Theorem reldmpsr 21687

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 21682	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑m 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpo 7546	1 ⊢ Rel dom mPwSer

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473  ⦋csb 3893   ∪ cun 3946  {csn 4628  {ctp 4632  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5674  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676   ↾ cres 5678   “ cima 5679  Rel wrel 5681  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ∘_f cof 7671   ∘_r cofr 7672   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942   ≤ cle 11254   − cmin 11449  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  ndxcnx 17131  Basecbs 17149  +_gcplusg 17202  ._rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·_𝑠 cvsca 17206  TopSetcts 17208  TopOpenctopn 17372  ∏_tcpt 17389   Σ_g cgsu 17391   mPwSer cmps 21677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-rel 5683  df-dm 5686  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-psr 21682

This theorem is referenced by:  psrbas  21717  psrelbas  21718  psrplusg  21720  psraddcl  21722  psrmulr  21723  psrmulcllem  21726  psrvscafval  21729  psrvscacl  21732  resspsrbas  21755  resspsradd  21756  resspsrmul  21757  mplval  21768  opsrle  21822  opsrbaslem  21824  opsrbaslemOLD  21825  psrbaspropd  21978  psropprmul  21981