Theorem reldmpsr 22130

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 22125	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑m 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpo 7550	1 ⊢ Rel dom mPwSer

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453  ⦋csb 3850   ∪ cun 3900  {csn 4587  {ctp 4591  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   ↾ cres 5661   “ cima 5662  Rel wrel 5664  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ∘_f cof 7679   ∘_r cofr 7680   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955   ≤ cle 11271   − cmin 11468  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ndxcnx 17289  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  ._rcmulr 17347  Scalarcsca 17349   ·_𝑠 cvsca 17350  TopSetcts 17352  TopOpenctopn 17510  ∏_tcpt 17527   Σ_g cgsu 17529   mPwSer cmps 22120

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-rel 5666  df-dm 5669  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-psr 22125

This theorem is used by:  psrbas  22150  psrelbas  22151  psrplusg  22153  psraddcl  22155  psrmulr  22158  psrmulcllem  22161  psrvscafval  22164  psrvscacl  22167  resspsrbas  22189  resspsradd  22190  resspsrmul  22191  mplval  22204  opsrle  22264  opsrbaslem  22266  psdval  22388  psdcl  22390  psdadd  22392  psdvsca  22393  psdmul  22395  psdpw  22399  psrbaspropd  22460  psropprmul  22463  mhmcopsr  43413