282   mPwSer cmps 21259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5166  df-xp 5637  df-rel 5638  df-dm 5641  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-psr 21264

This theorem is referenced by:  psrbas  21299  psrelbas  21300  psrplusg  21302  psraddcl  21304  psrmulr  21305  psrmulcllem  21308  psrvscafval  21311  psrvscacl  21314  resspsrbas  21336  resspsradd  21337  resspsrmul  21338  mplval  21349  opsrle  21400  opsrbaslem  21402  opsrbaslemOLD  21403  psrbaspropd  21558  psropprmul  21561