Theorem reldmpsr 21935

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 21930	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑m 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpo 7568	1 ⊢ Rel dom mPwSer

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  {crab 3435  Vcvv 3479  ⦋csb 3898   ∪ cun 3948  {csn 4625  {ctp 4629  ⟨cop 4631   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224   × cxp 5682  ^◡ccnv 5683  dom cdm 5684   ↾ cres 5686   “ cima 5687  Rel wrel 5689  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∈ cmpo 7434   ∘_f cof 7696   ∘_r cofr 7697   ↑_m cmap 8867  Fincfn 8986   ≤ cle 11297   − cmin 11493  ℕcn 12267  ℕ₀cn0 12528  ndxcnx 17231  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  TopSetcts 17304  TopOpenctopn 17467  ∏_tcpt 17484   Σ_g cgsu 17486   mPwSer cmps 21925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-xp 5690  df-rel 5691  df-dm 5694  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-psr 21930

This theorem is referenced by:  psrbas  21954  psrelbas  21955  psrplusg  21957  psraddcl  21959  psraddclOLD  21960  psrmulr  21963  psrmulcllem  21966  psrvscafval  21969  psrvscacl  21972  resspsrbas  21995  resspsradd  21996  resspsrmul  21997  mplval  22010  opsrle  22066  opsrbaslem  22068  opsrbaslemOLD  22069  psdval  22164  psdcl  22166  psdadd  22168  psdvsca  22169  psdmul  22171  psdpw  22175  psrbaspropd  22237  psropprmul  22240  mhmcopsr  42564