Theorem reldmpsr 21823

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 21818	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑m 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpo 7523	1 ⊢ Rel dom mPwSer

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447  ⦋csb 3862   ∪ cun 3912  {csn 4589  {ctp 4593  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638   ↾ cres 5640   “ cima 5641  Rel wrel 5643  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389   ∘_f cof 7651   ∘_r cofr 7652   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ndxcnx 17163  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  TopSetcts 17226  TopOpenctopn 17384  ∏_tcpt 17401   Σ_g cgsu 17403   mPwSer cmps 21813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-rel 5645  df-dm 5648  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-psr 21818

This theorem is referenced by:  psrbas  21842  psrelbas  21843  psrplusg  21845  psraddcl  21847  psraddclOLD  21848  psrmulr  21851  psrmulcllem  21854  psrvscafval  21857  psrvscacl  21860  resspsrbas  21883  resspsradd  21884  resspsrmul  21885  mplval  21898  opsrle  21954  opsrbaslem  21956  psdval  22046  psdcl  22048  psdadd  22050  psdvsca  22051  psdmul  22053  psdpw  22057  psrbaspropd  22119  psropprmul  22122  mhmcopsr  42537