Theorem reldmpsr 21952

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 21947	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑m 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpo 7567	1 ⊢ Rel dom mPwSer

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  ⦋csb 3908   ∪ cun 3961  {csn 4631  {ctp 4635  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  ^◡ccnv 5688  dom cdm 5689   ↾ cres 5691   “ cima 5692  Rel wrel 5694  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ∘_f cof 7695   ∘_r cofr 7696   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  TopSetcts 17304  TopOpenctopn 17468  ∏_tcpt 17485   Σ_g cgsu 17487   mPwSer cmps 21942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-rel 5696  df-dm 5699  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-psr 21947

This theorem is referenced by:  psrbas  21971  psrelbas  21972  psrplusg  21974  psraddcl  21976  psraddclOLD  21977  psrmulr  21980  psrmulcllem  21983  psrvscafval  21986  psrvscacl  21989  resspsrbas  22012  resspsradd  22013  resspsrmul  22014  mplval  22027  opsrle  22083  opsrbaslem  22085  opsrbaslemOLD  22086  psdval  22181  psdcl  22183  psdadd  22185  psdvsca  22186  psdmul  22188  psrbaspropd  22252  psropprmul  22255  mhmcopsr  42536