MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrplusg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrplusg 21841
Description: The addition operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrplusg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrplusg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psrplusg.a + = (+gβ€˜π‘…)
psrplusg.p ✚ = (+gβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
psrplusg ✚ = ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
Proof of Theorem psrplusg
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘˜ π‘₯ β„Ž 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrplusg.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 psrplusg.a . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘…)
4 eqid 2726 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
5 eqid 2726 . . . . 5 (TopOpenβ€˜π‘…) = (TopOpenβ€˜π‘…)
6 eqid 2726 . . . . 5 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
7 psrplusg.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
8 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐼 ∈ V)
91, 2, 6, 7, 8psrbas 21838 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}))
10 eqid 2726 . . . . 5 ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
11 eqid 2726 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
12 eqid 2726 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))
13 eqidd 2727 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})) = (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})))
14 simpr 484 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑅 ∈ V)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 8, 14psrval 21809 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑆 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
1615fveq2d 6889 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
17 psrplusg.p . . 3 ✚ = (+gβ€˜π‘†)
187fvexi 6899 . . . . 5 𝐡 ∈ V
1918, 18xpex 7737 . . . 4 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V
20 ofexg 7672 . . . 4 ((𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V β†’ ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V)
21 psrvalstr 21810 . . . . 5 ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
22 plusgid 17233 . . . . 5 +g = Slot (+gβ€˜ndx)
23 snsstp2 4815 . . . . . 6 {⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩} βŠ† {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩}
24 ssun1 4167 . . . . . 6 {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
2523, 24sstri 3986 . . . . 5 {⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
2621, 22, 25strfv 17146 . . . 4 (( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V β†’ ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (+gβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
2719, 20, 26mp2b 10 . . 3 ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (+gβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
2816, 17, 273eqtr4g 2791 . 2 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ✚ = ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
29 reldmpsr 21808 . . . . . . 7 Rel dom mPwSer
3029ovprc 7443 . . . . . 6 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = βˆ…)
311, 30eqtrid 2778 . . . . 5 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑆 = βˆ…)
3231fveq2d 6889 . . . 4 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜βˆ…))
3322str0 17131 . . . 4 βˆ… = (+gβ€˜βˆ…)
3432, 17, 333eqtr4g 2791 . . 3 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ✚ = βˆ…)
3531fveq2d 6889 . . . . . . . 8 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜βˆ…))
36 base0 17158 . . . . . . . 8 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
3735, 7, 363eqtr4g 2791 . . . . . . 7 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐡 = βˆ…)
3837xpeq2d 5699 . . . . . 6 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = (𝐡 Γ— βˆ…))
39 xp0 6151 . . . . . 6 (𝐡 Γ— βˆ…) = βˆ…
4038, 39eqtrdi 2782 . . . . 5 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆ…)
4140reseq2d 5975 . . . 4 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ( ∘f + β†Ύ βˆ…))
42 res0 5979 . . . 4 ( ∘f + β†Ύ βˆ…) = βˆ…
4341, 42eqtrdi 2782 . . 3 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = βˆ…)
4434, 43eqtr4d 2769 . 2 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ✚ = ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
4528, 44pm2.61i 182 1 ✚ = ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   βˆͺ cun 3941  βˆ…c0 4317  {csn 4623  {ctp 4627  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ∘f cof 7665   ∘r cofr 7666   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  1c1 11113   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  9c9 12278  β„•0cn0 12476  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  TopSetcts 17212  TopOpenctopn 17376  βˆtcpt 17393   Ξ£g cgsu 17395   mPwSer cmps 21798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-tset 17225  df-psr 21803
This theorem is referenced by:  psradd  21842  psrmulr  21845  psrsca  21850  psrvscafval  21851  psrplusgpropd  22109  ply1plusgfvi  22115
  Copyright terms: Public domain W3C validator