MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reldmpsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reldmpsr 21240
Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
reldmpsr Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr
Dummy variables β„Ž 𝑖 π‘Ÿ 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psr 21235 . 2 mPwSer = (𝑖 ∈ V, π‘Ÿ ∈ V ↦ ⦋{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝑖) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} / π‘‘β¦Œβ¦‹((Baseβ€˜π‘Ÿ) ↑m 𝑑) / π‘β¦Œ({⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘Ÿ) β†Ύ (𝑏 Γ— 𝑏))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (π‘˜ ∈ 𝑑 ↦ (π‘Ÿ Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘Ÿ)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘ŸβŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Ÿ), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘Ÿ)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝑑 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘Ÿ)}))⟩}))
21reldmmpo 7483 1 Rel dom mPwSer
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444  β¦‹csb 3854   βˆͺ cun 3907  {csn 4585  {ctp 4589  βŸ¨cop 4591   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187   Γ— cxp 5629  β—‘ccnv 5630  dom cdm 5631   β†Ύ cres 5633   β€œ cima 5634  Rel wrel 5636  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350   ∈ cmpo 7352   ∘f cof 7606   ∘r cofr 7607   ↑m cmap 8699  Fincfn 8817   ≀ cle 11124   βˆ’ cmin 11319  β„•cn 12087  β„•0cn0 12347  ndxcnx 17000  Basecbs 17018  +gcplusg 17068  .rcmulr 17069  Scalarcsca 17071   ·𝑠 cvsca 17072  TopSetcts 17074  TopOpenctopn 17238  βˆtcpt 17255   Ξ£g cgsu 17257   mPwSer cmps 21230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5105  df-opab 5167  df-xp 5637  df-rel 5638  df-dm 5641  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-psr 21235
This theorem is referenced by:  psrbas  21270  psrelbas  21271  psrplusg  21273  psraddcl  21275  psrmulr  21276  psrmulcllem  21279  psrvscafval  21282  psrvscacl  21285  resspsrbas  21307  resspsradd  21308  resspsrmul  21309  mplval  21320  opsrle  21371  opsrbaslem  21373  opsrbaslemOLD  21374  psrbaspropd  21529  psropprmul  21532
  Copyright terms: Public domain W3C validator