Theorem reldmpsr 21907

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 21902	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑m 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpo 7552	1 ⊢ Rel dom mPwSer

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  {crab 3419  Vcvv 3462  ⦋csb 3891   ∪ cun 3944  {csn 4623  {ctp 4627  ⟨cop 4629   class class class wbr 5145   ↦ cmpt 5228   × cxp 5672  ^◡ccnv 5673  dom cdm 5674   ↾ cres 5676   “ cima 5677  Rel wrel 5679  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ∘_f cof 7680   ∘_r cofr 7681   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8966   ≤ cle 11290   − cmin 11485  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12518  ndxcnx 17190  Basecbs 17208  +_gcplusg 17261  ._rcmulr 17262  Scalarcsca 17264   ·_𝑠 cvsca 17265  TopSetcts 17267  TopOpenctopn 17431  ∏_tcpt 17448   Σ_g cgsu 17450   mPwSer cmps 21897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3949  df-un 3951  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-br 5146  df-opab 5208  df-xp 5680  df-rel 5681  df-dm 5684  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-psr 21902

This theorem is referenced by:  psrbas  21938  psrelbas  21939  psrplusg  21941  psraddcl  21943  psraddclOLD  21944  psrmulr  21947  psrmulcllem  21950  psrvscafval  21953  psrvscacl  21956  resspsrbas  21979  resspsradd  21980  resspsrmul  21981  mplval  21994  opsrle  22050  opsrbaslem  22052  opsrbaslemOLD  22053  psrbaspropd  22220  psropprmul  22223  mhmcopsr  42239