Theorem reldmpsr 21353

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 21348	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑m 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpo 7495	1 ⊢ Rel dom mPwSer

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  {crab 3405  Vcvv 3446  ⦋csb 3858   ∪ cun 3911  {csn 4591  {ctp 4595  ⟨cop 4597   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638   ↾ cres 5640   “ cima 5641  Rel wrel 5643  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364   ∘_f cof 7620   ∘_r cofr 7621   ↑_m cmap 8772  Fincfn 8890   ≤ cle 11199   − cmin 11394  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12422  ndxcnx 17076  Basecbs 17094  +_gcplusg 17147  ._rcmulr 17148  Scalarcsca 17150   ·_𝑠 cvsca 17151  TopSetcts 17153  TopOpenctopn 17317  ∏_tcpt 17334   Σ_g cgsu 17336   mPwSer cmps 21343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5644  df-rel 5645  df-dm 5648  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-psr 21348

This theorem is referenced by:  psrbas  21383  psrelbas  21384  psrplusg  21386  psraddcl  21388  psrmulr  21389  psrmulcllem  21392  psrvscafval  21395  psrvscacl  21398  resspsrbas  21421  resspsradd  21422  resspsrmul  21423  mplval  21434  opsrle  21485  opsrbaslem  21487  opsrbaslemOLD  21488  psrbaspropd  21643  psropprmul  21646