MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrplusg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrplusg 21883
Description: The addition operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrplusg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrplusg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psrplusg.a + = (+gβ€˜π‘…)
psrplusg.p ✚ = (+gβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
psrplusg ✚ = ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
Proof of Theorem psrplusg
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘˜ π‘₯ β„Ž 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrplusg.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 psrplusg.a . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘…)
4 eqid 2725 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
5 eqid 2725 . . . . 5 (TopOpenβ€˜π‘…) = (TopOpenβ€˜π‘…)
6 eqid 2725 . . . . 5 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
7 psrplusg.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
8 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐼 ∈ V)
91, 2, 6, 7, 8psrbas 21880 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}))
10 eqid 2725 . . . . 5 ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
11 eqid 2725 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
12 eqid 2725 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))
13 eqidd 2726 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})) = (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})))
14 simpr 483 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑅 ∈ V)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 8, 14psrval 21850 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑆 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
1615fveq2d 6894 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
17 psrplusg.p . . 3 ✚ = (+gβ€˜π‘†)
187fvexi 6904 . . . . 5 𝐡 ∈ V
1918, 18xpex 7751 . . . 4 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V
20 ofexg 7685 . . . 4 ((𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V β†’ ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V)
21 psrvalstr 21851 . . . . 5 ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
22 plusgid 17257 . . . . 5 +g = Slot (+gβ€˜ndx)
23 snsstp2 4814 . . . . . 6 {⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩} βŠ† {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩}
24 ssun1 4164 . . . . . 6 {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
2523, 24sstri 3981 . . . . 5 {⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
2621, 22, 25strfv 17170 . . . 4 (( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V β†’ ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (+gβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
2719, 20, 26mp2b 10 . . 3 ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (+gβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
2816, 17, 273eqtr4g 2790 . 2 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ✚ = ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
29 reldmpsr 21849 . . . . . . 7 Rel dom mPwSer
3029ovprc 7452 . . . . . 6 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = βˆ…)
311, 30eqtrid 2777 . . . . 5 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑆 = βˆ…)
3231fveq2d 6894 . . . 4 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜βˆ…))
3322str0 17155 . . . 4 βˆ… = (+gβ€˜βˆ…)
3432, 17, 333eqtr4g 2790 . . 3 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ✚ = βˆ…)
3531fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜βˆ…))
36 base0 17182 . . . . . . . 8 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
3735, 7, 363eqtr4g 2790 . . . . . . 7 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐡 = βˆ…)
3837xpeq2d 5700 . . . . . 6 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = (𝐡 Γ— βˆ…))
39 xp0 6155 . . . . . 6 (𝐡 Γ— βˆ…) = βˆ…
4038, 39eqtrdi 2781 . . . . 5 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆ…)
4140reseq2d 5977 . . . 4 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ( ∘f + β†Ύ βˆ…))
42 res0 5981 . . . 4 ( ∘f + β†Ύ βˆ…) = βˆ…
4341, 42eqtrdi 2781 . . 3 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = βˆ…)
4434, 43eqtr4d 2768 . 2 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ✚ = ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
4528, 44pm2.61i 182 1 ✚ = ( ∘f + β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆͺ cun 3937  βˆ…c0 4316  {csn 4622  {ctp 4626  βŸ¨cop 4628   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5668  β—‘ccnv 5669   β†Ύ cres 5672   β€œ cima 5673  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416   ∘f cof 7678   ∘r cofr 7679   ↑m cmap 8841  Fincfn 8960  1c1 11137   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  β„•cn 12240  9c9 12302  β„•0cn0 12500  ndxcnx 17159  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  .rcmulr 17231  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  TopSetcts 17236  TopOpenctopn 17400  βˆtcpt 17417   Ξ£g cgsu 17419   mPwSer cmps 21839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-tset 17249  df-psr 21844
This theorem is referenced by:  psradd  21884  psrmulr  21889  psrsca  21894  psrvscafval  21895  psrplusgpropd  22161  ply1plusgfvi  22167
  Copyright terms: Public domain W3C validator