MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reldmpsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reldmpsr 21269
Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
reldmpsr Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr
Dummy variables 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psr 21264 . 2 mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ { ∈ (ℕ0m 𝑖) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑((Base‘𝑟) ↑m 𝑑) / 𝑏({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝑏, 𝑔𝑏 ↦ (𝑘𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝑑𝑦r𝑘} ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑟)(𝑔‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘f (.r𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
21reldmmpo 7484 1 Rel dom mPwSer
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  {crab 3405  Vcvv 3443  csb 3853  cun 3906  {csn 4584  {ctp 4588  cop 4590   class class class wbr 5103  cmpt 5186   × cxp 5629  ccnv 5630  dom cdm 5631  cres 5633  cima 5634  Rel wrel 5636  cfv 6493  (class class class)co 7351  cmpo 7353  f cof 7607  r cofr 7608  m cmap 8723  Fincfn 8841  cle 11148  cmin 11343  cn 12111  0cn0 12371  ndxcnx 17025  Basecbs 17043  +gcplusg 17093  .rcmulr 17094  Scalarcsca 17096   ·𝑠 cvsca 17097  TopSetcts 17099  TopOpenctopn 17263  tcpt 17280   Σg cgsu 17282   mPwSer cmps 21259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5166  df-xp 5637  df-rel 5638  df-dm 5641  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-psr 21264
This theorem is referenced by:  psrbas  21299  psrelbas  21300  psrplusg  21302  psraddcl  21304  psrmulr  21305  psrmulcllem  21308  psrvscafval  21311  psrvscacl  21314  resspsrbas  21336  resspsradd  21337  resspsrmul  21338  mplval  21349  opsrle  21400  opsrbaslem  21402  opsrbaslemOLD  21403  psrbaspropd  21558  psropprmul  21561
  Copyright terms: Public domain W3C validator