Theorem reldmpsr 20827

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 20822	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑m 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpo 7322	1 ⊢ Rel dom mPwSer

Syntax hints:   ∈ wcel 2112  {crab 3055  Vcvv 3398  ⦋csb 3798   ∪ cun 3851  {csn 4527  {ctp 4531  ⟨cop 4533   class class class wbr 5039   ↦ cmpt 5120   × cxp 5534  ^◡ccnv 5535  dom cdm 5536   ↾ cres 5538   “ cima 5539  Rel wrel 5541  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   ∈ cmpo 7193   ∘_f cof 7445   ∘_r cofr 7446   ↑_m cmap 8486  Fincfn 8604   ≤ cle 10833   − cmin 11027  ℕcn 11795  ℕ₀cn0 12055  ndxcnx 16663  Basecbs 16666  +_gcplusg 16749  ._rcmulr 16750  Scalarcsca 16752   ·_𝑠 cvsca 16753  TopSetcts 16755  TopOpenctopn 16880  ∏_tcpt 16897   Σ_g cgsu 16899   mPwSer cmps 20817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-br 5040  df-opab 5102  df-xp 5542  df-rel 5543  df-dm 5546  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-psr 20822

This theorem is referenced by:  psrbas  20857  psrelbas  20858  psrplusg  20860  psraddcl  20862  psrmulr  20863  psrmulcllem  20866  psrvscafval  20869  psrvscacl  20872  resspsrbas  20894  resspsradd  20895  resspsrmul  20896  mplval  20907  opsrle  20958  opsrbaslem  20960  psrbaspropd  21110  psropprmul  21113