Theorem reldmpsr 21957

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 21952	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑m 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpo 7584	1 ⊢ Rel dom mPwSer

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488  ⦋csb 3921   ∪ cun 3974  {csn 4648  {ctp 4652  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700   ↾ cres 5702   “ cima 5703  Rel wrel 5705  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450   ∘_f cof 7712   ∘_r cofr 7713   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  TopSetcts 17317  TopOpenctopn 17481  ∏_tcpt 17498   Σ_g cgsu 17500   mPwSer cmps 21947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-dm 5710  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-psr 21952

This theorem is referenced by:  psrbas  21976  psrelbas  21977  psrplusg  21979  psraddcl  21981  psraddclOLD  21982  psrmulr  21985  psrmulcllem  21988  psrvscafval  21991  psrvscacl  21994  resspsrbas  22017  resspsradd  22018  resspsrmul  22019  mplval  22032  opsrle  22088  opsrbaslem  22090  opsrbaslemOLD  22091  psrbaspropd  22257  psropprmul  22260  mhmcopsr  42504