Theorem reldmpsr 21968

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 21963	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑m 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpo 7532	1 ⊢ Rel dom mPwSer

Syntax hints:   ∈ wcel 2144  {crab 3416  Vcvv 3456  ⦋csb 3854   ∪ cun 3904  {csn 4584  {ctp 4588  ⟨cop 4590   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   × cxp 5647  ^◡ccnv 5648  dom cdm 5649   ↾ cres 5651   “ cima 5652  Rel wrel 5654  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ∈ cmpo 7400   ∘_f cof 7660   ∘_r cofr 7661   ↑_m cmap 8810  Fincfn 8929   ≤ cle 11219   − cmin 11416  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12483  ndxcnx 17231  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288  ._rcmulr 17289  Scalarcsca 17291   ·_𝑠 cvsca 17292  TopSetcts 17294  TopOpenctopn 17452  ∏_tcpt 17469   Σ_g cgsu 17471   mPwSer cmps 21958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5655  df-rel 5656  df-dm 5659  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-psr 21963

This theorem is referenced by:  psrbas  21988  psrelbas  21989  psrplusg  21991  psraddcl  21993  psrmulr  21996  psrmulcllem  21999  psrvscafval  22002  psrvscacl  22005  resspsrbas  22027  resspsradd  22028  resspsrmul  22029  mplval  22042  opsrle  22102  opsrbaslem  22104  psdval  22226  psdcl  22228  psdadd  22230  psdvsca  22231  psdmul  22233  psdpw  22237  psrbaspropd  22298  psropprmul  22301  mhmcopsr  43167